basic algebra

அடிப்படை இயற்கணிதம்#

நான் பார்க்கிறேன். ஆனால், நம்பமாட்டேன்.

-ரிச்சர்டு டெடிகைண்ட்

2.1 அறிமுகம் (Introduction)#

அளவுகளைக் குறியீருகளாகக் கொண்டு எழுதப்பட்டு அவைகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்புகளை வெளிப்படுத்தும் ஒரு கணிதத்தின் தனிப்பிரிவாக இயற்கணிதம் விளங்குகிறது. இந்த வகுப்பில் மாறிகள் மெய்வெண்களை மட்டும் குறிக்கும் என்போம். மாறிகளை கையாளுதல் மற்றும் கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்துதல் ஆகியவை எண்களைப் போலவே அமைகிறது. ஒரு கோவையிலுள்ள மாறிகளுக்கு மெய்வெண்களைப் பிரதியிடக் கிடைப்பது ஒரு மெய்வெண்ணாகும். ஒரு அளவையோ அல்லது கணிதக் கூற்வறையோ மாறிகளின் மூலமாக எழுதினால் அதில் மாறிகளுக்கு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகளைப் பிரதியிட முடியும். இது இயற்கணிதத்தைச் சக்தி வாய்ந்த கருவியாக மாற்றுகிறது. இதன் காரணமாக கணிதத்தில் மட்டுமல்லாமல் மேலும், பல துறைகளிலும் மற்றும் அன்றாட வாழ்க்கைக்கும் இயற்கணிதம் பரவலான பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கிறது. ஒட்டுமொத்தக் கணிதத்திற்கும் மெய்வெண்கள் அடிப்படையாகும். 19 ஆம் நூற்றாண்டில்தான் மெய்வெண்களின் அமைப்பைப் பற்றிச் சிறப்பாகப் புரிந்து கொள்ளப்பட்டது. விகிதமுறு எண்களை விரிவுபடுத்த வேண்டும் என்ற தேவை கணித வரலாற்றில் தொடக்கத்திலேயே உணரப்பட்டது. பிதாகரஸ் குழு \( \sqrt{2} \) ஒரு விகிதமுறு எண் இல்லை என்பதை உணர்ந்திருந்தனர். கிறித்து பிறப்பதற்கு 800 ஆண்டுகளுக்கு முன் உருவான சுலபச் சூத்திரா (Shulbha Sutras)வில் விகிதமுறா எண்களின் கட்டமைப்புப் பற்றித் தெரிவிக்கிறது. ஆரியப்பட்டர் (Aryabhatta) (476 – 550) என்பவர் \(\pi\) என்ற விகிதமுறா எண்ணின் தோராய மதிப்பைக் கண்டறிந்தார்.

இந்தியக் கணித அறிஞர்கள் பிரம்மகுப்தா (598-670) (Brahmagupta) மற்றும் பாஸ்கராச்சாரியா (1114-1185) (Bhaskaracharya) ஆகியோர் மெய்வெண்களின் அமைப்பு மற்றும் இயற்கணிதம் ஆகியவற்றைப் புரிந்து கொள்வதற்குத் தங்கள் பங்களிப்பைத் தந்துள்ளனர். மிகை மற்றும் குறை மூலங்களையுடைய பொதுவான இருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு பிரம்மகுப்தா தீர்வு கண்டார். ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட காணப்படவேண்டிய குறியீருகளைக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு பாஸ்கராச்சாரியர் குறை மற்றும் விகிதமுறா தீர்வுகளைக் கண்டார். மிக முக்கியமான மெய்வெண் பூஜ்ஜியம் இந்தியர்களின் பங்களிப்பாகும்.

ரெனே டெஸ்கார்டேஸ் (1596 -1650) (Rene Descartes) பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளின் மூலங்களை விளக்கும்போது கற்பனை மூலங்களை வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்கு மெய் என்ற சொல்லை அறிமுகம் செய்தார். ரிச்சர்டு டெடிகைன்ட் (1831-1916) (Richard Dedekind), மெய்வெண்களின் அமைப்பை மிகச் சீராகக் கட்டமைத்தார்.

2.2.3 விகிதமுறா எண்கள் (Irrational Numbers)#

x என்ற மிகை விகிதமுறு எண்ணை 0-விலிருந்து x அலகு வலப்புறத்தில் எண்கோட்டில் குறிக்கலாம். இதேபோன்று குறை விகிதமுறு எண் \(-r\), \(r > 0\) -ஐ 0-விற்கு இடப்பக்கம் r அலகு தூரத்தில் குறிக்கலாம். மேலும், \(x, y \in \mathbb{Q}\), \(x < y\) எனில் y இன் இடப்புறத்தில் x இருக்கும். மேலும், \(x < \frac{x + y}{2} < y\) . எனவே, இரு வெவ்வேறு விகிதமுறு எண்களுக்கு இடையில் மற்றொரு விகிதமுறு எண் இருக்கும்.

கேள்வி:

விகிதமுறு எண்களை முழு எண்கோட்டிலும் குறித்து விட முடியுமா?

இதற்குப் பதில் ‘முடியாது’ என்பதைக் கீழ்க்கண்டவாறு விளக்கலாம். 1 அலகு பக்கங்களைக் கொண்ட சதுரத்தைக் கொள்க. பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி அதன் மூலவிட்டத்தின் நீளம் \( \sqrt{2} \) அலகு ஆகும்.

தேற்றம் 2.1 \( \sqrt{2} \) ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல.

நிரூபணம்: \( \sqrt{2} \) விகிதமுறு எண் என எடுத்துக்கொண்டால் \( \sqrt{2} = \frac{m}{n} \), இதில் \(m, n\) , ஆகியவை 1-ஐ விட வேறு பொதுக்காரணியில்லாத இயல் எண்கள் என எழுதலாம். இப்போது, \(m^2 = 2n^2\) என்பதால் \(m^2\) என்பது ஒரு இரட்டைப்படை எண் ஆகிறது. எனவே, m ஒரு இரட்டைப்படை எண் \(m = 2k\) என்க. மேலும், \(2n^2 = 4k^2\) என்பதால் \(n^2 = 2k^2\) ஆகும். எனவே, n ஒரு இரட்டைப்படை எண். இவ்வாறு m மற்றும் n ஆகியவை பொதுக்காரணி 2 உடைய இரட்டைப்படை எண்களாக மாறுகிறது. இது முரணான முடிவு ஆகும். எனவே \( \sqrt{2} \) என்பது ஒரு விகிதமுறா எண் (irrational number) ஆகும்.

குறிப்பு:

(i) மேலே உள்ள நிரூபணத்தில் நாம் எதை நிறுவ வேண்டுமோ அதற்கு நேரெதிரான கூற்றை எடுத்துக்கொண்டு முரணான கூற்றை வருவித்தோம் என்பதைக் கவனிக்கவும். இம்முறை “முரண்பாட்டு கூற்று மூலம்” நிரூபித்தல் ஆகும்.

(ii) எண் கோட்டில் விகிதமுறு எண்களால் குறிக்கப்படும் புள்ளிகளைத் தவிர வேறு புள்ளிகளும் உண்டு.

(iii) எண் கோட்டில் விகிதமுறு எண்களால் குறிக்கப்படாத புள்ளிகளைக் குறிக்கும் எண்களை விகிதமுறா எண்கள் \(\mathbb{Q}'\) என்போம்.

ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும், விகிதமுறு அல்லது விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கவேண்டும். ஆனால் இரண்டுமாக இருக்க முடியாது. எனவே, \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'\) மற்றும் \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \emptyset\).

முடிவுறு தசமங்களைக் கொண்ட எண்களும் முடிவுறாச் சீர்மடங்கு தசமங்களைக் கொண்ட எண்களும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதை அறிவோம். தசம முறையில் எழுதப்படும் விகிதமுறா எண்கள் முடிவுறாச் சீர்மடங்கு தன்மையற்ற தசமங்களைப் பெற்றிருக்கும். R என்ற மெய்யெண்களின் கணத்திலுள்ளவைகளை எண் கோட்டிலுள்ள புள்ளிகளாகக் கொள்ளலாம். மேலும், \(x < y\) எனில், y–க்கு இடப்பக்கத்தில் x அமையும்.

ஒரு எண்கோட்டில் 2 மற்றும் 3-ன் வர்க்க மூலங்களைக் குறிப்பதை படம் 2.2-ல் காணலாம்.

2.3 மட்டுமதிப்பு (Absolute Value)#

2.3.1 வரையரை மற்றும் பண்புகள் (Definition and Properties)#

\(\mathbb{R}\)–ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் எண்கோட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியோடு ஒழுங்கு வரிசையில் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புடையவை என்பதை அறிவோம். \(x \in \mathbb{R}\) எனில், \(x\) மற்றும் \(-x\) ஆகியவை 0–விருந்து சமதூரத்தில் அமைந்துள்ளன. எண்கோட்டில், \(a \in \mathbb{R}\)–க்கும் 0-க்கும் a–க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு a–ன் மட்டு மதிப்பு (absolute value) எனப்படும். மேலும், இதனை \(| a |\) எனக் குறிப்பிடலாம்.

எனவே எந்த ஒரு \(x \in \mathbb{R}\)–க்கும்

என எழுதலாம்.

|·| ஆனது \(\mathbb{R}\)-விருந்து \([0, \infty)\) -க்கு மேற்கோர்த்தல் சார்பாக வரையறை செய்கிறது.

குறிப்பு: (i) எந்த ஒரு \(x \in \mathbb{R}\)–க்கும் \(|x| = |-x|\). எனவே, \(|x| = |y|\) எனில் \(x = y\) அல்லது \(x = -y\). மேலும், \(x = y\) அல்லது \(x = -y\) எனில், \(|x| = |y|\). (ii) \(|x - a| = r\) எனில் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(r \ge 0\) மற்றும் \(x - a = r\) அல்லது \(x - a = - r\) .

2.3.2 மட்டுமதிப்புகளை உடைய சமன்பாடுகள் (Equations involving absolute values)#

ஒரு சமன்பாடு அல்லது அசமன்பாட்டின் தீர்வு a என்ற மெய்யெண் எனில், அக்கூற்றில் மாறிக்குப் பதிலாக a ஐப் பிரதியிட அக்கூற்று உண்மையாக வேண்டும்.

அடுத்ததாக, மட்டு மதிப்புகளைத் தன்னகத்தே கொண்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.1 \(|2x – 17| = 3\)–ன் தீர்வு காண்க.

தீர்வு:

அதாவது, \(x = 10\) அல்லது \(x = 7\)

எடுத்துக்காட்டு 2.2 \(3|x-2|+7 = 19\)–ன் தீர்வு காண்க.

தீர்வு:

எனவே, \(x - 2 = 4\) அல்லது \(x - 2 = - 4\). அதாவது, தீர்வு \(x = - 2\) மற்றும் \(x = 6\)

எடுத்துக்காட்டு 2.3 தீர்வு காண்க : \(|2x – 3| = |x – 5|\).

தீர்வு: \(|u| = |v|\) எனில், தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதும் என்னவென்றால் \(u = v\) அல்லது \(u = -v\) ஆகும். எனவே, \(|2x - 3| = |x - 5|\) என்பது \(2x - 3 = x - 5\) அல்லது \(2x - 3 = 5 - x\) . இதன் தீர்வு, \(x = -2\) மற்றும் \(x = \frac{8}{3}\) .

2.3.3 மட்டுமதிப்புகளுக்கான சில முடிவுகள் (Some Results for Absolute Value)#

(i) \(x,y \in \mathbb{R}\), \(|y + x| = |x - y|\) எனில் \(xy = 0\) (ii) \(x,y \in \mathbb{R}\), எனில் \(|xy| = |x| |y|\) (iii) \(x,y \in \mathbb{R}\), \(y \neq 0\) எனில் \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}\) (iv) \(x,y \in \mathbb{R}\), எனில் \(|x + y| \le |x| + |y|\).

2.3.4 மட்டுமதிப்புகளுடைய அசமன்பாடுகள் (Inequalities involving absolute values)#

இங்கு மட்டு மதிப்புகளுடைய அசமன்பாடுகளின் தீர்வு காணுதலைக் காண்போம். முதலில் மிகவும் எளிய அசமன்பாடுகளான (i) \(|x| < r\) மற்றும் (ii) \(|x| > r\) போன்றவற்றைக் காண்போம்.

(i) \(|x| < r\) எனில், தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(-r < x < r\) என நிறுவுவோம். \(|x| \ge 0\) என்பதால் \(r > 0\) எனக் கொள்ளலாம். x–ன் குறியீட்டினைப் பொறுத்து இரண்டு நிலைகள் உள்ளன.

நிலை 1: \(x \ge 0\), எனில் \(|x| = x\). எனவே, \(|x| < r \Rightarrow x < r\) நிலை 2: \(x < 0\), எனில் \(|x| = -x\). எனவே, \(|x| < r \Rightarrow -x < r\) அதாவது, \(x > -r\)

\(|x| < r\)-க்குத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(-r < x < r\) அல்லது \(x \in (-r, r)\) ஆகும்.

(ii) \(|x| > r\) என்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(x < -r\) அல்லது \(x > r\) என நிறுவுவோம்.

