combinatorics and mathematical induction

    5. ஈருறுப்புத் தேற்றம், தொடர்முறைகள் மற்றும் தொடர்கள்#

    “வாழ்க்கை புதிய மற்றும் ஒளிமிக்க ஆகை களுடன் கூடிய நிலையான நீருற்றுப் போல என்முன்னே நிற்கின்றது”

    • ஜோஹான் கார்ஸ் பிரடெரிக் காஸ்.

    5.1 அறிமுகம் (Introduction)#

    \((a + b)\) என்ற ஈருறுப்பின் எல்லா மிகை முழு எண் \(n\)-ன் அடுக்கிற்கும் விரிவாக்கம் காண ஈருறுப்புத் தேற்றம் வழி செய்கிறது. ஈருறுப்புத் தேற்றம் கணிதத்தின் எல்லாப் பிரிவுகளிலும் மற்றும் அறிவியல் பிரிவுகளிலும் பயன்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, \((2x - 7)^{23}\)-ன் விரிவில் \(x^{20}\)-ன் கெழுவை ஈருறுப்புத் தேற்றம் மூலம் எளிதாகக் காண இயலும். ஒருவர் தேசியமயமாக்கப்பட்ட ஒரு வங்கியில் ஒரு குறிப்பிட்ட தொகையை 8% கூட்டு வட்டி விகிதத்தில் வைப்பு நிதியாகச் செலுத்தினால் 10 ஆண்டுகளுக்குப் பின்னர் அவருக்கு எவ்வளவு முதிர்வுத் தொகை கிடைக்கும் எனக் காணவும், நம் நாட்டின் தற்போதைய மக்கள் தொகையும், மக்கள் தொகை வளர்ச்சி விகிதமும் தெரியுமானால் 15 ஆண்டுகளுக்குப் பின் நம் நாட்டின் மக்கள் தொகையைக் கணக்கிடவும் ஈருறுப்புத் தேற்றம் உதவுகிறது. \((a + b)^n, n \in \mathbb{N}\)-ன் விரிவில் உள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்கள் ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் எனப்படும். ஒரு சம வாய்ப்புச் சோதனையின் கூறுவளி முடிவுள்ளதாகவும் அதன் ஒவ்வொரு நிகழ்வும் வெற்றி அல்லது தோல்வி என்றிருக்குமாயின், அந்தச் சமவாய்ப்புச் சோதனையின் ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு காண்பதில் ஈருறுப்புத் தேற்றம் முக்கிய பங்காற்றுகிறது. இப்பகுதியில் ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளையும் காண்போம்.

    கிரேக்க கணித மேதை யூக்ளிட் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் அடுக்கு 2-க்கான ஒரு சிறப்பு நிறையினைக் குறிப்பிடுகிறார். அடுக்கு 3-க்கான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தினை 6 ஆவது நூற்றாண்டில் இந்தியர்கள் அறிந்திருந்தனர். 1544 ஆம் ஆண்டில் மைக்கேல் ஸ்டீஃபெல் என்ற ஜெர்மன் கணித மேதை ஈருறுப்புக் கெழுக்களை அறிமுகம் செய்து \((1 + x)^n\) ஐ \((1 + x)^{n-1}\) மூலமாக கூறினார்.

    ஜோஹான் கார்ல் பிரடெரிக் காஸ் வரலாற்றில் மிகவும் புகழ்பெற்ற கணித மேதையாவார். பலர் இவரை, “கணிதத்தின் இளவரசர்” எனக் குறிப்பிடுவர். எண்கணிதம், இயற்பியல், வானியல் என்ற பல பகுதிகளில் இவருடைய பங்களிப்பு இருந்தபோதிலும், அவருக்குப் பிடித்தமான பகுதி எண்கணிதம் ஆகும். மற்றும் இவர் எண்கணிதத்தை “கணிதத்தின் இளவரசி” என்று குறிப்பிடுகிறார். இவரைப் பற்றிய ஒரு துணுக்குச் செய்தியில், இவரது பள்ளி ஆசிரியர் மாணவர்களைச் சோதிக்க வேண்டி, 1 முதல் 100 வரை உள்ள எண்களைக் கூட்டி மதிப்பு காணும்படி கூறினார். அவர் கூறிய சில விநாடிகளில் காஸ் 5050 என விடை காண்பித்தார். சிறுவனான காஸ் அந்த தொடர்முறையின் கூடுதல் காண எந்த முறையைப் பயன்படுத்தினார் என்பது யாருக்கும் சரியாகத் தெரியாது.

    ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு மேல், புராணக்கதைகளில் தொடர் முறை மற்றும் தொடர்களைக் கொண்ட கணித புதிர்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றில் தொடரைப் பற்றிய ஒரு புகழ்வாய்ந்த புராணக்கதை சதுரங்கம் கண்டுபிடித்ததாகும். இங்கு சதுரங்கப் பலகையில் உள்ள ஒவ்வொரு கட்டமும், 1, 2, 4, 8, … என்ற எண்களுடன் தொடர்புடையதாகும். (64 ஆவது கட்டத்திற்குத் தொடர்புடைய எண்ணை கற்பனை செய்க). கூட்டுத் தொடர் மற்றும் பெருக்குத் தொடர்களின் பல பயன்பாடுகள் நம் வாழ்க்கைக்குப் பயன்படுவதாக உள்ளன.

    முன் வகுப்புகளில் தொடர் முறைகள் மற்றும் தொடர்கள் பற்றி படித்துள்ளோம். தொடர்முறை என்பது தோராயமாக எண்களை ஒரு குறிப்பிட்ட முறையில் வரிசைப்படுத்துதல் என்றும் அந்தத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளின் கூடுதல் தொடர் என்றும் அழைக்கப்படும். \(\sin \frac{9}{44}\pi\), \(\log 43\) மற்றும் \(e^{20}\) போன்றவற்றின் மதிப்புகளை தேவையான அளவுக்குத் தோராயமாக காண முடிவிலித் தொடர்கள் பயன்படுகின்றன. தொடர் முறைகள், வகைக்கெழு சமன்பாடுகள் மற்றும் பகுப்பாய்விலும் (analysis) பயன்படுகின்றன. இப்போது தொடர்முறைகள் மற்றும் தொடர்கள் பற்றி விரிவாகக் காண்போம்.

    கற்றல் நோக்கங்கள்#

    இப் பாடப்பகுதி நிறைவுறும் போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டிய பாடக் கருத்துகள்

    ● ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் கருத்து, ஈருறுப்பு கெழுக்களை கணக்கிடல் மற்றும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பயன்பாடுகள்;

    ● தொடர் முறையும் தொடர்களும் பற்றிய கருத்துகள்;

    ● கூட்டு, பெருக்கு மற்றும் இசைச் சராசரி கணக்கிடல்;

    ● மெய்யெண்களில் முடிவுறு மற்றும் முடிவுறா தொடர்களின் கூடுதல் காணல்;

    ● தொடர்களின் கூடுதல் காண தொலைநோக்கி கூட்டலை பயன்படுத்தும் முறை;

    ● ஈருறுப்புத் தொடர், அடுக்குக்குறித் தொடர் மற்றும் மடக்கைத் தொடர்களைப் பயன்படுத்தும் விதம், ஆகியவை.

    5.2 ஈருறுப்புத் தேற்றம் (Binomial Theorem)#

    இரு சக்கர வாகனம், இரு கண் நோக்கி, இரண்டடிமானம் என்பவற்றைப் போன்று இரண்டு உறுப்புகளைக் கொண்ட கோவைகள் ஈருறுப்புக் கோவை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, \((1 + x)\), \((x + y)\), \((x^2 + xy)\) மற்றும் \((2a + 3b)\) என்பன ஈருறுப்புக் கோவைகளுக்கு சில எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

    5.2.1 ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் (Binomial Coefficients)#

    பாடப்பகுதி 4-இல், \(^nC_r\) என்ற குறியீடும் அதன் பயன்பாடும் பற்றி கற்றுள்ளோம் மேலும் அதன் வரையறை \(^nC_r = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-(r-1))}{(n-r)!r!}\) என்பது பற்றியும் நாம் அறிந்துள்ளோம். \(^nC_r\) என்பது, \((1+x)^n, n\in \mathbb{N}\) இல் \(x^r\)-ன் கெழுவாகவும் மற்றும் \((a+b)^n\) இல் \(a^r b^{n-r}\)-ன் கெழுவாகவும் இருப்பதால், இவை ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் (Binomial Coefficients) எனப்படும். \(^nC_r\)-ன் மதிப்புகளை சூத்திரங்களை பயன்படுத்திக் காண இயலும் என்றாலும் அதைவிட எளிமையான முறையிலும் காணலாம்.

    பாஸ்கல் முக்கோணம்#

    பாஸ்கல் முக்கோணம் என்பது \(^nC_r\)-ன் மதிப்புகளை முக்கோண வடிவில் எழுதுதல் ஆகும். இங்கு \(k\)-ஆவது வரிசையானது \(^kC_0, ^kC_1, ^kC_2, ^kC_3, \dots, ^kC_k\) ஆகிய மதிப்புகளை உறுப்புகளாகப் பெற்றிருக்கும்.

    $$ \begin{array}{c} ^0C_0 \\ ^1C_0 \quad ^1C_1 \\ ^2C_0 \quad ^2C_1 \quad ^2C_2 \\ ^3C_0 \quad ^3C_1 \quad ^3C_2 \quad ^3C_3 \\ ^4C_0 \quad ^4C_1 \quad ^4C_2 \quad ^4C_3 \quad ^4C_4 \end{array} $$$$ \begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ & & & & & \dots & & & & & \end{array} $$

    \((a+b)^0, (a+b)^1, (a+b)^2, (a+b)^3\) என்ற முற்றொருமைகளை நினைவுபடுத்தி அவற்றின் உறுப்புகளின் கெழுக்களை கவனிப்போம். அந்தக் கெழுக்களின் அமைப்பில் ஒரு அமைப்பு முறை உள்ளதைக் காணலாம்.

    \[ (a+b)^0 = 1 \]\[ (a+b)^1 = a + b \quad \quad 1 \quad 1 \]\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad \quad 1 \quad 2 \quad 1 \]\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \quad \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \]

    பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை உற்று நோக்கும்போது, ஒவ்வொரு வரிசையின் ஆரம்பமும், முடிவும் 1 ஆகவும் மற்றவை முன் வரிசையில் அதற்கு மேல் உள்ள இரு உறுப்புகளை கூட்ட கிடைப்பதாகவும் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ‘3’ என்பது அதற்கு முன் வரிசையில் உள்ள 1 மற்றும் 2-ன் கூடுதல் ஆகும். 10 என்பது அதற்குமுன் வரிசையில் 10-க்கு நேர்மேலே உள்ள இரு எண்கள் 4 மற்றும் 6-ன் கூடுதலாகும்.

    \[ (a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + \dots + ^nC_r a^{n-r} b^r + \dots + ^nC_n a^0 b^n \]

    என்பது \((a+b)^n\)-ன் ஈருறுப்பு விரிவாகும். இதனை பின்னர் நிரூபிப்போம் \(n\)-ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், \((a+b)^n\)-ன் ஈருறுப்பு விரிவை பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் ஐந்தாவது வரிசையை பயன்படுத்தி \((a+b)^4\)-ன் விரிவையும், ஆறாவது வரிசையைப் பயன்படுத்தி \((a+b)^5\)-ன் விரிவையும் எழுதலாம்.

    \((a+b)^5\)-ன் விரிவில், கெழுக்கள் இல்லாமல் உறுப்புகள் \(a^5, a^4b, a^3b^2, a^2b^3, ab^4, b^5\) என்ற வடிவில் அமையும்.

    பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் 6 ஆவது வரிசை, 1 5 10 10 5 1 என்பதாகும்.

    இவை இரண்டையும் பயன்படுத்தி,

    \[ (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \]

    என எழுதலாம்.

    பெருக்கல், வகுத்தல் இல்லாமல் கூட்டலை மட்டுமே பயன்படுத்தி பாஸ்கல் முக்கோணம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, \((a+b)^n, n\in \mathbb{N}\) என்ற ஈருறுப்பு விரிவினை எந்த வித பெருக்கலும் இல்லாமல் எழுத இயலும்.

    மேற்கண்ட முக்கோண வடிவம், 17ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த பிரஞ்ச் கணித மேதை பிளேஸ் பாஸ்கலின் கண்டுபிடிப்பாகும். இவர், இந்த அமைப்பின் கணித பண்புகளை கண்டறிந்து சரியான முறையில் நிகழ்தகவியில் பயன்படுத்தியவர்.

    5.2.2 மிகை முழு எண் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம் (Binomial Theorem for Positive Integral Index)#

    இப்போது, மிகை முழு வாய்ப்பாடுகளில் ஒன்றான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைக் காண்போம்.

    தேற்றம் 5.1 மிகை முழு எண் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம் (Binomial Theorem for Positive Integral Index)#

    ஏதேனும் ஒரு இயல் எண் \(n\)-க்கு,

    \[ (a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + \dots + ^nC_r a^{n-r} b^r + \dots + ^nC_n a^0 b^n. \]

    நிரூபணம்: கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் இந்தத் தேற்றத்தை நிரூபிக்கலாம். ஏதேனும் ஒரு மிகை முழு எண் \(n\)-க்கு, \(P(n)\) என்பது

    \[ (a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + \dots + ^nC_r a^{n-r} b^r + \dots + ^nC_n a^0 b^n \]

    என்க. \(^1C_0 = 1\) மற்றும் \(^1C_1 = 1\), எனவே, \(P(1)\)-ன் வலப்பக்கம் \(a^1 b^0 + a^0 b^1\) ஆகும். இது இடப்பக்கம் உள்ள \((a+b)^1\)-க்குச் சமம். இதனால் \(P(1)\) மெய் ஆகும்.

