அத்தியாயம் 4: சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல்#

“துணிச்சலான ஊகமின்றி எந்த ஒரு பெரிய கண்டுபிடிப்பும் நிகழ்ந்ததில்லை.”

-சர் ஐசக் நியூட்டன்.

4.1 அறிமுகம் (Introduction)#

சேர்ப்பியல் என்பது எவ்வாறு எண்ணுவது என்பதை எடுத்துரைக்கும் கணிதப் பிரிவு ஆகும். இதில் பொருட்களை எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம் எனவும் சில குறிப்பிட்ட பண்புடைய பொருட்களை எவ்வாறு எண்ணுவது என்பது பற்றியும் இங்கு விரிவாக காணலாம். இப்பாடத்தின் அடிப்படையானது, கி.மு (பொ.ஆ.மு) 2800 இல் மாய சதுரங்கள் மற்றும் அதனுடைய வடிவங்களைப் பற்றி படிப்பதற்கு பயன்படுத்தியுள்ளதாக அறிகிறோம்.

இங்கிலாந்தை சேர்ந்த இயற்பியல் மற்றும் கணிதவியல் வல்லுநரான சர் ஐசக் நியூட்டன் (Sir Isaac Newton) அவரது ஈர்ப்பு விசையை பற்றிய விதிகளுக்கு மிகவும் பிரபலமானவர், 17 ஆம் நூற்றாண்டின் அறிவியல் புரட்சியின் வித்தாக இருந்தார். நியூட்டனின் “வடிவங்களின் நிலைத்தன்மை” பற்றிய நம்பிக்கை அவரது குறிப்பிடத்தக்க முதல் கண்டுபிடிப்பான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவினை பொதுமைப்படுத்துவதற்கு பயன்பட்டது.

நியூட்டனின் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் கண்டுபிடிப்பானது வெளிவரைகளுக்கு இடையப்பட்ட பரப்பைக் காண எளிமையான வழியாக அமைந்தது. அவரது இந்த கண்டுபிடிப்பு நிகழ்தகவைப் புரிந்துகொள்வதற்கு மிகவும் அவசியம். பல்வேறு மாறிகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றம் (Multinomial Theorem) சேர்ப்பியல் மற்றும் தெள்ளியியலில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

பின்ன குறியீடுகளை அவர்தான் முதன்முதலில் பயன்படுத்தினார் மற்றும் இருபரிமாண வடிவியலை பயன்படுத்தி தியோஃபேன்டைனின் சமன்பாடுகளுக்கு (Diophantine Equations) தீர்வு கண்டார். அவர் இசைத் தொடர்முறைகளுக்கு பகுதி கூட்டத் தொகைகளின் தேற்றத்தை மடக்கையைக் கொண்டு கண்டறிந்தார். (இது யூலரின் கூட்டத் தொகை சூத்திரத்திற்கு ஓர் முன்னோடி), அடுக்குத் தொடர்முறையை முதன் முதலில் உறுதியாக பயன்படுத்தியது மட்டுமல்லாமல் அடுக்குத் தொடரை மாற்றியும் அமைத்தார். நியூட்டனின் முடிவில்லா தொடர்முறையின் கண்டுபிடிப்புகள் சைமன் ஸ்டேவினின் தசமங்களால் (Simon Stevin’s decimals) உந்தப்பட்டு உருவானவை.

1705 இல் இங்கிலாந்து ராஜ்ஜியத்தின் அரசி அன்னே (Queen Anne) சர் ஐசக் நியூட்டன் என பட்டம் கொடுத்து பாராட்டினார். லெபினிட்ஸ் (Leibnitz) உடன், நுண்கணிதத்தின் இன்றியமையாத கோட்பாடுகளை வளர்த்த பெருமை நியூட்டனுக்கு உண்டு.

நடைமுறை வாழ்வில் எங்கெல்லாம் எண்ணுதல் அவசியப்படுகின்றதோ அங்கெல்லாம் சேர்ப்பியல் பயன்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக, தேவைக்கு ஏற்றாற்போல் போதுமான அளவு கடவுச் சொற்களை உருவாக்க முடியுமா அல்லது கணிப்பொறியில் எத்தனை வித்தியாசமான கடவுச் சொற்களை அமைக்கலாம் என்பனவற்றை சேர்ப்பியலைக் கொண்டு தீர்மானிக்கலாம். மேலும், இது எத்தனை சிறந்த வழிகள் உள்ளன எனக் காண்பதற்கு அதாவது நடைமுறையில் உள்ள பல வாய்ப்புகளில் எத்தனை வாய்ப்புகள் உண்மையில் நமக்குச் சிறந்ததாக அமையும் எனக் காணப் பயன்படுகின்றது. இப் பகுதியில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் வரிசைப்படுத்தப்படாத அடுக்குதல்களை பற்றி நாம் படிக்கவுள்ளோம். இவ்வாறான அடுக்குதல்களை வரிசை மாற்றங்கள் மற்றும் சேர்வுகள் என்று அழைக்கிறோம். சேர்ப்பியலானது பெருமளவில் தகவல் தொடர்பு வலைப்பின்னல், குறியாக்கம், பாதுகாப்பு வலைப்பின்னல் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு போன்றவற்றில் எண்ணுதலுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நாம் இவற்றின் பண்புகளை ஆராய்ந்து அவற்றை எண்ணுதல் கணக்குகளில் பயன்படுத்துவோம்.

நாம் இப்பொழுது மற்றொரு சூழலை கருதுவோம்: நாம் பயன்படுத்தும் நுகர்வோர் மின் அட்லடயில் நுகர்வோர் எண் A:B:C என்ற வடிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதைப் பார்த்திருப்போம். இதில் A ஆனது துணை மின் நிலைய (Sub-station) அல்லது அதிக மின் திறன் கொண்ட மின்மாற்றி எண்ணையும், B ஆனது குறைந்த மின் திறன் கொண்ட மின்மாற்றி (Transformer) எண்ணையும் மேலும் C ஆனது நுகர்வோர் எண்ணையும் (Consumer Number) குறிக்கும். ஒவ்வொரு துணை மின் நிலையத்திற்கும் அதிகபட்சமாக ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான மின் மாற்றிகளைத்தான் இணைக்க இயலும், எனவும் மேலும் ஒவ்வொரு மின்மாற்றியிலும் அதிகபட்சமாக ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நுகர்வோர்களைத்தான் இணைக்க இயலும் என்கின்ற கட்டுப்பாடுகள் இருக்கலாம். ஒரு புதிய மின் நிலையமோ அல்லது மின்மாற்றியோ எப்பொழுது தேவைப்படும் என்பதை அறிய எத்தனை நுகர்வோர்கள் அந்த மின்மாற்றியில் அல்லது மின் நிலையத்தில் இணைக்கப்பட்டுள்ளனர் என்பதை அறிய எண்ணுவது அவசியமாகிறது. இந்த எண்ணிக்கையை எவ்வாறு நாம் பெறுவது? இத்தகைய எண்ணிக்கையை எண்ணுதலின் அடிப்படைக் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எளிதாக காணலாம்.

இப்பாடப்பகுதியில் எண்ணுதல் எனும் செயல் எவ்வாறு மேற்கொள்ள பட உள்ளது என்பதை எண்ணுதலின் அடிப்படைக் கொள்கைகளில் தொடங்கி வரிசை மாற்றங்கள் மற்றும் சேர்வுகள் வாயிலாக விரிவாகக் காணலாம்.

கற்றல் நோக்கங்கள்#

இப்பாடப்பகுதியை கற்ற பின் மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டிய பாடக் கருத்துகள்.

● எண்ணுதலின் அடிப்படை கொள்கைகளை பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தலாம் என்பதை அறிதல்.

● எத்தனை வழிகளில் வெவ்வேறான பொருட்களை வரிசைப்படுத்தலாம் என்பதை அறிதல்.

● ஒரு கணமானது ஒரே மாதிரியான பொருட்களை உள்ளடக்கியிருந்தால் அவற்றை எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம் என்பதை அறிதல்.

● ஒரு கணத்திலுள்ள வெவ்வேறான பொருட்களின், சேர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண உத்திகளைப் பயன்படுத்துதல்.

● கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் பயன்பாடுகளை அறிதல்.

நாம் கீழ்க்காணும் பாடப்பகுதியில் இருந்து தொடங்குவோம்.

4.2 எண்ணுதலின் அடிப்படைக் கொள்கைகள் (Fundamental Principles of Counting)#

1. கூட்டல் விதி (Sum Rule)#

செய்து முடிக்க வேண்டிய இரண்டு பணிகளை எடுத்துக்கொள்வோம். ஒரே நேரத்தில் செய்ய இயலாத இரண்டு பணிகளில் முதல் பணியினை M வழிகளிலும், இரண்டாவது பணியினை N வழிகளிலும் செய்யலாம் எனில், இவற்றில் ஏதேனும் ஒரு பணியினை \(M + N\) வழிகளில் செய்யலாம். இதனை எண்ணுதலின் கூட்டல் விதி என்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.1#

17 மாணவர்கள், 29 மாணவிகள் உள்ள வகுப்பிலிருந்து ஒரு போட்டிக்காக ஒரு மாணவியையோ அல்லது மாணவனையோ எத்தனை வெவ்வேறான வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்?

தீர்வு:

முதல் செயலான ஒரு மாணவியை தேர்ந்தெடுக்க 29 வழிகளும், இரண்டாவது செயலான ஒரு மாணவனை தேர்ந்தெடுக்க 17 வழிகளும் உள்ளன. எனவே இந்த தேர்வினை செய்ய எண்ணுதலின் கூட்டல் விதியின்படி, \(17 + 29 = 46\) வழிகள் உள்ளன.

குறிப்பு: இந்த விதியினை இரண்டிற்கு மேலான பணிகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம். ஆகவே ஒரே நேரத்தில் செய்ய இயலாத \(n\) பணிகள் \(T_1, T_2, T_3, \dots, T_n\) ஆகியவற்றை செய்து முடிக்க முறையே \(m_1, m_2, \dots, m_n\) வழிகள் உள்ளன எனில், இவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை \(m_1 + m_2 + \dots + m_n\) வழிகளில் செய்யலாம்.

2. பெருக்கல் விதி (Product Rule)#

ஒரு செயலை செய்ய இரு படி நிலைகள் உள்ளன எனக் கொள்க. முதல் படி நிலையை செய்ய M வெவ்வேறான வழிகளும் முதல் படி நிலையை செய்து முடித்தபின் இரண்டாவது படி நிலையைச் செய்ய N வெவ்வேறான வழிகளும் உள்ளன எனில், மொத்தமாக அந்த செயலை \(M \times N\) வழிகளில் செய்து முடிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.2#

சென்னை, திருச்சி மற்றும் திருநெல்வேலி என்ற மூன்று நகரங்களை எடுத்துக்கொள்வோம். ஒருவர் சென்னையிலிருந்து திருச்சி வழியாகத்தான் திருநெல்வேலி செல்ல முடியும் என்க. சென்னை மற்றும் திருச்சிக்கு இடையே 2 சாலைகளும், திருச்சியிலிருந்து திருநெல்வேலி செல்ல 3 சாலைகளும் உள்ளன. சென்னையிலிருந்து திருநெல்வேலிக்கு எத்தனை வழிகளில் செல்ல முடியும்?

தீர்வு:

சென்னையிலிருந்து திருச்சி செல்ல 2 சாலைகள் உள்ளன. இவற்றை \(R_1\) மற்றும் \(R_2\) எனக் கொள்க. மேலும் திருச்சியிலிருந்து திருநெல்வேலி செல்ல 3 சாலைகள் உள்ளன. இவற்றை \(S_1, S_2\) மற்றும் \(S_3\) எனக் கொள்க. ஒருவர் சென்னையிலிருந்து திருச்சி செல்ல \(R_1\) ஐ தேர்ந்தெடுத்தால் திருச்சியிலிருந்து திருநெல்வேலி செல்ல \(S_1, S_2\) அல்லது \(S_3\) இல் ஏதேனும் ஒன்றைத் தேர்வு செய்யலாம். எனவே \((R_1, S_1), (R_1, S_2), (R_1, S_3)\) என்ற சாத்தியமான சாலை வழிகள் உள்ளன. இதுபோலவே, சென்னையிலிருந்து திருச்சி செல்ல \(R_2\) வை தேர்ந்தெடுத்தால் \((R_2, S_1), (R_2, S_2), (R_2, S_3)\) என்ற சாத்தியமான சாலை வழிகள் உள்ளன.

எனவே, சென்னையிலிருந்து திருநெல்வேலி செல்ல \(2 \times 3 = 6\) வழிகள் உள்ளன.

குறிப்பு: இதனை இரண்டிற்கு மேலான படி நிலைகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம். ஒரு செயலில் உள்ள \(P_1, P_2, \dots, P_n\) என்ற \(n\) படிநிலைகளை செய்ய முறையே \(m_1, m_2, \dots, m_n\) என்ற வழிகள் உள்ளன என்க. மேலும், \(P_1, P_2, \dots, P_{i-1}\) படி நிலைகளுக்கு பிறகு \(P_i\) என்ற படிநிலையை செய்தால், அந்த செயலை \(m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n\) வழிகளில் செய்யலாம்.

3. சேர்த்தல் - நீக்கல் கொள்கை (The Inclusion - Exclusion Principle)#

\(A, B\) என்ற இரு பணிகளை ஒரே நேரத்தில் செய்வதாகக் கொள்வோம். ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியே முறையே \(n(A), n(B)\) வழிகளில் செய்யலாம் எனக் கொள்க. மேலும் \(A, B\) ஆகியவற்றை ஒரே நேரத்தில் சேர்த்து \(n(A \cup B)\) வழிகளில் செய்யலாம் எனில், இவற்றில் ஏதேனும் ஒரு பணியை செய்யும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை காண கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தினால் அது உண்மையில் உள்ளதைவிட அதிக எண்ணிக்கையை கொடுக்கும். சரியான விடையை பெற இவ்விரு பணிகளைச் செய்யும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை கூட்டிய பின்னர், இரண்டு பணிகளையும் ஒரே நேரத்தில் சேர்த்து செய்யும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை கழிக்க வேண்டும். இந்த முறையை சேர்த்தல் - நீக்கல் கொள்கை என்கிறோம். கணங்களின் குறியீட்டால் இதனை கீழ்க்கண்டவாறு குறிக்கின்றோம்.

1000 வரை உள்ள மிகை முழு எண்களில் 2 அல்லது 7 ஆல் வகுபடும் (ஆனால், இவ்விரு எண்களால் வகுபடும் எண்களைத் தவிர்த்து) எண்களை காண்பதாக கொள்வோம். 2 ஆல் வகுபடும் எண்களின் எண்ணிக்கையை \(n(A)\) எனவும், 7 ஆல் வகுபடும் எண்களின் எண்ணிக்கையை \(n(B)\) எனவும் 2 மற்றும் 7 ஆல் வகுபடும் எண்களின் எண்ணிக்கையை \(n(A \cap B)\) எனவும் கொள்க. 2 அல்லது 7 ஆல் வகுபடும் மிகை முழு எண்களின் எண்ணிக்கை

(குறிப்பு : இங்கு 1000 வரை உள்ள எல்லா 2-ன் மடங்குகளின் எண்ணிக்கையை \(n(A)\) எனவும், எல்லா 7-ன் மடங்குகளின் எண்ணிக்கையை \(n(B)\) எனவும் மேலும் இவ்வாறாகப் பலவற்றிற்கும் தொடரலாம்.)