\(|x| > r\) என்க. \(r < 0\) எனில், ஒவ்வொரு \(x \in \mathbb{R}\), இந்த அசமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும். \(r \ge 0\), எனில் இரண்டு நிலைகள் உண்டு.

நிலை 1: \(x \ge 0\) எனில் \(|x| = x > r\) நிலை 2: \(x < 0\), எனில் \(|x| = -x > r\) அதாவது, \(x < -r\)

எனவே, \(|x| > r\)–க்குத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(x < -r\) அல்லது \(x > r\). அதாவது \(x \in (-\infty, -r) \cup (r, \infty)\) ஆகும்.

குறிப்பு: (i) \(a \in \mathbb{R}\) மற்றும் \(|x - a| \le r\)–க்குத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(-r \le x - a \le r\) ஆகும். அதாவது, \(x \in [a - r, a + r]\) (ii) \(a \in \mathbb{R}\) எனில், \(|x - a| \ge r\) என்பதை \(x - a \le -r\) அல்லது \(x - a \ge r\) என எழுதலாம். இதற்குத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(x \in (-\infty, a - r] \cup [a + r, \infty)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.4 தீர்க்க: \(|x - 9| < 2\)

தீர்வு: \(|x - 9| < 2\) என்பது \(-2 < x - 9 < 2\) ஆகும். அதாவது, \(7 < x < 11\).

எடுத்துக்காட்டு 2.5 தீர்க்க: \(\left|\frac{x}{x-4}\right| > 1\), \(x \neq 4\).

தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட அசமன்பாட்டிலிருந்து \(2 > |x - 4|\) எனக் கிடைக்கும். அதாவது, \(-2 < x - 4 < 2\) மற்றும் \(x \neq 4\). மேலும், 4 ஐக் கூட்ட \(2 < x < 6\) மற்றும் \(x \neq 4\). அதாவது, \((2, 4) \cup (4, 6)\) என்பது தீர்வு ஆகும்.

பயிற்சி 2.2#

1. தீர்வு காண்க. (i) \(|3 - x| < 7\) (ii) \(|4x - 5| \ge - 2\) (iii) \(|x| < 10\) (iv) \(|x| \ge 3\)

2. \(\left| \frac{1}{2}x - 1 \right| < 6\) -க்குத் தீர்வு கண்டு, தீர்வை இடைவெளிக் குறியீட்டில் எழுதுக.

3. \(-3|x| + 5 \le -2\)–க்குத் தீர்வு கண்டு, தீர்வை எண்கோட்டில் குறிக்க.

4. \(2|x + 1| - 6 \le 7\)–க்குத் தீர்வு கண்டு, தீர்வை எண்கோட்டில் குறிக்க.

5. தீர்க்க: \(\frac{1}{5} |10x - 2| < 1\).

6. தீர்க்க: \(|5x - 12| < -2\).

2.4 நேரிய அசமன்பாடுகள் (Linear Inequalities)#

\(a, b \in \mathbb{R}\) என்ற மாறிலிகளைக் கொண்ட \(f(x) = ax + b\) என்ற சார்பு நேரியல் சார்பு என்பதை நினைவு கூர்வோம். இதன் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடு என்பதால் இதை நேரியல் சார்பு என்கிறோம். இங்கு, a என்பது கோட்டின் சாய்வு மற்றும் b என்பது y-வெட்டுத்துண்டு ஆகும். \(a \neq 0\), எனில், \(f(x) = ax + b = 0\) என்பதைத் தீர்க்க x-வெட்டுத்துண்டு \(-\frac{b}{a}\) எனக் கிடைக்கும்.

சில நேரங்களில் நேரிய அசமன்பாடுகளை கருத்தில் கொள்ளும் தேவை உருவாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, “கோபுரத்தின் உயரம் 50 அடிக்கு மேல் இல்லை” என்ற கூற்றை விளக்க வேண்டும். x என்பது ‘அடியில் குறிக்கப்பட்ட கோபுரத்தின் உயரம்’ எனில் மேலே உள்ள கூற்றை எழுதும் முறை \(x \le 50\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.6 மாதாந்திர மின் பயன்பாடு கட்டணத்தின் ஒரு பகுதி மாறாது என்றும் மற்றொரு பகுதி பயன்படுத்திய மின்சாரத்தின் யூனிட் அளவைப் பொறுத்து மாறுவதாகவும் உள்ளது என்க. மின்வாரியம் அடிப்படைக் கட்டணமாக ₹110 என்றும் பயன்பாட்டுக் கட்டணம் ஒரு யூனிட்டுக்கு ₹4 என்றும் நிர்ணயிக்கிறது. ஒருவர் தன் மின் கட்டணத்தை ₹250-க்குக் கீழ் இருக்கவேண்டும் என விருப்பப்பட்டால் அவரது மின் பயன்பாடு எவ்வளவாக இருக்க வேண்டும்.

தீர்வு: x என்பதைப் பயன்படுத்திய மின்சாரத்தின் அளவு என்க. இங்கு \(x \ge 0\), இப்போது, மின் கட்டணம் ₹\(110 + 4x\) ஆகும். அது ₹250-க்குக் கீழ் இருக்கவேண்டும். எனவே, \(110 + 4x < 250\) என்ற அசமன்பாட்டின் அடிப்படையில் அமைய வேண்டும். அதாவது, \(4x < 140\) எனவே, \(0 \le x < 35\). ஒருவர் தன் கட்டணம் ₹250-க்கு கீழ் இருக்க, பயன்படுத்தும் மின்சாரம் 35 யூனிட்டுக்குக் கீழ் இருக்கவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.7 தீர்க்க: \(3x - 5 \le x + 1\)

தீர்வு: \(3x - 5 \le x + 1\) என்பது \(2x \le 6\) ஆகும். எனவே, \(x \le 3\) அதாவது, தீர்வு \((-\infty, 3]\) ஆகும்.

குறிப்பு: மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டினை வரைபடத்தின் மூலம் தீர்வு காணலாம். \(f(x) = 3x - 5\) மற்றும் \(g(x) = x + 1\) (படம் 2.3) ஆகியவற்றை வரைய வேண்டும். பின்பு g-ன் வரைபடத்திற்கும் கீழ் உள்ள f-ன் வரைபடத்தின் மீதுள்ள x புள்ளிகளைக் காண வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.8 கீழ்க்கண்ட அசமன்பாட்டுத் தொகுப்பினைத் தீர்க்க: \(\frac{x}{3} - 9 \ge 0\), \(\frac{x}{4} - 10 \le -6\)

தீர்வு: \(\frac{x}{3} - 9 \ge 0\) -லிருந்து, \(x \ge 27\) எனக் கிடைக்கும். அதேபோன்று, \(\frac{x}{4} - 10 \le -6\) -லிருந்து, \(x \le 16\) எனக் கிடைக்கும். தீர்வுகள் \([27, \infty)\) மற்றும் \((-\infty, 16]\)-ன் வெட்டுக் கணமாகும். எனவே, தீர்வு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 2.9 A என்ற பெண் 446 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு புத்தகத்தில் 271 பக்கங்களைப் படித்து முடித்துவிட்டாள். அவள் அப்புத்தகத்தை ஒரு வாரத்திற்குள் படித்து முடிக்க வேண்டுமெனில், ஒரு நாளைக்குக் குறைந்தபட்சம் எத்தனை பக்கங்களை படிக்க வேண்டும்?

தீர்வு: தினமும் படிக்கவேண்டிய பக்கங்களின் எண்ணிக்கையை x என்க. x நிறைவு செய்யும் அசமன்பாடு \(7x + 271 \ge 446\). அதிலிருந்து, \(x \ge 25\) எனக் கிடைக்கிறது. எனவே அப்புத்தகத்தை ஒரு வாரத்தில் படித்து முடிக்கத் தினமும் குறைந்தது 25 பக்கங்கள் படிக்க வேண்டும்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒவ்வொரு அசமன்பாடுகளும் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட தீர்வுகளைத் தருகிறது. பொதுவாக அசமன்பாடுகளுக்கு தீர்வாக ஒரு வீச்சகம் கிடைக்கும்.

பயிற்சி 2.3#

1. கீழ்க்கண்ட அசமன்பாடுகளை இடைவெளி அமைப்பில் எழுதுக. (i) \(x \ge -1\) மற்றும் \(x < 4\) (ii) \(x \le 5\) மற்றும் \(x \ge -3\) (iii) \(x < -1\) அல்லது \(x < 3\) (iv) \(x > -2\) அல்லது \(x < 3\)

2. \(|x - 2| < 3\) -ன் தீர்வை (i) \(x \in \mathbb{N}\) (ii) \(x \in \mathbb{Z}\) -க்கு காண்க.

3. \(-2x \ge 9\)-ன் தீர்வை (i) \(x \in \mathbb{R}\) (ii) \(x \in \mathbb{Z}\) (iii) \(x \in \mathbb{N}\)-க்கு காண்க.

4. தீர்வு காண்க (i) \(3(x - 2) < 5(2 - x) < \frac{x}{2}\) (ii) \(\frac{3x - 5}{2} \ge \frac{x + 2}{3} - 4\)

5. ஒவ்வொன்றும் 100 மதிப்பெண்கள் கொண்ட 5 பாடங்களில் மதிப்பெண்களின் சராசரி 90 அல்லது அதற்கும் மேல் இருந்தால் தரம் A ஆகும். ஒரு நபர் முதல் 4 பாடங்களில் பெற்ற மதிப்பெண்கள் 84, 87, 95, 91 எனில், ஐந்தாம் பாடத்தில் குறைந்தபட்சம் என்ன மதிப்பெண் பெற்றால் தரம் A கிடைக்கும்?

6. ஒரு உற்பத்தியாளர் 12 விழுக்காடு அமிலம் கொண்ட 600 லிட்டர் கரைசல் வைத்திருக்கிறார். இதனுடன் எத்தனை லிட்டர்கள் 30 விழுக்காடு அமிலத்தைக் கலந்தால் 15 விழுக்காட்டிற்கும் 18 விழுக்காட்டிற்கும் இடைப்பட்ட அடர்த்தி கொண்ட அமிலக் கரைசல் கிடைக்கும்?

7. 10ஐ விடப் பெரிய அடுத்தடுத்த இரண்டு ஒற்றைப்படை இயல் எண்களின் கூடுதல் 40ஐ விடக் குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில், அவ்வெண்களைக் காண்க.

8. ஒரு ஏவுகணை ஏவப்படுகிறது. t வினாடிகளுக்குப் பிறகு தரையில் இருந்து அதன் உயரம் h ஆனது \(h(t) = -5t^2 + 100t\), \(0 \le t \le 20\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஏவுகணை எந்நேரங்களில் 495 அடி உயரத்தை அடையும்.

9. தண்ணீர் குழாய் சரி செய்பவருக்குப் பின்வரும் முறைகளில் கூலி கொடுக்கப்படுகிறது. முதல் முறையில் ₹500-ம், ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்கும் ₹70 கணக்கிடப்பட்டுக் கொடுக்கப்படுகிறது. இரண்டாம் முறையில் ஒவ்வொரு மணி நேரத்திற்கு ₹120 எனக் கொடுக்கப்படுகிறது. ஒருவர் x மணி நேரம் வேலை செய்கிறார் எனில், x-ன் எம்மதிப்பிற்கு முதல் முறையில் அவருக்கு சிறந்த கூலி கிடைக்கும்?

10. A மற்றும் B ஆகியோர் ஒரே மாதிரியான வேலை செய்தாலும், அவர்களது மாத ஊதியம் ₹6000–க்கு மேல் வேறுபாடாக இருக்கிறது. B–ன் மாத ஊதியம் ₹27,000 எனில், A–ன் மாத ஊதியத்திற்கான சாத்தியக் கூறுகளைக் காண்க.

2.5 இருபடிச் சார்புகள் (Quadratic Functions)#

\(z \in \mathbb{R}\) மற்றும் \(n \in \mathbb{N}\)-க்கு \(z^n = z \cdot z \cdot z \cdots z\) (n-முறைகள்) என்பதை முற்தைய வகுப்புகளில் படித்துள்ளோம்.

\(P(x) = ax^2 + bx + c\), (இங்கு, \(a, b, c \in \mathbb{R}\) என்பன மாறிலிகள் மற்றும் \(a \neq 0\)) என்ற வடிவில் உள்ள சார்பு இருபடிச் சார்பு எனப்படுகிறது. \(t \in \mathbb{R}\)-க்கு, \(P(t) = 0\) எனில், t என்பது \(P(x)\)-ன் ஒரு பூஜ்ஜியமாகும்.

2.5.1 இருபடி சூத்திரம் (Quadratic Formula)#

பொதுவாக, இருபடிச் சார்பு \(P(x) = ax^2 + bx + c\) -ஐ \(a(x - k)^2 + d\) என எழுத இயலுமா? இயலும். இதனை “வர்க்கத்தை நிறைவு செய்தல்” (completing the square) என்ற முறையில் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.

ஆகவே,

தற்போது, \(P(x) = 0\) எனக் கொள்ளும்போது, \(P(x)\) –ன் x வெட்டுத்துண்டு கிடைக்கும். \(P(x) = 0\) எனில், (1) இலிருந்து கிடைப்பது,

இதனை இருபடிச் சூத்திரம் (quadratic formula) என்போம்.

