அத்தியாயம் 11: தொகை நுண்கணிதம்#

11.1 அறிமுகம்#

காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லிபினிட்ஸ் (1646-1716) மற்றும் சர் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) ஆகியோர் 17-ஆம் நூற்றாண்டின் மத்தியில் தனித்தனியாக நுண்கணிதத்தை கண்டுபிடித்தனர். தத்துவஞானி, கணிதவியலாளர், அரசியல் ஆலோசகர், மற்றும் தர்க்கவியலாளர் எனப் போற்றப்படும் ஜெர்மானிய நாட்டவரான லிபினிட்ஸ், வகையிடல் மற்றும் தொகையிடல் நுண்கணிதத்தைத் தனித்துவமாக கண்டுபிடித்தார். இதே காலக்கட்டத்தில் இங்கிலாந்து நாட்டைச் சார்ந்த சர் ஐசக் நியூட்டன் ஒரு வளைவரையின் கீழ் உள்ள பரப்பினைக் காண நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தை உருவாக்கினார். நியூட்டன் கணிதத்தோடு நிற்காமல், ஒளியியல் மற்றும் புவிஈர்ப்பு ஆகியவற்றின் கோட்பாடுகளையும் உருவாக்கினார்.

வகையிடல் மற்றும் தொகையிடல் இல்லாமல் இவ்வுலகத்தை நம்மால் கற்பனை கூடச் செய்ய இயலாது. கணிதத்தின் வகையிடல் மற்றும் தொகையிடல் ஆகிய இரண்டு அடிப்படைக் கூறுகளின் பயன்பாடுகளால் இந்த நூற்றாண்டில் அறிவியல் வளர்ச்சி குறிப்பிடத்தக்க அளவில் மேம்பட்டு இருப்பதைக் காணலாம். இயற்பியல், வேதியியல், பொறியியல், வானியல், கனிமவியல், உயிரியல் மற்றும் சமூக அறிவியலில் ஏற்படும் பல்வேறு வகையான பிரச்னைகளின் தீர்வுகளைக் காண்பதற்கு மேற்கூறிய இரண்டு அடிப்படைக் கூறுகளின் பயன்பாடுகள் தவிர்க்க முடியாத ஒன்றாகும்.

நுண்கணிதம் கொள்கை அளவில் இருவகை வடிவியல் கணக்குகளைப் பற்றியது.

(i) ஒரு வளைவரையின் தொடுகோட்டின் சாய்வினை எல்லை காணும் முறையில் கற்பதை வகையிடல் என்கிறோம்.

(ii) ஒரு வளைவரையின் கீழ் அமைந்துள்ள பகுதியின் பரப்பளவினை எல்லை காணும் முறையில் கற்பதைத் தொகையிடல் என்கிறோம்.

நாம் 9 மற்றும் 10 ஆகிய அத்தியாயங்களில் வகை நுண்கணிதத்தைப் படித்துள்ளோம். இந்த அத்தியாயத்தில் தொகையிடலுக்கான சில அடிப்படை வழிமுறைகளைக் காண்போம்.

சூழ்நிலை 1#

A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளுக்கிடையேயான (படம் 11.1(a)), மீச்சிறு தூரம் அவ்விரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டுத் துண்டாகும். ஒரு துகளானது A யிலிருந்து B-க்கு (செங்குத்தாக அமையாத) வழுக்கிச் செல்லும்போது எடுத்துக்கொள்ளும் மிகக்குறைந்த நேரம் கொண்ட பாதையைக் காண முற்படுவதாகக் கொள்வோம். பெரும்பாலானோர் மீச்சிறு தூரம் கொண்ட AB என்ற நேர்க்கோட்டு வழியாக வந்ததால் (படம் 11.1(a)) எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் மீச்சிறு நேரம் என நம்புகின்றனர்.

A-க்கும் B-க்கும் குறைந்த தூரம் உடைய பாதை A-க்கும் B-க்கும் குறைந்த நேரம் உடைய பாதை

ஆனால், A ஐயும் B ஐயும் இணைக்கும் நேர்க்கோடு மீச்சிறு நேரம் கொண்ட பாதையாக இருக்காது. ஏனெனில் A க்கு அருகில் அதிக சாய்வு கொண்ட வளைவரையில் (படம் 11.1 (b)) இயங்கும் துகளானது நேர்க்கோட்டில் (படம் 11.1 (a)) இயங்கும் துகளை விட அதிகமாக இருக்கும். இந்த வளைவரையின் பாதை மிக நீளமானதாக இருந்தபோதிலும், இந்தப் பாதையை அதிவேகமாக மிகக்குறைந்த நேரத்தில் கடக்கலாம். நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி இக்கணக்கிற்கான தீர்வு காணலாம் இது ‘பிராகிஸ்டோக்ரோன் (Brachistochrone)’ கணக்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சூழ்நிலை 2#

ஆரம்ப வடிவியலில் அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் ஒழுங்கான வடிவங்களின் அளவீடுகளைக் காண்பதைப் பற்றி ஏற்கனவே நாம் படித்துள்ளோம்.