மர வரைபடங்கள் (Tree Diagrams)#

மர வரைபடங்கள் பெரும்பாலும் எண்ணுதலுக்கான பல்வேறு வாய்ப்புகளை குறிக்க பயன்படுகிறது. மரத்தில் உள்ள கிளைகள் பல்வேறு வாய்ப்புகளை குறிக்கிறது. உதாரணமாக, ஒருவர் தன் குடும்பத்திற்காக ஒரு மகிழுந்தை வாங்குவதாக கொள்வோம். இரண்டு வெவ்வேறான வியாபார முத்திரை (Branded) மகிழுந்துகளும் ஒவ்வொரு வியாபார முத்திரையிலும் 5 நிறங்களில் மகிழுந்துகளும் உள்ளன. மேலும், ஒவ்வொரு நிறத்திலும் GL, SS, SL என மூன்று வகைகள் உள்ளன எனில், ஒரு மகிழுந்தை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான பல்வேறு வாய்ப்புகளை மர வரைபடம் வாயிலாக கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.3#

ஒரு பள்ளி நூலகத்தில் 75 கணிதப் புத்தகங்களும், 35 இயற்பியல் புத்தகங்களும் உள்ளன. ஒரு மாணவன் இதில் ஏதேனும் ஒரே ஒரு புத்தகத்தை தேர்ந்தெடுக்கலாம். கணிதம் அல்லது இயற்பியல் புத்தகங்களில் ஏதாவது ஒன்றை எத்தனை வழிகளில் அம்மாணவனால் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்?

தீர்வு:

(i) கணிதப் புத்தகத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க 75 வழிகள் உள்ளன.

(ii) இயற்பியல் புத்தகத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க 35 வழிகள் உள்ளன.

எனவே, கணிதம் அல்லது இயற்பியல் புத்தகங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை தேர்ந்தெடுக்க கூட்டல் விதிப்படி \(75 + 35 = 110\) வழிகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 4.4#

ஒரு மின் நுகர்வோரின் மின் அட்லட எண் 238 : 110 : 29 என உள்ளது. 238 வது அதிக மின் திறன் கொண்ட மின் மாற்றியில் இந்த 29 வது நுகர்வோர் எண் வரை உள்ள மின் இணைப்புகளின் எண்ணிக்கையை குறைந்த மின் திறனுடைய மின்மாற்றியில் அதிகப்பட்சம் 100 மின் இணைப்புகள் மட்டுமே இணைக்க முடியும் என்ற நிபந்தனைக்குட்பட்டு காண்க.

தீர்வு:

படமானது மின் வழங்கல் வலைப்பின்னல் முறையை விளக்குகிறது. இங்கு 110 குறைந்த மின் திறனுடைய மின் மாற்றிகள் அதிக மின் திறனுடைய மின்மாற்றியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு குறைந்த மின் திறனுடைய மின் மாற்றியுடனும் 100 நுகர்வோர்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளதால், 109 மின்மாற்றிகளுக்கு மொத்தம் \(109 \times 100 = 10900\) இணைப்புகள் இருக்கும். 110 வது மின்மாற்றியில் 29 நுகர்வோர்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளனர். எனவே, 238 வது அதிக மின் திறன் கொண்ட மின்மாற்றியில் மொத்தம் \(10900 + 29 = 10929\) மின் இணைப்புகள் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.5#

ஒரு நபர் ஒரு மகிழுந்து வாங்க விரும்புகிறார், சந்தையில் இரண்டு வகையான வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகள் உள்ளன. மேலும் ஒவ்வொரு வியாபார முத்திரை மகிழுந்திலும் 3 வெவ்வேறு வகைகள் உள்ளன. மேலும் இந்த ஒவ்வொரு வகையிலும் 5 வெவ்வேறு நிறங்களில் மகிழுந்துகள் வருகின்றன. எத்தனை வழிகளில் மகிழுந்துகளை அவரால் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்?

தீர்வு:

ஒரு மகிழுந்து வாங்க ஒரு வியாபார முத்திரை, ஒரு வகை மற்றும் ஒரு நிறம் ஆகியவற்றை தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். மகிழுந்தின் வியாபார முத்திரையைத் தேர்ந்தெடுக்க 2 வழிகளும் ஒவ்வொரு வியாபார முத்திரைக்கும் மகிழுந்தின் வகையை தேர்ந்தெடுக்க 3 வழிகளும் ஒவ்வொரு வகையிலும் நிறங்களை தேர்ந்தெடுக்க 5 வழிகளும் உள்ளன. எனவே, பெருக்கல் விதியின் படி, \(2 \times 3 \times 5 = 30\) வழிகளில் மகிழுந்துகளை தேர்ந்தெடுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.6#

காக்கீபரத்தில் உள்ள ஜவளிக்கடையில் ஒரு பெண் ஒரு பட்டுப் புடவையும், ஒரு சங்குடி புடவையையும் வாங்க நினைக்கிறார். கடையில் 20 வெவ்வேறு வகையான பட்டப் புடவைகளும், 8 வெவ்வேறு வகையான சங்குடி புடவைகளும் உள்ளன. புடவைகளை எத்தனை வகையில் அவரால் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்?

தீர்வு:

ஒரு பெண் ஒரு பட்டு புடவையையும் மற்றும் ஒரு சங்குடி புடவையையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். அந்த பெண் பட்டுப் புடவையைத் தேர்ந்தெடுக்க 20 வழிகளும் சங்குடி புடவையை தேர்ந்தெடுக்க 8 வழிகளும் உள்ளன. இந்த இரண்டு புடவைகளையும் தேர்ந்தெடுக்க பெருக்கல் விதிப்படி, \(20 \times 8 = 160\) வழிகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 4.7#

ஒரு கிராமத்தில் உள்ளவர்களில் 80 சதவீதம் பேர் தென்னந்தோப்பையும், 65 சதவீதம் பேர் நெல் வயலையும் வைத்துள்ளனர். குறைந்தபட்சம் எத்தனை சதவீதம் பேர் இரண்டையும் வைத்திருப்பார்கள்?

தீர்வு:

தென்னந்தோப்பை வைத்திருப்பவர்களின் சதவீதத்தை \(n(C)\) எனவும் நெல்வயலை வைத்திருப்பவர்களின் சதவீதத்தை \(n(P)\) எனவும் கொள்க. இங்கு \(n(C) = 80, n(P) = 65\) என கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. சேர்த்தல் – நீக்கல் கொள்கையின் படி,

\(n(C \cup P)\) –ன் பெரும மதிப்பு 100. எனவே, \(n(C \cap P)\) –ன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு \(80 + 65 - 100 = 45\). எனவே, குறைந்தபட்சம் 45 சதவீதம் பேர் இரண்டையும் வைத்திருப்பார்கள்.

குறிப்பு: அடுத்துவரும் கணக்குகளில் ‘எழுத்துச்சரம்’ என்ற கருத்தை பயன்படுத்த உள்ளோம். எழுத்துச்சரம் என்பது எழுத்துகளை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக வரிசையாக அமைப்பது ஆகும். a, b, c மற்றும் d என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் மூன்று எழுத்துச் சரங்களை aaa, abb, bda, cda, cdd,… என எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.8#

(i) BIRD என்ற ஆங்கில வார்த்தையில் உள்ள 4 எழுத்துகளையும் பயன்படுத்தி எழுத்துகள் திரும்ப வராமல் எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.

(ii) PRIME என்ற ஆங்கில வார்த்தையில் உள்ள 5 எழுத்துகளையும் பயன்படுத்தி எழுத்துகள் திரும்ப வராமல் எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.

தீர்வு:

(i) 4 காலி இடங்களை 4 எழுத்துகளைக் கொண்டு எத்தனை வழிகளில் நிரப்பலாமோ அத்தனை 4 எழுத்துச் சரங்கள் இருக்கும். இதில் எழுத்துகள் திரும்பவரக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். முதல் இடத்தை B, I, R, D என்ற எழுத்துகளில் ஒன்றினைக் கொண்டு 4 வெவ்வேறான வழிகளில் நிரப்பலாம். இதே போல, இரண்டாவது இடத்தை மீதமுள்ள 3 எழுத்துகளைக் கொண்டு 3 வெவ்வேறான வழிகளிலும், மூன்றாவது இடத்தை 2 வழியிலும் நிரப்பலாம், நான்காவது இடத்தை 1 வழியிலும் நிரப்பலாம்.

ஆகவே, 4 இடங்களை நிரப்பும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, பெருக்கல் விதிப்படி \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). எனவே, தேவையான எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 24 ஆகும்.

(ii) இங்கு 5 இடங்களை நிரப்ப 5 வெவ்வேறான எழுத்துகள் உள்ளன. முதல் இடத்தை P,R,I,M,E என்ற எழுத்துகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கொண்டு 5 வழிகளில் நிரப்பலாம். முதல் இடத்தை 5 எழுத்துகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் கொண்டு நிரப்பிய பின்பு, மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளைக் கொண்டு இரண்டாவது இடத்தையும், மூன்றாம் இடத்தை நிரப்ப 3 எழுத்துக்களும் மேலும் நான்காம் இடத்தை நிரப்ப 2 எழுத்துகளும் உள்ளன. மீதமுள்ள கடைசி எழுத்தை ஐந்தாம் இடத்தில் நிரப்பலாம்.

எனவே, ஐந்து இடங்களை நிரப்பும் வழிகளின் எண்ணிக்கை \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

குறிப்பு: இந்த இரு நிலைகளுக்கும் இடையே உள்ள ஒப்புமையை கவனிக்க.

எடுத்துக்காட்டு 4.9#

FLOWER என்ற வார்த்தையில் உள்ள 6 எழுத்துகளைக் கொண்டு கீழ்க்காணும் கட்டுப்பாடுகளுடன் எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.

(i) F இல் தொடங்க வேண்டும் அல்லது R இல் முடிக்க வேண்டும்.

(ii) F இல் தொடங்கவோ, R இல் முடிக்கவோ கூடாது.

தீர்வு:

எந்த ஒரு எழுத்துச் சரத்திலும் F, L, O, W, E, R என்ற எழுத்துகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரே ஒரு முறைதான் வரும்.

(i) ஒரு எழுத்துச் சரத்தை F இல் தொடங்கினால் மீதமுள்ள ஐந்து இடங்களை L, O, W, E, R என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு நிரப்பலாம். எழுத்துகளைத் திரும்ப பயன்படுத்த முடியாது என்பதால் 2 ஆவது, 3 ஆவது, 4 ஆவது, 5 ஆவது மற்றும் 6 ஆவது இடங்களை முறையே 5, 4, 3, 2 மற்றும் 1 வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே பெருக்கல் விதிப்படி, F இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களை \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) வழிகளில் அமைக்கலாம்.

ஒரு சரம் R இல் முடியவேண்டும் எனில் மீதமுள்ள 5 இடங்களை F, L, O, W, E என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு நிரப்பலாம். மேற்சொன்னது போலவே R இல் முடியும் எழுத்துச் சரங்களையும் 120 வழிகளில் அமைக்கலாம்.

ஒரு சரம் F இல் தொடங்கி R இல் முடியும் எனில், மீதமுள்ள 4 இடங்களை L, O, W, E என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு நிரப்பலாம். எனவே, F இல் தொடங்கி R இல் முடியும் 6 எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\).

சேர்த்தல் – நீக்கல் கொள்கையின் படி, F இல் தொடங்க வேண்டும் அல்லது R இல் முடிக்க வேண்டும் என்றவாறுள்ள எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(120 + 120 - 24 = 216\) ஆகும்.

(ii) F இல் தொடங்கவோ, R இல் முடிக்கவோ கூடாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை ஆனது (i) இல் கணக்கிடப்படவில்லை. இதுமட்டுமல்லாமல் F, L, O, W, E, R என்ற எழுத்துகளை திரும்ப வராதவாறு உள்ள எல்லா 6 எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிட வேண்டும்.

இப்பொழுது, முதல் இடத்தை இந்த 6 எழுத்துகளில் ஏதேனும் ஒன்றை பயன்படுத்தியும், இரண்டாவது இடத்தை மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளில் ஏதாவது ஒன்றை பயன்படுத்தியும், இதுபோலவே, மற்ற இடங்களையும் நிரப்பக் கிடைக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\). F இல் தொடங்கவோ R இல் முடிக்கவோ கூடாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை, மொத்த எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையில் இருந்து F இல் தொடங்கி அல்லது R இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை கழிக்க பெறலாம். இதன் மதிப்பு \(720 - 216 = 504\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.10#

முதலில் இரண்டு வெவ்வேறான ஆங்கில எழுத்துகளையும் அதனைத்தொடர்ந்து நான்கு வெவ்வேறான எண்களையும் அல்லது முதலில் இரண்டு வெவ்வேறான எண்களையும் அதனைத்தொடர்ந்து நான்கு வெவ்வேறான எழுத்துகளையும் கொண்டு எத்தனை வெவ்வேறான உரிமத் தட்டுகளை (Licence Plates) உருவாக்கலாம்?

தீர்வு:

இத்தீர்வினை இரு நிலைகளில் காணலாம்.

நிலை 1: முதலில் இரண்டு வெவ்வேறான ஆங்கில எழுத்துகளையும் நான்கு வெவ்வேறான எண்களையும் கொண்டு உருவாக்கும் உரிமத் தட்டுகளின் எண்ணிக்கை \(26 \times 25 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 32,76,000\).

நிலை 2 : முதலில் நான்கு வெவ்வேறான எழுத்துகளையும் பின்னர் இரண்டு வெவ்வேறான எண்களையும் கொண்டு உருவாக்கும் உரிமத் தட்டுகளின் எண்ணிக்கை \(10 \times 9 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 3,22,92,000\) ஆகும்.

நிலை 1 இல் அல்லது நிலை 2 இல் உள்ளவாறு உருவாகும் உரிமத்தட்டுகளின் எண்ணிக்கை, கூட்டல் விதியின் படி,

எடுத்துக்காட்டு 4.11#

7000-தை விட அதிகமாகவும் 8000-தை விட குறைவாகவும் உள்ள எண்களில் இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு உள்ள 5 ஆல் வகுப்படும் எண்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

7000-தை விட அதிகமாகவும் 8000-தை விட குறைவாகவும் உள்ள எண்கள், 4-இலக்கங்களைக் கொண்டு இருக்க வேண்டும். எனவே, அதன் 1000 ஆவது இடத்தில் 7 இருக்க வேண்டும். மேலும், இது 5 ஆல் வகுபட வேண்டும் என்பதால் ஒன்றாம் இடம் 0 அல்லது 5 ஆக இருக்க வேண்டும். இலக்கங்கள் திரும்ப வராது என்பதால், 100 ஆவது மற்றும் 10 ஆவது இடங்களை மீதமுள்ள எண்களைக் கொண்டு முறையே 8 மற்றும் 7 வழிகளில் நிரப்பலாம்.

எனவே, தேவையான எண்களின் எண்ணிக்கை \(1 \times 8 \times 7 \times 2 = 112\).

எடுத்துக்காட்டு 4.12#

இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல் எத்தனை 4-இலக்க இரட்டைப் படை எண்களை 0, 1, 2, 3 மற்றும் 4 ஆகிய எண்களைக் கொண்டு அமைக்கலாம்?

தீர்வு:

இதில் இரண்டு கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன.

1. 4-இலக்க எண் எனவே 1000 ஆவது இடத்தில் 0 வரக்கூடாது.

2. இரட்டைப்படை எண் என்பதால் ஒன்றாம் இடத்தில் 0, 2 அல்லது 4 வர வேண்டும்.

ஒன்றாம் இடத்தில் 0 உள்ளவாறு அல்லது 0 இல்லாதவாறு எனக்கொண்டு இக்கணக்கினை இரண்டு நிலைகளில் தீர்வு காணலாம்.