குறிப்பு: (i) \(u \ge 0\) -க்கு, \(\sqrt{u}\) ஒரு குறையற்ற மெய்யெண் என வரையறுக்கப்படும். \(b^2 - 4ac > 0\) எனில், \(P(x) = 0\)–க்கு வெவ்வேறான இரு மெய்யெண்கள் தீர்வாகும். \(b^2 - 4ac = 0\) எனில், இரு சமமான மெய்யெண்கள் தீர்வாகும். மேலும், \(b^2 - 4ac < 0\) எனில், மெய் மூலங்கள் இல்லை.

எனவே, \(b^2 - 4ac > 0\) எனில், வரைபடம் x அச்சை இரு புள்ளிகளில் வெட்டும். \(b^2 - 4ac = 0\) எனில், வரைபடம் x அச்சை ஒரு புள்ளியில் மட்டும் தொடும். \(b^2 - 4ac < 0\) எனில், வரைபடம் x அச்சை வெட்டாது.

எனவே, \(P(x) = ax^2 + bx + c\) என்ற இருபடிச் சார்பின் தன்மைகாட்டி (discriminant) \(D = b^2 - 4ac\) என்கிறோம்.

குறிப்பு: (i) \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\) ஆகியவை \(ax^2 + bx + c = 0\) –ன் மூலங்கள் எனில் \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) மற்றும் \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\) ஆகும். (ii) தன்மைகாட்டி \(b^2 - 4ac\) ஒரு குறை எண் எனில் இருபடிச் சமன்பாடு \(ax^2 + bx + c = 0\) –க்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை. இங்கு, கற்பனை எண்களே தீர்வுகளாகும்.

(இதனைப் பற்றி அடுத்த வகுப்பில் படிப்போம்) (iii) எடுத்துக்காட்டாக, \(y = x^2 - 4x + 5\) (படம் 2.4) என்ற வரைபடத்தைப் பார்க்கலாம். இந்த வரைபடம் x-அச்சை வெட்டாததால், \(x^2 - 4x + 5 = 0\)-க்கு மெய்வெண்கள் தீர்வாக அமையாது.

(iv) இருபடி சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையை \(D = b^2 - 4ac\) என்ற தன்மைகாட்டி மூலம் விளக்கும் அட்டவணை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.10 \(x^2 - px + q = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் a மற்றும் b எனில், \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) -ன் மதிப்பினைக் காண்க.

தீர்வு: a மற்றும் b ஆகியவை \(x^2 - px + q = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள். அவற்றின் கூடுதல் \(a + b = p\) மற்றும் \(ab = q\) ஆகும். எனவே, \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{p}{q}\)

பயிற்சி 2.4

1. \(x^2 + 3x + 1 = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(a\) மற்றும் \(b\) எனில், (i) \(a^2 + b^2\) (ii) \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) (iii) \((a+1)(b+1)\) (iv) \(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1}\) (v) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) -ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

2. \(px^2 + qx + r = 0\) -ன் மூலங்கள் \(a\) மற்றும் \(b\) எனில், \(a^3 b + a b^3\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

3. இருபடிச் சமன்பாடு \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) -ன் மூலங்கள் \(\alpha, \beta\) எனில், \(\alpha^2 + \beta^2\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

4. \(x^2 - 2x - 9 = 0\) -ன் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

5. \(x^2 - 3x + 2 = 0\) -ன் மூலங்களின் வர்க்கங்களை மூலங்களாகக் கொண்ட சமன்பாட்டைக் காண்க.

பயிற்சி 2.4 (தொடர்ச்சி)

6. \(ax^2 + bx + c = 0\) -ன் ஒரு மூலம் (i) மற்றொரு மூலத்தின் மாற்று குறியீடு (ii) மற்றொரு மூலத்தைப் போல் மூன்று மடங்கு (iii) மற்றொரு மூலத்தின் தலைகீழ் ஆக இருக்கக் கட்டுப்பாடுகளைக் காண்க.

7. \(x^2 - ax + b = 0\) மற்றும் \(x^2 - ex + f = 0\) ஆகிய சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொதுவான மூலம் உள்ளது. மேலும், இரண்டாம் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான மூலங்கள் உண்டு எனில், \((ae - b)^2 = f\) என நிறுவுக.

8. (i) \(x^2 - 3x + 1 = 0\) (ii) \(x^2 - 4x - 2 = 0\) (iii) \(x^2 - 9x + 5 = 0\) ஆகியவற்றின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

9. வரைபடம் வரையாமல் (i) \(y = 2x^2 + x + 2\), (ii) \(y = 3x^2 - 7x - 2\), (iii) \(y = x^2 + 6x + 9\) ஆகியவை x- அச்சை வெட்டுமா எனச் சோதித்தறியவும். மேலும் வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

10. \(f(x) = x^2 + 5x + 4\) -ஐ வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதுக.

2.5.2 இருபடி அசமன்பாடுகள் (Quadratic Inequalities)#

இங்கு, \(ax^2 + bx + c < 0\) அல்லது \(ax^2 + bx + c > 0\) ஆகிய அசமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காணலாம்.

இருபடி அசமன்பாடுகளைத் தீர்வு காணப் படிநிலைகள்

(i) \(ax^2 + bx + c = 0\)-க்குத் தீர்வு காண வேண்டும். (ii) மெய்யெண்களில் தீர்வு இல்லையெனில், மேலே உள்ளவற்றில் ஒரு அசமன்பாடு அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\)-க்கும் உண்மையாகும். (iii) மெய்யெண்களில் தீர்வு உண்டு எனில், அது மாறுநிலைப் புள்ளிகளாகும் (critical point). அப்புள்ளிகளை எண்கோட்டில் குறித்தல் வேண்டும். (iv) இந்த மாறுநிலைப் புள்ளிகள் எண்கோட்டை பொது உறுப்புகளற்ற இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன. (ஒரே ஒரு மாறுநிலைப் புள்ளி இருக்கவும் வாய்ப்புள்ளது) (v) ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். (vi) அப்புள்ளிகளை அசமன்பாட்டில் உள்ள கோவையில் பிரதியிட வேண்டும். (vii) அசமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் இடைவெளியைக் காணவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.13 தீர்க்க: \(3x^2 + 5x - 2 \le 0\)

தீர்வு: இருபடிக் கோவையைக் காரணிப்படுத்த, \((x + 2)(3x - 1) \le 0\) எனக் கிடைக்கும். ஒரு எண்கோட்டில் மாறுநிலைப் புள்ளிகளான \(-2\) மற்றும் \(\frac{1}{3}\) (படம் 2.5) ஆகியவற்றைக் குறிக்கவும். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் \((x+2)(3x-1)\)-ன் மிகைத் தன்மையைச் சோதிக்கவும். அவ்விடைவெளியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக்கொள்க. கிடைக்கும் விடையின் குறியீடு என்னவோ, அதுவே இவ்விடைவெளியில் உள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளையும் பிரதியிடக் கிடைக்கும் விடைகளின் குறியீடாகும். (இல்லையெனில், இந்த இடைவெளியில் மற்றொரு மாறுநிலைப்புள்ளி இருப்பதாகும்) இதைக் கீழ்க்கண்ட அட்டவணையின் மூலம் எளிதில் புரிந்துகொள்ளலாம்.

எனவே, அசமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் இடைவெளி \([-2, \frac{1}{3}]\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.14 தீர்க்க: \(\sqrt{x+14} < x+2\).

தீர்வு: \(\sqrt{x+14}\) வரையறுக்கப்பட \(x+14 \ge 0\) என இருத்தல் வேண்டும். \(x \ge -14\) எனவே, \(x+2 > 0\), அதாவது \(x \ge -2\). மேலும், \((x+14) < (x+2)^2\). அதாவது, \(x^2 + 3x - 10 > 0\) எனவே, \((x+5)(x-2) > 0\). \(x=-5\) மற்றும் \(x=2\) ஆகிய மாறுநிலைப் புள்ளிகளைக் கொண்டு எண்கோட்டில் இடைவெளிகளை உருவாக்கி, அவற்றிலிருந்து புள்ளிகளைப் பிரதியிடக் கிடைக்கும் தீர்வு \(x<-5\) மற்றும் \(x>2\) ஆகும். \(x \ge -2\) என்பதால் அவற்றின் தீர்வு \(x>2\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.15 \(\sqrt{6-4x-x^2} = x+4\) என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \((x+4) \ge 0\) மற்றும் \(6 - 4x - x^2 = (x+4)^2\) என்பதற்குச் சமானமாகும். எனவே, \(x \ge -4\) மற்றும் \(x^2 + 6x + 5 = 0\). இதனைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, \(x = -1, -5\) ஆனால், \(x=-1\) மட்டும் இரண்டு நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்கிறது. எனவே, \(x=-1\) ஒரு தீர்வு ஆகும்.

பயிற்சி 2.5#

1. தீர்வு காண்க: \(x^2 + 2x - 15 \le 0\).
2. தீர்வு காண்க: \(x^2 - 3x + 2 \ge 0\).

2.6 பல்லுறுப்புச் சார்புகள் (Polynomial Functions)#

இதுவரை நாம் கற்றது ஒருபடி மற்றும் இருபடிச் சார்புகளைப் பற்றியது. இக்கருத்துகளைப் பொதுமைப்படுத்துவோம்.

\(a_i \in \mathbb{R}, i = 0, 1, 2, \dots, n\) எனக் கொண்டுள்ள கோவை \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\) -ஐ x என்ற மாறியிலான பல்லுறுப்புக் கோவை (polynomial) என்போம். இங்கு, n ஒரு குறையற்ற முழு எண்ணாகும். \(a_n \neq 0\) ஆக இருக்கும்போது, பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி (degree) n ஆகும். \(a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}\) ஆகியவை பல்லுறுப்புக் கோவையின் குணகங்களாகும். \(a_0\) என்பது மாறிலி உறுப்பு எனவும் \(a_n\)-ஐ முதற்குணகம் (பூஜ்ஜியமல்லாதபோது) எனவும் கூறலாம்.

இதிலிருந்து தெளிவாக, (i) \(100x^7 - 20x^5 + 7x^2 - 1.22x + \pi\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி 7 (ii) \((x-17)(x+3)(3x-2)(2.3x + \pi)\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி 4 (iii) \( (x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+5) \) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி 8 ஆகும். x-க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு \(x=c\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது \(a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_0\)

\(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\) என்பது \(\mathbb{R}\) இலிருந்து \(\mathbb{R}\)-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பல்லுறுப்புச் சார்பு (polynomial function) ஆகும்.

கோவையின் படி 1 எனில், ஒருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை (linear polynomial) எனவும், படி 2 எனில், இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை (quadratic polynomial) எனவும் கூறலாம். முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி (cubic polynomial) மூன்றாகும். இதுபோல, படி 4 மற்றும் படி 5 கொண்டுள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைகளை முறையே நாற்படித்தான (quartic) மற்றும் ஐம்படித்தான (quintic) பல்லுறுப்புக்கோவை எனலாம். ஒரு மாறிலியை (\(a_0 \neq 0\)), படி 0 உடைய பல்லுறுப்புக் கோவையாக கருதலாம்.

\(f(x) = g(x)\) எல்லா \(x \in \mathbb{R}\)-க்கும் என அமைய, தேவையானதும், போதுமானதுமான நிபந்தனை இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளும், அதாவது, \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\), \(a_n \neq 0\) மற்றும் \(g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0, b_m \neq 0\) ஆகியவை சமமாக இருத்தல் வேண்டும். இதற்கு இணையாக \(n = m\) மற்றும் \(a_k = b_k, k = 0, 1, 2, \dots, n\) ஆகும்.

இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் அதன் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கல் ஆகியவற்றைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \(P(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5\) மற்றும் \(Q(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + x + 1\) எனில், \(P(x) + Q(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + x - 4\) (ஒத்திசைவு அடுக்குடைய x-ன் குணகங்களைக் கூட்டக் கிடைக்கும்). மேலும், \(P(x)Q(x) = 2x^7 + 11x^6 + 12x^5 + 2x^4 - 9x^3 + 2x^2 - 5x - 5\) என்பதை \(P(x)\) -ன் ஒவ்வொரு உறுப்பாக எடுத்து \(Q(x)\) -ன் ஒவ்வொரு உறுப்புடன் பெருக்கும்போது கிடைக்கிறது.

\(P(x) Q(x)\) –ன் படி \(P(x)\) மற்றும் \(Q(x)\) ஆகியவற்றின் படிகளின் கூட்டலுக்குச் சமம். \(P(x) + Q(x)\) –ன் படி அவற்றின் அதிகபட்சப் படியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இங்கு, கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரைபடம் முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவையுடையதாகும்.

\(f(x)\) மற்றும் \(g(x)\) ஆகியவை இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் எனவும், \(g(x)\) ஒரு பூஜ்ஜியமற்றது எனவும் கொண்டால் \(\frac{f(x)}{g(x)}\) என்பது ஒரு விகிதமுறு கோவையாகும் (rational function). பொதுவாக விகிதமுறு கோவை ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாக இருக்க வேண்டும் என்ற அவசியமில்லை.