பின்வரும் வரைபடங்களினால் குறிப்பிடப்பட்ட அளவீடுகளை, சார்புகளைக் கொண்டு எவ்வாறு கணக்கிட முடியும்?

இந்தக் கணக்குகள் காண்பதற்கு கடினமாக இருந்த போதிலும் நுண்கணிதத் தொகையிடல் மூலம் இவற்றை எளிதாக தீர்க்கலாம்.

சூழ்நிலை 3#

மாணவர் ஒருவர் தன் மோட்டார் கைக்கிளில் 24 மீ/வினாடி வேகத்தில் சென்று கொண்டிருக்கும்போது, குறிப்பிட்ட தருணத்தில் தனக்கு முன்பாக 40 மீட்டர் தொலைவில் இருக்கும் தடுப்பின் மீது மோதலைத் தவிர்க்க வாகனத்தை நிறுத்த வேண்டியுள்ளது. உடனடியாகத் தன்னுடைய வாகனத்தை 8 மீ/வினாடி² எதிர் முடுக்கத்தில் வேகத்தைக் குறைக்கிறார் எனில் வாகனம் தடுப்பின் மீது மோதுவதற்கு முன் நிற்குமா?

நம் அன்றாட வாழ்க்கையில் இயற்கையாகவே நிகழும் பல்வேறு நிகழ்வுகளை நாம் பார்ப்போம்.

எந்த வேகத்தில் மேல் நோக்கி உந்தப்படும் ஒரு செயற்கைகோள் மீண்டும் பூமியை நோக்கித் திரும்பாது?
கொடுக்கப்பட்டுள்ள சுற்றளவை (P) கொண்ட இருசமபக்க முக்கோணத்தை உள்ளடக்கிய சிறிய வட்டத்தகட்டின் ஆரம் எவ்வளவு?
2r ஆரம் கொண்ட திண்மக்கோளத்தின், மையத்திலிருந்து r ஆரம் கொண்ட ஒரு துளையினை உருவாக்கினால் வெளியேற்றப்படும் துகளின் கன அளவு எவ்வளவு?
கிருமிகளின் வளர்ச்சி விகிதம் அப்போதைய தொகையைப் பொறுத்து மாறுபடுகிறது மற்றும் அதன் வளர்ச்சி ஒரு மணி நேரத்தில் இரு மடங்காகிறது எனில் இரண்டு மணிநேரம் கழித்து அதன் வளர்ச்சி எவ்வளவாக இருக்கும்?

மேற்கூறிய நிகழ்வுகளுக்குத் தொகையிடல் விடையளிக்கிறது.

11.2 நியூட்டன்-லிபினிட்ஸ் தொகையிடல்#

தொகையிடல் நுண்கணிதம் முக்கியமாக அறுதியிடப்படாத தொகை மற்றும் வரையறுத்த தொகை எனப் பிரிக்கப்படுகிறது. இப்பாடப்பகுதியில் அறுதியிடப்படாத தொகையை அதன் வகையிடலில் இருந்து பெறப்படும் சார்புகளின் மூலமாகப் படிக்கிறோம்.

\( + , - , \times , \div , x^n , \sqrt[n]{x} \) போன்ற எதிர்மறைச் செயல்முறை ஜோடிகளைப் பற்றி நாம் ஏற்கனவே நன்கு அறிந்துள்ளோம். இதேபோல் தொகையிடலும் வகையிடலும் \( \frac{d}{dx}, \int \) கூட ஒன்றுக்கொன்று எதிர்மறைச் செயல்முறைகளின் ஜோடியாகும். வகையிடலின் எதிர்மறைச் செயல்முறையை ‘எதிர் வகையிடல்’ என அழைப்போம்.

வரையறை 11.1#

I என்னும் இடைவெளியில் ஒவ்வொரு x-க்கும் \( F'(x) = f(x) \) என இருந்ததால் \( F(x) \) என்பது I-ன் மீதான \( f(x) \)-ன் எதிர்மறை வகையிடல் (நியூட்டன்-லிபினிட்ஸ் தொகையிடல்) எனப்படும்.

கற்றலின் நோக்கங்கள்
இப்பாடப்பகுதி நிறைவுறும்போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகளாக
அறுதியிடப்படாத தொகையிடலின் வரையறையை வகையிடலின் எதிர்ச்செயலாக்கமாக புரிந்துகொள்ளுதல்
மாறிலியின் மடங்குகள், கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகிய அடிப்படைச் சார்புகளின் அறுதியிடப்படாத தொகையினைக் கண்டறிதல்
சேர்ப்புச் சார்புகளின் தொகையினைக் காண பொருத்தமான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துதல்
ஒரு சார்பின் மாறுவீதம் கொடுக்கப்பட்டால் அச் சார்பினைத் தொகையிடல் மூலம் காணல்
ஆகியவை எதிர்பார்க்கப்படுகின்றன.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.1#

\( F(x) = x^2 + 5 \) எனில், \( F'(x) = 2x \). \( f(x) = 2x \) என வரையறுத்தால், \( f(x) \) என்பது \( F(x) \)-ன் வகைக்கெழு எனவும், \( F(x) \) என்பது \( f(x) \)-ன் எதிர் வகைக்கெழு எனவும் அழைக்கப்படும்.