நிலை 1: ஒன்றாம் இடத்தில் 0 உள்ளேபோது 1000 ஆவது இடத்தை பூர்த்தி செய்ய 4 வழிகளும், 100 ஆவது இடத்தை பூர்த்தி செய்ய 3 வழிகளும், 10 ஆவது இடத்தை பூர்த்தி செய்ய 2 வழிகளும் உள்ளன. எனவே, ஒன்றாம் இடத்தில் 0 உள்ளவாறு \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) எண்களை உருவாக்கலாம்.

நிலை 2 : ஒன்றாம் இடத்தில் 0 இல்லாதபோது 2 அல்லது 4 என்ற இரு எண்களைக் கொண்டு ஒன்றாம் இடத்தை 2 வழிகளில் பூர்த்தி செய்யலாம், 1000 ஆவது இடத்தை பூர்த்தி செய்ய 3 வழிகளும், 100 ஆவது இடத்தை பூர்த்தி செய்ய 3 வழிகளும் மற்றும் 10 ஆவது இடத்தை பூர்த்தி செய்ய 2 வழிகளும் உள்ளன.

எனவே, ஒன்றாம் இடத்தில் 0 இல்லாதவாறு \(3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36\) எண்களை உருவாக்கலாம்.

4-இலக்க இரட்டைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை கூட்டல் விதியின் படி \(24 + 36 = 60\).

எடுத்துக்காட்டு 4.13#

5 நாணயங்களை ஒரு முறை சுண்டும் போது ஏற்படும் விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும் போது (தலை, பூ) என 2 விளைவுகள் கிடைக்கும். பெருக்கல் விதிப்படி, 5 நாணயங்களைச் சுண்டும் போது ஏற்படும் விளைவுகளின் எண்ணிக்கை \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32\).

குறிப்பு: பொதுவாக, \(n\) நாணயங்களை சுண்டும் போது ஏற்படும் விளைவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^n\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.14#

(i) 5 பந்துகளை எத்தனை வழிகளில் 3 பெட்டிகளில் விநியோகிக்கலாம்.

(ii) 3 பந்துகளை எத்தனை வழிகளில் 5 பெட்டிகளில் விநியோகிக்கலாம்.

தீர்வு:

(i) ஒவ்வொரு பந்தையும் 3 வெவ்வேறான பெட்டிகளில் 3 வழிகளில் வைக்கலாம். எனவே, பெருக்கல் விதிப்படி 5 பந்துகளை 3 பெட்டிகளில் \(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243\) வழிகளில் விநியோகிக்கலாம்.

(ii) ஒவ்வொரு பந்தையும் 5 வெவ்வேறான பெட்டிகளில் 5 வழிகளில் வைக்கலாம். எனவே, பெருக்கல் விதிப்படி 3 பந்துகளை 5 பெட்டிகளில் \(5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125\) வழிகளில் விநியோகிக்கலாம்.

குறிப்பு: இது போன்ற கணக்குகளில் ஏற்படும் குழப்பங்களைத் தவிர்க்க பொருட்களை (பந்துகளை) எடுத்து, இடங்களில் (பெட்டிகளில்) விநியோகிக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

பொதுவாக, \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களை \(m\) இடங்களில் வைக்க மொத்தம் \(m^n\) வழிகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 4.15#

ஒரு அறையில் 10 விளக்குகள் உள்ளன. ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாக இயக்க முடியும். அந்த அறையை எத்தனை வழிகளில் ஒளியூட்டலாம்.

தீர்வு:

ஒவ்வொரு விளக்கையும் தனித்தனியாக ஒளியூட்டுதல் அல்லது அணைத்தல் என இரண்டு வழிகள் உள்ளன. எனவே அத்தனை விளக்குகளையும் \(2^{10}\) வழிகளில் இயக்கலாம். இதில், எல்லா விளக்குகளையும் அணைத்து வைக்கும் வகையும் உள்ளடங்கியுள்ளது. இங்கு எல்லா விளக்குகளையும் அணைத்து வைத்து அறையை ஒளியூட்ட முடியாது. ஆதலால், அந்த அறையை ஒளியூட்ட \(2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023\) வழிகள் உள்ளன.

புறாக் கூடு கொள்கை (Pigeonhole Principle)#

ஒரு புறாக் கூட்டுத் தொகுப்பை நோக்கி ஒரு புறாக் கூட்டம் பறந்து வருவதாகக் கொள்வோம். புறா கூடுகளின் எண்ணிக்கையை விட புறாக்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால், குறைந்த பட்சம் ஒரு புறா கூட்டிலாவது குறைந்த பட்சம் இரண்டு புறாக்கள் இருக்க வேண்டும் என்பதாகும். இதனை பொதுமைப்படுத்தி பல்வேறு வகையான பொருட்களுக்கும் பயன்படுத்தலாம். அதாவது, \(k\) பெட்டிகளில் \(k + 1\) பொருட்கள் இருந்தால், குறைந்தபட்சம் ஒரு பெட்டியிலாவது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பொருட்கள் இருக்க வேண்டும் என்பதாகும்.

சில உதாரணங்கள்:

1. எந்த ஒரு 27 ஆங்கில வார்த்தைகளைக் கொண்ட தொகுப்பிலும் குறைந்த பட்சம் இரண்டு வார்த்தைகளாவது ஒரே எழுத்தில் தொடங்க வேண்டும். (ஆங்கிலத்தில் 26 எழுத்துகள் மட்டுமே உள்ளது.)

2. ஒரு வாரத்தில் உள்ள 5 வேலை நாட்களில் நடைபெறும் எந்த 6 கூட்டங்களில் குறைந்த பட்சம் இரண்டு கூட்டங்களாவது ஒரே நாளில் நடை பெற வேண்டும்.

வரிசை மாற்றங்கள் மற்றும் சேர்வுகளை புரிந்து கொள்ள நாம் “காரணியப் பெருக்கம்” என்ற கருத்தாக்கத்தை அடுத்த பகுதியில் காண்போம்.

4.3 காரணியப் பெருக்கம் (Factorials)#

முதல் \(n\) இயல் எண்களின் தொடர்ச்சியான பெருக்கல் \(n\)-ன் காரணியப் பெருக்கம் எனப்படும். இதனை \(n!\) எனக் குறிப்பிடுகிறோம்.

அதாவது, \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n\).

இந்த குறியீட்டை “n factorial” அல்லது “factorial of n” என படிக்க வேண்டும்.

இந்த \(n!\) என்ற குறியீடு 1808 இல் பிரஞ்சு கணிதவியல் அறிஞர் கிருஸ்டியன் கிராம் (Christian Kramp) என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. \(n\) என்ற ஒரு மிகை முழு எண்ணுக்கு,

மேலும்,

காரணியப்பெருக்கத்தில் 22 (ஸ்ரீனிவாச இராமானுஜத்தின் பிறந்தநாள்) என்ற எண்ணுக்கு தனிச் சிறப்பு உண்டு. இது 1 ஐ விட பெரிய எண்களில் N-ன் காரணியப் பெருக்கத்தில் N இலக்கங்கள் உள்ளன என்ற பண்பை பெற்ற மிகச்சிறிய எண்.

\(N!\) இல் சரியாக \(N\) இலக்கங்களைக் கொண்ட அடுத்த எண் \(N\) எது எனக் காண்பது, மாணவர் மற்றும் ஆசிரியருக்கு ஒரு நல்ல பயிற்சியாகும். \(0! = 1\) என்பதை நிறுவ \(n = 0\) என \((n+1)! = (n+1) \cdot n!\) என்பதில் பிரதியிட \(1! = (0 + 1) \times 0! \Rightarrow 0! = \frac{1}{1} = 1\) என நிறுவலாம். இதுபோன்றே நாம் குறையற்ற முழு எண்களுக்கான காரணியப் பெருக்கத்தை பற்றியும் விவாதிக்கலாம். காரணியப் பெருக்கத்தினை சில குறை எண்களுக்கு மட்டும் அல்லாமல் கலப்பு எண்களுக்கு கூட வரையறுக்கலாம். இது இப்பாட நூலின் பாடத்திட்டத்திற்கு அப்பாற்பட்டது.

காரணியப் பெருக்கத்தினை காணும் முறையைத் தெளிவாக்க சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.16#

மதிப்பைக் காண்க

(i) \(5!\) (ii) \(6! - 5!\) (iii) \(\frac{8!}{5! \times 2!}\)

தீர்வு:

(i) \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

(ii) \(6! - 5! = 6 \times 5! - 5! = (6 - 1) \times 5! = 5 \times 120 = 600\).

(iii) \(\frac{8!}{5! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{2} = 168\).

எடுத்துக்காட்டு 4.17#

சுருக்குக \(\frac{7!}{2!}\)

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.18#

மதிப்பிற்கு \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) இங்கு (i) \(n = 7, r = 5\) (ii) \(n = 50, r = 47\) (iii) \(r = 3\), எந்த \(n\)-க்கும்.

தீர்வு:

(i) \(n = 7, r = 5\) எனில்

(ii) \(n = 50, r = 47\) எனில்

(iii) \(r = 3\), எந்த \(n\)-க்கும்

எடுத்துக்காட்டு 4.19#

\(N\) என்பது நாட்களின் எண்ணிக்கை என்க. \(N\) நாட்களின் உள்ள மொத்த மணி நேரங்களின் எண்ணிக்கை \(N!\) எனக் கொண்டால், \(N\)-ன் மதிப்பைக் காண்க?

தீர்வு:

இதற்கு \(N! = 24 \times N\) என்ற சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்.

\(N = 5\) எனில், \(N! = 5! = 120\) மற்றும் \(24N = 120\).

\(N > 5\) எனில், \(N! \geq 5! \times 6 \times \dots > 24N\).

\(N = 1,2,3,4\) எனில், \(N! < 24N\).

எனவே, \(N = 5\).

4.3.1 இரட்டைக் காரணியப் பெருக்கம் (Double Factorial)#

\(n\)-ன் இரட்டை காரணியப் பெருக்கம்: (Double Factorial of n)

\(n\)-ன் காரணியப் பெருக்கத்தை \(n!\) என குறிக்கிறோம். இதனை \(f : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N}\),

இங்கு \(\mathbb{N}\) இயல் எண்களின் கணம். இதன் வரையறை,

\(n!!\) ஐ (\(n\)-ன் இரட்டை காரணியப் பெருக்கம்) கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கலாம்.

இதிலிருந்து \(5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15\) மேலும்

\(8!! = 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 384\) என அறியலாம்.

குறிப்பாக \(n!! \neq (n!)!\) ஏனெனில் \(4!! = 8\) ஆனால் \((4!)! = (24)!\) ஆகும்.

பயிற்சி 4.1#

1. (i) ஒருவர் இரவு விருந்திற்காக ஒரு உணவு விருந்துக்கு சென்றார். அங்கிருந்த உணவு பட்டியலில் 10 இந்திய மற்றும் 7 சீன உணவு வகைகள் இருந்தன. ஒரு இந்திய அல்லது ஒரு சீன உணவை அவர் எத்தனை வகைகளில் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்?

(ii) ஒரு கடையில் 3 விதமான மகிழுந்து பொம்மைகளும், 2 விதமான தொடர் வண்டி பொம்மைகளும் உள்ளன. ஒரு குழந்தை ஒரு மகிழுந்து பொம்மையையும் மற்றும் ஒரு தொடர் வண்டி பொம்மையையும் எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

(iii) 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களை திரும்ப வராத முறையில் பயன்படுத்தி எத்தனை இரண்டு – இலக்க எண்களை உருவாக்கலாம்?

(iv) 10 இருக்கைகள் உள்ள அரங்கில் மூன்று நபர்கள் நுழைகிறார்கள். எத்தனை வழிகளில் அவர்கள் அந்த இருக்கைகளில் அமரலாம்?

(v) 5 நபர்களை ஒரு வரிசையில் எத்தனை வழிகளில் அமர வைக்கலாம்?

2. (i) ஒரு அலைபேசியில் 6 வெவ்வேறான இலக்கங்களைக்கொண்ட கடவுச் சொல் உள்ளது. அந்த கடவுச்சொல்லை மீட்டெடுக்க அதிகபட்சம் எத்தனை முயற்சிகளை செய்ய வேண்டும்?

(ii) 4 வெவ்வேறு நிற கொடிகள் 3 கொடிகளை ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக அமைத்து எத்தனை வெவ்வேறு விதமான சமிக்கைகளை உருவாக்கலாம்?

3. நான்கு குழந்தைகள் ஒரு ஒட்டப்பந்தயத்தில் ஓடுகிறார்கள்.

(i) முதல் இரண்டு இடங்களை எத்தனை வழிகளில் நிரப்பலாம்?

(ii) அந்த பந்தயத்தை எத்தனை வழிகளில் முடிக்கலாம்?

4. 2, 4, 6, 8 என்ற இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி எத்தனை 3 – இலக்க எண்களை

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு காணலாம்.

5. எத்தனை மூன்று – இலக்க எண்களை 3 ஆனது ஒன்றாம் இலக்க இடத்தில் வருமாறு

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில்

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு காணலாம்.

6. 100 மற்றும் 500–க்கு இடையில் 0,1,2,3,4,5 என்ற இலக்கங்களை பயன்படுத்தி

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில் எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்.

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல் எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்.

7. எத்தனை 3 – இலக்க ஒற்றைப்படை எண்களை 0,1,2,3,4,5 என்ற இலக்கங்களை பயன்படுத்தி

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்

(ii) இலக்கங்கள் திரும்பவருமாறு காணலாம்.

8. கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு 999 மற்றும் 10000-க்கு இடையே உள்ள எண்களை எண்ணுக.

(i) எந்த நிபந்தனையும் இல்லாமல்

(ii) எந்த இலக்கமும் திரும்ப வராமல்

(iii) குறைந்தபட்சம் ஏதேனும் ஒரு இலக்கம் திரும்ப வருமாறு.

9. 0, 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களை பயன்படுத்தி, 5 ஆல் வகுப்பும், மூன்று-இலக்க எண்கள் கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு எத்தனை உள்ளன.

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்?

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு?

10. A என்ற இடத்திலிருந்து B என்ற இடத்திற்கு செல்ல \(B_1, B_2\) என்ற இரண்டு பேருந்து வழித் தடங்களும், \(T_1, T_2\) என்ற இரண்டு இரயில் வழித்தடங்களும் மேலும் \(A_1\) என்ற வான் வழித்தடமும் உள்ளது. B என்ற இடத்திலிருந்து C என்ற இடத்திற்கு செல்ல \(B_1'\) என்ற ஒரு பேருந்து வழித்தடமும், \(T_1', T_2'\) என்ற இரண்டு இரயில் வழித்தடங்களும் மேலும் \(A_1'\) என்ற வான் வழித்தடமும் உள்ளது. A என்ற இடத்திலிருந்து C என்ற இடத்திற்கு B என்ற இடம் வழியே ஒரே வழித்தடத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தாமல் எத்தனை வழிகளில் செல்லலாம்?

11. 1–க்கும் 1000–க்கும் இடையே உள்ள (இரண்டையும் உள்ளடக்கிய) எண்களில் 2 ஆலும் 5 ஆலும் வகுபடாத எண்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

12. LOTUS எனும் வார்த்தையிலுள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி

(i) L இல் தொடங்கி அல்லது S இல் முடியும் வகையில் எத்தனை எழுத்துச் சரங்கள் உள்ளன.

(ii) L இல் தொடங்காத, மற்றும் S இல் முடிவடையாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

13. (i) ஒவ்வொரு குறிக்கோள் வினாவிற்கும் 4 வாய்ப்புகள் உள்ளன, 6 வினாக்களுக்கு எத்தனை வழிகளில் விடையளிக்கலாம்?

(ii) 3 புறாக்கூடுகளில் 10 புறாக்களை எத்தனை வழிகளில் தங்கவைக்கலாம்?

(iii) 10 மாணவர்களுக்கு 12 வெவ்வேறான பரிசுகளை எத்தனை வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம்?