2.6.1 வகுத்தல் கோட்பாடு (Division Algorithm)#

\(f(x)\) மற்றும் \(g(x)\) ஆகியவை இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் என்க. இங்கு \(g(x)\) பூஜ்ஜியமற்ற கோவை என்க. \(f(x) = q(x)g(x) + r(x)\) என்றமையுமாறு \(q(x)\) மற்றும் \(r(x)\) ஆகிய இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் கிடைக்கும். இங்கு, \(r(x)\) இன் படி \(g(x)\) இன் படியை விடச் சிறியது. \(q(x)\) என்பது ஈவு பல்லுறுப்புக் கோவை என்றும் \(r(x)\) என்பது மீதி பல்லுறுப்புக் கோவை என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. \(r(x)\) ஒரு பூஜ்ஜியமெனில், \(g(x)\), \(q(x)\) ஆகியவை \(f(x)\) இன் காரணிகளாகும். மேலும், \(f(x) = q(x)g(x)\) ஆகும்.

முழுக்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் வகுத்தல் கோட்பாடும் இதற்குப் பொருந்தும்.

\(g(x) = x - a\) எனில், மீதி \(r(x)\)-ன் படி பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, \(r(x)\) ஒரு மாறிலியாகும். அந்த மாறிலியைக் காண, \(f(x) = (x-a)q(x) + c\) என எழுதி \(x = a\) எனப் பிரதியிட, \(c = f(a)\) எனக் கிடைக்கும்.

மீதித் தேற்றம் (Remainder Theorem) பல்லுறுப்புக் கோவை \(f(x)\)-ஐ \(x - a\) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி \(f(a)\) ஆகும்.

மீதி \(c = f(a) = 0\) என அமையத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(f(x)\)–ன் காரணி \(x - a\) ஆகும்.

வரையறை 2.1 ஒரு மெய்யெண் a என்பது \(f(x)\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூஜ்ஜியமாக (zero of the polynomial) இருக்க வேண்டுமாயின் \(f(a) = 0\) என இருத்தல் வேண்டும். \(x - a\) என்பது \(f(x)\) -ன் பூஜ்ஜியம் எனில், \(x - a\) என்பது \(f(x)\) -ன் ஒரு காரணியாகும்.

பொதுவாக, \(f(x) = (x - a)^k g(x)\), இங்கு, \(g(a) \neq 0\) எனில், a ஐப் பொறுத்து அமையும் k இன் மதிப்பு \(f(x)\) -ன் படியைவிடச் சிறியதாகும். k என்பதை a என்ற பூஜ்ஜியத்தின் பெருக்கற்படி (multiplicity) என்கிறோம்.

குறிப்பு: (i) ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி n எனில், அதன் அதிகபட்ச மெய் பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை n ஆகும். \(P(x) = x^2 + 1\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு மெய் பூஜ்ஜியம் கிடையாது. (ii) விகிதமுறு எண்களை குணகங்களாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை \(P(x)\) என்க. \(p\) என்ற பகா எண்ணுக்கு, \(a + b\sqrt{p}\) என்பது \(P(x)\) -ன் பூஜ்ஜியமாக இருப்பின் அதன் இணை \(a - b\sqrt{p}\) -யும் ஒரு பூஜ்ஜியமாக அமையும்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கணக்குகளில் இரண்டு முக்கிய வகைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. (i) கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிந்து, ஒருபடி காரணிகள் மூலம் பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல் (ii) சில நிபந்தனைகளுடன் கொடுக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களைப் பயன்படுத்திப் பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கட்டமைப்பது.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறியச் சில நேரங்களில் இயற்கணித முற்றொருமைகள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பது அறிந்ததாகும். முற்றொருமை என்றால் என்ன? சார்பகத்தில் உள்ள எல்லா மதிப்பிற்கும் ஒரு சமன்பாடு மெய் எனில் அச்சமன்பாடு முற்றொருமை (identity) எனப்படும். சார்பகத்திலுள்ள சில மதிப்புகளுக்கு மட்டும் சமன்பாடு உண்மை எனில், அச்சமன்பாடு நிபந்தனைக்குட்பட்ட சமன்பாடு எனப்படும். கீழ்க்காணும் முற்றொருமைகளை நினைவில் கொள்வோம்.

2.6.2 முக்கியமான முற்றொருமைகள் (Important Identities)#

\(x, a, b \in \mathbb{R}\)-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் கீழ்க்கண்டவாறு நமக்குக் கிடைக்கிறது.

1. \( (x+a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 \)
2. \( (x-a)^3 = x^3 - 3x^2a + 3xa^2 - a^3 \) ((1) -ல் a-க்குப் பதில் -a எனப் பிரதியிட)
3. \( x^3 + a^3 = (x+a)(x^2 - xa + a^2) \)
4. \( x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + xa + a^2) \) ((3) -ல் a-க்குப் பதில் -a எனப் பிரதியிட)
5. \( x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \dots + a^{n-1}), n \in \mathbb{N} \)
6. \( x^n + a^n = (x+a)(x^{n-1} - x^{n-2}a + \dots - a^{n-1}), n \in \mathbb{N} \) (n ஒற்றைப்படை எண் எனில்)

பயிற்சி 2.6

1. \(f(x) = 4x^2 - 25\) என்ற பல்லுறுப்புச் சார்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் காண்க.
2. \(x^3 - x^2 - 17x = 22\) -ன் ஒரு மூலம் \(x = -2\) எனில், பிற மூலங்களைக் காண்க.
3. \(x^4 = 16\) -ன் மெய் மூலங்களைக் காண்க.
4. தீர்வு காண்க: \((2x + 1)^2 - (3x + 2)^2 = 0\)

அறுதியில்லாக் கெழுக்கள் வழிமுறை (Method of Undetermined Coefficients)

கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களைக் கொண்டு, அறுதியில்லாக் கெழுக்கள் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திப் பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கட்டமைப்பதைக் காண்போம். கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்திப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் கெழுக்களைக் காண வேண்டும். இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் சமமாக இருக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை அவற்றின் மாறிகளின் அடுக்குகள் ஒன்றாக உடைய உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.16 \(f(0) = 1\), \(f(-2) = 0\) மேலும், \(f(1) = 0\) ஆக அமையும் இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை \(f(x)\) –ஐக் காண்க.

தீர்வு: பல்லுறுப்புக் கோவையினை \(f(x) = ax^2 + bx + c\) என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே,

இவற்றிலிருந்து, \(4a - 2b + c = 0\) மற்றும் \(a + b + c = 0\) ஆகியவற்றைப் பெறலாம். c = 1 எனப் பிரதியிட, \(4a - 2b = -1\) மற்றும் \(a + b = -1\) இரு சமன்பாடுகளையும் தீர்வு காண, \(a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}\). எனவே,

குறிப்பு: மேலே உள்ள கணக்கிற்கு மற்றொரு முறையிலும் தீர்வு காணலாம். ஏதாவது ஒரு மாறிலி d-க்கு, \(x = -2, x = 1\) ஆகியவற்றைப் பூஜ்ஜியங்களாகக் கொண்டு \(f(x) = d(x + 2)(x - 1)\) என எழுதலாம். \(f(0) = 1\) எனப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது, \(-2d = 1\). எனவே, \(d = -\frac{1}{2}\).

எடுத்துக்காட்டு 2.17 \(x = \frac{2}{5}\), \(1 + \sqrt{3}\) ஆகிய பூஜ்ஜியங்களையும் \(f(0) = -8\) என்ற நிபந்தனையையும் நிறைவு செய்யும் முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காண்க.

தீர்வு: \(\frac{2}{5}\) மற்றும் \(1 + \sqrt{3}\) ஆகியவை \(f(x)\)-ன் பூஜ்ஜியங்களாகும். எனவே, \(1 - \sqrt{3}\) என்பதும் அதன் பூஜ்ஜியமாகும்.

\(f(0) = -8\) -ஐப் பயன்படுத்த, \(a\left(-\frac{2}{5}\right)(-2) = -8\)

தேவையான முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவை,

எடுத்துக்காட்டு 2.18 \(f(x) = x^3 - 3px + 2q\) ஆனது, \(g(x) = x^2 + 2ax + a^2\) ஆல் வகுபடும் எனில், \(ap + q = 0\) என நிறுவுக.

தீர்வு: \(f(x)\) -ன் படி 3 என்றும் முதன்மை கெழு 1 என்றும் அறிக. \(f(x)\) -ஐ \(g(x)\) வகுப்பதனால், \(f(x) = (x+b)g(x)\), \(b \in \mathbb{R}\) எனவே, \(x^3 - 3px + 2q = (x+b)(x^2 + 2ax + a^2)\) இருபுறமும் உள்ள ஒத்திசைவான கெழுக்களைச் சமப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது

ஆனால் \(b = -2a\) என்பதை மற்ற சமன்பாடுகளில் பிரதியிட, \(a^2 + 2a(-2a) = a^2 - 4a^2 = -3a^2 = -3p \Rightarrow p = a^2\) மற்றும் \(2q = ba^2 = (-2a)a^2 = -2a^3 \Rightarrow q = -a^3\) இதிலிருந்து \(ap + q = a(a^2) + (-a^3) = a^3 - a^3 = 0\) எனக் கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.19 அறுதியில்லாக் கெழுக்கள் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி \(1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) + n\), \(n \in \mathbb{N}\) -ன் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு: \(S(n) = n + (n-1) + (n-2) + \dots + 2 + 1\) என்க. \(S(n) = an^2 + bn + c\) எனக் கொள்க. இங்கு, \(a, b, c \in \mathbb{R}\) \(S(n+1) - S(n) = n + 1\)

ஒத்திசைவான கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, \(2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) மற்றும் \(a+b = 1 \Rightarrow b = 1 - a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). \(S(1) = 1\) என்பதிலிருந்து, \(a(1)^2 + b(1) + c = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c = 1 \Rightarrow 1 + c = 1 \Rightarrow c = 0\).

எடுத்துக்காட்டு 2.20 \((x - 1)^3(x + 1)^2(x + 5) = 0\) என்ற பல்லுறுப்புச் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக் காண்க. மேலும், அதன் பெருக்கல் படித் தன்மைகளை எழுதுக.

தீர்வு: \(f(x) = (x - 1)^3(x + 1)^2(x + 5) = 0\) என்க. இங்கு, \(x = 1, -1, -5\). மூலம் 1-ன் பெருக்கல்படி 3, -1-ன் பெருக்கல் படி 2 மற்றும் -5-ன் பெருக்கல் படி 1.

குறிப்பு: மூலத்தின் பெருக்கல் படி 1 எனில், அது எளிய மூலம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.21 தீர்வு காண்க. \(x = \sqrt{x + 20}\), \(x \in \mathbb{R}\),

தீர்வு: வர்க்க மூலத்தின் வரையறையின்படி, \(\sqrt{x+20} \ge 0\). மேலும், \(x = \sqrt{x+20}\) என்றிருப்பதால் \(x\) ஒரு மிகை எண். வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது, \(x^2 = x + 20\)

x மிகை எண் என்பதால் \(x = 5\)

எடுத்துக்காட்டு 2.22 \(x^2 - 6x + a = 0\) மற்றும் \(x^2 - bx + 6 = 0\) ஆகிய சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொது மூலம் உள்ளது. மேலும் முதல் மற்றும் இரண்டாம் சமன்பாடுகளின் அடுத்த மூலங்கள் முழுக்களாகவும் 4:3 என்ற விகிதத்திலும் இருக்கும் எனில், பொது மூலத்தைக் காண்க.

தீர்வு: பொதுமூலம் \(\alpha\) என்க. \(x^2 - 6x + a = 0\) -ன் மூலங்கள் \(\alpha, 4\beta\) \(x^2 - bx + 6 = 0\) -ன் மூலங்கள் \(\alpha, 3\beta\) என்க. எனவே, \(\alpha \cdot 4\beta = a\) மற்றும் \(\alpha \cdot 3\beta = 6 \Rightarrow \alpha\beta = 2\). ஆகவே, \(a = 4\alpha\beta = 4(2) = 8\). முதல் சமன்பாடு \(x^2 - 6x + 8 = 0\) -ன் மூலங்கள் 2 மற்றும் 4. \(\alpha = 2\) எனில், \(\beta = 1\) (3\(\beta\) = 3, முழு எண்). \(\alpha = 4\) எனில், \(\beta = \frac{1}{2}\) (3\(\beta\) = 1.5, முழு எண் அல்ல). எனவே, பொது மூலம் 2 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.23 \(x^2 + px + 8 = 0\) -ன் மூலங்களின் வேறுபாடு 2 எனில் \(p\) -ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு: \(x^2 + px + 8 = 0\) -ன் மூலங்கள் \(\alpha, \beta\) என்க. எனவே, \(\alpha + \beta = -p\), \(\alpha\beta = 8\) மற்றும் \(|\alpha - \beta| = 2\). இப்போது, \((\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\alpha - \beta)^2 \Rightarrow p^2 - 32 = 4\) ஆகவே, \(p^2 = 36 \Rightarrow p = \pm 6\).