\(F(x)\)	\(F'(x) = f(x)\)
\(P(x) = x^2 + 0\)	\(2x\)
\(Q(x) = x^2 + 2\)	\(2x\)
\(H(x) = x^2 - 1\)	\(2x\)
\(F(x) = x^2 + c\)	\(2x\)

\(F(x), P(x), Q(x)\) மற்றும் \(H(x)\) ஆகியவற்றின் வகையிடல் \(f(x)\) எனப் பார்த்தோம். ஆனால் \(f(x) = 2x\)-ன் எதிர் வகையிடல் ஒருமைத்தன்மையற்றது. அதாவது \(f(x)\)-ன் எதிர் வகையிடல்கள் எண்ணற்ற பல சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.

கூற்றம் 11.1#

ஒரு இடைவெளி I-ல் \(F(x)\) என்பது \(f(x)\)-ன் ஒரு குறிப்பிட்ட எதிர் வகையிடல் எனில் I-ல், \(f(x)\)-ன் ஒவ்வொரு எதிர் வகையிடலும் \(\int f(x)dx = F(x) + c\) எனக் கிடைக்கப்படும். இங்கு c என்பது தன்னிச்சை மாறிலி மற்றும் \(f(x)\)-ன் அனைத்து எதிர் வகையிடலையும் c-ன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் மூலம் காணலாம்.

சார்பு \(f(x)\)-ஐ தொகைச் சார்பு (Integrand) என அழைக்கிறோம். dx-ல் உள்ள x-ஐ தொகையிடல் மாறி அல்லது தொகையீட்டு மாறி (Integrator) என அழைக்கலாம். தொகை காணும் முறையைத் தொகையிடல் அல்லது எதிர் வகையிடல் என அழைக்கலாம்.

Sum என்ற சொல்லின் முதல் எழுத்தான S ஆனது மேலும் கீழமாக நீட்டப்பட்டு \( \int \) என்ற வடிவம் பெற்றுத் தொகையீட்டுக் குறியானது.

வகையிடலை உள்ளடக்கிய கணக்குகளில் ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யக்கூடிய எதிர் வகையீட்டின் தீர்வைக் காண விரும்புகிறோம். இக் குறிப்பிட்ட நிபந்தனையைத் தொடக்க நிபந்தனை அல்லது எல்லை நிபந்தனை என அழைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, \(\frac{dy}{dx}\)-ஐ உள்ளடக்கிய சமன்பாட்டில் தொடக்க நிபந்தனைகளாக \(x = x_1\) மற்றும் \(y = y_1\) எனக் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின், அதன் எதிர் வகையிடலைக் கண்டு, அதில் அமைந்துள்ள தன்னிச்சை மாறியினை c-ஐ \(x = x_1\) மற்றும் \(y = y_1\) எனப் பிரதியிட்டுக் காணலாம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.2#

x = 2 எனும்போது y = 10 என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் கூடிய \(\frac{dy}{dx} = 2x\) எனும் சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு குறிப்பிட்ட எதிர் வகையிடலைக் காண விழைக்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டின் படி,

\[ \frac{dy}{dx} = 2x \]\[ y = \int 2x \, dx \]\[ y = x^2 + c \]

y = 10 மற்றும் x = 2 என மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால்

\[ 10 = 2^2 + c \implies c = 6 \]

c = 6 எனப் பிரதியிட \(y = x^2 + 6\) என்ற தேவையான எதிர்வகைச் சார்பைப் பெறலாம்.

11.3 தொகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்#

தொகையிடல் என்பது வகையிடலின் எதிர்மறைச் செயல்முறையானதால், கீழ்க்கொடுக்கப்பட்டுள்ள அடிப்படைத் தொகையிடலின் சூத்திரங்களை அதற்கேற்ற வகையிடலின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வருவிக்கலாம்.