14. மதிப்பினைக் காண்க

(i) \(6!\) (ii) \(4! + 5!\) (iii) \(3! - 2!\) (iv) \(3! \times 4!\) (v) \(\frac{12!}{9! \times 3!}\) (vi) \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\)

4.4 வரிசை மாற்றங்கள் (Permutations)#

வரிசை மாற்றம் என்றால் என்ன?

வரிசை மாற்றங்களை பல்வேறு சூழல்களில் எதிர்கொள்கிறோம்.

மூன்று நண்பர்கள் A, B மற்றும் C ஒரு புகைப்படம் எடுக்க வரிசையாக நிற்கவேண்டும். எத்தனை விதமான வரிசைகளில் நிற்கலாம்? இவை இடமிருந்து வலமாக கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

ஆகவே, மொத்தமாக புகைப்படம் எடுக்க 6 வழிகளில் தங்களுக்குள் வரிசையாக நிற்க வைக்கலாம்.

ஆகவே, 3 பொருட்களை ஒரு வரிசையில் அடுக்க \(3 \times 2 \times 1 = 3!\) வரிசை மாற்றங்கள் இருக்கும். நான்கு பொருட்களை ஒரு சமயத்தில் எடுக்கும் போது கிடைக்கும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4!\) ஆகும். எனவே, பொதுவாக \(n\) பொருட்களை ஒரு வரிசையில் அடுக்க மொத்தம் \(n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1 = n!\) வரிசை மாற்றங்கள் இருக்கும்.

நம்மிடம் உள்ள A, B, C, D, E, F மற்றும் G என்ற 7 எழுத்துகளில் நாம் 4 எழுத்துகளை கொண்டு எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கும் போது, முதல் எழுத்தினை தேர்ந்தெடுக்க நம்மிடம் 7 வழிகள் உள்ளன. முதல் எழுத்தை தேர்ந்தெடுத்த பின்னர், நம்மிடம் இரண்டாம் இடத்திற்கு 6 எழுத்துகள் உள்ளன. இதுபோல தொடர, 4 ஆவது எழுத்திற்கு 4 வாய்ப்புகள் உள்ளன.

எனவே, 7 எழுத்துகளில் இருந்து உருவாக்கப்படும் 4 எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை

பொதுவாக, \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து \(r\) பொருட்களை கொண்டு உருவாக்கும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{n!}{(n-r)!}\). இதனை குறியீட்டால் \(^nP_r\) என குறிக்கலாம். இதற்கான முறையான நிரூபணத்தை இந்தப் பகுதியில் காண்போம்.

4.4.1 வெவ்வேறான பொருட்களின் மீதான வரிசை மாற்றங்கள் (Permutations of Distinct Objects)#

சார்புகளின் வாயிலாக வரிசை மாற்றத்தை \(S = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}\), என்ற முடிவுற்ற கணத்திலிருந்து S-ன் மீதே வரையறுக்கப்பட்ட ஓர் இருபுற சார்பை ஓர் வரிசை மாற்றம் என வரையறுக்கலாம். S-ன் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கையும் S-ன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட இருபுற சார்புகளின் எண்ணிக்கையும் சமம்.

இந்த வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கையை \(^nP_r\) என குறிக்கலாம்.

தேற்றம் 4.1

\(n, r\) ஆகியவை மிகை முழு எண்கள் மேலும் \(r \leq n\) எனில், \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து ஒரு சமயத்தில் \(r\) பொருட்களை கொண்டு உருவாக்கும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)\) ஆகும்.

நிரூபணம்: ஒரு வரிசை மாற்றம் என்பது வரிசையில் அமைத்தலாகும். \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களிலிருந்து ஒரு சமயத்தில் \(r\) பொருட்களை கொண்டு உருவாக்கும் வரிசை மாற்றத்தினை, \(n\) பொருட்களை \(r\) இடங்களில் அமைத்து பெறலாம்.

முதல் இடத்தை நிரப்ப \(n\) பொருட்கள் உள்ளன, இரண்டாவது இடத்தை நிரப்புவதற்கு \(n-1\) பொருட்கள் உள்ளன. மூன்றாம் இடத்தை நிரப்ப \(n-2\) பொருட்கள் உள்ளன. இதுபோல தொடர, அதாவது \(r\) ஆவது இடத்தை நிரப்ப \((n-(r-1))\) பொருட்கள் உள்ளன. பெருக்கல் விதியின் படி நாம் \(^nP_r = n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)\) எனப் பெறலாம். \(\square\)

தேற்றம் 4.2

\(n \geq 1\) மற்றும் \(0 \leq r \leq n\) எனில் \(^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\).

நிரூபணம்: தேற்றம் 4.1 -லிருந்து,

குறிப்பு: குறிப்பாக எந்த ஒரு மிகை முழு எண் \(n\) மற்றும் குறையற்ற முழு எண் \(r\)-க்கும்,

இதனை குறிப்பிடலாம்.

குறிப்பு: \(^nP_n = n!\) மற்றும் \(^nP_0 = 1\).

குறிப்பு: \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களை ஒரு வரிசையில் \(^nP_n = n!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

தேற்றம் 4.3

\(n\) வெவ்வேறான பொருட்களிலிருந்து ஒரு சமயத்தில் \(r\) பொருட்களை திரும்ப வரும் முறையில் \(n^r\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

நிரூபணம்: தேற்றம் 4.1 இல் உள்ளதைப் போல, நாம் முதல் இடத்தை நிரப்ப \(n\) பொருட்களும், இரண்டாவது இடத்தை நிரப்ப (முதலில் பயன்படுத்திய பொருளை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம்) \(n\) பொருட்களும், இதுபோலவே \(r\) வது இடத்தை நிரப்ப \(n\) பொருட்களும் உள்ளன. பெருக்கல் விதியிலிருந்து வெவ்வேறான \(n\) பொருட்களிலிருந்து ஒரு சமயத்தில் பொருட்களை திரும்ப வரும் முறையில் \(n \times n \times n \times \dots \times n\) (\(r\) முறைகள்) = \(n^r\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

4.4.2 வரிசை மாற்றங்களின் பண்புகள் (Properties of Permutations)#

பண்பு 1: \(^nP_n = ^nP_{n-1}\)

நிரூபணம்:

பண்பு 2: \(^nP_r = n \times ^{n-1}P_{r-1}\)

நிரூபணம்:

குறிப்பு:

பண்பு 3: \(^nP_r = ^{n-1}P_r + r \times ^{n-1}P_{r-1}\)

நிரூபணம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.25#

மதிப்பிற்கு: (i) \(^4P_4\) (ii) \(^5P_3\) (iii) \(^8P_4\) (iv) \(^6P_5\)

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.26#

\(^{n+2}P_4 = 42 \times ^nP_2\) எனில், \(n\) ஐக் காண்க.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.27#

\(^{10}P_r = ^7P_{r+2}\) எனில், \(r\) ஐக் காண்க.

தீர்வு:

இங்கு \(r\) என்பது மிகை முழு எண் என்பதால், \(10-r = 6\) எனவே \(r = 4\).

எடுத்துக்காட்டு 4.28#

“VOWELS” என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைக் கொண்டு பின்வரும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கமுடியும்.

(i) E இல் தொடங்கும் வகையில்

(ii) E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் வகையில்.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் (V, O, W, E, L, S) உள்ளன.

(i) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் துவங்க வேண்டும். எனவே, மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்த \(^5P_5 = 5!\) வழிகள் உள்ளன. ஆகவே, E இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(5! = 120\).

(ii) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்க வேண்டும், எனவே E ஐ முதலிலும், W ஐ கடைசியிலும் வைக்க வேண்டும். மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளை \(^4P_4 = 4!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். ஆகவே, E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(4! = 24\).

எடுத்துக்காட்டு 4.29#

1, 2, 3, 4 மற்றும் 5 ஆகிய இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி நான்கு வெவ்வேறான இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு 4-இலக்க எண் உருவாக்கப்படுகிறது. கீழ்க்கண்டவற்றைக் காண்க.

(i) இவ்வாறான எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்?

(ii) இவற்றில் எத்தனை எண்கள் இரட்டைப்படை?

(iii) இவற்றில் எத்தனை எண்கள் சரியாக 4 ஆல் வகுபடும்?

தீர்வு:

(i) நான்கு-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கையானது கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களிலிருந்து 4 இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். எனவே, இதன் மதிப்பு \(^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120\).

(ii) 4-இலக்க எண் இரட்டைப்படையாக இருப்பதால் ஒன்றாம் இடத்தில் 2 அல்லது 4 இருக்க வேண்டும். எனவே இரண்டு சாத்தியங்கள்:

• ஒன்றாம் இடத்தில் 2 இருந்தால், மற்ற மூன்று இடங்களை {1,3,4,5} இலிருந்து \(^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24\) வழிகள்.
• ஒன்றாம் இடத்தில் 4 இருந்தால், மற்ற மூன்று இடங்களை {1,2,3,5} இலிருந்து \(^4P_3 = 24\) வழிகள்.

மொத்தம் \(24 + 24 = 48\) இரட்டைப்படை எண்கள்.

(iii) ஒரு எண் 4 ஆல் வகுபட அதன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபட வேண்டும். 4-இலக்க எண்ணின் கடைசி இரண்டு இடங்களில் வரக்கூடிய இலக்கங்களின் சாத்தியங்கள் (1,2,3,4,5 இலிருந்து): 12, 24, 32, 52, 16, 36, 56 போன்றவை. ஒவ்வொரு வழக்கிற்கும் முன்னிரு இடங்களை மீதமுள்ள 3 எண்களில் இருந்து \(^3P_2 = 6\) வழிகளில் அமைக்கலாம். சாத்தியமான பல வழக்குகளை கூட்டி, மொத்த எண்ணிக்கை 12 × 6 = 72? இதை விரிவாக கணக்கிட வேண்டும்.

4.4.3 பந்து மற்றும் பெட்டி தொடர்பான விரிவான சிக்கல்கள் (Wide range of Ball and Box problems)#

4.4.4 வெவ்வேறான பொருட்களின் வரிசை அமைப்பு (Arrangements of distinct objects)#

எடுத்துக்காட்டு 4.30

“EQUATION” என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்தும்போது, எத்தனை எழுத்துச் சரங்களில் உயிரெழுத்துகள் அனைத்தும் ஒன்றாக வரும்? அவ்வாறு ஒன்றாக வராத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையும் காண்க.

தீர்வு:

(i) “EQUATION” என்ற வார்த்தையில் 8 எழுத்துகள் உள்ளன. இவற்றில் 5 உயிரெழுத்துகள் (E, U, A, I, O) மற்றும் 3 மெய்யெழுத்துகள் (Q, T, N) உள்ளன. 5 உயிரெழுத்துகளையும் ஒரு எழுத்து போல கருத நம்மிடம் 4 எழுத்துகள் உள்ளன. இவற்றை \(^4P_4 = 4!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். ஆனால் இந்த ஒவ்வொரு வரிசை மாற்றத்திலும், உயிரெழுத்துகள் E, U, A, I, O ஆகியவற்றை \(^5P_5 = 5!\) வழிகளில் தங்களுக்குள் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, பெருக்கல் விதிப்படி தேவையான எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880\).

(ii) “EQUATION” என்ற வார்த்தையில் உள்ள 8 எழுத்துகளைக் கொண்டு உருவாக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(^8P_8 = 40320\). எனவே, உயிரெழுத்துகள் ஒன்றறாக வராத வகையில் உள்ள எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை மொத்த எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையிலிருந்து உயிரெழுத்துகள் ஒன்றறாக வரும் வகையில் உள்ள எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை கழித்துப் பெறலாம். ஆகவே, தேவையான எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(40320 - 2880 = 37440\).

எடுத்துக்காட்டு 4.31

15 தேர்வர்கள் எழுதும் ஒரு தேர்வில், 7 தேர்வர்கள் கணிதத் தேர்வையும் மீதமுள்ள 8 தேர்வர்கள் வெவ்வேறு பாடங்களுக்கான தேர்வையும் எழுதுகின்றனர். கணிதத் தேர்வு எழுதும் எந்த இரு தேர்வர்களும் ஒரே வரிசையில் அடுத்தடுத்து இல்லாத வகையில் எத்தனை வழிகளில் அமர வைக்கலாம்?

தீர்வு:

கணிதத்தைத் தவிர மற்ற பாடங்களில் தேர்வு எழுதும் 8 தேர்வர்களை \(^8P_8 = 8!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இந்த ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தல்களிலும் 9 இடைவெளிகள் இருக்கும். எனவே கணிதத் தேர்வு எழுதும் 7 தேர்வர்களை இந்த 9 இடைவெளிகளில் \(^9P_7\) வழிகளில் அமர வைக்கலாம். எனவே, பெருக்கல் விதிப்படி தேவையான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(8! \times ^9P_7\).

எடுத்துக்காட்டு 4.32

5 மாணவர்கள் மற்றும் 4 மாணவிகளை ஒரே வரிசையில் எந்த இரு மாணவிகளும் அடுத்தடுத்து வராமல் எத்தனை வழிகளில் அமர வைக்கலாம்.

தீர்வு:

5 மாணவர்களை ஒரே வரிசையில் \(^5P_5 = 5!\) வழிகளில் அமர வைக்கலாம். இந்த ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தலிலும், 6 இடைவெளிகள் உருவாகும். இந்த 6 இடங்களில் 4 மாணவிகளை \(^6P_4\) வழிகளில் அமர வைக்கலாம். எனவே, அமர வைக்கும் மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை \(5! \times ^6P_4 = 120 \times 360 = 43200\).

4.4.5 அனைத்தும் வெவ்வேறாக அமையாத பொருட்களின் மீதான வரிசை மாற்றங்கள் (Permutations of not all distinct objects)#

J E E என்ற வார்த்தையை வரிசை மாற்றம் செய்வதாக கொள்வோம். இதில் உள்ள எழுத்துகள் அனைத்தும் வெவ்வேறாக இல்லை. இதில் E என்ற எழுத்து இரண்டு முறை வந்து ஒரே வகையாக அமைந்துள்ளன. தற்காலிகமாக, இந்த இரண்டு E இக்களில் ஒன்றை \(E_1\) எனவும் மற்றொன்றை \(E_2\) எனவும் கொள்வோம். மூன்று வெவ்வேறான எழுத்துக்களால் ஒரே நேரத்தில் உருவாகும் எல்லா வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(3!\) ஆகும்.

\(E_1, E_2\) என்ற 2 எழுத்துகளை தங்களுக்குள் வரிசை மாற்றம் செய்யும்போது உண்மையில் அதே வரிசை மாற்றம் கிடைப்பதே இதற்கு காரணமாகும். இவை இரண்டும் ஒன்றே ஆதலால், தேவையான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{3!}{2!} = 3\).

தேற்றம் 4.4

\(n\) பொருட்களில், \(p\) பொருட்கள் ஒரே மாதிரியாகவும் மற்றவை அனைத்தும் வெவ்வேறாகவும் உள்ள பொருட்களின் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{n!}{p!}\).

பொதுவாக, \(n\) பொருட்களில், \(p_1\) பொருட்கள் முதல் வகையாகவும், \(p_2\) பொருட்கள் இரண்டாம் வகையாகவும், \(\dots\), \(p_k\) பொருட்கள் \(k\) ஆவது வகையாகவும் மற்ற பொருட்கள் ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறாகவும் இருப்பின் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{n!}{p_1! \times p_2! \times \dots \times p_k!}\).

எடுத்துக்காட்டு 4.36

BANANA என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை எத்தனை வகைகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்?

தீர்வு:

இந்த வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் உள்ளன. இதில் மூன்று A களும், இரண்டு N களும் மேலும் ஒரு B யும் உள்ளது. இவற்றை வரிசைப்படுத்தும் முறைகளின் எண்ணிக்கை \(\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60\).