பயிற்சி 2.7#

1. காரணிப்படுத்துக: \(x^4 + 1\). (குறிப்பு: வர்க்கத்தை நிறைவு செய்தல் முறையில் முயற்சி செய்க)
2. \(3x^3 + 8x^2 + 8x + a\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு காரணி \(x^2 + x + 1\) எனில், a-ன் மதிப்பைக் காண்க.
3. \(x^2 + 2x + k\) என்பது \(x^3 + 7x^2 + 14x + 8\) -ன் காரணி எனில், k-ன் மதிப்பைக் காண்க.
4. \(x^4 + 81 + kx^2\) ஒரு முழு வர்க்கமாக இருக்குமாறு k-ன் மதிப்பைக் காண்க.
5. \(3x^2 + 7x + p\) -ஐ \(x^2 - 2x + 3\) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி \(5x - 2\) எனில், p-ன் மதிப்பைக் காண்க.

2.7 விகிதமுறுச் சார்புகள் (Rational Functions)#

இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் \(P(x)\) மற்றும் \(Q(x)\), \(Q(x) \neq 0\), ஆகியவற்றின் விகிதம் x-ஆல் ஆன விகிதமுறு கோவை எனப்படும்.

பகுதி \(P(x)\)-ன் படி \(Q(x)\)-ன் படிக்குச் சமமாகவோ அல்லது அதைவிடப் பெரியதாகவோ இருப்பின் \(P(x) = f(x) Q(x) + r(x)\) என எழுதலாம். இங்கு, \(r(x) = 0\) அல்லது \(r(x)\)-ன் படி \(Q(x)\)-ன் படியை விடக் குறைவாக இருக்கும்.

2.7.1 விகிதமுறு அசமன்பாடுகள் (Rational Inequalities)#

எடுத்துக்காட்டு 2.24 தீர்க்க: \(\frac{x+1}{x+3} < 3\).

தீர்வு:

x + 4, x + 3, ஆகிய இரண்டுமே மிகையாகவோ அல்லது இரண்டுமே குறையாகவோ இருக்கும். எனவே, \(x + 3\) மற்றும் \(x + 4\) ஆகியவைகளின் குறியீடுகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு காணலாம்.

எனவே, தீர்வுக் கணம் \((-\infty, -4) \cup (-3, \infty)\) ஆகும்.

குறிப்பு: எண்கோட்டின் இடைவெளிகளில் காரணிகளின் குறிகளைக் குறிப்பிட்டும் இவ்வகை விகிதமுறு அசமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு காணலாம்.

பயிற்சி 2.8#

1. \(\frac{x^3(x-1)}{(x-2)} > 0\) எனில் \(x\)-ன் அனைத்து மதிப்புகளையும் காண்க.
2. \(\frac{2x - 3}{(x - 2)(x - 4)} < 0\) என்ற அசமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் \(x\)-ன் அனைத்து மதிப்புகளையும் காண்க.
3. தீர்வு காண்க: \(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x - 15} \le 0\)

2.7.2 பகுதி பின்னங்கள் (Partial Fractions)#

\(\frac{f(x)}{g(x)}\) என்ற விகிதமுறு கோவையில் \(f(x)\)-ன் படி \(g(x)\)-ன் படியை விட குறைவாக இருப்பின் அது ஒரு தகு பின்னமாகும். இங்கு மெய் பூஜ்ஜியங்கள் இல்லாமல் \(g(x)\)-ஐ ஒருபடி மற்றும் இருபடி காரணிகளாக அமையும்படி காரணிப்படுத்த இயலும். எனவே, \(\frac{f(x)}{g(x)}\)-ஐ எளிய உறுப்புகளைக் கொண்டு மாற்றி எழுதலாம். அதாவது உறுப்புகளின் கூடுதலாக பின்வருமாறு எழுதலாம்.

(i) \(g(x)\)-ன் ஒரு காரணி \((x-a)^k\) எனில், அதற்குரிய பகுதி பின்னங்கள் \(\frac{A_1}{(x-a)} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}\). (ii) \(g(x)\)-ன் ஒரு காரணி \((x^2+ax+b)^k\) ஆகவும், அதற்கு மெய் பூஜ்ஜியங்கள் இல்லாமலும் இருக்கும் எனில், அதற்குரிய பகுதி பின்னங்கள் \(\frac{B_1 x + C_1}{(x^2+ax+b)} + \frac{B_2 x + C_2}{(x^2+ax+b)^2} + \dots + \frac{B_k x + C_k}{(x^2+ax+b)^k}\) என எழுதலாம். இதனைப் பகுதி பின்னங்களின் கூடுதலாக மாற்றப்பட்ட கோவை எனப்படுகிறது.

குறிப்பு: கொடுக்கப்பட்ட விகிதமுறு சார்புக்கு அப்படி மாற்றப்பட்ட கோவை ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது. இந்த முறை தொகை நுண்கணிதத்தில் தீர்வு காணப் பெரிதும் பயன்படுகிறது. சில எடுத்துக்காட்டுகளை இப்பொழுது நாம் விவாதிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.25 பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கவும் \(\frac{x}{(x+3)(x-4)}\).

தீர்வு: \(\frac{x}{(x+3)(x-4)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-4}\) என்க. இங்கு A மற்றும் B மாறிலிகள்.

எனவே, \(x = A(x-4) + B(x+3)\) \(x = 4\) எனில், \(4 = B(7) \Rightarrow B = \frac{4}{7}\) \(x = -3\) எனில், \(-3 = A(-7) \Rightarrow A = \frac{3}{7}\)

குறிப்பு: பகுதியின் பூஜ்ஜியங்கள் வெவ்வேறாகவும், \(\mathbb{R}\)-ல் உள்ளதாகவோ அமையும்போது மேற்கண்ட வழிமுறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.26 பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கவும்: \(\frac{2x}{(x^2+1)(x-1)}\).

தீர்வு: இதில், பகுதியில் உள்ள ஒரு காரணி \((x^2+1)\)–க்கு மெய்யெண் பூஜ்ஜியம் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 2.27 பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கவும்: \(\frac{x+1}{x^2(x-1)}\).

தீர்வு:

எனவே, \(x+1 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx^2\) \(x = 0\) எனும்போது \(1 = B(-1) \Rightarrow B = -1\) \(x = 1\) எனும்போது \(2 = C(1) \Rightarrow C = 2\) \(x = -1\) எனும்போது \(0 = A(-1)(-2) + (-1)(-2) + 2(1) = 2A + 2 + 2 \Rightarrow 2A = -4 \Rightarrow A = -2\)

பயிற்சி 2.9#

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.

1. \(\frac{1}{x^2 - a^2}\)
2. \(\frac{1}{(x-2)(x+1)}\)
3. \(\frac{1}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\)
4. \(\frac{x}{(x-1)^3}\)
5. \(\frac{1}{x^4 - 1}\)
6. \(\frac{1}{(x-1)^2(x^3+x)}\)
7. \(\frac{x^2+x+1}{x^2-5x+6}\)
8. \(\frac{x^3+2x+1}{x^2+5x+6}\)
9. \(\frac{x}{(x+1)^2(x-2)}\)
10. \(\frac{6x^2-x+1}{x^3+x^2+x+1}\)
11. \(\frac{2x^2+5x-11}{x^2+2x-3}\)
12. \(\frac{7+x}{(1+x)(1+x^2)}\)

2.7.3 ஒருபடி அசமன்பாடுகளின் வரைபடங்கள் (Graphical Representation of Linear Inequalities)#

\(ax + by = c\) என்ற ஒரு நேர்க்கோடு கார்டீசியன் தளத்தை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது. ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரு அரைத்தளமாகும். \(x = c\) என்ற நிலைக்குத்துக்கோடு, இடது மற்றும் வலது அரைத்தளங்களாகவும், \(y = k\) என்ற கிடைமட்டக் கோடு, மேல் மற்றும் கீழ் அரைத்தளங்களாகவும் பிரிக்கிறது. \(ax+ by = c\) இன் மீது அமையாத ஒரு புள்ளி, அக்கோடு பிரிக்கும் அரைத்தளங்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் மட்டும் அமைந்து \(ax+ by < c\) மற்றும் \(ax+ by > c\) ஆகிய அசமன்பாடுகளில் ஒன்றை மட்டும் நிறைவு செய்கிறது.

\(ax + by < c\) என்ற அசமன்பாடு குறிக்கும் அரைத்தளத்தைக் காண ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P-ஐ அதில் பிரதியிட வேண்டும். அசமன்பாடு நிறைவுபெற்றால் P என்ற புள்ளி அந்த அரைத்தளத்தில் அமைந்துள்ளது எனலாம். நிறைவு செய்யவில்லை எனில், அப்புள்ளி தரப்பட்ட அசமன்பாடு குறிக்காத மற்றொரு தளத்தில் அமைந்துள்ளது எனலாம். \(c \neq 0\) எனில் P-ஐ ஆதிப்புள்ளியாக எடுத்துக் கொள்வது மிக எளிது.

எடுத்துக்காட்டு 2.28 \(x \ge 2\) என்ற அசமன்பாடு குறிக்கும் பகுதியை நிழலிட்டுக் காட்டுக.

தீர்வு: \(x = 2\) என்ற சமன்பாட்டினைக் கருத்தில் கொள்க. இது y அச்சிலிருந்து 2 அலகுகள் தூரத்திலுள்ள y அச்சிற்கு இணையான கோடு ஆகும். இக்கோடு கார்டீசியன் தளத்தை இரண்டு பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றது. \((0,0)\) -ஐ அசமன்பாட்டில் பிரதியிட \(0 \ge 2\) எனக் கிடைக்கிறது. இது உண்மையல்ல. எனவே, ஆதிப்புள்ளியைத் தன்னகத்தே கொள்ளாத பாகம் \(x \ge 2\) என்ற அசமன்பாட்டினைக் குறிக்கும். படத்தில் நிழலிட்ட பகுதியே அசமன்பாட்டின் தீர்வாகும். \(x \ge 2\) என்பதால் \(x = 2\) என்ற கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளிகளும் அதன் தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.29 \(x + 2y > 3\) என்ற அசமன்பாடு குறிக்கும் பகுதியை நிழலிட்டுக் காட்டுக.

தீர்வு: \(x + 2y = 3\) என்ற கோடு கார்டீசியன் தளத்தை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. \(x + 2y > 3\) குறிக்கும் பகுதியைக் காண ஒரு பகுதியில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியைப் பிரதியிட வேண்டும். அசமன்பாட்டில் \((0, 0)\)-ஐ பிரதியிடக் கிடைப்பது \(0 > 3\) ஆகும். இது உண்மையல்ல. எனவே ஆதியைத் தன்னகத்தே பெற்றிராத நிழலிட்ட பகுதியே கொடுக்கப்பட்ட அசமன்பாட்டைக் குறிக்கும் பகுதியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.30 \(x + y \ge 3\), \(2x - y \le 5\) மற்றும் \(-x + 2y \le 3\) ஆகிய அசமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வரைபடப் பகுதியாகத் தீர்வு காண்க.

தீர்வு: கோட்டின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் தெரியுமானால் அக்கோட்டை வரைய இயலும். \(x + y = 3\) –ன் மீது \((3, 0)\) மற்றும் \((0, 3)\) ஆகிய புள்ளிகள் அமையும் என்பதை எளிதில் கண்டறியலாம். \(x + y = 3\), \(2x - y = 5\) மற்றும் \(-x + 2y = 3\) ஆகிய மூன்று கோடுகளையும் வரை. இப்போது, \((0, 0)\) புள்ளி \(x + y \ge 3\)-ஐ நிறைவு செய்யாது. \((0, 0)\)-ஐத் தன்னகத்தே பெற்றிருக்காத \(x + y = 3\) பகுதியே \(x + y \ge 3\) இன் தீர்வுக் கணமாகும். இதேபோன்று, \(2x - y \le 5\) ஐ ஆதிப்புள்ளி நிறைவு செய்து ஆதியைக் கொண்ட பகுதியே \(2x - y \le 5\) இன் தீர்வுக் கணமாகும். மேலும், \(-x + 2y \le 3\) ஐ ஆதிப்புள்ளி நிறைவு செய்வதால் ஆதியைக் கொண்ட பகுதியே \(-x + 2y \le 3\) இன் தீர்வுக் கணமாகும். மூன்று பகுதிகளுக்கும் பொதுவான பகுதியே கொடுக்கப்பட்ட ஒருபடி அசமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குத் தீர்வுக் கணமாகும்.

பயிற்சி 2.10#

கீழே கொடுக்கப்பட்ட அசமன்பாடுகள் குறிக்கும் பகுதியைக் காண்க.

1. \(x \le 3y\), \(x \ge y\).
2. \(y \ge 2x\), \(-2x + 3y \le 6\).
3. \(3x + 5y \ge 45\), \(x \ge 0, y \ge 0\).
4. \(2x + 3y \le 35\), \(y \ge 2, x \ge 5\).
5. \(2x + 3y \le 6\), \(x + 4y \le 4\), \(x \ge 0, y \ge 0\).
6. \(x - 2y \ge 0\), \(2x - y \le -2\), \(x \ge 0, y \ge 0\).
7. \(2x + y \ge 8\), \(x + 2y \ge 8\), \(x + y \le 6\).