வகையிடல்	எதிர்வகையிடல்
\(\frac{d}{dx}(c) = 0\), c ஒரு மாறிலி	\(\int 0 \, dx = c\), c ஒரு மாறிலி
\(\frac{d}{dx}(kx) = k\), k ஒரு மாறிலி	\(\int k \, dx = kx + c\), c ஒரு தன்னிச்சை மாறிலி
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n\)	\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1\) (அடுக்கு விதி)
\(\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}\)	(\int \frac{1}{x} , dx = \log
\(\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\)	\(\int \sin x \, dx = -\cos x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)	\(\int \cos x \, dx = \sin x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)	\(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + c\)
\(\frac{d}{dx}(-\cot x) = \csc^2 x\)	\(\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)	\(\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + c\)
\(\frac{d}{dx}(-\csc x) = \csc x \cot x\)	\(\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + c\)
\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)	\(\int e^x \, dx = e^x + c\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{a^x}{\log a}\right) = a^x\)	\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + c\)
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)	\(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \sin^{-1} x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2}\)	\(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \tan^{-1} x + c\)

எடுத்துக்காட்டு 11.1#

தொகையிடுக :

(i) \(x^{10}\)
(ii) \(\frac{1}{x^{10}}\)
(iii) \(\sqrt{x}\)
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)

தீர்வு

(i) \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \quad n \neq -1.\)

\(n = 10\) எனப் பிரதியிட,

\[ \int x^{10} dx = \frac{x^{10+1}}{10+1} + c = \frac{x^{11}}{11} + c \]

(ii) \(\int \frac{1}{x^{10}} dx = \int x^{-10} dx = \frac{x^{-10+1}}{-10+1} + c = -\frac{1}{9x^9} + c\)

(iii) \(\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + c = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + c\)

(iv) \(\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 2\sqrt{x} + c\)

எடுத்துக்காட்டு 11.2#

தொகையிடுக:

(i) \(\frac{1}{\cos^2 x}\)
(ii) \(\frac{\cot x}{\sin x}\)
(iii) \(\frac{\sin x}{\cos^2 x}\)
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

தீர்வு

\[ (i) \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x + c \]\[ (ii) \int \frac{\cot x}{\sin x} dx = \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c \]\[ (iii) \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} dx = \int \tan x \sec x dx = \sec x + c \]\[ (iv) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.3#

தொகையிடுக:

(i) \(\frac{1}{e^{-x}}\)
(ii) \(\frac{x^2}{x^3}\)
(iii) \(\frac{1}{x^3}\)
(iv) \(\frac{1}{1+x^2}\)

தீர்வு

\[ (i) \int \frac{1}{e^{-x}} dx = \int e^x dx = e^x + c \]\[ (ii) \int \frac{x^2}{x^3} dx = \int \frac{1}{x} dx = \log|x| + c \]\[ (iii) \int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + c = -\frac{1}{2x^2} + c \]\[ (iv) \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + c \]

பயிற்சி 11.1#

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக :

(1) (i) \(x^{11}\)
(ii) \(\frac{1}{x^7}\)
(iii) \(\sqrt[3]{x^4}\)
(iv) \((x^5)^{\frac{1}{8}}\)

(2) (i) \(\frac{1}{\sin^2 x}\)
(ii) \(\frac{\tan x}{\cos x}\)
(iii) \(\frac{\cos x}{\sin^2 x}\)
(iv) \(\frac{1}{\cos^2 x}\)

(3) (i) \(12^3\)
(ii) \(\frac{x^{24}}{x^{25}}\)
(iii) \(e^x\)

(4) (i) \((1+x^2)^{-1}\)
(ii) \((1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\)

11.4 \(\int f(ax+b)dx\) (நேரிய வடிவிலுள்ள தொகைச்சார்பு) வடிவம்#

\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{(x-a)^{10}}{10} \right] = (x-a)^9 \Rightarrow \int (x-a)^9 dx = \frac{(x-a)^{10}}{10} + c \]\[ \frac{d}{dx} [\sin(x+k)] = \cos(x+k) \Rightarrow \int \cos(x+k) dx = \sin(x+k) + c \]

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நேரிய வடிவம் கொண்ட தன்னிச்சை மாறி x உடன் எந்த ஒரு மாறிலியைக் கூட்டினாலும் அல்லது குறித்தாலும் அடிப்படைத் தொகையீட்டுச் சூத்திரத்தில் எவ்வித மாற்றமும் ஏற்படுவதில்லை என்பது தெளிவாகிறது.

ஆனால்,

\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{l} (e^{lx+m}) \right] = e^{lx+m} \Rightarrow \int e^{lx+m} dx = \frac{1}{l} e^{(lx+m)} + c \]\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{a} \sin(ax+b) \right] = \cos(ax+b) \Rightarrow \int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + c \]

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளின் மூலம் நாம் அறிவது யாதெனில் மாறி x உடன் ஏதேனும் ஒரு மாறிலியைப் பெருக்கினால் அடிப்படைத் தொகையீட்டு சூத்திரத்தை அதே மாறிலியால் வகுத்துத் தேவையான சார்புக்குரிய தொகையைப் பெற முடியும்.

\[ \int f(x) dx = g(x) + c \quad \text{எனில்,} \quad \int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} g(ax+b) + c \]

மேலுள்ள சூத்திரத்தைப் பிரதியிடல் மூலமும் வருவிக்கலாம் என்பதனைப் பின்னர் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 11.4#