எடுத்துக்காட்டு 4.37

RAMANUJAN என்ற வார்த்தையில் உள்ள உயிர் மற்றும் மெய் எழுத்துகளின் இருப்பிட நிலைகளை மாற்றாமல் எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்?

தீர்வு:

RAMANUJAN என்ற வார்த்தையில் 4 உயிர் எழுத்துகள் (A, A, U, A) உள்ளன. இதில் மூன்று A களும், ஒரு U வும் உள்ளது. மேலும், 5 மெய் எழுத்துகள் (R, M, N, J, N) உள்ளன. இதில், இரண்டு N-களும் மற்றவை வெவ்வேறானதாகவும் உள்ளது. இந்த 4 உயிரெழுத்துக்களை (A, A, A, U) அவற்றிற்குள் \(\frac{4!}{3!} = 4\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். மேலும் 5 மெய் எழுத்துகளை (R, M, N, J, N) அவற்றிற்குள் \(\frac{5!}{2!} = 60\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, தேவையான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{4!}{3!} \times \frac{5!}{2!} = 4 \times 60 = 240\).

எடுத்துக்காட்டு 4.38

ஒரு புகைப்படத்திற்காக ஒரு வரிசையில் மூன்று ஜோடி இரட்டையர்கள் நிற்கிறார்கள். கீழ்க்கண்ட நிபந்தனைகளுக்குட்பட்டு எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

(i) எந்த ஒரு கட்டுப்பாடும் இல்லாமல்

(ii) ஒவ்வொரு நபரும் அவரின் இரட்டையருக்கு அருகில் நிற்க வேண்டும்.

தீர்வு:

(i) எந்த ஒரு கட்டுப்பாடும் இல்லாமல் 6 நபர்களை \(^6P_6 = 6! = 720\) வழிகளில் நிற்க வைக்கலாம்.

(ii) மூன்று ஜோடி இரட்டையர்களை \(T_1, T_2, T_3\) என்க. ஒவ்வொரு ஜோடி இரட்டையர்களையும் ஒரு அவகாக கொண்டு இவர்களை \(3!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதில் உள்ள ஒவ்வொரு ஜோடி இரட்டையர்களையும் அவர்களுக்குள் \(2!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, எல்லா வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(3! \times 2! \times 2! \times 2! = 6 \times 8 = 48\).

எடுத்துக்காட்டு 4.39

1, 2, 3, 4, 2, 1 என்ற இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி இரட்டைப் படை எண்கள் இரட்டை இடத்தில் வருமாறு எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்?

தீர்வு:

இதில் காணப்படும் 6 இடங்களில் உள்ள 3 இரட்டைப்படை இடங்களில் 2, 4, 2 என்ற இரட்டைப்படை எண்கள் வரவேண்டும். 2, 4, 2 என்ற இலக்கங்களை 3 இரட்டைப்படை இடங்களில் \(\frac{3!}{2!} = 3\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். மீதமுள்ள, 1, 3, 1 என்ற இலக்கங்களை மீதமுள்ள 3 இடங்களில் \(\frac{3!}{2!} = 3\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, தேவையான எண்களின் எண்ணிக்கை \(3 \times 3 = 9\).

எடுத்துக்காட்டு 4.40

ஒரு \(6 \times 4\) கட்டத்தில் படத்தில் உள்ளதைப் போன்று ஆரம்பம் முதல் இறுதி வரை செல்ல எத்தனை பாதைகள் உள்ளன?

தீர்வு:

ஒவ்வொரு பாதையிலும் 6 கிடைமட்ட நீள அலகுகளும், மற்றும் 4 செங்குத்து நீள அலகுகளும் உள்ளன. ஒவ்வொரு பாதையிலும் 10 நீள அலகுகள் உள்ளன. இதில் 6 ஒரு வகையிலும் (கிடைமட்டம்) மற்றும் 4 மற்றொரு வகையிலும் (செங்குத்து) உள்ளது. ஆதலால், மொத்த பாதைகளின் எண்ணிக்கை \(\frac{10!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210\).

4.4.6 வார்த்தையின் தரம் (Rank of a word)#

அகராதி கணக்கைப் புரிந்து கொள்ள நாம் ஆங்கில அகராதியில் வார்த்தையின் தரம் (Rank of a word in the English Dictionary) என்பதை வரையறுப்போம். கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் எழுத்துச் சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ள வரிசையின் படி எழுதும் போது, அந்த வார்த்தை வரும் இடம் அதன் தரம் என வரையறுக்கப்படுகின்றது.

எடுத்துக்காட்டு 4.35

TABLE என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றம் செய்து கிடைக்கும் எல்லா எழுத்துச் சரங்களையும் ஆங்கில அகராதியில் உள்ளபடி வரிசையாக அமைத்தால், கீழ்க்கண்ட வார்த்தைகளின் தரம் காண்க.

(i) TABLE (ii) BLEAT

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையின் எழுத்துகள் ஆங்கில அகராதியில் A, B, E, L, T என்ற வரிசையில் அமையும். அகராதியில் A யில் தொடங்கும் வார்த்தைகள் தான் முதலில் வரும். முதல் இடத்தில் A ஐ அமைத்து மீதம் உள்ள 4 எழுத்துகளை (B, E, L, T) \(4!\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதேபோல் தொடர நமக்கு கிடைப்பது,

(i) TABLE என்ற வார்த்தையின் தரம்

A _ _ _ _ = \(4! = 24\) வழிகள்

B _ _ _ _ = \(4! = 24\) வழிகள்

E _ _ _ _ = \(4! = 24\) வழிகள்

L _ _ _ _ = \(4! = 24\) வழிகள்

T A B E L = 1 வழி

T A B L E = 1 வழி

TABLE என்ற வார்த்தையின் தரம் \(4 \times 4! + 1 + 1 = 96 + 2 = 98\).

(ii) BLEAT என்ற வார்த்தையின் தரம்

A _ _ _ _ = \(4! = 24\) வழிகள்

B A _ _ _ = \(3! = 6\) வழிகள்

B E _ _ _ = \(3! = 6\) வழிகள்

B L A _ _ = \(2! = 2\) வழிகள்

BLEAT = 1 வழி

BLEAT என்ற வார்த்தையின் தரம் \(24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 39\).

எடுத்துக்காட்டு 4.41

BHASKARA என்ற ஆங்கில வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளபடி வரிசை மாற்றம் செய்யும்போது B யில் துவங்கும் வார்த்தைகளுக்கு முன்னதாக எத்தனை எழுத்துச் சரங்கள் இருக்கும்?

தீர்வு:

B-க்கு முன்னதாக A யில் துவங்கும் வார்த்தைகள் வரும். எனவே, A, A, B, H, K, R, S என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.42

IITJEE என்ற வார்த்தையில் உள்ள அனைத்து எழுத்துகளையும் எல்லா வழிகளிலும் வரிசை மாற்றம் செய்து உருவாக்கப்படும் எழுத்துச் சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளவாறு வரிசைப்படுத்தும் போது IITJEE என்ற வார்த்தையின் தரம் காண்க.

தீர்வு:

IITJEE யில் உள்ள எழுத்துகள் அகராதி வரிசையில் E, E, I, I, J, T என்றவாறு இருக்கும். அகராதியில் E யில் துவங்கும் வார்த்தைகள் முதலில் வரும். முதல் இடத்தை E ஆல் நிரப்பி, மீதமுள்ள 5 (E, I, I, J, T) எழுத்துகளை \(\frac{5!}{2!} = 60\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

இதுபோல் தொடர நமக்கு கிடைப்பது,

E _ _ _ _ _ = \(\frac{5!}{2!} = 60\) வழிகள்

I E _ _ _ _ = \(4! = 24\) வழிகள்

I I E _ _ _ = \(3! = 6\) வழிகள்

I I J _ _ _ = \(\frac{3!}{2!} = 3\) வழிகள்

I I T E _ _ = \(2! = 2\) வழிகள்

I I T J E E = 1 வழி.

எனவே, IITJEE என்ற வார்த்தையின் தரம் \(60 + 24 + 6 + 3 + 2 + 1 = 96\) ஆகும்.

4.4.7 எண்களின் கூடுதல் (Sum of numbers)#

எடுத்துக்காட்டு 4.43

1, 2, 4, 6, 8 என்ற இலக்கங்களை கொண்டு உருவாக்கப்படும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூடுதலைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களை கொண்டு உருவாக்கப்படும் 4-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை \(^5P_4 = 120\). நாம் முதலில் ஒன்றாம் இடத்தில் உள்ள எல்லா 120 எண்களின் கூடுதலைக் காண்போம். ஒன்றாம் இடத்தில் 1ஐ அமைத்து, மற்ற இடங்களில் மீதமுள்ள 4 எண்களை \(^4P_3 = 24\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதுபோலவே, 2, 4, 6, 8 ஆகிய இலக்கங்கள் ஒன்றாம் இடத்தில் 24 முறை வருகின்றன. எல்லா 120 எண்களின் ஒன்றாம் இடத்தில் வரும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை \(^4P_3 \times (1+2+4+6+8) = 24 \times 21 = 504\).

இதுபோலவே, 10ஆம் இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை \(24 \times 21 \times 10 = 5040\). இதுபோலவே, 100ஆம் இடம் மற்றும் 1000ஆவது இடத்தில் உள்ள எண்களின் மதிப்புகள் முறையே \(24 \times 21 \times 100 = 50400\) மற்றும் \(24 \times 21 \times 1000 = 504000\). எனவே, 1,2,4,6,8 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாகும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை

உணர்தல் 4.1

\(n\) பூஜ்ஜியமற்ற இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாகும் எல்லா \(r\) –இலக்க எண்களின் கூடுதல்

உணர்தல் 4.2

கொடுக்கப்பட்ட \(n\) இலக்கங்களில் 0 ஒரு இலக்கம் எனில், இவற்றைக் கொண்டு உருவாகும் எல்லா \(r\) இலக்க எண்களின் கூடுதல்

4.4.8 சார்புகளாக வரிசை மாற்றங்கள் (Permutation as Function)#

\(S_n = \{x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\}\) என்ற முடிவுறு கணத்தின் மீதான வரிசை மாற்றமானது \(S_n \to S_n\) –க்கு வரையறுக்கப்பட்ட இருபுற சார்பாகும். எனவே \(n\) உறுப்புகளைக் கொண்ட முடிவுறு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை அக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட இருபுற சார்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இது துல்லியமாக \(n!\) ஆகும். ஆகவே ஒரு கணத்தின் மீதான வரிசை மாற்றங்களை பற்றிப் படிப்பதும், அக்கணத்தின் மீதான இருபுற சார்புகளைப் பற்றிப் படிப்பதும் ஒன்றே ஆகும். \(S_3\) –ன் மீதான சில வரிசை மாற்றங்கள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

பயிற்சி 4.2#

1. \(^{n-1}P_3 : ^nP_4 = 1:10\) எனில், \(n\) ஐக் காண்க.

2. \(^{10}P_{r-1} = 2 \times ^6P_r\) எனில், \(r\) ஐக் காண்க.

3. (i) ஒரு நீச்சல் போட்டியில் 8 பேர் கலந்து கொள்கின்றனர். தங்கம், வெள்ளி மற்றும் வெண்கலப் பரிசுகளை எத்தனை வழிகளில் வழங்க இயலும்? (ii) மூன்று ஆண்களிடம் 4 சட்டை, 5 மேல் சட்டை மற்றும் 6 தொப்பிகள் உள்ளன. அவற்றை அவர்கள் எத்தனை வழிகளில் அணியலாம்?

4. SIMPLE என்ற வார்த்தையில் உள்ள அனைத்து எழுத்துகளையும் ஒரே நேரத்தில் பயன்படுத்தி எத்தனை வரிசை மாற்றங்களை உருவாக்கலாம்?

5. ஒரு தேர்வில் 10 பல்வாய்ப்பு விடையளி வினாக்கள் உள்ளன. கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு எத்தனை வழிகளில் இத்தேர்விற்கு விடையளிக்கலாம்.

(i) ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் நான்கு வாய்ப்புகள் உள்ளன.

(ii) முதல் நான்கு வினாக்களுக்கு மூன்று வாய்ப்புகளும் மீதமுள்ள வினாக்களுக்கு ஐந்து வாய்ப்புகளும் உள்ளன.

(iii) \(n\) ஆவது வினாவிற்கு \(n + 1\) வாய்ப்புகள் உள்ளன.

6. ஒரு மாணவன் 5 பல்வாய்ப்பு விடையளி வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் உள்ள நான்கு வாய்ப்புகளில் ஒன்று சரியானது.

(i) அதிகபட்சமாக எத்தனை வெவ்வேறான விடைகளை ஒரு மாணவனால் தரமுடியும்?

(ii) ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் ஒன்றிற்கு மேலான வாய்ப்புகளும் சரியானதாக இருக்கலாம் எனில், இந்த விடை எவ்வாறு மாற்றமடையும்?

7. ARTICLE என்ற வார்த்தையில் உள்ள மெய் எழுத்துகள் இரட்டை இலக்க இடத்தில் வருமாறு எத்தனை எழுத்துச் சரங்கள் உருவாக்க முடியும்?

8. 8 பெண்கள் மற்றும் 6 ஆண்கள் ஓர் வரிசையில் நிற்கிறார்கள்.

(i) எவரும் எந்த இடத்திலும் நிற்கலாம் என்ற வகையில் எத்தனை வழிகளில் நிற்கலாம்?

(ii) 6 ஆண்களும் அடுத்தடுத்து வருமாறு எத்தனை வழிகளில் நிற்கலாம்?

(iii) எந்த இரு ஆண்களும் ஒன்றாக நிற்காமல் எத்தனை வழிகளில் நிற்கலாம்?

9. MISSISSIPPI என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி எத்தனை வெவ்வேறான வரிசை மாற்றங்களை உருவாக்கலாம்?

10. \(a^2 b^3 c^4\) என்ற பெருக்கலில் அடுக்குக் குறிகளைப் பயன்படுத்தாமல் எத்தனை வழிகளில் எழுதலாம்?

11. 4 கணிதப் புத்தகங்கள், 3 இயற்பியல் புத்தகங்கள், 2 வேதியியல் புத்தகங்கள் மற்றும் 1 உயிரியல் புத்தகத்தை ஓர் அலமாரியில் ஒரே பாட புத்தகங்கள் ஒன்றாக வரும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் அடுக்கலாம்?

12. SUCCESS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளில் எல்லா S களும் ஒன்றாக வரும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்?

13. ஒரு நாணயம் 8 முறை சுண்டப்படுகின்றது.

(i) வெவ்வேறான தலைகள் மற்றும் பூக்களைக் கொண்ட வரிசைகள் எத்தனை இருக்கும்?

(ii) ஆறு தலைகள் மற்றும் இரண்டு பூக்கள் கொண்ட வெவ்வேறான வரிசைகள் எத்தனை இருக்கும்?

14. INTERMEDIATE என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.

(i) உயிர் எழுத்துகள் மற்றும் மெய் எழுத்துகள் அடுத்தடுத்து வருமாறு

(ii) எல்லா உயிரெழுத்துகளும் ஒன்றாக வருமாறு

(iii) உயிரெழுத்துகள் ஒன்றாக வராத வகையில்

(iv) எந்த இரு உயிரெழுத்துகளும் ஒன்றாக வராத வகையில்

15. 1, 1, 2, 3, 3 மற்றும் 4 என்ற இலக்கங்கள் தனித்தனியாக அட்டையில் எழுதப்பட்டுள்ளது. ஒரு 6-இலக்க எண்ணை அமைக்க இந்த ஆறு அட்டைகளையும் வரிசைப்படுத்தும்போது

(i) எத்தனை வெவ்வேறான 6-இலக்க எண்களை உருவாக்கலாம்?