2.8 அடுக்குகளும் படி மூலங்களும் (Exponents and Radicals)#

முதலில் அடுக்குகளைப் பற்றி காண்போம்.

2.8.1 அடுக்குகள் (Exponents)#

\(n \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R}\), எனும்போது, \(a^n = a \cdot a \cdots a\) (n முறைகள்) ஆகும். m ஒரு குறை முழு எண் மற்றும் மெய்யெண் \(a \neq 0\) எனில், \(a^m = \frac{1}{a^{-m}}\). எந்தவொரு \(a \neq 0\) –க்கு \(a a^{-1} = a^{1-1} = a^0 = 1\) ஆகும். கீழ்க்காணும் பண்புகளை எளிதில் அறியலாம்.

அடுக்குகளின் பண்புகள் (Properties of Exponents) i. \(m,n \in \mathbb{Z}\) மேலும், \(a \neq 0\) எனில், \(a^m a^n = a^{m+n}\) ii. \(m,n \in \mathbb{Z}\) மேலும், \(a \neq 0\) எனில், \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

2.8.2 படிவலங்கள் (Radicals)#

கேள்வி: \(a \neq 0\) எனில், \(r \in \mathbb{Q}\)–க்கு \(a^r\) –ஐ வரையறுக்க இயலுமா? \(r = \frac{1}{n}\), \(n \in \mathbb{N}\) என்ற வகையைக் காண்போம். \(y = a^{1/n}\) என்றிருக்குமாறு ஒரு மெய்வெண் \(y \in \mathbb{R}\) என இருந்தால், \(y^n = a\) எனக் கிடைக்கும். இப்பண்பு \(y = x^n\) –ன் நேர்மாறு சார்பு காணப் பயன்படுகிறது.

வரையறை 2.2 (i) \(n \in \mathbb{N}\), n ஓர் இரட்டைப்படை எண் மற்றும் \(b > 0\)–க்கு \(a^n = b\) என்றிருக்குமாறு ஒருமைத்தன்மையுடைய \(a > 0\) என இருக்கும். (ii) \(n \in \mathbb{N}\), n ஓர் ஒற்றைப்படை எண் மற்றும் \(b \in \mathbb{R}\)–க்கு \(a^n = b\) என்றிருக்குமாறு ஒருமைத்தன்மையுடைய \(a \in \mathbb{R}\) என இருக்கும்.

இரு வகைகளிலும் a-ஐ b-ன் n-ஆம் படி மூலம் என அழைக்கலாம். மேலும், இதனை \(b^{1/n}\) அல்லது \(\sqrt[n]{b}\) எனக் குறிக்கலாம்.

குறிப்பு: (i) \(n = 2\) எனில், n-ஆம் படி மூலம் வர்க்க மூலம் எனப்படும். \(n = 3\) எனில், அது முப்படி மூலமாகும். (ii) \(x^2 = a^2\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு \(x = a\) மற்றும் \(x = -a\) ஆகிய இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன. ஆனால், \(\sqrt{a^2} = |a|\) ஆகும். (iii) ஒவ்வொரு தனி உறுப்புகளும் வரையறுக்கப்பட்டிருப்பின் மேலே கொடுக்கப்பட்ட அடுக்குகளின் பண்புகள் படிவலங்களுக்கும் பொருந்தும். (iv) மேலும், \(n \in \mathbb{N}\) மற்றும் \(a \neq 0\) எனில்,

எடுத்துக்காட்டாக, \(\sqrt[4]{(-2)^4} = 16^{1/4} = 2\), \(343^{1/3} = 7\) மற்றும் \((-1000)^{1/3} = -10\)

எந்தவொரு மெய்யெண் \(r = \frac{m}{n}\), \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\), மேலும், \((m, n)\)-ன் மீ.பொ.வ. = 1 மற்றும் \(a > 0\). எனில், \(a^r = a^{m/n} = (a^{1/n})^m\) என வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \(49^{3/2} = (49^{1/2})^3 = 7^3 = 343\). ஆனால், \((-49)^{3/2}\) –க்கு மெய்யெண்கள் அமைப்பில் அர்த்தமற்றது. ஏனெனில், \(x^2 = (-49)^3\) –ஐ நிறைவு செய்யும் மெய்யெண் இல்லை.

2.8.3 படிக்குறிச் சார்புகள் அல்லது அடுக்குச் சார்புகள் (Exponential Functions)#

\(x \in \mathbb{R}\) மற்றும் எந்தவொரு \(a > 0\) –க்கும் \(a^x\) ஐ வரையறுக்கலாம். \(a = 1\) எனில், \(1^x = 1\) என வரையறுக்கலாம். எனவே, \(a^x\), \(x \in \mathbb{R}\) மற்றும் \(0 < a \neq 1\) என்னும்போது \(a^x\) ஐ கருத்தில் கொள்ளலாம். இங்கு, \(a^x\) என்பது அடிமானம் a உடைய படிக்குறிச் சார்பாகும். \(a < 0\) மற்றும் \(x = \frac{1}{m}\), \(m \in \mathbb{N}\), ஒரு இரட்டைப்படை எனில், \(a^x\) வரையறுக்கப்படவில்லை. ஆகையால், \(a > 0\) எனக் கட்டுப்படுத்துகிறோம். மேலும், \(x \in \mathbb{R}\) –க்கு \(a^x > 0\).

படிக்குறிச் சார்பின் பண்புகள் (Properties of Exponential Function)

அனைத்து \(a,b > 0\) மற்றும் \(a \neq 1 \neq b\) -க்கு (i) \(a^{x+y} = a^x a^y\) அனைத்து \(x,y \in \mathbb{R}\) (ii) \(a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}\) அனைத்து \(x,y \in \mathbb{R}\) (iii) \((a^x)^y = a^{xy}\) அனைத்து \(x,y \in \mathbb{R}\) (iv) \((ab)^x = a^x b^x\) அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\) (v) \(a^x = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

1. \(f(x) = a^x, x \in \mathbb{R}, a = 2\) இப்பொழுது, \(f(x) = 2^x, x \in \mathbb{R}\). f ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்பு என நிரூபிப்போம். ஏதேனும் \(u,v \in \mathbb{R}\)-க்கு \(f(u) = f(v)\) என்க. எனவே, \(2^u = 2^v \Rightarrow 2^{u-v} = 1\) எனவே, \(u - v = 0 \Rightarrow u = v\). ஆகையால், f ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான சார்பாகும். மேலும், \(f(x) = 2^x\) மற்றும் \(f(x) = \frac{1}{2^x}\) ஆகியவற்றின் வரைபடங்கள் (படம் 2.7 & 2.8).

வரைபடத்திலிருந்து x அதிகரிக்கும்போது \(f(x) = 2^x\) –ன் மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது என்பது தெளிவு. மேலும் f –ன் வீச்சகம் \((0, \infty)\) ஆகும். இங்கு, \(2^0 = 1\) என இருப்பதால், அனைத்து \(x > 0\) –க்கும் \(2^x > 1\) எனக் கிடைக்கிறது. மேலும், அனைத்து \(x < 0\) –க்கும் \(2^x < 1\) எனக் கிடைக்கிறது. \(f : \mathbb{R} \to (0, \infty)\) ஒரு மேற்கோர்த்தல் சார்பு எனக் கவனிக்க.

2. \(a = \frac{1}{2}\) எனக் கொள்க. \(g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2^x}, x \in \mathbb{R}\) என்க. வரைபடத்திலிருந்து x அதிகரிக்கும்போது, \(g(x) = (1/2)^x\) –ன் மதிப்பு குறைகிறது என்பது தெளிவு மற்றும் \(g(\mathbb{R}) = (0, \infty)\). மேலும், \(g(0) = 1\), அனைத்து \(x < 0\) –க்கு \(g(x) > 1\) மற்றும் அனைத்து \(x > 0\) –க்கு \(g(x) < 1\) எனக் கிடைக்கும்.

குறிப்பு: மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் உள்ள கருத்துக்களின்படி, எந்தவொரு அடிமானம் \(0 < a \neq 1\) கொண்ட படிக்குறிச் சார்புகள் \(f(x) = a^x\), ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்பாக இருக்கும். அதன் சார்பகம் \(\mathbb{R}\) மற்றும் வீச்சகம் \((0, \infty)\) ஆகும்.

ஒரு சிறப்பு படிக்குறிச் சார்பு (A special exponential function)

அனைத்துப் படிக்குறிச் சார்புகளைவிட, \(f(x) = e^x, x \in \mathbb{R}\) என்ற சார்பு முக்கியமானதாகக் கருதப்படுகிறது. ஏனெனில், இது கணிதவியல், அறிவியல் மற்றும் பொறியியல் ஆகியவற்றில் பயன்படுகின்றது. e என்பது என்ன? கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கூட்டு வட்டிக் கணக்கு, மாறிலி e-ன் மதிப்பைத் தருகிறது.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு கூட்டு வட்டி: P அசல், r% = 100r வட்டி வீதம், n என்பது ஒரு வருடத்தில் வட்டி கணக்கிடும் எண்ணிக்கை மற்றும் t என்பது வருடங்களின் எண்ணிக்கை. எனவே, \(A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}\) இது t வருடங்களில் கிடைக்கும் மொத்தத் தொகை காணும் சூத்திரம். \(n = 4\) எனில், அது கால் வருடக் கூட்டு வட்டியாகும். (அதாவது, 3 மாதத்திற்கொருமுறை வட்டி கணக்கிட்டு அசலுடன் சேர்த்துக் கொள்ளப்படுகிறது). \(n = 12\) எனில், அது மாதக் கூட்டு வட்டியாகும். \(n = 365\) எனில் அது தினக் கூட்டு வட்டியாகும். n = 365, ஒரு மணி நேரம் மற்றும் ஒரு நிமிடம் கூட்டு வட்டி கணக்கிட இயலும். P மற்றும் r மாறாமல் இருந்து கூட்டு வட்டி கணக்கிடும் எண்ணிக்கை அதிகரித்தால் கிடைக்கும் மொத்தத் தொகை அதிகரிக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். முதல் வகையாக \(P = 1, r = 1\) மற்றும் \(t = 1\) கருதுவோம். \(A_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) என்க. எனவே, n அதிகமான எண்ணாக இருக்கும்போது எவ்வளவு பெரியது என்பதை நாம் உணரவேண்டும். எனவே, \(n = 10, 100, 10000, 100000, 100000000\) என்ற வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு A இன் மதிப்பை அட்டவணையில் காணலாம்.

n-ன் மதிப்பு அதிகரித்துக்கொண்டே போகும் போது \(A_n\) -ன் மதிப்பு 2.718281815… -க்கு அருகில் அமைகிறது. \(A_n\) இன் மதிப்பு e என்ற விகிதமுறா மெய்யெண்ணான 2.718281815-ஐ நெருங்குகிறது. எனவே, கூட்டு வட்டியின் சூத்திரம் \(A = Pe^{rt}\) எனக் கொள்ளலாம். இங்கு வட்டி விகிதம் r, அசல் P மேலும், ஒர் ஆண்டிற்கு t முறை வட்டி கணக்கிடப்படுகிறது. இது தொடர் கூட்டு வட்டி எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.31 (i) சுருக்குக: \((x^{1/2} y^{-3})^{1/2}, x,y \ge 0\) (ii) சுருக்குக: \(\sqrt{x^2 - 10x + 25}\)

தீர்வு:

குறிப்பு: (i) \((x^{1/4})^4 = x\) ஆனால், \((y^4)^{1/4} = |y|\). x ஒரு மிகை எண் எனில், \(x^{1/4}\) வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆனால் \(y < 0\) எனினும் \((y^4)^{1/4}\) வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு மிகை எண்ணின் 4-ஆம் அடுக்கு \(y^4\). எனவே, அது \(|y|\) என இருத்தல் வேண்டும். (ii) \((x^8 \cdot y^4)^{1/4} = x^2 |y|\) (iii) \(u, v, b\) ஆகியவை விகிதமுறு எண்கள் என்க. b ஒரு மிகை எண் என்க. அவை விகிதமுறு எண்களின் வர்க்கங்கள் அல்ல என்க. எனவே, \(u + v\sqrt{b}\), \(u - v\sqrt{b}\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று இணை எண்கள் (conjugates) எனப்படும். \((u + v\sqrt{b})(u - v\sqrt{b}) = u^2 - bv^2\) என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும். ஒரு கோவையின் பகுதியில் \(u + v\sqrt{b}\) என்றிருப்பின் அதன் பகுதி மற்றும் தொகுதியை அதன் இணை எண் \(u - v\sqrt{b}\) ஆல் பெருக்கப் பகுதியில் விகிதமுறு எண் கிடைக்கும். (iv) \((u\sqrt{a} - v\sqrt{b})(u\sqrt{a} + v\sqrt{b}) = u^2 a - v^2 b\) -ஐப் பயன்படுத்தி, \(u\sqrt{a} + v\sqrt{b}\) வடிவின் இணையைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.32 \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\) -ன் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக்குக.

தீர்வு: பகுதி மற்றும் தொகுதியை \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\) ஆல் பெருக்க,

எடுத்துக்காட்டு 2.33 \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\) -ஐ சுருக்குக.