    ஏதேனும் ஒரு மிகை முழு எண் \(k\)-க்கு \(P(k)\) மெய் எனக் கொள்வோம். அதாவது,

    \[ (a+b)^k = ^kC_0 a^k b^0 + ^kC_1 a^{k-1} b^1 + \dots + ^kC_r a^{k-r} b^r + \dots + ^kC_k a^0 b^k \]\[ (a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^k \]\[ = (a+b)[^kC_0 a^k b^0 + ^kC_1 a^{k-1} b^1 + \dots + ^kC_r a^{k-r} b^r + \dots + ^kC_k a^0 b^k] \]\[ = [^kC_0 a^{k+1} b^0 + ^kC_1 a^{k} b^1 + \dots + ^kC_r a^{k-r+1} b^r + \dots + ^kC_k a^1 b^k] \]

    [

    • [^kC_0 a^k b^1 + ^kC_1 a^{k-1} b^2 + \dots + ^kC_r a^{k-r} b^{r+1} + \dots + ^kC_k a^0 b^{k+1}] ]
    \[ = ^kC_0 a^{k+1} b^0 + [^kC_1 + ^kC_0] a^k b^1 + \dots + [^kC_r + ^kC_{r-1}] a^{k-r+1} b^r \]

    [

    • \dots + [^kC_k + ^kC_{k-1}] a^1 b^k + ^kC_k a^0 b^{k+1} ]

    \(^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r\) என்னும் சேர்வுகளின் பண்பின்படி,

    \[ = ^{k+1}C_0 a^{k+1} b^0 + ^{k+1}C_1 a^{k} b^1 + ^{k+1}C_2 a^{k-1} b^2 + \dots \]

    [

    • ^{k+1}C_r a^{k-r+1} b^r + \dots + ^{k+1}C_k a^1 b^k + ^{k+1}C_{k+1} a^0 b^{k+1} ]
    \[ (a+b)^{k+1} = ^{k+1}C_0 a^{(k+1)} b^0 + ^{k+1}C_1 a^{(k+1)-1} b^1 + ^{k+1}C_2 a^{(k+1)-2} b^2 + \dots \]

    [

    • ^{k+1}C_r a^{(k+1)-r} b^r + \dots + ^{k+1}C_k a^1 b^{(k+1)-1} + ^{k+1}C_{k+1} a^0 b^{k+1} ]

    எனவே, \(P(k)\) மெய் எனில் \(P(k+1)\) மெய் ஆகும். இதனால் கணித தொகுத்தறிதல் முறைப்படி எல்லா இயல் எண் \(n\)-க்கும் \(P(n)\) மெய் என நிரூபணமாகிறது.

    \[ \text{எனவே, } (a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + \dots + ^nC_r a^{n-r} b^r + \dots + ^nC_n a^0 b^n, \quad n \in \mathbb{N} \]

    குறிப்பு:

    (i) \((a+b)^n, n\in \mathbb{N}\) என்பதன் விரிவாக்கத்தினை, \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \; ^nC_k a^{n-k} b^k\) அல்லது \(\sum_{k=0}^{n} \; ^nC_k a^k b^{n-k}\) எனவும் எழுதலாம்.

    (ii) \(n\) ஓர் இயல் எண் எனில், \((a+b)^n\) என்ற ஈருறுப்பு விரிவில் \((n+1)\) உறுப்புகள் இருக்கும்.

    (iii) \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \; ^nC_k a^{n-k} b^k\) இல் ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் \(a\)-ன் அடுக்கானது ஒன்று குறைகிறது. ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் \(b\)-ன் அடுக்கானது ஒன்று அதிகரிக்கிறது. இருந்தபோதிலும், ஒவ்வொரு உறுப்பிலும், \(a\) மற்றும் \(b\)-ன் அடுக்குகளின் கூடுதல் எப்பொழுதும் \(n\) ஆக இருக்கிறது.

    (iv) \(n\) ஒரு இயல் எண் எனில், \((a+b)^n\) என்பதன் விரிவில் \((r+1)\) ஆவது உறுப்பு \(T_{r+1} = \; ^nC_r a^{n-r} b^r\), \(r = 0,1,2,\dots, n\) ஆகும்.

    (v) \((a+b)(a+b)\dots(a+b)\) என்ற \(n\) காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையில் \(b^r\) ஐப் பெற, இந்த \(n\) காரணிகளில் \(r\) காரணிகள் தேவை. இவற்றை \(^nC_r\) வழிகளில் நாம் பெறலாம். அதனால்தான், \(^nC_r\) என்பது \(a^{n-r} b^r\)-ன் கெழுவாக நமக்குக் கிடைக்கிறது.

    (vi) \((a+b)^n, n\in \mathbb{N}\) என்பதன் விரிவில் தொடக்கம் மற்றும் முடிவிலிருந்து சமதொலைவில் உள்ள கெழுக்கள் சமம். ஏனெனில், \(^nC_r = \; ^nC_{n-r}\)

    (vii) \((a+b)^n, n\in \mathbb{N}\) என்பதன் விரிவில் \(n\) ஒரு இரட்டைப்படை எண் எனில், கெழுவின் அதிகபட்ச மதிப்பு \(^nC_{\frac{n}{2}}\) ஆகும். \(n\) ஒரு ஒற்றைப்படை எண் எனில், கெழுவின் அதிகபட்ச மதிப்பு \(^nC_{\frac{n-1}{2}}\) அல்லது \(^nC_{\frac{n+1}{2}}\) ஆக இருக்கும்.

    (viii) \((a+b)^n, n\in \mathbb{N}\) என்பதன் விரிவில் \(n\) ஒரு இரட்டைப்படை எண் எனில், மைய உறுப்பு \(T_{\frac{n}{2}+1} = \; ^nC_{\frac{n}{2}} a^{\frac{n}{2}} b^{\frac{n}{2}}\) ஆகும். \(n\) ஒற்றைப்படை எண் எனில், \(T_{\frac{n-1}{2}+1}\) மற்றும் \(T_{\frac{n+1}{2}+1}\) என்பன இரு மைய உறுப்புகள் ஆகும்.

    5.3 ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் குறிப்பிட்ட வகைகள் (Particular Cases of Binomial Theorem)#

    (i) \(n\in \mathbb{N}\) எனில் \((a+b)^n\)-ன் விரிவில் \(b\)-க்கு பதில் \((-b)\) ஐப் பிரதியிட,

    \[ (a-b)^n = ^nC_0 a^n b^0 - ^nC_1 a^{n-1} b^1 + ^nC_2 a^{n-2} b^2 - \dots + (-1)^r \cdot ^nC_r a^{n-r} b^r + \dots + (-1)^n \cdot ^nC_n a^0 b^n \]

    இங்கு ‘+’ மற்றும் ‘-’ குறியீடுகள் அடுத்தடுத்து வருவதைக் கவனிக்கவும்.

    (ii) \(n\in \mathbb{N}\) எனில் \((a+b)^n\)-ன் ஈருறுப்பு விரிவில் \(a = 1\) மற்றும் \(b = x\) எனப் பிரதியிட,

    \[ (1+x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_r x^r + \dots + ^nC_n x^n \]

    எனக் கிடைக்கும். குறிப்பாக, \(x = 1\) எனில்,

    \[ ^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_n = 2^n \]

    குறிப்பு: \(X\) என்பது \(n\) உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கணம் எனில், \(r\) உறுப்புகளைக் கொண்ட \(X\)-ன் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை \(^nC_r\) ஆகும். \(r = 0,1,2,\dots,n\) என \(^nC_r\) இல் பிரதியிட, \(X\)-ன் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை கிடைக்கும். எனவே, மேற்குறிப்பிட்ட முற்றொருமையைக் கொண்டு \(n\) உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணமானது \(2^n\) உட்கணங்களைப் பெற்றிருக்கும் என்பதை அறியலாம்.

    (iii) \((1-x)^n = ^nC_0 - ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 - \dots + (-1)^r \; ^nC_r x^r + \dots + (-1)^n x^n\)

    குறிப்பாக, \(x = 1\) எனும்பொழுது,

    \[ ^nC_0 + ^nC_2 + ^nC_4 + \dots = ^nC_1 + ^nC_3 + ^nC_5 + \dots = 2^{n-1}. \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.1#

    \((2x + 3)^5\)-ன் விரிவாக்கம் காண்க.

    தீர்வு:

    \((a+b)^n\) என்ற ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவில் \(a = 2x, b = 3\) மற்றும் \(n = 5\) எனப் பிரதியிட,

    \[ \begin{aligned} (2x + 3)^5 &= (2x)^5 + 5(2x)^4(3) + 10(2x)^3(3)^2 + 10(2x)^2(3)^3 + 5(2x)(3)^4 + (3)^5 \\ &= 32x^5 + 240x^4 + 720x^3 + 1080x^2 + 810x + 243. \end{aligned} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.2#

    \(98^4\)-ன் மதிப்பினைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \((a-b)^n\)-ன் ஈருறுப்பு விரிவில் \(a = 100, b = 2\) மற்றும் \(n = 4\) எனப் பிரதியிட,

    \[ \begin{aligned} 98^4 &= (100 - 2)^4 \\ &= ^4C_0 100^4 - ^4C_1 100^3 \cdot 2 + ^4C_2 100^2 \cdot 2^2 - ^4C_3 100^1 \cdot 2^3 + ^4C_4 100^0 \cdot 2^4 \\ &= 100000000 - 8000000 + 240000 - 3200 + 16 \\ &= 92236816. \end{aligned} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.3#

    \((x + y)^6\)-ன் விரிவில் மைய உறுப்பினைக் காண்க.

    தீர்வு:

    இங்கு \(n = 6\) இது இரட்டைப்படை எண். எனவே, \((x + y)^6\)-ன் விரிவில் மைய உறுப்பு \(x^6 y^6\) ஐக் கொண்ட உறுப்பு. அதாவது, \(x^3 y^3\) ஐ கொண்ட உறுப்பு. எனவே அந்த மைய உறுப்பு \(^6C_3 x^3 y^3 = 20x^3 y^3\) ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.4#

    \((x + y)^7\)-ன் விரிவில் மைய உறுப்புகளைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \(n = 7\) என்பது ஒற்றைப்படை எண். எனவே, இரண்டு மைய உறுப்புகள், அதாவது \(x^4 y^3\) மற்றும் \(x^3 y^4\)-ஐ கொண்டவையாக இருக்கும். அவை, \(^7C_3 x^4 y^3\) மற்றும் \(^7C_4 x^3 y^4\) ஆகும். எனவே மைய உறுப்புகள் \(35x^4 y^3\) மற்றும் \(35x^3 y^4\) ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.5#

    \((3 + 2x)^{10}\)-ன் விரிவில் \(x^6\)-ன் கெழுவைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \((a+b)^{10}\)-ன் ஈருறுப்பு விரிவில் \(a = 3\) மற்றும் \(b = 2x\) எனக் கொள்க. \(x^6\) என்பது \((2x)^6\) எனக் கொண்டுள்ள உறுப்பில் மட்டுமே காணப்படும். \(x^6\) ஐக் கொண்ட உறுப்பு,

    \[ ^{10}C_6 a^4 b^6 = ^{10}C_4 a^4 b^6 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} 3^4 (2x)^6 = 210 \times 3^4 \times 2^6 x^6 \quad [\because ^{10}C_6 = ^{10}C_4] \]

    \((3 + 2x)^{10}\) என்பதன் விரிவில் \(x^6\)-ன் கெழு \(210 \times 3^4 \times 2^6\) ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.6#

    \((2 - 3x)^7\)-ன் விரிவில் \(x^3\)-ன் கெழுவினைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \((a+b)^7\)-ன் ஈருறுப்பு விரிவில் \(a = 2\) மற்றும் \(b = -3x\) எனக் கொள்க. \(x^3\) ஆனது, \((-3x)^3\) எனக் கொண்டுள்ள உறுப்பில் மட்டுமே காணப்படும். \(x^3\) ஐக் கொண்ட உறுப்பு

    \[ ^7C_3 a^4 b^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} 2^4 (-3x)^3 = 35 \times 2^4 \times (-3)^3 x^3. \]

    எனவே, \((2 - 3x)^7\)-ன் விரிவில் \(x^3\)-ன் கெழு \(35 \times 16 \times (-27) = -15120\) ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.7#

    \((x + a)^n\)-ன் விரிவாக்கத்தில், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது உறுப்புகள் முறையே 240, 720 மற்றும் 1080 எனில் \(x, a\) மற்றும் \(n\)-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

    தீர்வு:

    இங்கு \(T_2 = 240, T_3 = 720\) மற்றும் \(T_4 = 1080\)

    \[ T_2 = ^nC_1 x^{n-1} a = 240 \quad \cdots \cdots (1) \]\[ T_3 = ^nC_2 x^{n-2} a^2 = 720 \quad \cdots \cdots (2) \]\[ T_4 = ^nC_3 x^{n-3} a^3 = 1080 \quad \cdots \cdots (3) \]

    சமன்பாடு (2) ஐ (1) ஆல் மற்றும் (3) ஐ (2) ஆல் வகுக்க, நமக்கு கிடைப்பது,

    \[ \frac{a}{x} = \frac{6}{n-1} \quad \cdots \cdots (4) \]\[ \frac{a}{x} = \frac{9}{2(n-2)} \quad \cdots \cdots (5) \]

    சமன்பாடுகள் (4) மற்றும் (5) இவற்றிலிருந்து, \(\frac{6}{n-1} = \frac{9}{2(n-2)}\)

    எனவே, \(n = 5\) ஆகும். \(n = 5\) ஐ (1) மற்றும் (4) இல் பிரதியிட, சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (4) ஆல் வகுக்க, \(5x^4 a = 240\) என கிடைக்கும். எனவே, \(5x^5 = 160\). மற்றும் இதன் மூலம் \(x = 2 \times a^4\) எனவும், இதை சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட, \(a = 3\) எனவும் கிடைக்கும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.8#

    \(\left(2x - \frac{1}{2x}\right)^4\) ஐ விரிவுப்படுத்துக.

    தீர்வு:

    \[ \left(2x - \frac{1}{2x}\right)^4 = ^4C_0(2x)^4\left(-\frac{1}{2x}\right)^0 + ^4C_1(2x)^3\left(-\frac{1}{2x}\right)^1 + ^4C_2(2x)^2\left(-\frac{1}{2x}\right)^2 + ^4C_3(2x)^1\left(-\frac{1}{2x}\right)^3 + ^4C_4(2x)^0\left(-\frac{1}{2x}\right)^4 \]\[ \begin{align*} &= (2x)^4 - 4(2x)^3\left(\frac{1}{2x}\right) + 6(2x)^2\left(\frac{1}{2x}\right)^2 - 4(2x)\left(\frac{1}{2x}\right)^3 + \left(\frac{1}{2x}\right)^4 \\ &= 16x^4 - 16x^2 + 6 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{16x^4} \end{align*} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.9#

    \((x^2 + \sqrt{1-x^2})^5 + (x^2 - \sqrt{1-x^2})^5\) விரிவுபடுத்துக.

    தீர்வு:

    \[ \begin{align*} & (x^2 + \sqrt{1-x^2})^5 = ^5C_0(x^2)^5(\sqrt{1-x^2})^0 + ^5C_1(x^2)^4(\sqrt{1-x^2})^1 \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + ^5C_2(x^2)^3(\sqrt{1-x^2})^2 + ^5C_3(x^2)^2(\sqrt{1-x^2})^3 \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + ^5C_4(x^2)^1(\sqrt{1-x^2})^4 + ^5C_5(x^2)^0(\sqrt{1-x^2})^5 \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = x^{10} + 5x^8\sqrt{1-x^2} + 10x^6(1-x^2) + 10x^4(1-x^2)\sqrt{1-x^2} \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + 5x^2(1-x^2)^2 + (1-x^2)^2(\sqrt{1-x^2}) \\ & (x^2 - \sqrt{1-x^2})^5 = ^5C_0(x^2)^5(\sqrt{1-x^2})^0 - ^5C_1(x^2)^4(\sqrt{1-x^2})^1 \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + ^5C_2(x^2)^3(\sqrt{1-x^2})^2 - ^5C_3(x^2)^2(\sqrt{1-x^2})^3 \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + ^5C_4(x^2)^1(\sqrt{1-x^2})^4 - ^5C_5(x^2)^0(\sqrt{1-x^2})^5 \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = x^{10} - 5x^8\sqrt{1-x^2} + 10x^6(1-x^2) - 10x^4(1-x^2)\sqrt{1-x^2} \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + 5x^2(1-x^2)^2 - (1-x^2)^2(\sqrt{1-x^2}) \end{align*} \]

    ஆகவே,

    \[ \begin{align*} & (x^2 + \sqrt{1-x^2})^5 + (x^2 - \sqrt{1-x^2})^5 = 2[x^{10} + 10x^6(1-x^2) + 5x^2(1-x^2)^2] \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 2[x^{10} + 10x^6 - 10x^8 + 5x^2(1 - 2x^2 + x^4)] \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 2[x^{10} - 10x^8 + 15x^6 - 10x^4 + 5x^2] \end{align*} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.10#

    எல்லா மிகை முழு எண் \(n\)-க்கும் \(6^n - 5n\) ஐ 25 ஆல் வகுக்க மீதி 1 என்பதை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் மூலம் நிறுவுக.