(ii) இவற்றில் எத்தனை 6-இலக்க எண்கள் இரட்டைப்படை?

(iii) இவற்றில் எத்தனை 6-இலக்க எண்கள் 4 ஆல் வகுபடும்?

16. GARDEN என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றத்திற்கு உட்படுத்திக் கிடைக்கும் எழுத்துச் சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது போன்று வரிசைப்படுத்தும்போது, கீழ்க்காணும் வார்த்தைகளின் தரத்தைக் காண்க. (i) GARDEN (ii) DANGER

17. THING என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றத்திற்கு உட்படுத்தி எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை பெறலாம். மேலும், இதனை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது போன்று வரிசைப்படுத்தும்போது 85 ஆவது எழுத்துச் சரம் என்னவாக இருக்கும்?

18. FUNNY என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றத்திற்கு உட்படுத்திக் கிடைக்கும் எழுத்துச் சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது போன்று வரிசைப்படுத்தும்போது FUNNY என்ற வார்த்தையின் தரம் காண்க.

19. 1, 2, 3, 4 மற்றும் 5 என்ற இலக்கங்கள் மீண்டும் திரும்ப வராத வகையில் உருவாகும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகை காண்க.

20. 0, 2, 5, 7, 8 என்ற இலக்கங்கள் மீண்டும் வராத வகையில் உருவாக்கப்படும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையைக் காண்க.

4.5 சேர்வுகள் (Combinations)#

\(A, B, C\) மற்றும் \(D\) எனும் ஏதேனும் நான்கு நபர்களில் மூன்று நபர்களைத் தேர்வு செய்து ஒரு குழு அமைப்பதாகக் கொள்வோம். இந்த தேர்வினை எத்தனை வழிகளில் செய்யலாம்? உதாரணமாக \(A, B, C\) என்பது ஒரு தேர்வு. இங்கு தேர்வு செய்த உறுப்பினர்களின் வரிசை முக்கியமல்ல. எனவே, \(A, B, C\) என்பதும் \(B, A, C\) அல்லது \(C, A, B\) என்பதும் அதே மூன்று நபர்களைத் தேர்வு செய்வதால் ஒன்றே ஆகும். எனவே, சாத்தியமான வெவ்வேறான தேர்வுகள் \(A, B, C\); \(A, B, D\); \(A, C, D\); மற்றும் \(B, C, D\) ஆகும். எனவே, 4 நபர்களில் இருந்து 3 நபர்களை 4 வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம். இந்த ஒவ்வொரு தேர்வும் 4 வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து ஒரு சமயத்தில் 3 பொருட்களைத் தேர்வு செய்யும் சேர்வு எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றது.

நான்கு நபர்களில் இருந்து இரண்டு நபர்களை தேர்ந்தெடுப்பதாக கொள்வோம். சாத்தியமான தேர்வுகள் \(A, B\); \(A, C\); \(A, D\); \(B, C\); \(B, D\); \(C, D\) எனவே, 4 வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து 2 பொருட்களை தேர்வு செய்யும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை 6 ஆகும். \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து \(r\) பொருட்களைத் தேர்வு செய்யும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கையை \(^nC_r\) என்கிறோம். மேற்கூறியவற்றிலிருந்து நாம் \(^4C_3 = 4\) மற்றும் \(^4C_2 = 6\) என அறியலாம். \(^4C_3\) என்பது 4 வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து ஒரு சமயத்தில் 3 பொருட்களைத் தேர்வு செய்யும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். ஒவ்வொரு மூன்று பொருட்களின் சேர்விலும் \(3!\) வழிகளில் இவற்றை வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, 4 வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து ஒரு சமயத்தில் 3 பொருட்களை வரிசைப்படுத்தும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(^4C_3 \times 3!\) ஆகும். மேலும் இது \(^4P_3\) –க்கு சமமானதாகும். எனவே, \(^4P_3 = ^4C_3 \times 3!\).

பொதுவாக, வரிசை மாற்றங்களுக்கும் சேர்வுகளுக்கும் இடையேயான முக்கியமான தொடர்பினை கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்,

இயல்பாக வரிசை மாற்றம் மற்றும் சேர்வு பற்றி படிக்கும் எவருக்கும் ஒரு குழப்பம் வர வாய்ப்புள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விளக்கப்பட்டுள்ள கீழ்க்காணும் அட்டவணையானது இத்தகைய குழப்பத்தை நீக்க பெரிதும் உதவி புரியும்.

தேற்றம் 4.5

\(n\) வெவ்வேறான பொருட்களிலிருந்து ஒரு சமயத்தில் \(r\) பொருட்களை தேர்வு செய்யும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை \(^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\), \(0 \leq r \leq n\).

நிரூபணம்: வரிசை மாற்றங்களுக்கும், சேர்வுகளுக்கும் இடையேயான தொடர்பிலிருந்து நாம் \(^nC_r = \frac{^nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) (வரிசை மாற்றத்தின் சூத்திரத்திலிருந்து) எனப் பெறலாம்.

4.5.1 சேர்வுகளின் பண்புகள்#

பண்பு 1:

நிரூபணம்:

பண்பு 2: \(^nC_r = ^nC_{n-r}\)

நிரூபணம்:

என்பதிலிருந்து, \(^nC_r = ^nC_{n-r}\) எனக் காணலாம்.

பண்பு 3:

\(^nC_x = ^nC_y\) எனில் \(x = y\) அல்லது \(x + y = n\).

நிரூபணம்

பண்பு 2-ன் படி \(^nC_y = ^nC_{n-y}\) எனவே, \(^nC_x = ^nC_y = ^nC_{n-y}\) -யிலிருந்து

பண்பு 4: \(^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r\)

நிரூபணம்

சேர்வுகளுக்கான சூத்திரத்திலிருந்து பெறுவது,

பண்பு 5: \(^nC_r = \frac{n}{r} \times (^{n-1}C_{r-1})\)

நிரூபணம்

எடுத்துக்காட்டு 4.44

கீழ்க்காண்பவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

(i) \(^{10}C_3\) (ii) \(^{15}C_{13}\) (iii) \(^{100}C_{99}\) (iv) \(^{50}C_{50}\)

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.45

பண்பு 5 பயன்படுத்தி \(^5C_2\) மற்றும் \(^7C_3\) -ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

\(^nC_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}\)

\(n = 5\) மற்றும் \(r = 2\) என பிரதியிட

\(n = 7\) மற்றும் \(r = 3\) என பிரதியிட

எடுத்துக்காட்டு 4.46

\(^nC_4 = 495\) எனில், \(n\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

\(^nC_4 = 495 \Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495\)

495 ஐக் காரணிப்படுத்த \(495 = 3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11\). எனவே,

எனவே, \(n = 12\).

எடுத்துக்காட்டு 4.47

\(^nP_r = 11880\) மற்றும் \(^nC_r = 495\) எனில் \(n\) மற்றும் \(r\)-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

\(^nC_r = \frac{^nP_r}{r!}\) என அறிவோம். எனவே,

இதிலிருந்து, \(r = 4\) எனப் பெறலாம். எனவே, \(r = 4\) என பிரதியிட \(^nC_4 = 495\) என கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டு 4.46 இல் இருந்து \(n = 12\) எனப் பெறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.48

\(\sum_{r=0}^{4} (^{24}C_{4-r} \cdot ^{28}C_{3+r}) = ^{29}C_4\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.49

\(2 \times ^{10}C_2 + ^{10}C_3 + ^{10}C_4 = ^{12}C_4\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.50

\(^{n+2}C_7 : ^{n-1}P_4 = 13:24\) எனில், \(n\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4.51

ஒரு உணவு விருந்தில் பழக் கலவை (Fruit Salad) செய்ய ஆப்பிள், வாழை, கொய்யா, மாதுளை, திராட்சை, பப்பாளி மற்றும் அன்னாசி பழங்களில் இருந்து 4 பழங்களை பயன்படுத்துகிறார்கள். பழக் கலவைகளை மொத்தம் எத்தனை வழிகளில் செய்ய முடியும்?

தீர்வு:

7 பழங்களில் இருந்து 4 பழங்களை பழக் கலவை செய்ய தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எனவே, சாத்தியமான பழக் கலவைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை \(^7C_4 = ^7C_3 = 35\).

எடுத்துக்காட்டு 4.52

ஒரு கணித மன்றத்தில் 15 உறுப்பினர்கள் உள்ளனர். இதில் 8 உறுப்பினர்கள் மாணவிகள். பாதிபேர் மாணவிகளாக இருக்குமாறு ஒரு போட்டிக்கு 6 நபர்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எத்தனை சாத்தியமான வழிகளில் இவர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

தீர்வு:

கணித மன்றத்தில் 8 மாணவிகள் மற்றும் 7 மாணவர்கள் உள்ளனர். இதில் 6 உறுப்பினர்களில் பாதிபேர் மாணவிகளாக (3 மாணவிகள் மற்றும் 3 மாணவர்கள்) இருக்குமாறு \(^8C_3 \times ^7C_3 = 56 \times 35 = 1960\) வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.53

20 வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகளில், மகிழுந்துகளை மதிப்பீடு செய்யும் நிறுவனம் 5 வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகளை முதலாவது, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது மிகச்சிறந்த வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகள் எனவும், மேலும் மீதமுள்ள 15 இல் 7 ஐ தேர்ந்தெடுத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய வகையிலுள்ளவை எனக் கூற எத்தனை வழிகள் உள்ளன?

தீர்வு:

20 வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகளில் 5 மகிழுந்துகளை முதலாவது, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது என மொத்தம் \(^{20}P_5\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். மீதமுள்ள 15 வியாபார முத்திரை மகிழுந்துகளில் 7 ஏற்றுக்கொள்ளக் கூடிய வகையிலுள்ளன என கூற \(^{15}C_7\) வழிகள் உள்ளன. எனவே பெருக்கல் விதிப்படி, \(^{20}P_5 \times ^{15}C_7\) வழிகளில் இதனைச் செய்யலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.54

25 மாணவர்கள் கொண்ட வகுப்பறையில் 10 மாணவர்களை சுற்றுலா பயணத்திற்காக தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இதில் 4 மாணவர்கள் எல்லோரும் ஒன்றாக வருவது அல்லது ஒன்றாக வராமல் இருப்பது என முடிவெடுக்கிறார்கள். சுற்றுலா பயணத்திற்கு எத்தனை வழிகளில் மாணவர்களை தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

தீர்வு:

இதில் இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன.

(i) 4 மாணவர்களும் ஒன்றாக சுற்றுலா பயணத்திற்கு வருவதானால், மீதமுள்ள 6 மாணவர்களை 21 மாணவர்களில் இருந்து \(^{21}C_6\) வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

(ii) 4 மாணவர்களும் ஒன்றாக சுற்றுலா பயணத்திற்கு வரவில்லை எனில், 10 மாணவர்களை மீதமுள்ள 21 மாணவர்களில் இருந்து \(^{21}C_{10}\) வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

எனவே, மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை \(^{21}C_6 + ^{21}C_{10}\).

எடுத்துக்காட்டு 4.55

ஒரு டஜன் ஆப்பிள்கள் உள்ள ஒரு பெட்டியில் ஒரு அழுகிய ஆப்பிள் உள்ளது. இவற்றில் 3 ஆப்பிள்களை ஒரே சமயத்தில் எடுக்கும்போது, எத்தனை வழிகளில் நல்ல ஆப்பிள்களை மட்டும் பெறமுடியும்?

தீர்வு:

12 ஆப்பிள்களில் இருந்து 3 பழங்களை \(^{12}C_3 = 220\) வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்.

12 ஆப்பிள்களில் இருந்து 3 ஆப்பிள்களைத் தேர்வு செய்யும் போது ஒரு அழுகிய ஆப்பிளை தேர்வு செய்யும் எண்ணிக்கை என்பது ஒரு அழுகிய ஆப்பிளை தேர்வு செய்து மற்ற 2 ஆப்பிள்களை மீதமுள்ள 11 நல்ல ஆப்பிள்களில் இருந்து \(^{11}C_2 = 55\) வழிகளில் தேர்வு செய்யும் எண்ணிக்கை ஆகும்.

எனவே, அனைத்தும் நல்ல பழங்களாக கிடைக்கும் முறைகளின் எண்ணிக்கை

எடுத்துக்காட்டு 4.56

ஒரு வினாத்தாளில் உள்ள 8 வினாக்களில் 4 வினாக்கள் பகுதி அ –விலும் 4 வினாக்கள் பகுதி ஆ–விலும் உள்ளன. தேர்வு எழுதுபவர் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும். கீழ்க்கண்ட நிபந்தனைகளை நிறைவுசெய்யும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் இதனைச் செய்யலாம்.

(i) இரு பகுதிகளிலிருந்தும் எவ்வித கட்டுப்பாடும் இல்லாமல் எத்தனை வினாக்களை வேண்டுமானாலும் தேர்வு செய்யலாம்.

(ii) குறைந்தபட்சம் இரண்டு வினாக்களையாவது பகுதி அ –வில் இருந்து எழுதவேண்டும்.

தீர்வு:

(i) எந்த கட்டுப்பாடும் இல்லாமல் : பகுதி அ மற்றும் பகுதி ஆ –வில் உள்ள மொத்த 8 வினாக்களில் 5 வினாக்களை \(^8C_5 = ^8C_3 = 56\) வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

(ii) குறைந்தபட்சம் இரண்டு வினாக்களுக்கு பகுதி அ-வில் விடையளித்தல்: இக்கட்டுப்பாட்டிற்கு சாதகமாக உள்ள வாய்ப்புகள் பின்வருமாறு அட்டவணை படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எனவே, விடையளிக்கும் விதங்களின் எண்ணிக்கை \(24 + 24 + 4 = 52\).

எடுத்துக்காட்டு 4.57

7 மெய்யெழுத்துக்கள் மற்றும் 4 உயிரெழுத்துகளில் இருந்து 3 மெய் எழுத்துகள் மற்றும் 2 உயிரெழுத்துக்கள் உள்ள எழுத்துச் சரங்கள் எத்தனை உருவாக்கலாம்?

தீர்வு:

7 மெய்யெழுத்துக்களில் இருந்து 3 மெய் எழுத்துகளையும், மேலும், 4 உயிரெழுத்துக்களில் இருந்து 2 உயிரெழுத்துக்களையும் \(^7C_3 \times ^4C_2\) வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம். ஒவ்வொரு எழுத்துச் சரத்திலும் 5 எழுத்துகள் உள்ளன. அவற்றை தங்களுக்குள் \(5! = 120\) வழிகளில் வரிசை மாற்றம் செய்யலாம். எனவே, தேவையான வழிகள் \(^7C_3 \times ^4C_2 \times 5! = 35 \times 6 \times 120 = 25200\).

எடுத்துக்காட்டு 4.58

PROPOSITION என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை பயன்படுத்தி 5 எழுத்துகளில் எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.

தீர்வு:

இதில் 11 எழுத்துகள் உள்ளன. இதில் 4 வெவ்வேறான எழுத்துகள் (R,S,T,N) 2 ஒரே மாதிரியான எழுத்துகள் கொண்ட 2 தொகுப்புகள் (PP, II) மற்றும் 3 ஒரே எழுத்துகளை கொண்ட ஒரு தொகுப்பு (OOO) ஆகியவை உள்ளன.

கீழ்க்கண்ட அட்டவணையானது, மேற்கண்ட தொகுப்பிற்கு சாதகமான பல்வேறு சேர்வுகளையும் மற்றும் அதற்கான வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கையையும் தருகின்றது.