தீர்வு: \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3}\) என்க. இங்கு, a, b ஆகியவை விகிதமுறு எண்கள். இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, \(7 - 4\sqrt{3} = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3}\) எனக் கிடைக்கும். எனவே, \(a^2 + 3b^2 = 7\) மற்றும் \(2ab = -4\) எனவே, \(a = \frac{-2}{b}\) \(a^2 + 3b^2 = 7\) -லிருந்து, \(\left(\frac{-2}{b}\right)^2 + 3b^2 = 7\) எனக் கிடைக்கிறது.

\(b^2\) -க்கு தீர்வு காண, \(b^2 = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6}\) எனக் கிடைக்கிறது.

b ஒரு விகிதமுறு எண் என்பதால், \(b = \pm 1\). எனவே, b-ஐக் கொண்டு கிடைக்கும் a-ன் மதிப்புகள் \(\mp 2\). \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} > 0\) என்பதால், \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}\) எனக் கிடைக்கிறது.

குறிப்பு: \(u, v\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களைக் கொண்டு \(u + v\sqrt{b}\) –ன் வர்க்கமூலத்தை, \(x, y\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களைக் கொண்டு \(x + y\sqrt{b}\) என்று வடிவில் எப்பொழுதும் எழுத இயலாது. எடுத்துக்காட்டாக, \(1 + \sqrt{2}\) –ன் வர்க்கமூலம் \(a, b\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களைக் கொண்டு \(a + b\sqrt{2}\) என்ற அமைப்பில் எழுத முடியாது.

பயிற்சி 2.11#

1. சுருக்கு. (i) \((125)^{2/3}\) (ii) \(\sqrt[4]{16}\) (iii) \((-1000)^{1/3}\) (iv) \((3^{-6})^{1/3}\) (v) \(\frac{27^{1/3}}{27^{1/3}}\)

2. மதிப்பைக் காண்க: \(((256)^{-1/2})^{-1/4})^{3}\)

3. \((x^{1/2} + x^{-1/2})^2 = \frac{9}{2}\) எனில், \(x > 1\)-க்கு \((x^{1/2} - x^{-1/2})\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

4. சுருக்க: \(\frac{3 \times 2^{n+1} \times 9^{2n}}{2^{3n} \times 3^{-n}} = 27\) அதன் மூலம் n-ன் மதிப்பைக் காண்க.

5. \(a^{3x} = a^{3k}\) -ஐத் தீர்க்க.

6. \(\frac{7 + \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}}\) -ன் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக்குக.

7. சுருக்க: \(\frac{1}{3 - \sqrt{8}} - \frac{1}{\sqrt{8} - \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - 2}\)

8. \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) எனில், \(x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

9. \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\) எனில், \(x^3 - 6x\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

10. \(x = 2 + \sqrt{3}, y = 2 - \sqrt{3}\) எனில், \(x^2 + y^2\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

2.9 மடக்கை (Logarithm)#

அடிமானம் \(0 < a \neq 1\) –க்கு, சார்பகம் \(\mathbb{R}\) மற்றும் வீச்சகம் \((0, \infty)\) உடைய படிக்குறிச் சார்பு \(f(x) = a^x\) என வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை அறிவோம். \(f(x)\) ஒரு இருபுறச் சார்பு (bijection) என்பதால் இதற்கு நேர்மாறு உண்டு. இதன் நேர்மாறு சார்பு மடக்கைச் சார்பு (logarithmic function) எனப்படும். அது \(\log_a(.)\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. \(f(x)\) என்பது x–விருந்து \(y = a^x\) வரை எனில், \(\log_a(.)\) என்பது y இலிருந்து x–க்கான சார்பாகும்.

அதாவது, \(0 < a \neq 1\) எனவே, \(y = a^x\) மற்றும் \(\log_a y = x\) ஆகியவை சமானமானவையாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, \(3^4 = 81\) ஐ \(\log_3(81) = 4\) என எழுதலாம். a மற்றும் y கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் \(a^x = y\)-ஐ நிறைவு செய்யும் a-ன் எந்த அடுக்கு x-க்கு y மதிப்பு கிடைக்கும் என்பதை மடக்கைக் கண்டறிகிறது. “ஒரு குறிப்பிட்ட முதலீடு ஒரு எதிர்பார்த்த தொகையாகப் பெருகுவதற்கு எவ்வளவு ஆண்டுகள் ஆகும்?” என்பது போன்ற நடைமுறையில் உள்ள கணக்குகளைத் தீர்வு காணப் பயன்படுகிறது. மிகச் சிறிய மற்றும் மிகப் பெரிய எண்களைப் பெருக்குவதற்கும் மடக்கைப் பயன்படுகிறது.

குறிப்பு: (i) அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\) மற்றும் \(a^x > 0\)–க்கும் படிக்குறிச் சார்பு \(a^x\) வரையறை செய்யப்பட்டுள்ளதால், \(\log_a(.)\) என்பது மிகை மெய்வெண்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படும். (ii) மேலும், எந்தெவொரு அடிமானம் a-க்கும் \(a^0 = 1\) என்பதால் \(\log_a(1) = 0\) ஆகும்.

2.9.1. மடக்கையின் பண்புகள் (Properties of Logarithm)#

(i) \(x \in (0, \infty)\)-க்கு \(a^{\log_a x} = x\) மற்றும் \(\log_a(a^y) = y\). இங்கு \(y \in \mathbb{R}\). (ii) \(x,y > 0\) எனில், \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\) (பெருக்கல் விதி) (iii) \(x,y > 0\) எனில், \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\) (வகுத்தல் விதி) (iv) \(x > 0\), \(r \in \mathbb{R}\) எனில், \(\log_a(x^r) = r \log_a x\) (அடுக்கு விதி) (v) \(x > 0\) மற்றும் a, b அடிமானங்கள் எனில், \(\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}\) (அடிமான மாற்று விதி)

நிரூபணம்: அடிமானம் a உடைய படிக்குறிச் சார்பு மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு என்பதால், (i) வரையறையின்படி உண்மை. (ii) \(x,y > 0\)-க்கு \(\log_a x = u, \log_a y = v\) மற்றும் \(\log_a(xy) = w\) என்க. படிக்குறிச் சார்புகளாக எழுத, \(a^u = x, a^v = y\) மற்றும் \(a^w = xy\).

எனவே, \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\). (iii) \(\log_a x = u, \log_a y = v\), மற்றும் \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = w\). எனவே, \(a^u = x, a^v = y\) மற்றும் \(a^w = \frac{x}{y}\).

(iv) \(\log_a x = u\) என்க. எனவே, \(a^u = x\), \(x^r = (a^u)^r = a^{ru}\) ஆகையால், \(\log_a(x^r) = ru = r \log_a x\). (v) \(\log_b x = v\) என்க. \(b^v = x\) ஆகும். இருபுறமும் அடிமானம் a உடைய மடக்கை எடுக்க, \(\log_a(b^v) = \log_a x\) அடுக்கு விதியின்படி, \(\log_a(b^v) = v \log_a b\) எனவே, \(v \log_a b = \log_a x\)

குறிப்பு: (i) \(a = 10\)-ன் மடக்கைச் சார்பு \(\log_{10} x\) ஆகும். இது பொது மடக்கை (common logarithm) எனப்படும். (ii) \(a = e\) (ஒரு விகிதமுறா எண், தோராயமாக அதன் மதிப்பு 2.718) எனில், \(\log_e x\) என்பது இயற்கை மடக்கை (natural logarithm) எனப்படும். இது \(\ln x\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. மேலே குறிப்பிட்ட மடக்கைச் சார்புகள் அறிவியலிலும் பொறியியலிலும் அதிகம் பயன்படுகிறது. இயற்கை மடக்கை இயல்பாக இடம் பெறுகிறது. \(\log_e x\)–ஐ \(\log x\) எனவும் எழுதலாம். (iii) \(a = 2\) எனில், மடக்கைச் சார்பு \(\log_2 x\) இரண்டடிமான மடக்கைச் சார்பு எனப்படும். இது கணிப்பொறி அறிவியலில் இடம் பெறுகிறது. (iv) \(\log_a 35 = \log_a(7 \times 5) = \log_a 7 + \log_a 5\) \(\log_a \frac{50}{3} = \log_a 50 - \log_a 3\) \(\log_a 22^x = x \log_a 22\) \(\log_5 50 = \frac{\log_{10} 50}{\log_{10} 5}\) (v) மடக்கைச் சார்பு மற்றும் அடுக்குச் சார்புகளின் வரைபடம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (\(y = a^x\) மற்றும் \(y = \log_a x\))

எடுத்துக்காட்டு 2.34 1728-க்கு அடிமானம் \(2\sqrt{3}\) உடைய மடக்கையைக் காண்க.

தீர்வு: \(\log_{2\sqrt{3}} 1728 = x\) என்க. பின்பு, \((2\sqrt{3})^x = 1728 = 2^6 3^3 = 2^6 (\sqrt{3})^6\) எனவே, \((2\sqrt{3})^x = (2\sqrt{3})^6 \Rightarrow x = 6\)

எடுத்துக்காட்டு 2.35 324-க்கு அடிமானம் a உடைய மடக்கை மதிப்பு 4 எனில் a-ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு: \(\log_a 324 = 4\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

a > 0 என்பதால்,

எடுத்துக்காட்டு 2.36 \(\log \frac{16}{75} - 2\log \frac{5}{9} + \log \frac{243}{32} = \log 2\) என நிறுவுக.

தீர்வு: மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி,

(கணக்கீட்டில் பிழை உள்ளதாகத் தெரிகிறது. விடை \(\log 2\) வர வேண்டும். முந்தைய புத்தகத்தில் இருந்த எடுத்துக்காட்டைச் சரிபார்க்கவும். பிழை கண்டறியப்பட்டால், சரியான தொகுப்பு: \(\log \frac{16}{75} - 2\log \frac{5}{9} + \log \frac{243}{32} = \log 2\))

எடுத்துக்காட்டு 2.37 \(\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = \frac{22}{7}\) எனில், x-ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு: \(x > 0\) என்பதைக் கவனத்தில் கொள்க.

எடுத்துக்காட்டு 2.38 தீர்வு காண்க: \(x^{\log_3 x} = 9\)

தீர்வு: \(\log_3 x = y\) என்க. \(x = 3^y\) மேலும், \((3^y)^y = 9 \Rightarrow 3^{y^2} = 3^2\) எனவே, \(y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm \sqrt{2}\) \(x = 3^{\sqrt{2}}\) அல்லது \(x = 3^{-\sqrt{2}}\)

எடுத்துக்காட்டு 2.39 \(\frac{\log_5 27}{\log_3 25}\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

\(\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}\) என்பதால்,

(இது மேலும் சுருங்கவில்லை. \(\log_5 3 \times \log_3 5 = 1\) என்பதை நினைவில் கொள்க)

எடுத்துக்காட்டு 2.40 \(\log_{10} 2 = 0.30103\), \(\log_{10} 3 = 0.47712\) (தோராய மதிப்புகள்) எனில், \(2^8 \times 3^{12}\) –ல் எத்தனை இலக்கங்கள் உண்டு என்பதைக் காண்க.

தீர்வு: \(N = 2^8 \times 3^{12}\) –க்கு n + 1 இலக்கங்கள் உண்டு என்க. \(1 \le b < 10\) என இருக்குமாறு N –ஐ \(10^n \times b\) என்ற அமைப்பில் எழுதலாம். 10 அடிமான மடக்கையை இருபுறமும் எடுக்க,

இவ்வாறாக, \(n + \log_{10} b = 8.13368\) எனக் கிடைக்கிறது. \(1 \le b < 10\) என்பதால் \(0 \le \log_{10} b < 1\). ∴ n = 8. எனவே, இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை \(n+1 = 9\).

பயிற்சி 2.12#

1. \(b > 0\) மற்றும் \(b \neq 1\) எனில், \(y = b^x\) –ஐ மடக்கை அமைப்பில் எழுதுக. மேலும், இந்த மடக்கை சார்பின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் ஆகியவற்றை எழுதுக.

2. மதிப்பு காண்க: \(\log_{27} 9 - \log_{27} 81\)

3. \(\log_8 x + \log_4 x + \log_2 x = 11\) -ன் தீர்வு காண்க.

4. \(\log_4(2x) = 2\log_2 8\) –ன் தீர்வு காண்க.

5. \(a^2 + b^2 = 7ab\) எனில், \(\log\left( \frac{a+b}{3} \right) = \frac{1}{2}(\log a + \log b)\) எனக் காண்க.

6. \(\log a^2 + \log b^2 + \log c^2 = 0\) மற்றும் \(a + b + c = 0\) எனில், \((a^2 + b^2 + c^2)^2 = 2(a^4 + b^4 + c^4)\) என நிறுவுக.