    தீர்வு:

    இதை நிறுவ, \(6^n - 5n = 25k + 1\), \(k\) என்பது ஒரு இயல் எண், என நிறுவினால் போதுமானது. எனில், \((1 + x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_{n-1} x^{n-1} + ^nC_n x^n, n \in \mathbb{N}\)

    \(x = 5\) என எடுத்துக் கொள்ள, \((1 + 5)^n = ^nC_0 + ^nC_1 \cdot 5 + ^nC_2 \cdot 5^2 + \dots + ^nC_{n-1} \cdot 5^{n-1} + ^nC_n \cdot 5^n\) என கிடைக்கும்.

    மேலே உள்ள சமன்பாடு, \(6^n = 1 + 5n + 25(^nC_2 + ^nC_3 \cdot 5 + \dots + ^nC_n \cdot 5^{n-2})\) என மாறும்.

    அதாவது, \(6^n - 5n = 1 + 25(^nC_2 + ^nC_3 \cdot 5 + \dots + ^nC_n \cdot 5^{n-2}) = 1 + 25k, k \in \mathbb{N}\)

    இதிலிருந்து, \(6^n - 5n\) ஐ 25 ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 1 என அறியலாம். இது எல்லா இயல் எண் \(n\)-க்கும் பொருந்தும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.11#

    \(7^{400}\)-ன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் காண்க.

    தீர்வு:

    \[ 7^{400} = (7^2)^{200} = (50 - 1)^{200} \]\[ = ^{200}C_0 50^{200} - ^{200}C_1 50^{199} + ^{200}C_2 50^{198} - \dots + ^{200}C_{199} 50^1 - ^{200}C_{200} \]\[ = 50^{200} - 200 \cdot 50^{199} + ^{200}C_2 \cdot 50^{198} - \dots + 200 \cdot 50 - 1 \]\[ = 50^2[50^{198} - 200 \cdot 50^{197} + ^{200}C_2 \cdot 50^{196} - \dots + 200] - 1 \]

    \(50^2\) மற்றும் 200 என்பன 100 ஆல் வகுபடும். எனவே, \(7^{400}\)-ன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 0 1.

    பயிற்சி 5.1#

    1. விரிவு படுத்துக. (i) \(\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{x^2}\right)^3\) (ii) \(\frac{(x^2 + \sqrt{1-x^2})^4 + (x^2 - \sqrt{1-x^2})^4}{(x^2 + \sqrt{1-x^2})^4 - (x^2 - \sqrt{1-x^2})^4}\)

    2. மதிப்புக் காண்க. (i) \(102^4\) (ii) \(99^4\) (iii) \(97^5\)

    3. ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி \((1.01)^{1000000}\) மற்றும் 10000 ஆகியவற்றில் எது பெரியது எனக் காண்க.

    4. \(\left(x + \frac{1}{2x^3}\right)^{10}\)-ன் விரிவில் \(x^{15}\)-ன் கெழுவைக் காண்க.

    5. \(\left(\frac{1}{x} - \frac{x}{3}\right)^6\)-ன் விரிவில் \(x^2\) மற்றும் \(x^6\)-ன் கெழுக்களைக் காண்க.

    6. \(\left(\frac{1+x}{x^2}\right)\left(1+\frac{1}{x^3}\right)^{50}\)-ன் விரிவில் \(x^4\)-ன் கெழுவைக் காண்க.

    7. \(\left(\frac{2x}{3} - \frac{3}{2x^2}\right)^5\)-ன் விரிவில் மாறிலி உறுப்பைக் காண்க.

    8. \(3^{600}\)-ன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களைக் காண்க.

    9. எல்லா மிகை முழு எண் \(n\)-க்கும் \(\frac{9n}{8} - \frac{9n+1}{8}\) என்பது 64 ஆல் வகுபடும் என ஈருறுப்புத் தேற்றம் மூலம் நிறுவுக.

    10. \(n\) ஒரு ஒற்றைப்படை மிகை முழு எண் எனில், \((x+y)^n\)-ன் விரிவில் மைய உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமம் என நிறுவுக.

    11. \(n\) ஒரு மிகை முழு எண் மற்றும் \(r\) என்பது குறையற்ற முழு எண் எனில், \((1+x)^n\)-ன் விரிவில் \(x^r\) மற்றும் \(x^{n-r}\) உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமம் என நிறுவுக.

    12. \(a\) மற்றும் \(b\) என்பவை வெவ்வேறு முழுக்கள் எனில், \(n\) என்ற மிகை முழு எண்ணிற்கு \(a^n - b^n\)-ன் ஒரு காரணி \(a - b\) என நிறுவுக. (குறிப்பு: \(a = a - b + b\) என எடுத்து விரிவு படுத்துக.)

    13. \((a+b)^n\)-ன் விரிவில், 4 ஆவது மற்றும் 13 ஆவது உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமம் எனில், \(n\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

    14. \((a+x)^n\)-ன் விரிவில் தொடர்ச்சியான மூன்று உறுப்புகளின் ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் விகிதம் 1:7:42 எனில், \(n\)-ன் மதிப்புக் காண்க.

    15. \((1+x)^n\)-ன் விரிவில் 5 ஆவது, 6 ஆவது மற்றும் 7 ஆவது உறுப்புகளின் கெழுக்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர் எனில், \(n\)-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

    16. \(C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + \dots + C_n^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2}\) என நிறுவுக.

    5.4 முடிவு தொடர்முறைகள் (Finite Sequences)#

    தொடர்முறை என்பது பட்டியலில் உள்ள உறுப்புகளை ஒரு குறிப்பிட்ட முறையில் வரிசைப்படுத்தி எழுதுவது ஆகும். எண்களின் தொடர்முறை பற்றிச் சிந்திக்கும்போது, \(a_1, a_2, \dots\) என்பது நேரிடையானது. தொடர்முறையை ஒரு சார்பாக கருத, அதன் சார்பகம் முதல் \(n\) இயல் எண்களின் கணம் அல்லது \(\mathbb{N}\) ஆக அமையும். இந்தப் பாடப்பகுதி முழுவதும் மெய்யெண்களின் தொடர்முறைகளை மட்டுமே காண்கிறோம். இவற்றைத் தொடர்முறைகள் எனக் குறிப்பிடலாம். கூட்டுத்தொடர்முறை மற்றும் பெருக்குத் தொடர்முறை என்பன முறையே கூட்டு விருத்தி (AP) மற்றும் பெருக்கு விருத்தி (GP) என அழைக்கப்படும். இந்தப் பிரிவில் முன் வகுப்புகளில் படித்த தொடர்முறை மற்றும் தொடர்களின் வரையறைகள், முடிவுகள் பற்றி நினைவில் கொள்வோம்.

    • \(X\) ஏதேனும் ஒரு கணம் மற்றும் \(n \in \mathbb{N}\) எனில், \(f : \{1, 2, 3, \dots, n\} \to X\) என்ற சார்பு, \(X\)-ன் மீதான ஒரு முடிவு தொடர் முறை எனப்படும். \(g : \mathbb{N} \to X\) என்ற சார்பு, \(X\)-ன் மீதான ஒரு முடிவுறா தொடர் முறை எனப்படும். \(n\) இல் சார்பு \(f\)-ன் மதிப்பு \(f(n)\) ஐ \(a_n\) எனக் குறிக்கலாம். அந்த தொடர் முறை \((a_n)\) என குறிக்கப்படும்.

    • \(X\) என்ற கணம் மெய் எண்களின் கணம் எனில் அந்த தொடர்முறை ஒரு எண்களின் தொடர்முறை அல்லது மெய்யெண்களின் தொடர்முறை எனப்படும்.

    • எல்லா தொடர்முறையும் ஒரு சார்பாக இருந்தாலும், எல்லாச் சார்புகளும் தொடர்முறையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

    • கணங்களில் உறுப்புகள் மீண்டும் வராமல் இருப்பதை அறிவோம். ஆனால் ஒரு தொடர்முறையில் உறுப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் வரலாம். குறிப்பாக, ஒரு தொடர்முறையில் உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமானால் அது ஒரு மாறிலித் தொடர்முறை எனப்படும்.

    • ஒரு தொடர்முறை \((a_n)\)-ஐ படமாகத் தெரிந்துகொள்ள \(\{(n, a_n) : n \in \mathbb{N}\}\) இக்கான வரைபடத்தினை வரைதல் வேண்டும். இது தொடர்முறையைப் பற்றிய சில விவரங்களைக் கொடுக்கிறது.

    5.4.1 கூட்டு மற்றும் பெருக்குத் தொடர் முறைகள் (Arithmetic and Geometric Progressions)#

    சில சிறப்புத் தொடர்முறைகள், தொடர்விருத்திகள் எனப்படும். இங்கு, தொடர்முறையின் உறுப்புகள் ஏறுமுகமாகவோ அல்லது இறங்குமுகமாகவோ அமையலாம்.

    நாம் முன் வகுப்புகளில் படித்துள்ள கூட்டு மற்றும் பெருக்கத் தொடர்முறைகளின் வரையறைகளையும், முடிவுகளையும் நினைவு கூர்வோம்.

    கூட்டுத் தொடர் முறை (Arithmetic Progression)(AP)#

    • \(a, a+d, a+2d, a+3d, \dots, a+(n-1)d, a+nd, \dots\) என்ற தொடர்முறை, கூட்டுவிருத்தி அல்லது கூட்டுத்தொடர்முறை (Arithmetic Progression) எனப்படும். இங்கு, முதல் உறுப்பு \(a\) தவிர, மற்ற உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் அதன் முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு மாறிலியை கூட்டக் கிடைக்கின்றன. இங்கு, மாறிலி \(d\) என்பது பொது வித்தியாசம் எனப்படும் மற்றும் \(a\) என்பது முதல் உறுப்பு எனப்படும்.

    • கூட்டுத்தொடர்முறையின் \(n\) ஆவது உறுப்பு \(T_n = a + (n-1)d\).

    • \(\sqrt{2}, \sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}+2\sqrt{3}, \sqrt{2}+3\sqrt{3}, \dots\) மற்றும் \(12, 9, 6, 3, \dots\) என்ற தொடர்முறைகள், முறையே \(\sqrt{3}\) மற்றும் \(-3\) ஐ பொது வித்தியாசங்களாக உடைய கூட்டுத்தொடர் முறைகள் ஆகும்.

    • \(3, 7, 11\) ஆகிய மூன்று பகா எண்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடரை அமைக்கின்றன.

    • \(a\) மற்றும் \(b\) சார்பகா எண்கள் எனில், \(T_n = an + b, n \in \mathbb{N}\) என்பது எண்ணற்ற பகா எண்கள் மற்றும் பகு எண்களைக் கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடராக அமையும்.

    பெருக்குத் தொடர் முறை (Geometric Progression) (GP)#

    • \(a, ar, ar^2, ar^3, \dots, ar^{n-1}, ar^n, \dots\) \(a \neq 0, r \neq 0\), என்ற தொடர்முறை, பெருக்குவிருத்தி அல்லது பெருக்குத் தொடர்முறை (Geometric Progression) எனப்படும். இங்கு முதல் உறுப்பு \(a\) தவிர, மற்ற உறுப்புகள் முந்தைய உறுப்பினை ஒரு மாறிலியால் பெருக்க கிடைக்கின்றன. இங்கு மாறிலி \(r\) என்பது, பொது விகிதம் மற்றும் \(a\) என்பது முதல் உறுப்பு எனப்படும்.

    • பெருக்குத் தொடர்முறையின் \(n\) ஆவது உறுப்பு \(T_n = ar^{n-1}\)

    • \(1, 2, 4, 8, 16 \dots\) மற்றும் \(\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, 16, \dots\) என்ற தொடர்முறைகள், முறையே \(2\) மற்றும் \(\sqrt{2}\) ஐ பொது விகிதங்களாக உடைய பெருக்குத் தொடர் முறைகளாகும்.

    • பொது விகிதம் மிகை மதிப்பாக உள்ள ஒரு பெருக்குத்தொடர் முறையின், ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் மடக்கை காண அது ஒரு கூட்டத் தொடர்முறையாக மாறும். \(a, ar, ar^2, \dots, r > 0\) என்பது ஒரு பெருக்குத்தொடர்முறை எனில், \(\log a, \log(ar), \log(ar^2), \dots\) என்பது \(\log r\) ஐ பொது வித்தியாசமாகக் கொண்ட ஒரு கூட்டத் தொடர்முறையாகும்.

    \(c \neq 0\) எனில், \(c, c, c, \dots\) என்ற மாறிலித் தொடர்முறை ஒரு கூட்டுத் தொடர்முறையாகவும் பெருக்குத் தொடர்முறையாகவும் உள்ளதை அறியலாம்.

    \(0, 0, 0, \dots\) என்ற சிறப்பு மாறிலித் தொடர்முறையை எடுத்துக்கொள்வோம். இதை ஒரு கூட்டுத் தொடர்முறையாக அறியலாம். ஆனால், அதை ஒரு பெருக்குத் தொடர்முறையாக பார்க்கும்போது முதல் உறுப்பு \(a\) என்பது \(0\) ஆக உள்ளது. அதன் பொது விகிதம் என்னவாக இருக்கும்? \(1, 2\) அல்லது வேறு ஏதேனும் ஒரு எண் பொது விகிதம் எனக் கொண்டால், நாம் அதே தொடர் முறையை \(0, 0, 0, \dots\) பெற முடியும். இங்கு, இந்த பெருக்குத் தொடர்முறையின் பொது விகிதம் எண்ணற்றதாக உள்ளது. இந்தக் குழப்பத்தினைத் தவிர்க்கவே கணிதவியலாளர்கள் பெருக்குத் தொடர்முறையின் வரையறையில் \(a \neq 0\) என எடுத்துக் கொள்கிறார்கள்.

    5.4.2 கூட்டு - பெருக்குத் தொடர் முறை (Arithmetico-Geometric Progression) (AGP)#

    கூட்டு மற்றும் பெருக்குத் தொடர் முறைகளின் சேர்ப்பு ஒரு புதிய தொடர் முறையை உருவாக்குகிறது. அது கூட்டு-பெருக்குத் தொடர் விருத்தி அல்லது கூட்டு-பெருக்குத் தொடர் முறை எனப்படும். கூட்டுத் தொடர் முறையை AP என்றும் பெருக்குத் தொடர் முறையை GP என்றும் குறிப்பது போல் இந்த கூட்டு-பெருக்குத் தொடர் முறை AGP என குறிப்பிடலாம். நிகழ்தகவியலில் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பைக் கணக்கிடவும் மற்றும் பல்வேறு பயன்பாடுகளிலும் AGP-ன் தேவை உணரப்படுகிறது.