கீழ்காண்பவற்றின் மதிப்பைக் காண்க :

(i) \(\int (4x+5)^6 dx\)
(ii) \(\int \sqrt{15-2x} dx\)
(iii) \(\int \frac{1}{(3x+7)^4} dx\)

தீர்வு

\[ (i) \int (4x+5)^6 dx = \frac{1}{4} \frac{(4x+5)^{6+1}}{6+1} = \frac{(4x+5)^7}{28} + c \]\[ (ii) \int \sqrt{15-2x} dx = \int (15-2x)^{\frac{1}{2}} dx = \left( \frac{1}{-2} \right) \frac{(15-2x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = -\frac{(15-2x)^{\frac{3}{2}}}{3} + c \]\[ (iii) \int \frac{1}{(3x+7)^4} dx = \int (3x+7)^{-4} dx = \frac{1}{3} \frac{(3x+7)^{-4+1}}{-4+1} = -\frac{1}{9(3x+7)^3} + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.5#

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(\sin(2x+4)\)
(ii) \(\sec^2(3+4x)\)
(iii) \(\csc(ax+b) \cot(ax+b)\)

தீர்வு

\[ (i) \int \sin(2x+4) dx = \frac{1}{2} (-\cos(2x+4)) + c = -\frac{1}{2} \cos(2x+4) + c \]\[ (ii) \int \sec^2(3+4x) dx = \frac{1}{4} \tan(3+4x) + c \]\[ (iii) \int \csc(ax+b) \cot(ax+b) dx = \frac{1}{a} (-\csc(ax+b)) + c = -\frac{1}{a} \csc(ax+b) + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.6#

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

\[ (i) e^{3x} \quad (ii) e^{5-4x} \quad (iii) \frac{1}{3x-2} \quad (iv) \frac{1}{5-4x} \]\[ (i) \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + c \]\[ (ii) \int e^{5-4x} dx = \frac{1}{-4} e^{5-4x} + c = -\frac{1}{4} e^{5-4x} + c \]\[ (iii) \int \frac{1}{3x-2} dx = \frac{1}{3} \log|3x-2| + c \]\[ (iv) \int \frac{1}{5-4x} dx = \frac{1}{-4} \log|5-4x| + c = -\frac{1}{4} \log|5-4x| + c \]

பயிற்சி 11.2#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) (i) \((2x-3)^7\)
(ii) \(\sqrt{3x-5}\)
(iii) \(\frac{1}{(7x-4)^5}\)
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{2-3x}}\)

(2) (i) \(\cos(6x+5)\)
(ii) \(\sec^2(3-4x)\)
(iii) \(\csc(5x+8) \cot(5x+8)\)

(3) (i) \(e^{x+5}\)
(ii) \(e^{4x-3}\)
(iii) \(\frac{3}{4x-2}\)
(iv) \(\frac{4}{5-2x}\)

11.5 தொகையிடலின் பண்புகள்#

பண்பு 1: \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \), இங்கு k என்பது மாறிலி.

பண்பு 2: \( \int [f_1(x) \pm f_2(x)] dx = \int f_1(x) dx \pm \int f_2(x) dx \)

மேற்கண்ட பண்புகளை நிரூபிப்பது மிகவும் எளிது.

எடுத்துக்காட்டு 11.7#

மதிப்பிடுக : \( \int (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx \)

தீர்வு

\[ \int (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx = \int x^3 dx + 2\int x^2 dx + 3\int x dx + 4\int dx \]\[ = \frac{x^4}{4} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 4x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.8#

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(5x^4\)
(ii) \(5x^2 - 4 + \frac{7}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}\)
(iii) \(2\cos x - 4\sin x + 5\sec^2 x + \csc^2 x\)

தீர்வு

\[ (i) \int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + c = x^5 + c \]\[ (ii) \int \left[5x^2 - 4 + \frac{7}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}\right] dx = 5\int x^2 dx - 4\int dx + 7\int \frac{1}{x} dx + 2\int x^{-\frac{1}{2}} dx \]\[ = 5 \cdot \frac{x^{3}}{3} - 4x + 7\log|x| + 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c \]\[ = \frac{5}{3}x^3 - 4x + 7\log|x| + 4\sqrt{x} + c \]\[ (iii) \int (2\cos x - 4\sin x + 5\sec^2 x + \csc^2 x) dx \]\[ = 2\int \cos x dx - 4\int \sin x dx + 5\int \sec^2 x dx + \int \csc^2 x dx \]\[ = 2\sin x + 4\cos x + 5\tan x - \cot x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.9#

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(\frac{12}{(4x-5)^3} + \frac{6}{3x+2} + 16e^{4x+3}\)

(ii) \(\frac{15}{5x-4} - 8\cot(4x+2)\csc(4x+2)\)