ஆகவே, மொத்த எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை

எடுத்துக்காட்டு 4.59

\(m\) இணையான கோடுகளின் ஒரு தொகுப்பு மற்றொரு \(n\) இணையான கோடுகளின் ஒரு தொகுப்பை (முதல் தொகுப்பில் உள்ள கோடுகளுக்கு இணையில்லாத) வெட்டும் போது உருவாகும் பின்னல் அமைப்பில் (lattice structure) உள்ள இணைகரங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

\(m\) எண்ணிக்கையுள்ள முதல் தொகுப்பிலிருந்து 2 கோடுகளையும் \(n\) எண்ணிக்கையுள்ள இரண்டாம் தொகுப்பிலிருந்து 2 கோடுகளையும் தேர்வு செய்து ஓர் இணைகரத்தை உருவாக்கலாம். எனவே, மொத்த இணைகரங்களின் எண்ணிக்கை \(^mC_2 \times ^nC_2\).

எடுத்துக்காட்டு 4.60

\(n\) பக்கங்கள் உள்ள ஒரு பலகோணத்திற்கு எத்தனை மூலவிட்டங்கள் இருக்கும்?

தீர்வு:

\(n\) பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு பல கோணத்தில் \(n\) முனைப்புள்ளிகள் இருக்கும். பல கோணத்தின் இரண்டு முனைப்புள்ளிகள் இணைக்கும்போது ஒரு பக்கம் அல்லது ஒரு மூலவிட்டம் கிடைக்கும். இரண்டு முனைப்புள்ளிகள் வழியே செல்லும் கோட்டுத்துண்டுகளின் எண்ணிக்கை \(^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}\). இந்த கோடுகளில், பல கோணத்தின் \(n\) பக்கங்களும் உள்ளது. எனவே, பலகோணத்தின் மூலவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-3)}{2}\).

குறிப்பாக ஒரு ஐங்கோணம் மற்றும் எழுகோணம் ஆகியவற்றின் மூலவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை முறையே \(\frac{5(5-3)}{2} = 5\) மற்றும் \(\frac{7(7-3)}{2} = 14\).

பயிற்சி 4.3#

1. \(^nC_{12} = ^nC_9\) எனில், \(^{21}C_n\) ஐக் காண்க?

2. \(^{15}C_{2r-1} = ^{15}C_{2r+4}\) எனில், \(r\) ஐக் காண்க?

3. \(^nP_r = 720\) மற்றும் \(^nC_r = 120\) எனில், \(n, r\) ஐக் காண்க?

4. நிறுவுக \(^{15}C_3 + 2 \times ^{15}C_4 + ^{15}C_5 = ^{17}C_5\).

5. நிறுவுக \(^{35}C_5 + \sum_{r=0}^{4} (^{39-r}C_4) = ^{40}C_5\).

6. \(^{n+1}C_8 : ^{n-3}P_4 = 57 : 16\) எனில், \(n\) ஐக் காண்க?

7. நிறுவுக \(^{2n}C_n = \frac{2^n \times 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2n-1)}{n!}\).

8. \(1 \leq r \leq n\) எனில் \(n \times ^{n-1}C_{r-1} = (n - r + 1) \times ^nC_{r-1}\) என நிறுவுக.

9. (i) ஒரு கபடி பயிற்சியாளரிடம் 14 விளையாட்டு வீரர்கள் விளையாட தயார் நிலையில் உள்ளனர். 7 விளையாட்டு வீரர்களைக் கொண்ட எத்தனை வெவ்வேறான குழுக்களை அவர் அமைக்கலாம்?

(ii) ஒரு விருந்தில் 15 நபர்கள் உள்ளனர். எந்த இரு நபர்களும் தங்களுக்குள் கைகுலுக்கிக் கொள்கிறார்கள் எனக் கொண்டால், அந்த விருந்தில் எத்தனை கைகுலுக்கல் நிகழும்?

(iii) ஒரு வட்டத்தின் மீதுள்ள 20 புள்ளிகள் வழியே எத்தனை நாண்களை வரைய முடியும்?

(iv) ஒரு வண்டி நிறுத்தும் இடத்தில் ஒரு வருட பழைய மகிழுந்துகள் 100 நிறுத்தப்பட்டுள்ளன. அந்த மகிழுந்துகளின் மாக கட்டுப்பாட்டுக் கருவிகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை சோதனை செய்ய ஏதேனும் ஐந்து மகிழுந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எத்தனை விதமாக இந்த ஐந்து மகிழுந்துகளை தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

(v) 3 ஆண்கள், 2 பெண்கள் மற்றும் 1 திருநங்கை ஆகியோர்களை 5 ஆண்கள், 2 பெண்கள் மற்றும் 2 திருநங்கைகளில் இருந்து எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

10. கீழ்க்காணும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை உள்ள கணங்களின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

[ விடை குறிப்பு: \(^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_n = 2^n\) ]

(i) 4 உறுப்புகள் (ii) 5 உறுப்புகள் (iii) \(n\) உறுப்புகள்

11. ஒரு அறக்கட்டளையில் 25 உறுப்பினர்கள் உள்ளனர்.

(i) இவர்களில் 3 அதிகாரிகளை எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

(ii) ஒரு தலைவர், ஒரு உப தலைவர் மற்றும் ஒரு செயலாளர் எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

12. ஒரு குழுவில் உள்ள 10 நபர்களில் ஒரு தலைவர் மற்றும் ஒரு செயலர் உள்ளடக்கி 6 நபர்களை எத்தனை வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்?

13. 12 வெவ்வேறான புத்தகங்களில் 5 புத்தகங்களை கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

(i) இரண்டு குறிப்பிட்ட புத்தகங்களை எப்பொழுதுமே தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

(ii) இரண்டு குறிப்பிட்ட புத்தகங்களை எப்பொழுதுமே தேர்ந்தெடுக்கக் கூடாது.

14. 5 ஆசிரியர்கள் மற்றும் 20 மாணவர்களில் இருந்து 2 ஆசிரியர்கள் மற்றும் 3 மாணவர்களைக் கொண்டு ஒரு குழு அமைக்கப்படுகின்றது. எத்தனை வழிகளில் இதனைச் செய்யலாம்? மேலும் இவற்றில் கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு எத்தனை குழுக்களைக் காணலாம்?

(i) அக்குழுவில் ஒரு குறிப்பிட்ட ஆசிரியர் உள்ளவாறு.

(ii) அக்குழுவில் குறிப்பிட்ட மாணவர் வராதவாறு.

15. ஒரு மாணவர் ஒரு தேர்வில் 9 வினாக்களில் 2 வினாக்களுக்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையுடன் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும். எத்தனை வழிகளில் அந்த வினாக்களுக்கு ஒரு மாணவர் விடையளிக்கலாம்?

16. 7 இந்தியர்கள் மற்றும் 5 அமெரிக்கர்களில் இருந்து இந்தியர்கள் அதிக அளவில் இருக்கும்படியான 5 நபர்களைக் கொண்ட எத்தனை விதமான குழுக்களை அமைக்கலாம்?

17. 8 ஆண்கள் மற்றும் 4 பெண்களில் இருந்து 7 பேர் கொண்ட குழு அமைக்கப்படுகின்றது. கீழ்க்காணும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வகையில் எத்தனை குழுக்களை அமைக்கலாம்.

(i) சரியாக 3 பெண்கள் இருக்குமாறு.

(ii) குறைந்தபட்சம் 3 பெண்கள் இருக்குமாறு.

(iii) அதிக பட்சம் 3 பெண்கள் இருக்குமாறு.

18. ஒரு ஆணுக்கு 4 பெண்கள் மற்றும் 3 ஆண்கள் என 7 உறவினர்கள் உள்ளனர். அவரது மனைவிக்கு 3 பெண்கள் மற்றும் 4 ஆண்கள் என 7 உறவினர்கள் உள்ளனர். ஒரு இரவு விருந்துக்கு 3 பெண்கள் மற்றும் 3 ஆண்கள் அழைக்கப்படும் போது, ஆணின் உறவினர்கள் 3 பேர் மற்றும் அவரது மனைவியின் உறவினர்கள் 3 பேர் என்றவாறு விருந்தில் கலந்துகொள்ள எத்தனை வழிகளில் அழைக்கலாம்?

19. ஒரு பெட்டியில் இரண்டு வெள்ளைப் பந்துகள், மூன்று கருப்புப் பந்துகள் மற்றும் நான்கு சிவப்புப் பந்துகள் உள்ளன. பெட்டியில் இருந்து மூன்று பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒரு கருப்பு பந்து இருக்குமாறு எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

20. EXAMINATION என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைக் கொண்டு எத்தனை 4 எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்?

21. எந்த மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமையாதவாறு 15 புள்ளிகளைக் கொண்டு எத்தனை முக்கோணங்களை அமைக்கலாம்?

22. 15 புள்ளிகள் 7 புள்ளிகள் ஒரு கோட்டிலும் மற்றும் மீதமுள்ள 8 புள்ளிகள் மற்றொரு இணைகோட்டிலும் அமைந்துள்ளது எனில் இந்த 15 புள்ளிகளைக் கொண்டு எத்தனை முக்கோணங்களை அமைக்கலாம்?

23. ஒரு தளத்தில் 11 புள்ளிகள் உள்ளன. இவற்றில் 4 புள்ளிகளைத் தவிர மற்ற எந்த 3 புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமையவில்லை எனில், கீழ்க்கண்டவற்றைக் காண்க.

(i) இப்புள்ளிகளில் ஒரு சோடி புள்ளிகளினால் அமையும் சோடிகள் எத்தனை?

(ii) இந்த புள்ளிகளை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு எத்தனை முக்கோணங்களை அமைக்கலாம்?

24. 90 மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட பலகோணத்தில் எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன?

4.6 கணிதத் தொகுத்தறிதல் (Mathematical Induction)#

முதல் \(n\) ஒற்றை மிகை முழு எண்களின் கூடுதலை கருதுவோம். இவை \(1, 3, 5, 7, \dots, 2n-1\) ஆகும். முதல் ஒற்றை எண் 1 இதன் கூடுதல் 1. முதல் இரண்டு ஒற்றை எண்கள் 1 மற்றும் 3. மேலும், இவற்றின் கூடுதல் 4. இதிலிருந்து பின்வருமாறு ஒரு வடிவம் அமைவதைக் காணலாம்.

வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்கள் \(1, 4, 9, 16, 25, \dots\) அனைத்தும் முழு வர்க்க எண்களாகும். இந்த வடிவத்திலிருந்து முதல் \(n\) ஒற்றை மிகை முழு எண்களின் கூடுதல் \(n\)-ன் வர்க்கமான \(n^2\) -க்குச் சமமாகும் என்பதை ஊகிக்கலாம். இதனை \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2\) என குறிக்கலாம். இருப்பினும், இது ஒரு ஊகக்கூற்று ஆகும். இதனை நிறுவ நாம் கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையினைப் பயன்படுத்துகின்றோம். இவ்வாறான ஊகக்கூற்றை நிறுவும் முறை கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறை ஆகும். ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவின் எல்லா சாத்தியமான நிலைகளையும் உற்றுநோக்கி உருவாக்கப்படும் ஊகக்கூற்றைப் பொருத்துதான் இந்த தொகுத்தறிதல் முறை உள்ளது. இது முக்கியமாக இயற்கணிதம் மற்றும் கணிதத்தின் மற்ற பிரிவுகளில் மிகை முழு எண் \(n\) இல் அமைந்த முடிவுகள் அல்லது தேற்றங்களை நிறுவ பயன்படுகின்றது.

இந்த கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையினை எண்ணற்ற மாடிப்படிகளை ஏறுவதுடன் தொடர்புபடுத்திப் பார்க்கலாம்.

நாம் மாடிப்படிகளின் மீது ஏறுவதை உறுதிசெய்ய, கீழ்க்கண்டவற்றை உறுதி செய்ய வேண்டும்.

(அ) நாம் முதல் படியை ஏற வேண்டும்.

(ஆ) ஒரு குறிப்பிட்ட படியை அடைந்த பிறகு, நாம் அதற்கு அடுத்த படியில் ஏற வேண்டும்.

படிநிலைகள் (அ) மற்றும் (ஆ) ஆகியவற்றை உறுதி செய்தால் நாம் எல்லா படிகளையும் ஏறுவதை உறுதிசெய்யலாம். இதுபோலவே, இந்த முறையைக் கணிதக் கூற்று \(P(n)\)-ஐ நிறுவ பயன்படுத்தும் போது, தொகுத்தறிதல் முறையில் கீழ்க்கண்ட படிநிலைகள் உள்ளன.

படி 1: \(n = 1\)–க்கு கூற்று உண்மை என நிறுவுக, அதாவது \(P(1)\) உண்மை என சரிபார்க்க. படிக்கட்டின் முதல்படி ஏறுவதாக ஒப்பிட்டு இதனை ஆரம்பநிலை (Initial step) என்கிறோம்.

படி 2: \(n = k\)–க்கு உண்மையாக இருக்கும்போது \(n = k + 1\)–க்கு இந்த கூற்றை சரிபார்க்க, இங்கு \(k\) ஒரு மிகை முழு எண் ஆகும். அதாவது \(P(k)\) உண்மை எனக்கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவ வேண்டும். இதனை தொகுக்கும் நிலை (Inductive step) என்கிறோம்.

படி 3 : படி 1 மற்றும் 2 ஆகியவை நிறுவப்பட்டால் \(P(n)\) ஆனது எல்லா மிகை முழு எண்கள் \(n\)–க்கும் உண்மை எனலாம்.

கணிதத்தில் தொகுத்தறிதல் என்பது கணிதத்தில் நிரூபிக்கும் முறைகளில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான ஒன்று. இந்த முறையை எடுத்துக்காட்டின் மூலம் விளக்கலாம். கீழ்க்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் நமக்கு நன்றாக தெரிந்த முடிவினை கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம் நிறுவலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.61

கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையை பயன்படுத்தி, எல்லா முழு எண்கள் \(n \geq 1\)–க்கு \(1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\) நிறுவுக.

தீர்வு:

\(P(n) := 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\) என்க.

\(n = 1\) என பிரதியிட.

\(P(1) = 1\) மற்றும் \(\frac{1(1+1)}{2} = 1\).

எனவே, \(n = 1\)–க்கு இது உண்மை. அதாவது \(P(1)\) என்பது உண்மை.

\(n = k\)–க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம். எனவே,

\(P(k) = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}\)

இப்பொழுது \(P(k+1)\) என்பது உண்மையென நிறுவ வேண்டும்.

எனவே, \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) உண்மை எனக்கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.

எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின் படி, எல்லா முழு எண்கள் \(n \geq 1\)–க்கும் \(1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\).

எடுத்துக்காட்டு 4.62

முதல் \(n\) ஒற்றை மிகை எண்களின் கூடுதல் \(n^2\) என தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவுக.

தீர்வு:

\(P(n) := 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2\) என்க.

\(P(1) = 1 = 1^2\) என்பது உண்மை.

\(n = k\)–க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம். எனவே,

\(P(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2\)

இப்பொழுது \(P(k+1) = (k+1)^2\) என நிறுவ வேண்டும்.

எனவே, \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) உண்மை எனக் கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.

எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா முழு எண்கள் \(n \geq 1\)–க்கும், முதல் \(n\) ஒற்றை மிகை எண்களின் கூடுதல் \(n^2\) என நிறுவப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 4.63

கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா முழு எண்கள் \(n \geq 1\)–க்கு

என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(P(n) := 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) என்க.

\(n = 1\) என பிரதியிட

\(P(1) = 1\) மற்றும் \(\frac{1(1+1)(2+1)}{6} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1\).

எனவே, \(n = 1\)–க்கு இது உண்மை. அதாவது \(P(1)\) என்பது உண்மை.

\(n = k\)–க்கு, இந்த கூற்று உண்மை எனக் கொள்வோம். எனவே,

\(P(k) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

இப்பொழுது \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவ வேண்டும்.