    வரையறை 5.1:#

    \(a, (a+d)r, (a+2d)r^2, (a+3d)r^3, \dots, (a+(n-1)d)r^{n-1}, (a+nd)r^n, \dots\) என்ற தொடர்முறை கூட்டு-பெருக்குத் தொடர் விருத்தி அல்லது கூட்டு-பெருக்குத் தொடர்முறை (Arithmetico-Geometric Progression) எனப்படும்.

    AP: \(a, a+d, a+2d, \dots\) மற்றும் GP: \(1, r, r^2, \dots\) எனில், \(a, (a+d)r, (a+2d)r^2, \dots\) என்பது AGP ஆகும். இந்த AGP-ன் முதல் உறுப்பு \(a\), பொது வித்தியாசம் \(d\) மற்றும் பொது விகிதம் \(r\). இங்கு, \(r=1\) எனில், AGP, AP ஆகவும் \(d = 0\) எனில், AGP, GP ஆகவும் மாறும். எனவே, கூட்டுத்தொடர் முறை மற்றும் பெருக்குத் தொடர்முறைகள் என்பன கூட்டு-பெருக்குத் தொடரின் சில குறிப்பிட்ட நிலைகள் ஆகும். இது கணிதத்தில் பொதுமைப்படுத்துதல் கோட்பாட்டின் நிலை எனலாம். AGP-ன் \(n\) ஆவது உறுப்பு \(T_n = (a+(n-1)d)r^{n-1}\). எல்லா கூட்டுத்தொடர் மற்றும் பெருக்குத் தொடர்களை கூட்டு-பெருக்குத் தொடர் எனவும் கூறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, AP ஐ \(0, 1, 2, 3, 4, \dots\) எனவும், GP ஐ \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\) எனவும் எடுத்துக்கொண்டால், AGP ஐ \(0 \times 1, 1 \times \frac{1}{2}, 2 \times \frac{1}{4}, 3 \times \frac{1}{8}, \dots\) எனவும் எழுதலாம்.

    \(4, 14, 40, 104, 256, 608, \dots\) என்ற தொடர்முறை ஒரு கூட்டு-பெருக்குத் தொடர்முறைக்கு எடுத்துக்காட்டாகும். இந்த தொடர்முறையில் \(a=4, d=3\) மற்றும் \(r=2\).

    5.4.3 இசைத் தொடர்முறை (Harmonic Progression)#

    முக்கியமான தொடர்முறைகளில் ஒன்று இசைத்தொடர் விருத்தி அல்லது இசைத்தொடர் முறை ஆகும். இது கூட்டுத்தொடர் முறையோடு நெருங்கிய தொடர்புடையது. இசைத் தொடர் முறை பல இடங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

    வரையறை 5.2 :#

    \(h_1, h_2, h_3, \dots\) என்ற தொடர்முறை ஒரு இசைத்தொடர்முறையாக (Harmonic Progression) இருக்க, \(\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \frac{1}{h_3}, \dots\) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர்முறையாக இருக்கவேண்டும்.

    ஒரு தொடர்முறை இசைத்தொடர்முறையாக இருக்க வேண்டுமானால் அதன் உறுப்புகளின் தலைகீழிகள் ஒரு கூட்டுத்தொடர் முறையாக இருக்கவேண்டும் என நினைவில் கொள்ளலாம். ஆனால், இசைத் தொடர்முறையினை கூட்டுத் தொடர்முறையின் தலைகீழிகள் என கூற முடியாது. ஏனெனில் கூட்டுத்தொடர்முறையில் பூஜ்ஜியம் ஒரு உறுப்பாக இருந்தால், அதன் தலைகீழி அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது. ஒரு கூட்டுத்தொடர்முறையில் பூஜ்ஜியம் ஒரு உறுப்பாக இல்லையெனில், அதன் தலைகீழிகள் ஒரு இசைத்தொடர்முறையாகும்.

    எனவே, \(\frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}, \frac{1}{a+3d}, \dots\) என்பது இசைத் தொடர்முறையின் பொதுவடிவம் ஆகும். ஒரு பின்னத்தின் பகுதி பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. அதாவது, \(a + kd \neq 0\); \(k\) ஒரு குறையற்ற முழுஎண் எனவே, \(-\frac{a}{d}\) ஒரு முழு எண் இல்லை என்ற விதி அவசியம். இசைத்தொடர்முறையின் கணக்குகளை கூட்டுத்தொடர்முறைகளாக மாற்றி கூட்டுத் தொடர்முறை மூலம் தீர்வு காணலாம்.

    குறிப்பு:

    (i) தொடர்முறை \(\left(\frac{1}{n}\right), n = 1, 2, 3, \dots\) என்பது ஒரு இசைத் தொடர்முறை. நாம், \(\frac{1}{n}\) -ன் வரைபடம் வரைந்து இசைத்தொடர் முறை \(\frac{1}{n}\) ஐ காட்சியாக காணலாம்.

    (ii) \(a, b, c\) என்பன HP எனில், \(b = \frac{2ac}{a+c}\) ஆகும்.

    (iii) ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகள் AP இல் இருக்குமானால் அவற்றின் பக்கங்கள் HP இல் இருக்கும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.12#

    \(a, b, c\) ஆகியவை இசைத் தொடரில் இருந்தால், \(\frac{a}{c} = \frac{a-b}{b-c}\) எனவும், இதன் மறுதலையும் உண்மை என நிறுவுக.

    தீர்வு:

    \(a, b, c\) என்பன HP இல் இருந்தால் \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\) என்பன AP இல் இருக்கும்.

    எனவே, \(\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\). இதிலிருந்து கிடைப்பது, \(ab - ac = ac - bc\).

    எனவே, \(a(b-c) = c(a-b)\). இதிலிருந்து கிடைப்பது \(\frac{a}{c} = \frac{a-b}{b-c}\).

    மறுதலையாக, \(\frac{a}{c} = \frac{a-b}{b-c}\) எனில், \(a(b-c) = c(a-b)\)

    இருபுறமும் \(abc\) ஆல் வகுக்க \(\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\).

    எனவே, \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\) என்பன ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையாகிறது. இதனால் \(a, b, c\) ஒரு இசைத் தொடர் முறையாகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.13#

    ஒரு இசைத் தொடர் முறையின் ஐந்தாவது மற்றும் ஒன்பதாவது உறுப்புகள் முறையே \(\frac{1}{19}\) மற்றும் \(\frac{1}{35}\) எனில், அந்த தொடர்முறையின் பன்னிரண்டாவது உறுப்பினைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \((h_n)\) ஒரு இசைத்தொடர்முறை என்க மற்றும் \(\frac{1}{h_n} = a_n\) என்க. \(a_n\) என்பது கூட்டுத்தொடர்முறை என்பதால் \(a_5 = 19\) மற்றும் \(a_9 = 35\)

    \(a + 4d = 19, a + 8d = 35\) எனக் கிடைக்கும். இவற்றைத் தீர்க்க, \(a = 3\) மற்றும் \(d = 4\) எனக் கிடைக்கும். எனவே, கூட்டுத்தொடர்முறையின் 12 ஆவது உறுப்பு \(a_{12} = a + 11d = 47\). இதனால் இசைத் தொடர் முறையின் 12 வது உறுப்பு \(\frac{1}{47}\) ஆகும்.

    மாறிலித் தொடர்முறைகள் பற்றி நாம் என்ன கூறலாம்? பூஜ்ஜியத் தொடர்முறை தவிர மற்ற எல்லா மாறிலித் தொடர்முறையும் இசைத்தொடர்முறை ஆகும்.

    5.4.4 கூட்டு, பெருக்கு மற்றும் இசைச் சராசரிகள் (Arithmetic, Geometric and Harmonic Means)#

    சராசரியைப் பற்றி நாம் அறிவோம். சராசரியில் பலவகை உள்ளது. கூட்டுச் சராசரி, பெருக்குச் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரி என்பன சில சராசரிகள் ஆகும். உறுப்புகள் கூட்டுத் தொடர்முறை அல்லது பெருக்குத் தொடர் முறையில் இல்லாமல் இருந்தாலும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்குச் சராசரிகளின் வரையறைகளைக் காண்போம்.

    கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்குச் சராசரி#

    வரையறை 5.3:

    \(n\) ஒரு மிகை முழு எண் என்க. \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்பன \(n\) எண்கள் என்க. இப்போது, \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்ற எண்களின் கூட்டுச் சராசரி (Arithmetic Mean) \(\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}\) ஆகும்.

    \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்ற எண்கள் வெவ்வேறாகவோ அல்லது மிகை எண்களாகவோ இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. \(14, 14, 17, 20, 15\) என்ற எண்களின் சராசரி 16 என வரையறையிலிருந்து எளிதில் அறியலாம். கூட்டு சராசரியில், கூட்டல் மற்றும் \(n\) ஆல் வகுத்தலுக்குப் பதிலாக, பெருக்கல் மற்றும் \(n\) ஆம் படி மூலம் என எடுத்துக்கொண்டால் நமக்கு பெருக்குச் சராசரி கிடைக்கும்.

    வரையறை 5.4:

    \(n\) ஒரு குறையற்ற எண் என்க. \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்பன \(n\) குறையற்ற எண்கள் எனில், \(\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \dots a_n}\) என்பது \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்ற எண்களின் பெருக்குச் சராசரி (Geometric Mean) எனப்படும்.

    இங்கு, \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) ஆகிய எண்கள் வேறுபட்டவையாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால், அவை குறையற்ற எண்களாக இருக்க வேண்டியது அவசியம். \(4, 6, 9\) என்ற எண்களின் பெருக்குச் சராசரி \(\sqrt[3]{216} = 6\) ஆகும். \(4, 6, 9\) என்ற எண்களின் கூட்டுச் சராசரி \(\frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}\) ஆகும். கூட்டுச் சராசரி பெருக்குச் சராசரியைவிட அதிகமாக உள்ளதைக் காணலாம். இது எப்போதும் மெய்யாக இருக்குமா? குறையற்ற \(n\) எண்களுக்கான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்குச் சராசரியைவிட அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்கும் என நிரூபிக்கலாம். அதாவது, \(AM\) என்பது கூட்டு சராசரியையும், \(GM\) என்பது பெருக்குச் சராசரியையும் குறித்தால், \(AM \ge GM\) எனலாம்.

    நாம் இப்பொழுது \(AM \ge GM\) என்ற சமனிலியை இரு குறையற்ற எண்களுக்கு நிறுவலாம்.

    தேற்றம் 5.2#

    இரு குறையற்ற எண்களுக்கான கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்குச் சராசரி முறையே \(AM\) மற்றும் \(GM\) என குறிக்கப்பட்டால், \(AM \ge GM\). அந்த இரு எண்களும் சமமாக இருக்கும்போது \(AM = GM\) ஆக இருக்கும். அதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்.

    நிரூபணம்: \(a\) மற்றும் \(b\) என்பன ஏதேனும் இரு குறையற்ற எண்கள் என்க. இப்போது \(AM = \frac{a+b}{2}\), \(GM = \sqrt{ab}\) ஆகும்.

    \[ (a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \ge 0 \]

    அதனால், \((a+b)^2 \ge 4ab\)

    இதிலிருந்து, \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\),

    அதாவது \(AM \ge GM\). மேலும், \(AM = GM \Leftrightarrow \frac{a+b}{2} = \sqrt{ab} \Leftrightarrow (a-b)^2 = 0 \Leftrightarrow a = b\)

    எனவே \(AM = GM\) ஆக இருக்கும்.

    \(AM \ge GM\)-க்கான வடிவ கணித விளக்கம்#

    \(a\) மற்றும் \(b\) என்பன ஏதேனும் இரு குறையற்ற மெய்யெண்கள் என்க. இவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் \(GM\) பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, நிரூபிக்க ஏதுமில்லை. நாம் \(a > 0\) மற்றும் \(b > 0\) என கொள்வோம். \(a+b\) நீளம் கொண்ட \(AB\) என்ற ஒரு நேர்க்கோட்டுத்துண்டு வரைந்து, \(AB\) ஐ விட்டமாகக் கொண்ட ஒரு அரைவட்டம் வரைக. \(M\) என்பது \(AB\)-ன் நடுப்புள்ளி என்க. எனவே, அரைவட்டத்தின் மையம் \(M\) ஆகும். \(M\) என்பது \(AB\)-ன் நடுப்புள்ளி என்பதால், \(AM = MB = \frac{a+b}{2}\). எனவே, வட்டத்தின் ஆரம் \(\frac{a+b}{2}\) ஆகும்.

    \(AD = a, DB = b\) எனுமாறு \(D\) என்ற புள்ளியை \(AB\)-ன் மீது எடுத்துக்கொள்க.

    \[ \begin{array}{c} \\ A \quad D \quad M \quad B \\ a \quad \quad b \\ \frac{a+b}{2} \\ \\ C \\ \sqrt{ab} \end{array} \]

    படம் 5.2

    \(D\) வழியாக \(AB\)-க்கு செங்குத்து கோடு வரைக. அது அரை வட்டத்தை \(C\) என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும் என்க. \(CA, CB\) மற்றும் \(CM\) என்ற கோடுகளை வரைக. \(M\) ஆனது அரைவட்டத்தின் மையம் என்பதால் \(CM =\) ஆரம் \(= \frac{a+b}{2}\), \(MD = \frac{a+b}{2} - a\) என்பது தெளிவாகும்.

    \(\triangle ACD\) மற்றும் \(\triangle CBD\) என்பன ஒத்த முக்கோணங்கள் என்பதால், \(\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}\). எனவே, \(CD^2 = AD \times BD = ab\)

    மேலும், \(CD = \sqrt{ab}\) (பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும் \(CD = \sqrt{ab}\) என நிறுவலாம்.)

    ஒரு அரை நாணின் நீளம் எப்போதும் ஆரத்தைவிட குறைவாக அல்லது சமமாக இருக்கும் என்பதால், \(CD \le CM\) அல்லது \(\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\). அதாவது, \(AM \ge GM\).

    \(D\) ஆனது \(M\)-ல் அமையும் போது அரைநாண் \(DC\) ஆனது ஆரத்திற்கு சமமாக மாறும். அதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது, \(AM = GM\) எனில், \(a = b\) மற்றும் \(a = b\) எனில் \(AM = GM\) ஆகும்.

    முடிவு 5.1:#

    \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்பன கூட்டுத்தொடர்முறையில் இருக்குமானால், \(a_k (k > 1)\) என்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் முன்னியான \(a_{k-1}\) மற்றும் அதன் தொடரியான \(a_{k+1}\) இவற்றிற்கான கூட்டுச் சராசரியாக இருக்கும்.

    நிரூபணம்: \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்பது முதல் உறுப்பு \(a\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d\) கொண்ட கூட்டுத்தொடர் முறையின் உறுப்புகள் என்க.

    \[ a_k = a + (k-1)d, \quad a_{k-1} = a + (k-2)d \quad \text{மற்றும்} \quad a_{k+1} = a + kd \]\[ \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2} = \frac{[a + (k-2)d] + [a + kd]}{2} = \frac{2a + (2k-2)d}{2} = a + (k-1)d = a_k \]

    அதாவது, \(a_{k-1}\) மற்றும் \(a_{k+1}\) ஆகியவற்றின் கூட்டுச் சராசரி \(a_k\) ஆகும்.