தீர்வு

\[ (i) \int \left[\frac{12}{(4x-5)^3} + \frac{6}{3x+2} + 16e^{4x+3}\right] dx \]\[ = 12 \int (4x-5)^{-3} dx + 6 \int \frac{1}{3x+2} dx + 16 \int e^{4x+3} dx \]\[ = 12 \left[ \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x-5)^{-2}}{-2} \right] + 6 \left[ \frac{1}{3} \log|3x+2| \right] + 16 \left[ \frac{1}{4} e^{4x+3} \right] + c \]\[ = -\frac{3}{2(4x-5)^2} + 2\log|3x+2| + 4e^{4x+3} + c \]\[ (ii) \int \left[ \frac{15}{5x-4} - 8\cot(4x+2)\csc(4x+2) \right] dx \]\[ = 15 \int \frac{1}{5x-4} dx - 8 \int \cot(4x+2)\csc(4x+2) dx \]\[ = 15 \left[ \frac{1}{5} \log|5x-4| \right] - 8 \left[ \frac{1}{4} \cdot (-\csc(4x+2)) \right] + c \]\[ = 3\log|5x-4| + 2\csc(4x+2) + c \]

பயிற்சி 11.3#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) \((x+4)^5 + \frac{5}{(2-5x)^4} - \csc^2(3x-1)\)

(2) \(4\cos(5-2x) + 9e^{3x-6} + \frac{24}{6-4x}\)

(3) \(\sec^2 \frac{x}{5} + 18\cos 2x + 10\sec(5x+3)\tan(5x+3)\)

(4) \(\frac{8}{\sqrt{1-(4x)^2}} + \frac{27}{\sqrt{1-9x^2}} - \frac{15}{1+25x^2}\)

(5) \(\frac{6}{1+(3x+2)^2} - \frac{12}{\sqrt{1-(3-4x)^2}}\)

(6) \(\frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3}-4\right) + \frac{7}{7x+9} + e^{\frac{x}{5}+3}\)

11.6 எளிய பயன்பாடுகள்#

இதுவரை நாம் x-ஐ தொகையீட்டு மாறியாகப் பயன்படுத்தினோம். பல நேரங்களில் தொகையிடலில் வேறுபட்ட மாறியைப் பயன்படுத்துவது அவசியமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக இயக்கச் சமன்பாட்டில் சாராமாறியாக உள்ள காலம் t ஆனது தொகையீட்டில் தொகையீட்டு மாறி t-ஆக மாறும்.

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு பொருளின் முடுக்கம் தரப்பட்டிருந்தால் அப் பொருளின் நிலை மற்றும் திசைவேகம் காண தொகையிடலை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதனையும் மற்றும் இதுபோன்ற கணக்குகளையும் விவாதிக்க உள்ளோம். கணித ரீதியாகக் கூறும்போது ஒரு சார்பின் வகையீட்டில் தொடங்கி அதன் அசல் சார்பை காண்பதாகும். வீதம், வளர்ச்சி, தேய்மானம், இயக்கநிலை, மாற்றம், மாறுபாடுகள், உயர்த்துதல் மற்றும் குறைத்தல் போன்ற பொதுவான சொற்கள் வகையிடலைக் குறிக்கின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 11.10#

\(f'(x) = 3x^2 - 4x + 5\) மற்றும் \(f(1) = 3\) எனில், \(f(x)\)-ஐக் காண்க.

தீர்வு

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(f(x)) = 3x^2 - 4x + 5\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இருமுறையும் தொகையீடு காண,

\[ \int f'(x) dx = \int (3x^2 - 4x + 5) dx \]\[ f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + c \]

f(1) = 3 எனும் கொடுக்கப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்தி, தொகை மாறியான c-ன் மதிப்பைத் தீர்மானிக்கலாம்.

\[ f(1) = 3 \Rightarrow 3 = (1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + c \Rightarrow c = -1 \]

எனவே, \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1\).

எடுத்துக்காட்டு 11.11#

ஒரு தொடர்வண்டி மதுரை சந்திப்பிலிருந்து கோயம்புத்தூர் நோக்கி பிற்பகல் 3 மணிக்கு, \(v(t) = 20t + 50\) கிமீ/மணி என்னும் திசை வேகத்தில் பயணிக்கிறது, இங்கு t ஆனது மணிகளில் கணக்கிடப்படுகிறது எனில், மாலை 5 மணிக்கு அத் தொடர் வண்டி எவ்வளவு தூரம் பயணித்திருக்கும்?