7. \(\log_{10} 2 = 0.3010\) மற்றும் \(\log_{10} 3 = 0.4771\) எனில், கீழ்க்காணும் ஒவ்வொன்றின் மதிப்பையும் காண்க. (i) \(\log_{10} 12\) (ii) \(\log_{10} 5\) (iii) \(\log_{10} 8\) (iv) \(\log_{10} 60\) (v) \(\log_5 3\)

2.10 வாழ்க்கைச் சூழலில் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் (Application of algebra in real life)#

அன்றாட வாழ்வில் இயற்கணிதம் பல இடங்களில் பயன்படுகின்றன. அன்றாட வாழ்வில் நிதி திட்டமிடலில் இயற்கணிதம் பயன்படுகிறது. வங்கிகளின் வட்டி விகிதத்தைக் கணக்கிடவும் கடனுக்கான திரும்பிச் செலுத்தப்படும் தொகையைக் கணக்கிடவும் இயற்கணிதம் பயன்படுகிறது. பண வளர்ச்சியைக் கண்டறியவும் பயன்படுகிறது. ஒருவருடைய உயரம், உடல் பருமன் போன்றவற்றைக் கட்டுப்படுத்தத் தேவையான உணவைத் திட்டமிட இயற்கணிதம் பயன்படுகிறது. ஒருவருடைய வயது மற்றும் நெடுக்கு ஏற்ப மருந்துகளின் அளவை திட்டமிட மருத்துவர்கள் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். சாலைகள், பாலங்கள் மற்றும் குகைப்பாதைகள் அமைப்பதற்குப் பொறியாளர்களும் கட்டடங்களை வடிவமைப்பதற்குக் கட்டடக்கலை பொறியாளர்களும் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். இயற்கணிதத்தில் ஒவ்வொன்றையும் அளவுகளோடு குறிக்கப்படுவதால் அதைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்படும் கட்டமைப்புகள் சரியான விகிதத்தில் இருக்கும். இது கணினி மற்றும் தொலைபேசி ஆகியவற்றில் பயன்படுகின்றன. சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம். மனிதனுடைய காதுகளின் ஒலி உணரும் திறன் கணக்கிடுவது கடினமான ஒன்றாக இருப்பதால் (1 முதல் 1000 மில்லியன்) ஒலியின் அளவுகளைக் கணக்கிட மடக்கைப் பயன்படுகிறது. தொலைபேசியைக் கண்டுபிடித்த அலெக்சாண்டர் கிரகாம் பெல் (Alexander Graham Bell)–ன் நினைவாகக் காது கேட்கும் திறனுக்கு டெசிபெல் என்ற அலகு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இன்றைய உலக மக்கள் தொகையை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் பெருக்க விகிதத்தைப் படிக்குறிச் சார்புக்குத் தொடர்புபடுத்தித் தோராயமாகக் காணலாம். கதிரியக்கக் கார்பன்-14 என்ற தனிமம் அடுக்குச் சார்பு சூத்திரத்தின்படி சிதைவடைகிறது.

பயிற்சி 2.13#

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

1. \(|x + 2| \le 9\) எனில், x அமையும் இடைவெளி (1) \((- \infty, -7)\) (2) \([-11, 7]\) (3) \((- \infty, -7) \cup [11, \infty)\) (4) \((-11, 7)\)

2. x, y மற்றும் b ஆகியவை மெய்வெண்கள் மற்றும் \(x < y\), \(b > 0\) எனில், (1) \(xb < yb\) (2) \(xb > yb\) (3) \(xb \le yb\) (4) \(\frac{x}{b} \ge \frac{y}{b}\)

3. \(x - 2 \ge 0\) எனில், x அமையும் இடைவெளி (1) \([2, \infty)\) (2) \((2, \infty)\) (3) \((-\infty, 2)\) (4) \((-2, \infty)\)

4. \(5x - 1 < 24\) மற்றும் \(5x + 1 > -24\) என்ற அசமன்பாடுகளின் தீர்வு (1) \((4, 5)\) (2) \((-5, -4)\) (3) \((-5, 5)\) (4) \((-5, 4)\)

5. \(|x - 1| \ge |x - 3|\) என்ற அசமன்பாட்டின் தீர்வுக் கணம் (1) \([0, 2]\) (2) \([2, \infty)\) (3) \((0, 2)\) (4) \((-\infty, 2)\)

6. \(\log_{\sqrt{2}} 512\)-ன் மதிப்பு (1) 16 (2) 18 (3) 9 (4) 12

7. \(\log_{\frac{1}{3}} 81\) -ன் மதிப்பு (1) -2 (2) -8 (3) -4 (4) -9

8. \(\log_{\sqrt{x}} 0.25 = 4\) எனில், x-ன் மதிப்பு (1) 0.5 (2) 2.5 (3) 1.5 (4) 1.25

9. \(\log_a b \times \log_b c \times \log_c a\) -ன் மதிப்பு (1) 2 (2) 1 (3) 3 (4) 4

10. 343-ன் மடக்கை 3 எனில், அதன் அடிமானம் (1) 5 (2) 7 (3) 6 (4) 9

11. \(2x^2 + (a - 3)x + 3a - 5 = 0\) என்ற சமன்பாட்டில் மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கல் பலன் ஆகியவை சமம் எனில், a-ன் மதிப்பு (1) 1 (2) 2 (3) 0 (4) 4

12. \(x^2 - kx + 16 = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் a மற்றும் b ஆகியவை \(a^2 + b^2 = 32\)-ஐ நிறைவு செய்யும் எனில், k-ன் மதிப்பு (1) \( \pm 8\) (2) 8 (3) -8 (4) \( \pm 10\)

13. \(x^2 + |x - 1| = 1\)-ன் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை (1) 1 (2) 0 (3) 2 (4) 3

14. \(3x^2 - 5x - 7 = 0\)-ன் மூலங்களுக்கு எண்ணளவில் சமமாகவும், எதிர் குறியீடுகளையும் உடைய மூலங்களாகக் கொண்ட சமன்பாடு (1) \(3x^2 - 5x - 7 = 0\) (2) \(3x^2 + 5x - 7 = 0\) (3) \(3x^2 - 5x + 7 = 0\) (4) \(3x^2 + x - 7 = 0\)

15. \(x^2 + ax + c = 0\)-ன் மூலங்கள் 8 மற்றும் 2 ஆகும். மேலும், \(x^2 + dx + b = 0\)-ன் மூலங்கள் 3, 3 எனில், \(x^2 + ax + b = 0\)-ன் மூலங்கள் (1) 1, 2 (2) -1, 1 (3) 9, 1 (4) -1, 2

16. \(x^2 - kx + c = 0\)-ன் மெய் மூலங்கள் a, b எனில், (a, 0) மற்றும் (b, 0)-க்கு இடைப்பட்ட தூரம் (1) \(\sqrt{k^2 - 4c}\) (2) \(\sqrt{4k^2 - c}\) (3) \(\sqrt{4c - k^2}\) (4) \(\sqrt{k - 8c}\)

17. \(k(x + 2)(x - 1) = x^2 + 1\) எனில், k-ன் மதிப்பு

18. \(\frac{1 - 2x}{3 + 2x - x^2} = \frac{A}{3 - x} + \frac{B}{x + 1}\) எனில், \(A + B\) -ன் மதிப்பு (1) \(\frac{-1}{2}\) (2) \(\frac{-2}{3}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{2}{3}\)

19. \((x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 16\) -ன் மெய் மூலங்களின் எண்ணிக்கை (1) 4 (2) 2 (3) 3 (4) 0

20. \(\log_3 11 \times \log_{11} 13 \times \log_{13} 15 \times \log_{15} 27 \times \log_{27} 81\) -ன் மதிப்பு (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4

பாடத்தொகுப்பு (Summary)#

• \(\pi\) மற்றும் \(\sqrt{p}\) (p ஒரு பகா எண்) ஆகியவை விகிதமுறா எண்கள்.
• \(|x - a| = r \Leftrightarrow r \ge 0\) மற்றும் \(x - a = \pm r\).
• \(|x - a| \le r \Leftrightarrow -r \le x - a \le r\) அல்லது \(a - r \le x \le a + r\).
• \(|x - a| > r \Rightarrow x < a - r\) அல்லது \(x > a + r\) அதாவது \(x \in (-\infty, a - r) \cup (a + r, \infty)\)
• பொதுவாக அசமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட தீர்வுகளை உடையது.
• தன்மைகாட்டி \(D = b^2 - 4ac\) ஆனது \(ax^2 + bx + c = 0\) -ன் மூலங்களின் தன்மைகளைக் காட்டுகிறது.
• a என்ற மெய்யெண் \(f(x)\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூஜ்ஜியமாக இருக்க, தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \((x - a)\) என்பது பல்லுறுப்புக் கோவை \(f(x)\) −ன் காரணியாக இருக்க வேண்டும்.
• \(f(x)\) –ன் படி \(g(x)\) –ன் படியை விடக் குறைவு எனில், \(\frac{f(x)}{g(x)}\) –ஐ அதன் பகுதி பின்னங்களின் கூடுதலாக எழுத இயலும்.
• பொதுவாக படிக்குறிச் சார்புகளும் மடக்கைச் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு ஒன்று நேர்மாறு சார்புகளாகும்.

இணையச் செயல்பாடு – 2 (அ)#

படி-1 கீழே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் உரலியைத் தேடுபொறியில் தட்டச்சு செய்க அல்லது விரைவுக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தவும்.

படி-2 ஜியோஜீப்ராவில் “Hill and Flower Puzzle” என்ற புதிர் பயிற்சித்தாள் தோன்றும். புதிரைப் பற்றி: (அ) உன்னுடைய கைகளில் சில பூக்கள் உள்ளன. நீங்கள் மலையில் ஏறிவிட்டால் கையில் உள்ள பூக்கள் இரு மடங்காகும். அதே சமயம் மேலிருந்து கீழே வந்தாலும் பூக்கள் இரு மடங்காகும். (ஆ) நீ மலை உச்சியை அடையும் ஒவ்வொரு முறையும் அங்கே உள்ள கடவுள் சிலைக்கு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் பூக்களை வைக்க வேண்டும். (இ) மூன்று மலைகளிலும் ஏறி அங்கே உள்ள கடவுள் சிலைகளுக்கு சம எண்ணிக்கையிலான பூக்களை வைக்க வேண்டும். இறுதியாக மூன்றாவது மலை உச்சியை அடையும் போது அங்கே உள்ள சிலைக்கு உன் கையில் உள்ள எல்லாப் பூக்களையும் கொடுத்திருக்க வேண்டும். அதாவது எல்லாச் சிலைகளும் சமமான பூக்களையும் பெற்றிருக்க வேண்டும்.

படி-3 உங்கள் கையில் உள்ள பூக்களின் எண்ணிக்கையை X மதிப்பாக நினைத்துக் கொள்ளவும். கடவுள் சிலைக்கு கொடுக்கப்பட்ட பூக்களின் எண்ணிக்கையை Y மதிப்பாக நினைத்துக் கொள்ளவும். அந்தப் பக்கத்தில் உள்ள நடுவுக்கோட்டை நகர்த்தவும். புதிருக்கான விடையைக் காண ஊகத்தை அடிப்படையாகக் கொள்ளாமல் ஏதேனும் வழிமுறையைக் கண்டறியவும்.

படி-4 இப்போது இயற்கணிதத்தின் பயன்பாட்டை அறிந்து கொள்ளும் நேரம். இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தும் வழிமுறையை ஆராய வேண்டும் அல்லது ‘SHOW CALCULATION’ பெட்டியைச் சொடுக்கினால் இயற்கணித பயன்பாடு விவரங்கள் தோன்றும். இயற்கணிதத்தின் கணக்கீட்டுமுறை ஒவ்வொரு நிலையிலும் தோன்றும். இப்போது சமன்பாட்டை அறிந்து கொண்டு அதன் மூலம் புதிரைத் தீர்க்க முடியும்.

குறிப்பு: இதன் விடை ஒரு விகிதமாகும்.

• படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டுமே. செயல்பாட்டிற்கான உரலி : https://ggbm.at/KmrE5vHs

இணையச் செயல்பாடு - 2 (ஆ)#

படி-1 கீழே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் உரலியைத் தேடுபொறியில் தட்டச்சு செய்க அல்லது விரைவுக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துக. “HIGH SCHOOL ALGEBRA” என்ற GeoGebra பணிப்புத்தகம் தோன்றும். அங்கே இயற்கணிதம் தொடர்பான பல்வேறு பயிற்சித்தாள்கள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதைக் காணலாம். அதில் உனக்குத் தேவையான ஒரு பயிற்சியைத் தேர்ந்தெடுத்து எடுத்துக்காட்டாக ‘Quadratic Equation’ என்ற பயிற்சித்தாளைத் தேர்வு செய்து அதைத் திறக்கவும். அதில் a, b, c-க்கு –20-யிலிருந்து 20-க்குள் ஏதேனும் மதிப்புகளைப் பெட்டியில் தட்டச்சு செய்க. இருபடிச் சமன்பாட்டை, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காண்க. (இங்கு வரைவரை வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதைக் கவனிக்க)

படி-2 இப்பொழுது விடைக்கான பெட்டிகளை ஒவ்வொன்றாக சொடுக்கி விடையைச் சரிபார்க்கவும். இறுதியாக வலப் பக்கத்தில் உள்ள “Show Graph” பெட்டியைச் சொடுக்கினால் சமன்பாட்டிற்கான வரைபடத்தைக் காணலாம். விடையை வரைபடத்துடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கவும். (வரைபடம் x - அச்சினை வெட்டும் புள்ளியே விடையாகும்.)

• படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டுமே. செயல்பாட்டிற்கான உரலி : https://ggbm.at/N4kX9QJq