    முடிவு 5.2:#

    \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்முறை எனில், அதில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு \(a_k (k>1)\), அதற்கு முன்னர் உள்ள முன்னியான \(a_{k-1}\) மற்றும் அதற்குப் பின்னர் உள்ள தொடரியான \(a_{k+1}\) ஆகியவற்றின் பெருக்குச் சராசரியாக இருக்கும்.

    நிரூபணம்: \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) என்பது முதல் உறுப்பு \(a\) மற்றும் பொது விகிதம் \(r\) உள்ள பெருக்குத் தொடர்முறை என்க.

    ஆகையால், \(a_k = ar^{k-1}, a_{k-1} = ar^{k-2}\) மற்றும் \(a_{k+1} = ar^k\).

    எனவே, \(\sqrt{a_{k-1} \cdot a_{k+1}} = \sqrt{ar^{k-2} \cdot ar^k} = \sqrt{a^2 r^{2k-2}} = ar^{k-1} = a_k\).

    அதாவது, \(a_{k-1}\) மற்றும் \(a_{k+1}\) ஆகியவைகளின் பெருக்குச் சராசரி \(a_k\) ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.14#

    \(4, A_1, A_2, \dots, A_7, 7\) என்ற தொடர்முறை கூட்டுத் தொடர்முறையாக இருக்குமாறு, \(A_1, A_2, \dots, A_7\) என்ற ஏழு எண்களைக் காண்க. மேலும், \(12, G_1, G_2, G_3, G_4, \frac{3}{8}\) என்ற தொடர்முறை பெருக்குத் தொடர்முறையாக இருக்குமாறு, \(G_1, G_2, G_3, G_4\) என்ற நான்கு எண்களையும் காண்க.

    தீர்வு:

    \(a = 4\) மற்றும் \(4 + 8d = 7\). இதிலிருந்து, \(d = \frac{3}{8}\) எனக் கிடைக்கும். எனவே தேவையான 7 எண்கள் \(4\frac{3}{8}, 4\frac{6}{8}, 5\frac{1}{8}, 5\frac{4}{8}, 5\frac{7}{8}, 6\frac{2}{8}, 6\frac{5}{8}\) ஆகும்.

    மேலும், \(a = 12\) மற்றும் \(12r^5 = \frac{3}{8}\) என்பதால் \(r^5 = \frac{1}{32} \Rightarrow r = \frac{1}{2}\). எனவே, தேவையான 4 எண்கள் \(6, 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}\) ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.15#

    ஒரு பெருக்குத் தொடர்முறையின் 4 ஆவது, 5 ஆவது, 6 ஆவது உறுப்புகளின் பெருக்கல் 4096 மற்றும் 5 ஆவது, 6 ஆவது, 7 ஆவது உறுப்புகளின் பெருக்கல் 32768 எனில் அந்த பெருக்குத் தொடர்முறையின் முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

    தீர்வு:

    கொடுக்கப்பட்ட பண்புகள் உடைய பெருக்குத்தொடர்முறை \(a, ar, ar^2, \dots\) என்க.

    4 ஆவது, 5 ஆவது, 6 ஆவது உறுப்புகள் முறையே, \(ar^3, ar^4\) மற்றும் \(ar^5\) ஆகும். இவற்றின் பெருக்கற்பலன், \(a^3 r^{12} = 4096\). இது போன்று, \(a^3 r^{15} = 32768\). எனவே, \(\frac{a^3 r^{15}}{a^3 r^{12}} = \frac{32768}{4096}\)

    அதாவது, \(r^3 = 8 \Rightarrow r = 2\).

    \(a^3 r^{12} = 4096\), இதில் \(r = 2\) எனப் பிரதியிட, \(a^3 \cdot 2^{12} = 4096 \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a = 1\).

    முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் \(\frac{a(r^8 - 1)}{r-1} = \frac{1(2^8 - 1)}{2-1} = 255\) ஆகும்.

    இசைச் சராசரி (Harmonic Mean)#

    கொடுக்கப்பட்ட மிகை எண்களின் இசைச் சராசரி என்பது அந்த எண்களின் தலைகீழிகளின் கூட்டுச் சராசரியின் தலைகீழியாகும். அதாவது, \(h_1, h_2, \dots, h_n\) என்பன கொடுக்கப்பட்ட மிகை எண்கள் எனில், அவற்றின் தலைகீழிகள் \(\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}\) எனவே, இத்தலைகீழிகளின் கூட்டுச் சராசரி \(\frac{\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \dots + \frac{1}{h_n}}{n}\) ஆகும். இசைச் சராசரி என்பது இதன் தலைகீழி ஆகும். அதாவது,

    \[ HM = \frac{n}{\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \dots + \frac{1}{h_n}} \]

    குறிப்பாக, இரு மிகை எண்கள் \(a\) மற்றும் \(b\)-க்கு,

    \[ HM = \frac{2ab}{a+b} \]

    தேற்றம் 5.3: \(a\) மற்றும் \(b\) என்பன இரு மிகை மெய்யெண்கள் எனில், \(AM, GM, HM\) என்பன ஒரு பெருக்குத் தொடர் முறையாகும். மேலும், \(AM \ge GM \ge HM\).

    நிரூபணம்: \(a\) மற்றும் \(b\) என்பன இரு மிகை மெய்யெண்கள் என்க.

    \[ AM = \frac{a+b}{2}, \quad GM = \sqrt{ab} \quad \text{மற்றும்} \quad HM = \frac{2ab}{a+b} \]

    இப்போது,

    \[ AM \times HM = \frac{a+b}{2} \times \frac{2ab}{a+b} = ab = (GM)^2 \]

    அதாவது, \(AM \times HM = GM^2\). எனவே, \(AM, GM\) மற்றும் \(HM\) என்பன ஒரு பெருக்குத் தொடர் முறையாகும்.

    மேலும், \(AM \ge GM\) என்பதை முன்பே நிறுவியுள்ளோம். மேலும், \(GM \ge HM\) என்பதை பின்வருமாறு நிறுவலாம்:

    \[ GM - HM = \sqrt{ab} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{\sqrt{ab}(a+b) - 2ab}{a+b} = \frac{\sqrt{ab}(a+b - 2\sqrt{ab})}{a+b} = \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a+b} \ge 0 \]

    எனவே, \(GM \ge HM\). ஆகவே, \(AM \ge GM \ge HM\).

    பின்வரும் முக்கிய முடிவுகளைக் காணலாம்.

    • \(b\) என்பது \(a\) மற்றும் \(c\)-ன் கூட்டுச் சராசரி எனில், \(a, b, c\) ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையாகும்

    • \(b\) என்பது \(a\) மற்றும் \(c\)-ன் பெருக்குச் சராசரி எனில், \(a, b, c\) ஒரு பெருக்குத் தொடர்முறையாகும்.

    • \(b\) என்பது \(a\) மற்றும் \(c\)-ன் இசைச் சராசரி எனில், \(a, b, c\) ஒரு இசைத் தொடர் முறையாகும்.

    ஒரு வாகனம் மணிக்கு \(x\) கிமீ வேகத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் பயணம் செய்து விட்டு திரும்பி மணிக்கு \(y\) கிமீ வேகத்தில் புறப்பட்ட இடத்தை வந்தடைந்தால், அந்த வாகனத்தின் முழு பயணத்தின் சராசரி வேகம் இரு வேகங்களின் இசைச் சராசரியாக இருக்கும். உண்மையில் தூரம் \(d\) எனில், ஒருபுறம் செல்வதற்கான நேரம் \(\frac{d}{x}\) மற்றும் மறுபுறம் வருவதற்கான நேரம் \(\frac{d}{y}\) ஆகும். எனவே, சராசரி வேகம்,

    \[ \frac{2d}{\frac{d}{x} + \frac{d}{y}} = \frac{2xy}{x+y}. \]

    எடுத்துக்காட்டாக, மணிக்கு 60 கிமீ வேகத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தினை அடைந்து பின்னர் மணிக்கு 40 கிமீ வேகத்தில் திரும்ப வந்தடைந்தால், அந்த வாகனத்தின் மொத்த பயணத்திற்கான சராசரி வேகம் 60 மற்றும் 40-ன் இசைச் சராசரி ஆகும். அதாவது, \(\frac{2 \times 60 \times 40}{60 + 40} = 48\) கிமீ/மணி வேகம் ஆகும்.

    பயிற்சி 5.2#

    1. தொடர்முறைகளின் \(n\) ஆவது உறுப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றின் முதல் 6 உறுப்புகளைக் காண்க. மேலும், அந்த தொடர் முறைகள், கூட்டுத்தொடர்முறை, பெருக்குத்தொடர்முறை, இசைத்தொடர்முறை, கூட்டு-பெருக்குத்தொடர்முறை மற்றும் இவற்றில் எதுவுமில்லை என வகைப்படுத்துக.

    (i) \(2n + 1\) (ii) \(\frac{n(n+3)}{n+4} + \frac{n(n+2)}{n+1}\) (iii) \(4 \left(\frac{1}{2}\right)^n\) (iv) \((-1)^n n\) (v) \(\frac{3n + 4}{2n + 3}\) (vi) 2018 (vii) \(3^n - 2^{n-1}\)

    1. \(n\)-ஆவது உறுப்பு \(a_n\) ஐக் கொண்ட பின்வரும் தொடர்முறைகளின் முதல் 6 உறுப்புகளைக் காண்க.

    (i) \(a_n = \begin{cases} n, & n \text{ ஒற்றைப்படை எண் எனில்} \\ \frac{1}{n}, & n \text{ இரட்டைப்படை எண் எனில்} \end{cases}\)

    (ii) \(a_n = \begin{cases} a_1 = 1, a_2 = 2, \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} & (n > 2) \end{cases}\)

    (iii) \(a_n = \begin{cases} 3, & n = 1, 2, 3 \text{ எனில்} \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} & (n > 3) \end{cases}\)

    1. பின்வரும் தொடர்முறைகளின் \(n\)-ஆவது உறுப்பு காண்க.

    (i) 2, 2, 4, 4, 6, 6, …

    (ii) \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots\)

    (iii) \(\frac{1}{2} \times 3, \frac{1}{3} \times 4, \frac{1}{4} \times 5, \frac{1}{5} \times 6, \frac{1}{6} \times 7, \dots\)

    (iv) 6, 10, 4, 12, 2, 14, 0, 16, -2, …

    1. ஏறு வரிசையில் பெருக்கத்தொடர் முறையில் உள்ள மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கல் 5832. இரண்டாவது எண்ணுடன் 6 ஐயும் மூன்றாவது எண்ணுடன் 9 ஐயும் கூட்டக் கிடைக்கும் எண்கள் ஒரு கூட்டத் தொடர்முறையாக இருக்கும் எனில், பெருக்கத் தொடர் முறையின் அந்த மூன்று எண்களைக் காண்க.

    2. \(1^2 + 2^2, 2^2 + 3^2, 3^2 + 4^2, \dots\) என்ற தொடரின் \(n\) ஆவது உறுப்பினை இரு உறுப்புகளின் வித்தியாசமாக எழுதுக.

    3. ஒரு பெருக்கத் தொடர்முறையின் \(k\) ஆவது உறுப்பு \(t_k\) எனில், \(k\)-ன் எல்லா மிகை முழு எண்ணுக்கும் \(t_{n-k}, t_n, t_{n+k}\) என்பனவும் ஒரு பெருக்கத் தொடர் முறை என நிறுவுக.

    4. \(a, b, c\) என்பன ஒரு பெருக்குத் தொடர்முறையாக இருந்து \(a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}}\) எனவும் இருக்குமானால், \(x, y, z\) என்பன ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையாகும் என நிறுவுக.

    5. இரு எண்களின் கூட்டுச் சராசரியானது, பெருக்குச் சராசரியை விட 10 அதிகமாகவும், இசைச் சராசரியை விட 16 அதிகமாகவும் இருக்குமானால் அந்த இரு எண்களைக் காண்க.

    6. \((q-r)x^2 + (r-p)x + p - q = 0\) என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் சமமானவை எனில் \(p, q, r\) என்பன ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையாக இருக்கும் என நிறுவுக.

    7. ஒரு பெருக்குத் தொடரின் \(p, q\) மற்றும் \(r\) ஆவது உறுப்புகள் முறையே \(a, b\) மற்றும் \(c\) எனில், \((q-r)\log a + (r-p)\log b + (p-q)\log c = 0\) என நிறுவுக.

    5.5 முடிவுறு தொடர்கள் (Finite Series)#

    பொதுவாக, எண்களாலான ஒரு தொடர்முறையின் உறுப்புகளின் கூடுதல் தொடர் எனப்படும். உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை முடிவுறு எண்ணாக இருக்குமானால் அது முடிவுறு தொடர் (Finite Series) எனப்படும். \((a_n)\) என்பது தொடர்முறை எனில், \(a_1 + a_2 + \dots + a_n\) என்பது ஒரு முடிவுறு தொடர் ஆகும். \(a_1 + a_2 + \dots + a_n\) என்பது \(\sum_{k=1}^{n} a_k\) என குறிக்கப்படும். சில நேரங்களில் வினாக்களின் முக்கியத்துவம் மற்றும் எளிமையைப் பொறுத்து ஒரு தொடர் \(a_0 + a_1 + a_2 + \dots\) என வழங்கப்படலாம். இதன் முதல் உறுப்பு \(a_0\) ஆகும்.

    5.5.1 கூட்டு, பெருக்கு மற்றும் கூட்டுப் பெருக்குத் தொடர் முறைகளின் கூடுதல் (Sum of Arithmetic, Geometric and Arithmetico-Geometric Progressions)#

    முந்தைய வகுப்புகளில் நாம் கூட்டுத்தொடர், பெருக்குத்தொடர் ஆகியவற்றின் குறிப்பிட்ட சில உறுப்புகள் வரையிலான கூடுதல் அல்லது முதல் \(n\) உறுப்புக்களின் கூடுதல் காண்பது பற்றி அறிந்துள்ளோம். இப்போது அவற்றை நினைவு கூர்வோம்.

    கூட்டு மற்றும் பெருக்குத் தொடர் முறைகளின் கூடுதல் (Sum of Arithmetic and Geometric Progressions)

    • ஒரு தொடரின் உறுப்புகள் கூட்டத் தொடர் முறையில் இருக்குமானால் அந்த தொடர் கூட்டுத்தொடர் (Arithmetic Series) எனப்படும்.

    • ஒரு கூட்டுத்தொடர் முறை \((a + (n-1)d)\)-ன் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல்

    \[ S_n = na + \frac{(n-1)n}{2}d = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \]

    • பெருக்குத்தொடர் முறை \((ar^{k-1})\)-ன் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல்

    \[ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1 \]

    \(r = 1\) எனில், அந்த பெருக்குத் தொடர் முறை ஒரு மாறிலித் தொடர் \(a, a, a, \dots\) ஆக இருக்கும். எனவே, அதன் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் \(na\) என எளிதில் அறியலாம். அதனால், \(r \neq 1\) எனில்,

    \[ 1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1} = \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

    கூட்டு – பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல் (Sum of Arithmetic–Geometric Progressions)#

    • ஒரு தொடரின் உறுப்புகள் கூட்டு – பெருக்குத் தொடர் முறையில் இருக்குமானால் அது கூட்டு – பெருக்குத் தொடர் (Arithmetic–Geometric Series) எனப்படும்.