தீர்வு

நுண்கணிதப் பயன்பாட்டில், திசை வேகம் \(v = \frac{ds}{dt}\) என்பது காலத்தைப் பொறுத்து அதன் நிலையில் மாறும் வீதம் ஆகும். இங்கு s என்பது தொலைவினைக் குறிக்கிறது. தொடர்வண்டியின் திசைவேகம்

\[ v(t) = 20t + 50 \]\[ \frac{ds}{dt} = 20t + 50 \]

தொலைத்தூரச் சார்பு s-ஐ காண்பதற்கு வகையிடல் சார்பைத் தொகையிட வேண்டும். அதாவது,

\[ s = \int (20t + 50) dt \]\[ s = 10t^2 + 50t + c \]

காலம் பூஜ்ஜியமாக இருந்ததால் தொடர்வண்டி பயணித்திருக்கும் தூரம் பூஜ்ஜியமாகும். ஆரம்ப கால நிபந்தனை t = 0 எனும் போது s = 0 எனப் பயன்படுத்தித் தொகை மாறிலி c-ஐக் கணக்கிடலாம்.

\[ 0 = 10(0)^2 + 50(0) + c \Rightarrow c = 0 \]

எனவே, \(s = 10t^2 + 50t\)

2 மணி நேரத்தில் தொடர்வண்டி பயணித்த தூரம் காண t = 2 என \(s = 10t^2 + 50t\)-ல் பிரதியிட வேண்டும்.

ஆகவே, \(s = 10(2)^2 + 50(2) = 40 + 100 = 140\) கிமீ. மாலை 5 மணிக்கு அத்தொடர் வண்டி 140 கி.மீ தூரம் பயணித்திருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 11.12#

ஒரு நபரின் உயரம் h செ.மீ மற்றும் எடை w கி.கி. அவரின் எடையின் மாறும் வீதம் உயரத்தைப் பொறுத்துத் தோராயமாக \(\frac{dw}{dh} = 4.364 \times 10^{-5} h^2\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனில், எடையை உயரத்தின் சார்பாகக் காண்க. மேலும் ஒரு நபரின் உயரம் 150 செ.மீ -ஆக இருக்கும் போது எடையைக் காண்க.

தீர்வு

உயரத்தைப் பொறுத்து எடையின் மாறுவீதம்

\[ \frac{dw}{dh} = 4.364 \times 10^{-5} h^2 \]\[ w = \int 4.364 \times 10^{-5} h^2 \, dh \]\[ w = 4.364 \times 10^{-5} \cdot \frac{h^3}{3} + c \]

உயரம் பூஜ்ஜியம் எனும்போது அந்த நபரின் எடை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பது தெளிவு. தொடக்க நிபந்தனை h = 0 எனும்போது w = 0 என்பதை மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால், தொகையீட்டு மாறிலியான c-ஐக் கணக்கிடலாம்.

\[ 0 = 4.364 \times 10^{-5} \cdot \frac{0}{3} + c \Rightarrow c = 0 \]

ஒரு நபரின் எடை மற்றும் உயரம் ஆகியவற்றுக்கிடையேயான தொடர்பானது

\[ w = \frac{4.364 \times 10^{-5}}{3} h^3 \]

h = 150 செ.மீ எனில், \(w = \frac{4.364 \times 10^{-5}}{3} \times (150)^3\)

உயரம் h = 150 செ.மீ எனும்போது, எடை தோராயமாக w = 49 கி.கி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 11.13#

ஒரு மரத்தின் வளர்ச்சி t ஆண்டுகளில் \(\frac{18}{\sqrt{t}}\) செ.மீ/ஆண்டு என்ற வீதத்தில் வளர்கிறது. t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5 செ.மீ இருக்குமெனக் கொண்டால், (அ) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (ஆ) எத்தனை ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 149 செ.மீ வளர்ந்திருக்கும்.

தீர்வு

காலம் t –ஐப் பொறுத்து உயரம் h –ன் மாறுவீதம் என்பது காலம் t –ஐப் பொறுத்து h –ஐ வகையீடு செய்வதாகும்.

\[ \text{எனவே, } \frac{dh}{dt} = \frac{18}{\sqrt{t}} = 18t^{-\frac{1}{2}} \]

எனவே உயரத்திற்கான பொது வெளிப்பாடு பெறுவதற்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டைத் தொகையிட வேண்டும்.

\[ h = \int 18t^{-\frac{1}{2}} dt = 18(2t^{\frac{1}{2}}) + c = 36\sqrt{t} + c \]

t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5 செமீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

\[ 5 = 0 + c \Rightarrow c = 5 \]\[ h = 36\sqrt{t} + 5 \]

(i) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தை நாம் காண வேண்டும்.

t = 4 எனில்,

\[ h = 36\sqrt{4} + 5 = 36(2) + 5 = 77 \]

நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 77 செமீ ஆக இருக்கும்.

(ii) h = 149 செமீ எனில், t -ஐ காண வேண்டும்.

\[ 149 = 36\sqrt{t} + 5 \]\[ 36\sqrt{t} = 144 \Rightarrow \sqrt{t} = 4 \Rightarrow t = 16 \]

எனவே உயரம் 149 செமீ வளர, மரம் 16 ஆண்டுகள் எடுத்துக்கொள்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 11.14#

மாணவன் ஒருவர் தன் மோட்டார் கைக்கிளில் 24 மீ/வினாடி வேகத்தில் சென்று கொண்டிருக்கும்போது, குறிப்பிட்ட தருணத்தில் தனக்கு முன்பாக 40 மீட்டர் தொலைவில் இருக்கும் தடுப்பின் மீது மோதலைத் தவிர்க்க வாகனத்தை நிறுத்த வேண்டியுள்ளது. உடனடியாகத் தன்னுடைய வாகனத்தை 8 மீ/வினாடி² எதிர் முடுக்கத்தில் வேகத்தைக் குறைக்கிறார் எனில் வாகனம் தடுப்பின் மீது மோதுவதற்கு முன் நிற்குமா?