எனவே \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) உண்மை எனக் கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.

எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம் எல்லா முழு எண்கள் \(n \geq 1\)–க்கு

எடுத்துக்காட்டு 4.64

கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா இயல் எண்கள் \(n\)–க்கும்

என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(P(n) := \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}\) என்க.

\(n = 1\) என பிரதியிட

\(P(1) = \frac{1}{1\cdot 2} = \frac{1}{2}\) மற்றும் \(\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\).

எனவே, \(P(1)\) உண்மை.

\(n = k\)–க்கு இந்த கூற்று உண்மை எனக் கொள்வோம். எனவே,

\(P(k) = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \dots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}\)

இப்பொழுது \(P(k+1)\) என்பது உண்மை என நிறுவ வேண்டும்.

எனவே \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) உண்மை எனக் கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி, எல்லா இயல் எண்கள் \(n\)–க்கும்,

எடுத்துக்காட்டு 4.65

எந்த ஒரு இயல் எண் \(n\)–க்கும், \(a > b\) எனில் \(a^n - b^n\) ஆனது \(a - b\) ஆல் வகுபடும் என நிரூபிக்க.

தீர்வு:

\(P(n) := a^n - b^n\) ஆனது \(a - b\) ஆல் வகுபடும் என்க.

\(n = 1\) என பிரதியிட

\(P(1) = a - b\) இது \(a - b\) ஆல் வகுபடும். எனவே \(P(1)\) உண்மை.

இந்த கூற்று \(n = k\)–க்கு உண்மை எனக் கொள்க. எனவே \(P(k) = a^k - b^k\) ஆனது \(a - b\) ஆல் வகுபடும். ஆகவே, \(a^k - b^k = \lambda(a-b)\), \(\lambda \in \mathbb{N}\).

நிறுவ வேண்டியது \(P(k+1) = a^{k+1} - b^{k+1}\) ஆனது \(a - b\) ஆல் வகுபடும்.

எனவே, இது \(a - b\) ஆல் வகுபடும். ஆகவே, \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) உண்மை எனக் கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் \(n\)–க்கும், \(a > b\) எனில் \(a^n - b^n\) ஆனது \(a - b\) ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.66

\(n \geq 1\)–க்கு \(3^{2n+2} - 8n - 9\) ஆனது \(8\) ஆல் வகுபடும் என்பதை நிறுவுக.

தீர்வு:

\(P(n) := 3^{2n+2} - 8n - 9\), ஆனது \(8\) ஆல் வகுபடும் என்க.

\(n = 1\) என பிரதியிட \(P(1) = 3^{4} - 8 - 9 = 81 - 17 = 64\), இது 8 ஆல் வகுபடும். எனவே \(P(1)\) உண்மை.

\(n = k\)–க்கு இந்த கூற்று உண்மை எனக் கொள்க. எனவே \(P(k) = 3^{2k+2} - 8k - 9\) ஆனது 8 ஆல் வகுபடும். ஆகவே, \(3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m\), \(m \in \mathbb{N}\).

எனவே, \(3^{2k+2} = 8m + 8k + 9\) என எழுதலாம்.

\(P(k+1) = 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9 = 3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 9 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17\)

\(P(k+1)\) என்பது 8 ஆல் வகுபடும். எனவே \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) உண்மை எனக் கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி \(n \geq 1\)–க்கு \(3^{2n+2} - 8n - 9\) ஆனது 8 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.67

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் \(n \geq 2\) என உள்ள எந்த ஒரு முழு எண்ணுக்கும் \(3n^2 > (n+1)^2\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(n \geq 2\) என இருக்கும்போது \(3n^2 > (n+1)^2\) என்ற கூற்றை \(P(n)\) என கொள்க.

எனவே முதல் படி \(n = 2\) ஆகும்.

\(P(2) = 3 \times 4 = 12\) மேலும் \(3^2 = 9\), \(12 > 9\) ஆதலால் \(P(2)\) என்பது உண்மை.

\(n = k\)–க்கு \(P(n)\) உண்மை எனக் கொள்க. எனவே \(3k^2 > (k+1)^2\).

\(P(k+1) = 3(k+1)^2 = 3k^2 + 6k + 3\)

\(> (k+1)^2 + 6k + 3 = k^2 + 2k + 1 + 6k + 3 = k^2 + 8k + 4\)

\(= k^2 + 4k + 4 + 4k = (k+2)^2 + 4k > (k+2)^2\) (\(k > 0\) ஆதலால்)

எனவே, \(P(k+1)\) என்பது உண்மை.

\(P(k)\) என்பது உண்மை எனக் கொண்டு \(P(k+1)\) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.

எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எல்லா \(n \geq 2\)–க்கும் \(3n^2 > (n+1)^2\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.68

கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம் \(n \geq 2\) என உள்ள எந்த ஒரு முழு எண்ணுக்கும் \(3^n > n^2\) என நிரூபி.

தீர்வு:

\(n \geq 2\)–க்கு \(3^n > n^2\) என்பதை \(P(n)\) என்ற கூற்று என்க. முதல்படி \(n = 2\) ஆகும்.

\(P(2) = 3^2 = 9\) மேலும் \(2^2 = 4\), \(9 > 4\) ஆதலால் \(P(2)\) உண்மை.

\(n = k\)–க்கு \(P(n)\) உண்மை எனக் கொள்க. எனவே, \(P(k) > k^2\) (எனவே \(3^k > k^2\)).

\(k \geq 2\) என்பதால் (எடுத்துக்காட்டு 4.67 விருந்து) \(3k^2 > (k+1)^2\). எனவே \(P(k+1) > (k+1)^2\).

எனவே \(n \geq 2\) என உள்ள அனைத்து முழு எண்களுக்கும் \(3^n > n^2\).

பயிற்சி 4.4#

1. கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் \(n \geq 1\)–க்கு

   \[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \]

   என நிரூபிக்க.

2. கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் \(n \geq 1\)–க்கு

   \[ 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \]

   என நிரூபிக்க.

3. பூஜ்ஜியமற்ற முதல் \(n\) இரட்டை எண்களின் கூடுதல் \(n(n+1)\) என நிரூபிக்க.

4. கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் \(n \geq 1\)–க்கு

   \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \]

   என நிரூபிக்க.

5. கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி \(n \geq 2\) எனக் கொண்ட எந்த ஒரு இயல் எண்ணுக்கும்

   \[ \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} \]

   என நிரூபிக்க.

6. கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி \(n \geq 2\) எனக் கொண்ட எந்த ஒரு இயல் எண்ணுக்கும்

   \[ \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n} = \frac{n-1}{n+1} \]

   என நிரூபிக்க.

7. கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எந்த ஒரு இயல் எண் \(n\)–க்கும்

   \[ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \]

   என நிரூபிக்க.

8. கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எந்த ஒரு இயல் எண் \(n\)–க்கும்

   \[ \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4} \]

   என நிரூபிக்க.

பயிற்சி 4.5#

Choose the correct or most suitable answer from the given four alternatives.

1. ஒருவர் இரவு விருந்திற்காக ஒரு உணவு விருந்துக்கு சென்றார். அங்கிருந்த உணவு பட்டியலில் 10 இந்திய மற்றும் 7 சீன உணவு வகைகள் இருந்தன. ஒரு இந்திய அல்லது ஒரு சீன உணவை அவர் எத்தனை வகைகளில் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்? (1) 70 (2) 17 (3) 10 (4) 7

2. 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டு, இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு 4-இலக்க எண்களை உருவாக்கும் முறைகளின் எண்ணிக்கை (1) \(4^5\) (2) \(5^4\) (3) \(^5P_4\) (4) \(^5C_4\)

3. 10 மாணவர்கள் மற்றும் 8 மாணவிகளில் இருந்து, 5 மாணவிகள் மற்றும் 5 மாணவர்களைக் கொண்டு ஒரு குழு அமைக்கும் முறைகளின் எண்ணிக்கை (1) \(^{10}C_5 \times ^8C_5\) (2) \(^{10}C_5 \times ^8C_3\) (3) \(^{10}C_5 \times ^8C_5\) (4) \(^{10}C_5 \times ^8C_5\)

4. பகுதி A இல் 4 வினாக்களும், பகுதி B இல் 5 வினாக்களும் உள்ள ஒரு தேர்வில் குறைந்தபட்சம் ஒரு வினாவாவது பகுதி A இல் இருந்து தேர்ந்தெடுத்து, மொத்தம் 6 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கும் முறைகளின் எண்ணிக்கை (1) \(^4C_1 \times ^5C_4\) (2) \(^4C_1 \times ^5C_4 + ^4C_1 \times ^5C_3 + ^4C_1 \times ^5C_2 + ^4C_1 \times ^5C_1\) (3) \(^9C_6 - ^5C_6\) (4) \(^9C_6 - ^5C_5\)

5. 3 விரல்களில், 4 மோதிரங்களை அணியும் வழிகளின் எண்ணிக்கை (1) \(4^3 - 1\) (2) \(3^4\) (3) 68 (4) 64

6. \(^{n+5}C_{n+1} = \frac{11(n-1)}{2} \times ^{n+3}P_n\) எனில், \(n\) -ன் மதிப்பு (1) 7 மற்றும் 11 (2) 6 மற்றும் 7 (3) 2 மற்றும் 11 (4) 2 மற்றும் 6

7. அடுத்தடுத்த \(r\) மிகை முழு எண்களின் பெருக்கற்பலன் எதனால் வகுபடும்? (1) \(r!\) (2) \((r-1)!\) (3) \((r+1)!\) (4) \(r^r\)

8. குறைந்தபட்சம் ஒரு இலக்கம் மீண்டும் வருமாறு 5 இலக்க தொலைபேசி எண்களின் எண்ணிக்கை (1) 90000 (2) 10000 (3) 30240 (4) 69760

9. \(^{a^2-a}C_2 = ^{a^2-a}C_4\) எனில் \(a\) -ன் மதிப்பு (1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5

10. ஒரு தளத்தில் 10 புள்ளிகள் உள்ளன. அவற்றில் 4 ஒரே கோடமைவன. ஏதேனும் இரு புள்ளிகளை இணைத்து கிடைக்கும் கோடுகளின் எண்ணிக்கை (1) 45 (2) 40 (3) 39 (4) 38

11. ஒரு விழாவிற்கு 12 நபர்களில் 8 நபர்களை ஒரு பெண் அழைக்கிறார். இதில் இருவர் ஒன்றாக விழாவிற்கு வரமாட்டார்கள் எனில், அவர்களை அழைக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை (1) \(2 \times ^{11}C_7 + ^{10}C_8\) (2) \(^{11}C_7 + ^{10}C_8\) (3) \(^{12}C_8 - ^{10}C_6\) (4) \(^{10}C_6 + 2!\)

12. நான்கு இணையான கோடுகளின் தொகுப்பானது மூன்று இணையான கோடுகளைக் கொண்ட மற்றொரு தொகுப்பை வெட்டும் போது உருவாகும் இணைகரங்களின் எண்ணிக்கை (1) 6 (2) 9 (3) 12 (4) 18

13. ஒரு அறையில் உள்ள ஒவ்வொரு வரும் மற்றவருடன் கைகுலுக்குகிறார்கள். 66 கைகுலுக்கல் நிகழ்கின்றது எனில், அந்த அறையில் உள்ள நபர்களின் எண்ணிக்கை (1) 11 (2) 12 (3) 10 (4) 6

14. 44 மூலைவிட்டங்கள் உள்ள ஒரு பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை (1) 4 (2) 4! (3) 11 (4) 22

15. எந்த இரண்டு கோடுகளும் இணையாக இல்லாமலும் மற்றும் எந்த மூன்று கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்ளாமலும் இருக்குமாறு ஒரு தளத்தின் மீது 10 நேர்க்கோடுகள் வரையப்பட்டால், கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை (1) 45 (2) 40 (3) 10! (4) \(2^{10}\)

16. ஒரு தளத்தில் உள்ள 10 புள்ளிகளில் 4 புள்ளிகள் ஒரு கோடமைவன எனில், அவற்றை கொண்டு உருவாக்கும் முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை (1) 110 (2) \(^{10}C_3\) (3) 120 (4) 116

17. \(^{2n}C_3 : ^nC_3 = 11:1\) எனில் \(n\)-ன் மதிப்பு (1) 5 (2) 6 (3) 11 (4) 7

18. \(^{n-1}C_r + ^{n-1}C_{r-1}\) என்பது (1) \(^{n+1}C_r\) (2) \(^{n-1}C_r\) (3) \(^nC_r\) (4) \(^nC_{r-1}\)

19. ஒரு சதுரங்க அட்டையில் உள்ள செவ்வகங்களின் எண்ணிக்கை (1) 81 (2) \(9 \times 9\) (3) 1296 (4) 6561

20. 2 மற்றும் 3 என்ற இலக்கங்களை கொண்ட உருவாக்கப்படும் 10 இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை (1) \(^{10}C_2 + ^9C_2\) (2) \(2^{10}\) (3) \(2^{10} - 2\) (4) \(10!\)

21. \(^nP_r\) என்பது \(^nP_r\) ஐ குறித்தால் \(1 + ^1P_1 + ^2P_2 + ^3P_3 + \dots + ^nP_n\) என்ற தொடரின் கூடுதல் (1) \(^{n+1}P_{n+1}\) (2) \(^{n+1}P_{n+1} - 1\) (3) \(^{n-1}P_{n-1} + 1\) (4) \(^{(n+1)}P_{(n-1)}\)

22. முதல் \(n\) ஒற்றை இயல் எண்களின் பெருக்கலின் மதிப்பு (1) \(2^n \cdot ^nC_n \cdot ^nP_n\) (2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^n \times ^{2n}C_n \times ^nP_n\) (3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^n \times ^{2n}C_n \times ^{2n}P_n\) (4) \(^nC_n \times ^nP_n\)

23. \(^nC_4, ^nC_5, ^nC_6\) ஆகியவை AP யில் (கூட்டுத் தொடரில்) உள்ளன எனில், \(n\)-ன் மதிப்பு (1) 14 (2) 11 (3) 9 (4) 5

24. \(1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 17\)-ன் மதிப்பு (1) 101 (2) 81 (3) 71 (4) 61

பாடத் தொகுப்பு (Summary)#

• \(n\) என்ற எண்ணின் காரணியப் பெருக்கம் என்பது முதல் \(n\) இயல் எண்களின் பெருக்கம் ஆகும்.
• எந்த ஒரு முழு எண் \(n \geq 1\) க்கும் \(n! = n(n-1)!\) ஆகும்.
• \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களை அடுக்கும் முறைகளின் எண்ணிக்கை \(n!\) ஆகும்.
• \(n\) வெவ்வேறான பொருட்களில் இருந்து \(r\) பொருட்களை வரிசைப்படுத்தும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)\) ஆகும்.
• \(n\) பொருட்களில், ஒரே மாதிரியாக உள்ள \(p_1\) பொருட்களை முதல் வகையாகவும், ஒரே மாதிரியாக உள்ள \(p_2\) பொருட்களை இரண்டாம் வகையாகவும், \(\dots\), ஒரே மாதிரியாக உள்ள \(p_k\) பொருட்களை \(k\) ஆவது வகையாகவும் மற்றவை வெவ்வேறாகவும் உள்ள பொருட்களின் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{n!}{p_1!p_2!\dots p_k!}\) ஆகும்.
• வரிசை மாற்றத்தில் வரிசை முக்கியம் சேர்வில் வரிசை முக்கியமில்லை.
• \(n\) பொருட்களில் இருந்து \(r\) பொருட்களை தேர்ந்தெடுக்கும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை \(^nC_r\) ஆகும்.
• இதனை \(^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!}\) என குறிக்கலாம்.