    • \(((a + (n-1)d)r^{n-1})\) என்ற கூட்டு-பெருக்குத் தொடர்முறையின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல்

    \[ S_n = \frac{a - (a + (n-1)d)r^n}{1 - r} + dr\left(\frac{1 - r^{n-1}}{(1 - r)^2}\right), \quad r \neq 1 \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.16#

    \(1 + \frac{6}{7} + \frac{11}{49} + \frac{16}{343} + \dots\) என்ற கூட்டு – பெருக்குத் தொடரின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

    தீர்வு:

    இங்கு, \(a = 1, d = 5\) மற்றும் \(r = \frac{1}{7}\).

    \[ \begin{align*} S_n &= \frac{a - (a + (n-1)d)r^n}{1 - r} + dr\left(\frac{1 - r^{n-1}}{(1 - r)^2}\right) \\ &= \frac{1 - (1 + 5(n-1))\left(\frac{1}{7}\right)^n}{1 - \frac{1}{7}} + 5 \times \frac{1}{7}\left[\frac{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^{n-1}}{\left(1 - \frac{1}{7}\right)^2}\right] \\ &= \frac{1 - \frac{5n-4}{7^n}}{\frac{6}{7}} + \frac{5}{7}\left[\frac{1 - \frac{1}{7^{n-1}}}{\left(\frac{6}{7}\right)^2}\right] \\ &= \frac{7^n - 5n + 4}{7^{n-1} \cdot 6} + \frac{5}{7} \cdot \frac{7^{n-1} - 1}{7^{n-2} \cdot 36} \end{align*} \]

    5.5.2 முடிவு தொடரின் தொலைநோக்கி கூடுதல் (Telescopic Summation for Finite Series)#

    முடிவு அல்லது முடிவுறா தொடர்களின் கூடுதல் காண பொதுவாக பயன்படுத்தும் முறை தொலைநோக்கி கூடுதல் ஆகும். இந்த முறையில் கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் உறுப்புகளின் கூடுதலை இரண்டு உறுப்புகளின் வித்தியாசமாக எழுதி காணலாம். வழக்கமாக முதல் உறுப்பு மற்றும் கடைசி உறுப்பு தவிர மற்ற உறுப்புகள் ஒன்றையொன்று நீக்கிக் கொள்ளும். இடைப்பட்ட உறுப்புகளை நீக்கிய பின்பு, தொலைவில் இருந்த கடைசி உறுப்பு முதல் உறுப்பிற்கு வெகு அருகில் இருக்கும். எனவே இந்த முறை தொலைநோக்கி கூடுதல் (Telescopic Summation) எனப்படும். இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி சில கணக்குகளைச் செய்யலாம்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.17#

    \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\) -ன் மதிப்பு காண்க.

    தீர்வு:

    \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \]\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{n+1} \end{align*} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.18#

    \(\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\) -ன் மதிப்பு காண்க.

    தீர்வு:

    \[ \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} = \frac{(k+1)^2 - k^2}{k^2(k+1)^2} = \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2} \]\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} &= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\right) \\ &= \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \end{align*} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.19#

    \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) -ன் மதிப்பு காண்க.

    தீர்வு:

    \[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) \]\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1} \end{align*} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.20#

    \(1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1} = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}, x \neq 1\) என நிறுவுக.

    தீர்வு:

    \[ S = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1} \]\[ xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n \]\[ S - xS = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + \dots + [nx^{n-1} - (n-1)x^{n-1}] - nx^n \]\[ (1-x)S = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n \]\[ (1-x)S = \frac{1-x^n}{1-x} - nx^n \]\[ S = \frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x} = \frac{1-x^n - nx^n(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]

    பயிற்சி 5.3#

    1. பின்வரும் முடிவுறு தொடர்களின் கூடுதல் காண்க.

    (i) \(1 + 2 + 3 + \dots + 50\)

    (ii) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 25^2\)

    (iii) \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 20^3\)

    1. \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    2. \(1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)(n+2)\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    3. \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    4. \(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    5. \(\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \frac{3^2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    6. \(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (2n-1)^2 - (2n)^2\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    7. \(\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + \dots + \frac{2n-1}{2^n}\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    8. \(\frac{5}{2} + \frac{7}{4} + \frac{9}{8} + \dots + \frac{2n+3}{2^n}\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    9. \(1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \dots\) என்ற முடிவுறா தொடரின் கூடுதல் காண்க.

    10. \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}\)-ன் மதிப்பு காண்க.

    11. \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)-ன் மதிப்பு காண்க.

    5.6 முடிவுறா தொடர் முறைகள் மற்றும் தொடர்கள் (Infinite Sequences and Series)#

    குறிப்பிட்ட மெய்யெண்களின் கூட்டலானது மெய்யெண்களின் பண்புகளின் அடிப்படையில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் முடிவுறா தொடர்களைப் பற்றி அறிய நாம் ஒருங்குத் தன்மையைப் பற்றிய கருத்தை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டியுள்ளது. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots\) என்ற முடிவிலாத் தொடரை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் மிகை, இதற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்பு அளிக்க இயலுமா? முதல் பார்வையில் அது கடினமாக அல்லது முடியாததாக இருக்கும். இந்தத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நோக்கி சிறிது சிறிதாக நகர்வதைக் காணலாம்.

    இத்தகைய ஆர்வமுள்ள ஒரு கணக்குடன் தொடங்குவோம். \(A, B\) என்ற இரு தட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம். \(A\) தட்டில் ஒரு முழு அப்பத்தையும் \(B\) தட்டினை காலியாகவும் வைக்கவும். \(A\) தட்டில் உள்ள அப்பத்தை இரும்பாகமாக வெட்டி ஒரு பாகத்தை \(B\) தட்டில் வைக்கவும். மறுபடியும் \(A\) இல் உள்ள பாதி அப்பத்தை பாதியாக வெட்டி ஒரு பகுதியை \(B\) இல் வைக்கவும். இந்த முறையை தொடர்ந்து செய்து கொண்டிருந்தால் இறுதியில் \(A\) மற்றும் \(B\) தட்டுகளில் எவ்வளவு அப்பம் இருக்கும். இதை நாம் கீழே ஒவ்வொரு நிலையாக தருவோம்.

    நிலைதட்டு Aதட்டு B
    010
    11/21/2
    21/41/2 + 1/4
    31/81/2 + 1/4 + 1/8
    41/161/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
    51/321/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32
    ………
    n\(1/2^n\)\(1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + \dots + 1/2^n\)
    ………

    படம் 5.3

    இதனைப் பார்க்கும்போது “முடிவில்” (finally) தட்டு \(A\) இல் ஒன்றுமிருக்காது, \(B\) இல் ஒரு முழு அப்பமும் இருக்கும் எனத் தோன்றும். அதாவது \(A\) தட்டில் இருப்பது 0, \(B\) தட்டில் இருப்பது 1 எனத் தோன்றும்.

    அதாவது \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\) என்பது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி “செல்கிறது” (goes) என உணரலாம்.

    மற்றும் \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \dots\) என்பது 1 ஐ நோக்கி “செல்கிறது” என உணரலாம்

    அதாவது, \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots\)-ன் மதிப்பு 1.

    இப்பிரிவில் ‘முடிவில்’ மற்றும் ‘செல்கிறது’ என்ற சொற்கள் தகுந்த முறையில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்பதையும், இதுபோல் முடிவற்ற உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்பது பற்றியும் அறிவோம்.

    \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots\) பூஜ்ஜியத்தை “நோக்கிச் செல்கிறது” என உணரலாம். இதே போல் \(1, \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, \frac{1}{10000}, \dots\) பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்கிறது என உணரலாம்.

    \((a_n)\) ஒரு தொடர்முறை மற்றும் \(a\) ஒரு எண் என்க. கொடுக்கப்பட்ட எந்த ஒரு மிகச் சிறிய மிகை எண்ணுக்கும், ஏதோ ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையில் \(a_n\)-க்கும் \(a\)-க்கும் இடையில் உள்ள தூரம் அந்த எண்ணையிடக் குறைவாக இருப்பின், \(n\) ஆனது \(\infty\)-ஐ நெருங்கும் போது, \(a_n\) ஆனது \(a\)-ஐ நெருங்குகிறது எனலாம். நுட்பமாக கூற வேண்டுமாயின் \(n \to \infty\) எனில் \(a_n \to a\) எனலாம். வேறுவகையில் கூறுவதாயின் \(a_n\)-ஆனது எல்லை வழியாக \(a\)-ஐ அடைகிறது எனலாம். அல்லது \(n \to \infty\) எனும் போது \(a_n\)-ன் எல்லை \(a\) ஆகும். இதனை, தொடர்முறை \((a_n)\) என்பது \(a\) க்கு ஒருங்குகிறது எனவும் கூறலாம். இதனையே குறியீட்டில் \(\lim_{n \to \infty} a_n = a\) என எழுதலாம். அதே சமயம் \(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots\) என்ற தொடர்முறை ஏதோ ஒரு எண்ணுக்கு செல்கிறது எனக் கூற இயலாது. இது எந்த ஒரு எல்லை மதிப்பிற்கும் ஒருங்காக செல்லவில்லை. எனவே, இந்த தொடர்முறைக்கு எல்லை மதிப்பும் இல்லை. அப்படி ஒரு எல்லையை நோக்கி நகரும் தொடர்முறையின் மதிப்பு ஒருமைத் தன்மை உடையதாகும்.

    5.6.1 பிபுனாச்சி தொடர்முறை (Fibonacci Sequence)#

    பிபுனாச்சி தொடர்முறை என்பது முதல் இரண்டு எண்கள் 1, 1 ஆகவும் அடுத்த எண்கள் அதற்கு முன்னர் உள்ள இரு எண்களை கூட்டி கிடைக்கின்ற ஒரு எண்களின் தொடர் ஆகும். இது, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots என்று செல்கிறது. இதன் விதி \(x_n = x_{n-1} + x_{n-2}, n \ge 3\), மற்றும் \(x_1 = 1, x_2 = 1\) ஆகும். பிபுனாச்சி என்ற கணிதமேதையின் பெயரால் இத்தொடர் பிபுனாச்சி தொடர்முறை (Fibonacci Sequence) என அழைக்கப்படுகிறது. இது வியனர்போ பிரா அல்லது வியனர்போ பிராணோ எனவும் அழைக்கப்படும். பிபுனாச்சி தொடர் 1202 இல் முதன் முதலில் விபர் அபாசி என்ற புத்தகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பிசன் நகர வணிகரின் மகனான பிபுனாச்சி, பல இடங்களுக்கு பயணம் செய்து விரிவாக வணிகம் செய்தவர். வர்த்தக தொழிலில் இருப்பவர்களுக்கு கணிதம் மிக முக்கியமானது என்பதால் பிபுனாச்சி தனது சிறு வயது முதற்கொண்டே எண்களின் மீதான பேரார்வத்தை வளர்த்துக் கொண்டார். இந்து - அராபிக் எண்கணித முறையில் தான் முதன் முதலில் எண்களைப் பற்றிய கருத்துக்கள் உருவானது என்பர். பிபுனாச்சி வட ஆப்பிரிக்காவில் இருந்த போது இவற்றை கற்றறிந்தார். விபர் அபாசி புத்தகம் வெளிவருவதற்கு முன்பு லத்தின் மொழி உலகிற்கு தசம எண் முறை அறிமுகப்படுத்தப்படாமல் இருந்தது. இவர் வடிவியல், வணிக எண்கணிதம் மற்றும் விகிதமுறை எண்கள் பற்றி பல புத்தகங்கள் எழுதியுள்ளார். இவர் பூஜ்ஜியம் பற்றிய கருத்து உருவாவதிலும் பங்களித்துள்ளார்.

    | \(n\) = | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | … | |—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—| | \(x_n\) = | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | … |

    எடுத்துக்காட்டாக, 6 ஆவது மற்றும் 7 ஆவது இடத்து மதிப்புகளைக் கூட்ட 8 ஆவது இடத்தின் மதிப்பு கிடைக்கிறது அதாவது \(x_8 = 8 + 13 = 21\)

    குறிப்பு: பிபுனாச்சி தொடர்முறையின் ஆர்வமுள்ள முறைகளைக் காணலாம். பின்வருவனவற்றை கவனியுங்கள்

    (i) ஒவ்வொரு மூன்றாவது எண்ணும் 3 ஆவது உறுப்பின் மடங்காக இருக்கும். \(t_2 = 3\)?

    (ii) ஒவ்வொரு நான்காவது எண்ணும் 4 ஆவது உறுப்பின் மடங்காக இருக்கும். \(t_3 = 4\)?

    (iii) ஒவ்வொரு ஐந்தாவது எண்ணும் 5 ஆவது உறுப்பின் மடங்காக இருக்கும். \(t_5 = 5\)?

    (iv) ஒவ்வொரு \(n\) ஆவது எண்ணும் \(n\) ஆவது உறுப்பின் மடங்காக இருக்கும்.

    முடிவுறா தொடர் (Infinite Series)#

    \((a_n)\) என்பது ஒரு முடிவற்ற தொடர்முறை எனில், \(a_1 + a_2 + \dots\) என்பது முடிவற்ற தொடர் எனப்படும். இதனை, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) எனக் குறிக்கலாம்.

    இப்பகுதியின் தொடக்கத்தில் \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots\) என்ற ஒரு முடிவுறா தொடரைப் பார்த்தோம். இதன் கூடுதல் 1 என உணரப்பட்டது அப்பம் கணக்கில் \(B\) தட்டில் உள்ள அப்பம் ஒவ்வொரு நிலையிலும் பின்வருமாறு இருந்தது. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}, \dots\) இதன் \(n\) ஆவது உறுப்பு, \(s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}\) மற்றும் அதன் மதிப்பு \(\frac{2^n - 1}{2^n}\) ஆகும்.

    இந்த கூடுதல் \(s_n\) எனில், \(\lim_{n \to \infty} s_n = 1\) ஆகும்.

    ஆதலால், \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots\) என்பது 1 என உணரப்பட்டது.

    இதுபோல் \((a_n)\) என்பது மெய் எண் தொடர் முறை மற்றும், \(s_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\) எனில் தொடர் ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லை \(s\)-க்கு ஒருங்குமானால் தொடர்முறை \(a_n\) கூட்டக்கூடியது என்றும் அதன் கூடுதல் \(s\) என்றும் கொள்ளலாம்.

    இதை, \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s\) என எழுதலாம். எனவே, இந்நிலையில் இத்தொடர் \(s\)-க்கு ஒருங்குகிறது என கூறுவது வழக்கம்.

    வரையறை 5.6:#

    \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\), ஒரு மெய்யெண்களின் தொடர் என்க. \(s_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n, n \in \mathbb{N}\) என்க. \(s_n\) என்ற தொடர் முறை, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) என்ற தொடரின் பகுதிக் கூட்டல் (Partial Sum) எனப்படும். \(s_n\) ஆனது ஒருங்கமைவு உடையதாகவும், \(\lim_{n \to \infty} s_n = s\) எனில், \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) என்ற தொடர் ஒருங்குதொடர் (Convergent Series) எனவும் அதன் மதிப்பு \(s\) எனவும் அழைக்கப்படும்.

    \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = s\) என எழுதலாம். சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம். \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\) என்ற தொடர் ஒருங்கு தொடராக இருக்காது, ஏன் எனில் \(1, 0, 1, 0, 1, \dots\) என்பதன் பகுதிக் கூட்டல் ஒருங்கு தன்மையற்றது.

    குறிப்பு: முடிவுறு கூட்டுத் தொடர்களுக்கான இயற்கணித விதிகளை நாம் அப்படியே முடிவுறா தொடர்களுக்கும் பயன்படுத்த முடியாது.

    \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots\) என்ற தொடரை எடுத்துக்கொள்வோம்.

    \(S = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots\) எனில், ஒருவர் \(S\)-ன் மதிப்புகள் முறையே 0 அல்லது 1 அல்லது \(\frac{1}{2}\) என பின்வரும் வகையில் எடுத்துக்கொண்டு தர்க்கம் செய்யலாம்.

    அதாவது, \(S = (1-1) + (1-1) + \dots = 0\),

    \(S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \dots = 1\),

    அல்லது \(S = 1 - S \Rightarrow S = \frac{1}{2}\)

    \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) என்ற தொடர் \(x = -\frac{1}{2}\)-க்கு ஒருங்குகிறது. ஆனால், \(x = 2\) எனில், இந்த தொடர் ஒருங்கவில்லை. இதிலிருந்து, \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) என்ற தொடர் \(x\)-ன் சில மதிப்புகளுக்கு ஒருங்குகிறது எனவும் \(x\)-ன் சில மதிப்புகளுக்கு ஒருங்கவில்லை என்பதும் தெரிகிறது. \(x\)-ன் எந்த மதிப்புகளுக்கு இது போன்ற தொடர்கள் ஒருங்குகிறது என்பது இந்தப் புத்தகத்திற்கு அப்பாற்பட்டது. எனினும், இந்த அலகின் பின்வரும் பகுதியில் சில தொடர்கள் \(x\)-ன் எந்த மதிப்புகளுக்கு ஒருங்குகிறது என்பதையும் அப்படி ஒருங்குமானால் அதன் மதிப்பும் தரப்பட்டுள்ளன.

    5.6.2 முடிவுறா பெருக்குத் தொடர் (Infinite Geometric Series)#

    \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) என்ற தொடர் பெருக்குத் தொடர் எனப்படும். \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n, x \neq 1\) என்ற தொடரை எடுத்துக்கொள்வோம். \(s_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}\) எனில், \(|x| < 1\) என இருக்கும்போது, \(x^n\) பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்வதால் \(s_n\) என்பது \(\frac{1}{1-x}\) என்பதை நோக்கி செல்கிறது எனலாம்.

    • \(|x| < 1\) என்பதை நிறைவு செய்யும் எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும் \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) என்ற தொடர் ஒருங்கும் தன்மையுடையதாகவும். அதன் கூடுதலை \(\frac{1}{1-x}\) எனவும், எழுதலாம் அதாவது, \(|x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும்

    \[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \]

    • \(|x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும் \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\) என்ற தொடர் ஒருங்கும் தன்மையுடையதாகவும் அதன் கூடுதலை \(\frac{1}{1+x}\) எனவும் எழுதலாம்.

    அதாவது, \(|x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும்

    \[ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \]

    • \(|x| < \frac{1}{2}\) எனவுள்ள எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும் \(\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n\) என்ற தொடர் ஒருங்கும் தன்மையுடையதாகவும் அதன் கூடுதலை \(\frac{1}{1-2x}\) எனவும் எழுதலாம்.

    அதாவது \(|x| < \frac{1}{2}\) எனவுள்ள எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும்

    \[ \frac{1}{1-2x} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots \]

    • எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும் \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) என்ற தொடர் ஒருங்கும் தன்மையுடையதாகவும் அதனை \(e^x\) எனவும் எழுதலாம்.

    அதாவது எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும் \(e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\) ஆகும்.

    • \(x = 0\)-க்கு மட்டும் \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\) ஒருங்கு தன்மையுடையது.

    சில சிறப்புத் தொடர்களைக் காண்போம். அந்த தொடர்கள் ஒருங்குகின்றது என்ற அடிப்படையில் சில கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணலாம்.

    5.6.3 முடிவுறா கூட்டு – பெருக்குத் தொடர் (Infinite Arithmetic-Geometric Series)#

    • \(\sum_{n=1}^{\infty} (a + (n-1)d)r^{n-1}\) என்ற கூட்டு – பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல்

    \[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}; \quad -1 < r < 1 \text{ ஆகும்.} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.20#

    \(1 + \frac{4}{5} + \frac{7}{25} + \frac{10}{125} + \dots\)-ன் கூடுதல் காண்க.

    தீர்வு:

    இங்கு, \(a = 1, d = 3\) மற்றும் \(r = \frac{1}{5}\).

    \[ \begin{aligned} S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} \\ &= \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} + \frac{3 \times \frac{1}{5}}{(1 - \frac{1}{5})^2} \\ &= \frac{5}{4} + \frac{3/5}{(4/5)^2} = \frac{5}{4} + \frac{3/5}{16/25} \\ &= \frac{5}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{25}{16} = \frac{5}{4} + \frac{15}{16} = \frac{20 + 15}{16} = \frac{35}{16} \end{aligned} \]

    5.6.4 முடிவுறா தொடருக்கான தொலைநோக்கி கூடுதல் (Telescopic Summation for Infinite Series)#

    இதற்கு முன்னர் 5.5.2 இல், ஒரு முடிவுறு தொடரின் கூடுதலை தொலைநோக்கி கூடுதல் முறையில் பார்த்துள்ளோம். எனவே, இதே முறையில் முடிவுறா தொடரின் கூடுதலும் காண இயலும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.21#

    \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 5n + 6}\) -ன் கூடுதல் காண்க.

    தீர்வு:

    கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் \(n\) ஆவது உறுப்பு \(a_n\) என்க. அதனால், \(a_n = \frac{1}{n^2 + 5n + 6}\) பகுதி பின்னத்தை பயன்படுத்தி \(a_n = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\) என அறியலாம்.

    இந்த தொடரின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_n\) என்க.

    \[ \begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_n \\ &= \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right) \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \end{aligned} \]

    \(n\) ஆனது முடிவிலியை நோக்கி செல்லும்போது \(\frac{1}{n+3}\) ஆனது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்லும். எனவே, \(\frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \to \frac{1}{3}\) அல்லது \(S_n \to \frac{1}{3}\) எனலாம். அதாவது \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 5n + 6} = \frac{1}{3}\)

    5.6.5 ஈருறுப்புத் தொடர் (Binomial Series)#

    பெருக்குத் தொடரில் நாம் பார்த்த சில தொடர்கள் \(x\)-ன் பொருந்திய மதிப்புகளுக்கு

    \[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots, \]\[ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots \text{ மற்றும்} \]\[ \frac{1}{1-2x} = 1 + 2x + 4x^2 + \dots, \]

    அதனால் \(\frac{1}{1-x}, \frac{1}{1+x}\) மற்றும் \(\frac{1}{1-2x}\) போன்றவைகளை \((1-x)^{-1}, (1+x)^{-1}\) மற்றும் \((1-2x)^{-1}\) எனவும் எழுதலாம். இதன் மூலம் \((1+x), (1-x)\dots\) போன்றவற்றிற்கு அடுக்குகள் குறை எண்ணாக வாய்ப்புள்ளது எனத் தெரிகிறது. அதாவது அடுக்கானது குறை, மிகை முழு எண்களாகவோ அல்லது விகிதமுறு எண்ணாகவோ இருக்கலாம், மேலும் \((1+x)\)-ன் அடுக்கு ஒரு விகிதமுறா எண்ணாக கூட இருக்கலாம். ஏற்கனவே நாம் தேற்றம் 5.1 மூலம், அடுக்கு மிகை எண்ணாக இருக்கும் போது ஈருறுப்புத் தேற்றத்தினை நிரூபித்துள்ளோம். இப்போது விகிதமுறு அடுக்குகளுக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தை காண்போம்.

    தேற்றம் 5.4 (விகிதமுறு அடுக்கிற்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம் - Binomial Theorem for Rational Exponent)#

    ஏதேனும் ஒரு விகிதமுறு எண் \(n\)-க்கு, \(|x| < 1\) ஐ நிறைவு செய்யும் எல்லா மெய்யெண் \(x\)-க்கும்

    \[ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots \]

    இதற்கான நிரூபணமானது உயர் கணித கோட்பாடுகளை உள்ளடக்கியது என்பதால் தேற்றத்தை நிரூபணம் இல்லாமல் எடுத்துக்கொண்டு சில குறிப்பிட்ட நிலைகளைக் காணலாம் மேலும் அவற்றின் மூலம் சில கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காண்போம். இந்த தேற்றத்தில்

    1. \(x\) ஐ \(-x\) ஆக பிரதியிட,
    \[ (1-x)^n = 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 - \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots \quad (|x| < 1) \]
    1. \(n\)-க்குப் பதிலாக \(-n\) ஐப் பிரதியிட,
    \[ (1+x)^{-n} = 1 + (-n)x + \frac{(-n)(-n-1)}{2!}x^2 + \frac{(-n)(-n-1)(-n-2)}{3!}x^3 + \dots \]

    அதாவது,

    \[ (1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \dots \quad (|x| < 1) \]
    1. \(x\)-க்கும் \(n\)-க்கும் பதிலாக முறையே \(-x\) மற்றும் \(-n\) எனப் பிரதியிட,
    \[ (1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \dots \quad (|x| < 1) \]

    தேற்றத்தில், \(n\) ஒரு விகிதமுறு எண் என வெளிப்படையாக குறிப்பிடப்பட்டிருந்தாலும், பொதுவான விகிதமுறு எண் வடிவம் \(\frac{p}{q}\) (\(q \neq 0\)) ஆகும். எனவே, \(n = \frac{p}{q}\) என எடுத்து விரிவாக்கத்தினை எழுதலாம்.

    \[ (1+x)^{\frac{p}{q}} = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{\frac{p}{q}\left(\frac{p}{q}-1\right)}{2!}x^2 + \frac{\frac{p}{q}\left(\frac{p}{q}-1\right)\left(\frac{p}{q}-2\right)}{3!}x^3 + \dots \quad (|x| < 1) \]\[ = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{p(p-q)}{q^2 2!}x^2 + \frac{p(p-q)(p-2q)}{q^3 3!}x^3 + \dots \quad (|x| < 1) \]

    \((1+x)^n\) ஐ கணக்கிட ஏதுவான சூத்திரங்கள் மேலே கொடுக்கப்பட்டிருந்தாலும், சில எண்ணியல் கணக்குகளுக்கு எளிமையாக தீர்வு காண நேரடியான சில விரிவாக்கங்கள் தேவைப்படும்.

    இவ்வாறான ஒவ்வொரு விரிவும் கெழுக்களை உற்று நோக்குதல், கணக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கு மிகவும் எளிதாக இருக்கும். சிலவற்றை நாம் பட்டியலிடுவோம்.

    [

    1. \quad (1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots ]
    \[ 2. \quad (1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \]\[ 3. \quad (1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + \dots \]\[ 4. \quad (1+x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + \dots \]

    இவை அனைத்து விரிவாக்கங்களும் \(|x| < 1\) எனும் போது மட்டுமே பொருந்தும்.

    எடுத்துக்காட்டு 5.22#

    \(|x| < 1\) என்ற மதிப்பிற்கு, \((1+x)^{\frac{2}{3}}\) ஐ முதல் நான்கு உறுப்புகள் வரை விரிவுபடுத்தி எழுதுக.

    தீர்வு:

    இங்கு, \(n = \frac{2}{3}\)

    \[ nx = \frac{2}{3}x \]\[ \frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3} - 1\right)}{2}x^2 = \frac{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)}{2}x^2 = -\frac{1}{9}x^2 \]\[ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 = \frac{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)}{6}x^3 = \frac{\frac{8}{27}}{6}x^3 = \frac{4}{81}x^3 \]

    இதனால், \((1+x)^{\frac{2}{3}} = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3 + \dots\)

    எடுத்துக்காட்டு 5.23#

    \(\frac{1}{(1+3x)^2}\) ஐ \(x\)-ன் அடுக்குகளாக விரிவாக்கம் செய்க. அந்த விரிவாக்கம் சரியாக இருப்பதற்கான \(x\)-ன் நிபந்தனையைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \(3x = y\) எனில், \(\frac{1}{(1+3x)^2} = \frac{1}{(1+y)^2}\)

    இப்போது, \(\frac{1}{(1+y)^2}\) ஐ ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் மூலம் \(y\)-ன் அடுக்குகளாக எழுதலாம் \(|y| < 1\) எனவுள்ள எல்லா \(y\) மதிப்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். பின்பு \(y\)-க்கு \(3x\) எனப் பிரதியிட, \(|3x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா \(x\) மதிப்புகளுக்கும் \(\frac{1}{(1+3x)^2}\)-ன் விரிவு ஏற்புடையதாகும். \(|x| < \frac{1}{3}\) ஐ நிறைவு செய்யும் \(x\)-ன் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே இந்த விரிவு பொருந்தும்.

    \[ \begin{aligned} \frac{1}{(1+3x)^2} &= (1+3x)^{-2} \\ &= 1 + (-2)(3x) + \frac{(-2)(-3)}{2!}(3x)^2 + \frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}(3x)^3 + \frac{(-2)(-3)(-4)(-5)}{4!}(3x)^4 - \dots \end{aligned} \]\[ = 1 - 6x + \frac{6}{2} \cdot 9x^2 - \frac{24}{6} \cdot 27x^3 + \frac{120}{24} \cdot 81x^4 - \dots \]\[ = 1 - 6x + 27x^2 - 108x^3 + 405x^4 - \dots, \quad |x| < \frac{1}{3} \]

    எடுத்துக்காட்டு 5.24#

    \(\frac{1}{(3+2x)^2}\) ஐ \(x\)-ன் அடுக்குகளாக விரிவாக்கம் செய்க. அந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருப்பதற்கான \(x\)-ன் நிபந்தனையைக் காண்க.

    தீர்வு:

    இங்கு நாம் \((1+x)^2\)-ன் விரிவாக்கத்தினைப் பயன்படுத்துவோம்.

    அதற்கு \((3+2x)\) ஐ \(3\left(1 + \frac{2x}{3}\right)\) என எழுதுவோம்.

    எனவே \(\frac{1}{(3+2x)^2} = \frac{1}{9\left(1 + \frac{2x}{3}\right)^2} = \frac{1}{9} \left(1 + \frac{2x}{3}\right)^{-2}\)

    \(\left|\frac{2x}{3}\right| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{3}{2}\)

    \[ \begin{aligned} \left(1 + \frac{2x}{3}\right)^{-2} &= 1 + (-2)\left(\frac{2x}{3}\right) + \frac{(-2)(-3)}{2!}\left(\frac{2x}{3}\right)^2 + \frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}\left(\frac{2x}{3}\right)^3 + \dots \\ &= 1 - \frac{4x}{3} + 3 \cdot \frac{4x^2}{9} - 4 \cdot \frac{8x^3}{27} + \dots \\ &= 1 - \frac{4x}{3} + \frac{4x^2}{3} - \frac{32x^3}{27} + \dots \end{aligned} \]

    எனவே, \(\frac{1}{(3+2x)^2} = \frac{1}{9} - \frac{4x}{27} + \frac{4x^2}{27} - \frac{32x^3}{243} + \dots, \quad |x| < \frac{3}{2}\)

    5.6.6 அடுக்குக்குறித் தொடர் (Exponential Series)#

    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) என்ற தொடர் அடுக்குக்குறித் தொடர் (Exponential Series) எனப்படும். இந்த தொடர் \(x\)-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் ஒருங்கும் என நிறுவலாம்.

    எல்லா மெய்யெண் மதிப்பு \(x\)-க்கும் \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\). இங்கு,

    \[ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \]\[ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \tag{5.1} \]

    எல்லா \(x\)-ன் மதிப்பிற்கும் (5.1) இல் \(x\) ஐ \(-x\) என பிரதியிட,

    \[ e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \tag{5.2} \]

    என கிடைக்கிறது.

    குறிப்பாக, \(e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots\) மற்றும் \(\frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots\)

    5.1 மற்றும் 5.2 ஆகியவைகளிலிருந்து

    \[ \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \text{ மற்றும் } \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{x}{1!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]

    என கிடைக்கும். குறிப்பாக,

    \[ \frac{e + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \text{ மற்றும் } \frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \text{ ஆகும்.} \]

    (5.1) இல் \(x\)-க்கு பதிலாக \(2x\) ஐ பிரதியிட,

    \[ e^{2x} = 1 + \frac{2x}{1!} + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots \]

    சுருக்கும்பொழுது நமக்கு கிடைப்பது,

    \[ e^{2x} = 1 + \frac{2x}{1!} + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \frac{16x^4}{4!} + \dots \]

    5.6.7 மடக்கைத் தொடர் (Logarithmic Series)#

    \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}\) என்ற தொடர் மடக்கைத் தொடர் (Logarithmic Series) எனப்படும். இந்த தொடர் \(|x| < 1\) எனவுள்ள \(x\)-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் ஒருங்குகின்றது. \(x = 1\)-க்கும் இந்த தொடர் ஒருங்குகின்றது.

    \(|x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா \(x\) மதிப்புகளுக்கும் இந்த தொடரின் கூடுதல் \(\log(1+x)\) ஆகும். இதனால்

    \[ \log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \]

    \(|x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா \(x\) மதிப்புகளுக்கும் \(x\)-க்கு பதிலாக \(-x\) என பிரதியிட,

    \[ \log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots \text{ எனக் கிடைக்கின்றது.} \]

    \(|x| < 1\) எனவுள்ள எல்லா \(x\) மதிப்புகளுக்கும்

    \[ \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \log(1+x) - \log(1-x) \]

    இதனைப் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது,

    \[ \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots\right] \]

    உதாரணமாக, \(\log(1 + 2x)\) ஐ ஒரு தொடராக எழுத வேண்டுமானால், \(2x\)-க்கு பதிலாக \(y\)-ஐப் பிரதியிட, \(|y| < 1\) என்ற எல்லா \(y\) க்கும் \(\log(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} + \dots\) எனக் கிடைக்கும். ஆனால், \(|y| < 1\) என்பது \(|2x| < 1\) ஆகும். எனவே, \(|x| < \frac{1}{2}\) க்கு,

    \[ \log(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \frac{(2x)^4}{4} + \dots \text{ ஆகும்.} \]

    எனவே, \(\log(1+2x) = 2x - \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{3} - \frac{16x^4}{4} + \dots\) \(|x| < \frac{1}{2}\) எனவுள்ள \(x\)-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

    பயிற்சி 5.4#

    1. பின்வருவனவற்றை \(x\)-ன் ஏறுவரிசை அடுக்குகளாக விரிவாக்கம் செய்க. அந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருப்பதற்கான \(x\)-ன் நிபந்தனையைக் காண்க.

    (i) \(\frac{1}{5+x}\) (ii) \(\frac{1}{(3+4x)^2}\) (iii) \(\sqrt{5+x}\) (iv) \((x+2)^{-3}\)

    1. \(\sqrt[3]{1001}\)-ன் மதிப்பைத் தோராயமாக காண்க. (இரு தசமத்திருத்தமாக)

    2. \(x\) ஒரு தேவையான அளவிலான பெரிய எண் எனில், \(\sqrt[3]{x^3+6} - \sqrt[3]{x^3+3}\)-ன் மதிப்பைத் தோராயமாக \(\frac{1}{x^2}\) என நிறுவுக.

    3. \(x\) மிகச் சிறியது எனில், \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\) என்பது தோராயமாக \(1 - x + \frac{x^2}{2}\) என நிறுவுக.

    4. பின்வரும் அடுக்குக்குறித் தொடரில் முதல் 6 உறுப்புகளைக் காண்க.

    (i) \(e^{2x}\) (ii) \(e^{-2x}\) (iii) \(e^{3x}\)

    1. பின்வரும் மடக்கைத் தொடர்களின் முதல் 4 உறுப்புகளைக் காண்க.

    (i) \(\log(1 + 4x)\) (ii) \(\log(1 - 2x)\) (iii) \(\log(1 + 3x)\) (iv) \(\log(1 - 2x)\)

    இந்த விரிவுகள் ஒவ்வொன்றும் எந்த இடைவெளியில் ஏற்புடையது எனவும் காண்க.

    1. \(y = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\) எனில், \(x = y - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} - \frac{y^4}{4!} + \dots\) என நிறுவுக.

    2. \(p\) மற்றும் \(q\) ஐ ஒப்பிடும்போது \(p - q\) சிறியது எனில், \(\sqrt[n]{\frac{p}{q}} \approx \frac{(n+1)p + (n-1)q}{(n-1)p + (n+1)q}\) என நிறுவுக. இதன் மூலம் \(\sqrt{15}\) -ன் மதிப்பினைக் காண்க.

    3. \(\frac{3 - 4x + x^2}{e^{2x}}\) -ன் விரிவில் \(x^4\)-ன் கெழுவைக் காண்க.

    4. மதிப்புக் காண்க: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{9^{n-1}} + \frac{1}{9^{2n-1}}\)

    பயிற்சி 5.5 (சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்)#

    1. \(2 + 4 + 6 + \dots + 2n\)-ன் மதிப்பு

    (1) \(n(n-1)\) (2) \(n(n+1)\) (3) \(2n(2n+1)\) (4) \(\frac{n(n+1)}{2}\)

    1. \((2 + 2x)^{10}\) இல் \(x^6\)-ன் கெழு.

    (1) \(^{10}C_6\) (2) \(2^6\) (3) \(^{10}C_6 2^4\) (4) \(^{10}C_4 2^{10}\)

    1. \((2x + 3y)^{20}\) என்ற விரிவில் \(x^8 y^{12}\)-ன் கெழு

    (1) 0 (2) \(2^8 3^{12}\) (3) \(2^8 3^{12} + 2^{12} 3^8\) (4) \(^{20}C_8 2^8 3^{12}\)

    1. \(r\)-ன் எல்லா மதிப்புக்கும் \(^nC_{10} > ^nC_r\) எனில், \(n\)-ன் மதிப்பு

    (1) 10 (2) 21 (3) 19 (4) 20

    1. இரு எண்களின் கூட்டுச் சராசரி \(a\) மற்றும் பெருக்குச் சராசரி \(g\) எனில்,

    (1) \(a \le g\) (2) \(a \ge g\) (3) \(a = g\) (4) \(a > g\)

    1. \((1 + x^2)^2 (1 + x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + x^{n-4}\) மற்றும் \(a_0, a_1, a_2\) ஆகியவை கூட்டுத் தொடர் முறை எனில், \(n\)-ன் மதிப்பு

    (1) 1 (2) 5 (3) 2 (4) 4

    1. \(a, 8, b\) என்பன கூட்டுத் தொடர் முறை, \(a, 4, b\) என்பன பெருக்குத் தொடர் முறை மற்றும் \(a, x, b\) என்பன இசைத் தொடர் முறை எனில், \(x\)-ன் மதிப்பு

    (1) 2 (2) 1 (3) 4 (4) 16

    1. \(\frac{1}{3}, \frac{1}{3+2}, \frac{1}{3+2+2}, \dots\) என்ற தொடர்முறை

    (1) கூட்டுத் தொடர் முறை (2) பெருக்குத் தொடர் முறை (3) இசைத் தொடர் முறை (4) கூட்டு பெருக்குத் தொடர் முறை

    1. இரு மிகை எண்களின் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்குச் சராசரி முறையே 16 மற்றும் 8 எனில், அவற்றின் இசைச் சராசரி

    (1) 10 (2) 6 (3) 5 (4) 4

    1. பொது வித்தியாசம் \(d\) ஆக உள்ள ஒரு கூட்டுத் தொடரின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_n\) எனில், \(\frac{S_{3n} - S_{2n}}{S_{2n} - S_n}\) -ன் மதிப்பு

    (1) \(d\) (2) \(2d\) (3) \(4d\) (4) \(d^2\)

    1. \(38^{15}\) ஐ 13 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி

    (1) 12 (2) 1 (3) 11 (4) 5

    1. \(1, 2, 4, 7, 11, \dots\) என்ற தொடர் முறையின் \(n\) ஆவது உறுப்பு

    (1) \(\frac{n^2 + n + 3}{2}\) (2) \(\frac{n^2 + 3n - 3}{2}\) (3) \(\frac{n(n+1)}{2} + 1\) (4) \(\frac{n^2 + 2n - 2}{2}\)

    1. \(\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots\) என்ற தொடரின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல்

    (1) \(\frac{n}{2n+1}\) (2) \(\frac{2n}{2n+1}\) (3) \(\frac{n}{2n+1} - 1\) (4) \(\frac{2n}{2n+1} - 1\)

    1. \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \dots\) என்ற தொடர் முறையின் \(n\) ஆவது உறுப்பு

    (1) \(\frac{2^n - 1}{2^n}\) (2) \(1 - 2^{-n}\) (3) \(\frac{2^n + 1}{2^n}\) (4) \(2^{-n}\)

    1. \(2 + 8 + 18 + 32 + \dots\) என்ற தொடரின் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல்

    (1) \(n(n+1)\) (2) \(n(2n+1)\) (3) \(n^2(n+1)\) (4) \(n^2\)

    1. \(\frac{1}{2} + \frac{4}{4} + \frac{7}{8} + \frac{13}{16} + \frac{19}{32} + \dots\) என்ற தொடரின் மதிப்பு

    (1) 14 (2) 7 (3) 4 (4) 6

    1. ஒரு முடிவுறா பெருக்குத் தொடரின் மதிப்பு 18 மற்றும் அதன் முதல் உறுப்பு 6 எனில் பொது விகிதம்

    (1) \(\frac{1}{3}\) (2) \(\frac{2}{3}\) (3) \(\frac{1}{6}\) (4) \(\frac{3}{4}\)

    1. \(e^{-\frac{x}{2}}\) என்ற தொடரில் \(x^5\)-ன் கெழு

    (1) \(\frac{2}{3}\) (2) \(\frac{3}{2}\) (3) \(-\frac{4}{15}\) (4) \(\frac{4}{15}\)

    1. \(\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots\) மதிப்பு

    (1) \(\frac{e^2 + 1}{2e}\) (2) \(\frac{(e+1)^2}{2e}\) (3) \(\frac{(e-1)^2}{2e}\) (4) \(\frac{e^2 - 1}{2e}\)

    1. \(1 - \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \dots\) மதிப்பு

    (1) \(\log\left(\frac{5}{3}\right)\) (2) \(\frac{3}{2}\log\left(\frac{5}{3}\right)\) (3) \(\frac{5}{3}\log\left(\frac{5}{3}\right)\) (4) \(\frac{2}{3}\log\left(\frac{2}{3}\right)\)

    பாடத்தொகுப்பு (Summary)#

    இந்த தலைப்பில் நாம் தெரிந்து கொண்டவைகள்.

    ● \(n \in \mathbb{N}\) இக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம்

    \[ (a+b)^n = C_0 a^n b^0 + C_1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n a^0 b^n \]

    ● \(^nC_0 + ^nC_1 + \dots + ^nC_n = 2^n\)

    ● \(^nC_1 + ^nC_3 + ^nC_5 + \dots = ^nC_0 + ^nC_2 + ^nC_4 + \dots = 2^{n-1}\)

    ● \(AM \ge GM \ge HM\)

    ● கூட்டுத் தொடர் முறையின் \(n\) வது உறுப்பு \(T_n = a + (n-1)d\)

    ● பெருக்குத் தொடர் முறையின் \(n\) வது உறுப்பு \(T_n = ar^{n-1}\)

    ● கூட்டு – பெருக்குத் தொடர் முறையின் \(n\) வது உறுப்பு \(T_n = (a + (n-1)d)r^{n-1}\)

    ● \(a\) மற்றும் \(b\) ஏதேனும் இரு மிகை எண்கள் எனில் \(AM = \frac{a+b}{2}, GM = \sqrt{ab}, HM = \frac{2ab}{a+b}\)

    ● கூட்டுத் தொடரின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)

    ● பெருக்குத் தொடரின் முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}, r \neq 1\)

    ● கூட்டுப் பெருக்குத் தொடரின் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல்

    \[ S_n = \frac{a - (a + (n-1)d)r^n}{1-r} + dr\left(\frac{1-r^{n-1}}{(1-r)^2}\right), \quad r \neq 1 \]

    ● \(\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

    ● \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

    ● \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

    ● பிபுனாச்சி தொடர் \(1, 1, 2, 3, 5, \dots\)

    ● விகிதமுறு அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம்

    \[ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots \quad |x| < 1 \text{ எனவுள்ள} \]

    அனைத்து \(x\)-ன் மெய்யெண் மதிப்புக்கும் இது பொருந்தும்.

    ● \((1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots\)

    ● \((1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots\)

    ● \((1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + \dots\)

    ● \((1+x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + \dots\)

    ● \(e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\)

    ● \(e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\)

    ● \(\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots\) மற்றும் \(\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{x}{1!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots\)

    ● \(|x| < 1\) எனவுள்ள அனைத்து \(x\)-ன் மதிப்புகளுக்கும்

    \[ \log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \text{ ஆகும்.} \]

    ● \(|x| < 1\) எனவுள்ள அனைத்து \(x\)-ன் மதிப்புகளுக்கும்

    \[ \log(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots \text{ ஆகும்.} \]

    ● \(|x| < 1\) எனவுள்ள அனைத்து \(x\)-ன் மதிப்புகளுக்கும்

    \[ \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots\right] \text{ ஆகும்.} \]