தீர்வு

மோட்டார் கைக்கிளின் திசைவேகம் v எனவும் மற்றும் முடுக்கம் a எனவும் எடுத்துக் கொள்வோம், s என்பது தூரத்தை குறிக்கிறது. நுண்கணிதத்தில் v = \(\frac{ds}{dt}\) எனவும் a = \(\frac{dv}{dt}\) எனவும் குறிப்போம். மோட்டார் கைக்கிளின் வேகத்தைக் குறைக்கும் போது அதன் முடுக்கம் மோட்டார் கைக்கிளின் இயக்கத்தின் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது. ஆகையால் முடுக்கத்தைக் குறைக் குறியீடுடன் எழுதுவோம். மோட்டார் கைக்கிளின் எதிர்முடுக்கம் 8 மீ/வினாடி² எனத் தரப்பட்டுள்ளது.

\[ \text{எனவே, } a = \frac{dv}{dt} = -8 \text{ மீ/வினாடி}^2 \]\[ v = \int a \, dt = \int -8 \, dt = -8t + c_1 \]\[ v = -8t + c_1 \]

பிரேக்கைப் பயன்படுத்தும்போது t = 0, மற்றும் v = 24 மீ/வி.

\[ 24 = -8(0) + c_1 \Rightarrow c_1 = 24 \]\[ \text{எனவே, } v = -8t + 24 \]\[ \text{அதாவது, } \frac{ds}{dt} = -8t + 24 \]

தூரம் கேட்கப்பட்டுள்ளதால் அதனைக் காண்பதற்காக மேலும் ஒருமுறை தொகையீடு காண வேண்டியது அவசியமாகிறது.

\[ s = \int v \, dt = \int (-8t + 24) \, dt \]\[ s = -4t^2 + 24t + c_2 \]

c₂-ஐ தீர்மானிக்க, பிரேக்கை எங்கே உபயோகிக்கின்றோமோ, அங்கிருந்து நிறுத்தும் தூரம் s அளவிடப்படுகிறது. அதாவது, t = 0, s = 0 எனில்

\[ 0 = -4(0)^2 + 24(0) + c_2 \Rightarrow c_2 = 0 \]\[ s = -4t^2 + 24t \]

பிரேக்கைப் பயன்படுத்திய பின்பு மோட்டார் கைக்கிள் நிற்பதற்கான நேரம் அறிந்திருந்தால், நிறுத்துதல் தூரத்தை மதிப்பிடலாம். திசைவேகச் சமன்பாட்டிலிருந்து நேரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வாகனம் நிறுத்தப்படும் போது, v = 0 ஆகும்.

\[ \Rightarrow 0 = -8t + 24 \Rightarrow t = 3 \]

t = 3 எனில்,

\[ s = -4(3)^2 + 24(3) = -36 + 72 = 36 \text{ மீட்டர்} \]

s = 36 மீட்டர் < 40 மீட்டர்

எனவே வாகனம் தடுப்பிற்கு 4 மீட்டர் முன்பே நிற்கும்.

பயிற்சி 11.4#

(1) \(f'(x) = 4x - 5\) மற்றும் \(f(2) = 1\) எனில், \(f(x)\) காண்க.

(2) \(f'(x) = 9x^2 - 6x\) மற்றும் \(f(0) = -3\) எனில் \(f(x)\) காண்க.

(3) \(f''(x) = 12x - 6\) மற்றும் \(f(1) = 30\), \(f'(1) = 5\) எனில் \(f(x)\) காண்க.

(4) ஒரு பந்து 39.2 மீ/வினாடி ஆரம்ப திசைவேகத்தில் தரையிலிருந்து மேல்நோக்கி செங்குத்தாக எறியப்படுகிறது. இங்கு முடுக்கத்தை ஈர்ப்பு விசையைப் பொறுத்து மட்டும் கருதும்போது (அ) எவ்வளவு நேரம் கழித்துப் பந்து தரையை வந்து மோதும். (ஆ) எந்த வேகத்தில் பந்தானது தரையை மோதும். (இ) பந்தானது எவ்வளவு தூரம் மேல் நோக்கிச் செல்லும் என்பதனைக் காண்க.

(5) ஒருவருக்கு ஏற்பட்ட காயம் ஆனது \( \frac{6}{(t+2)^2} \) மிமீ²/ நாள், 0 < t ≤ 8, என்ற வீதத்தில் ஞாயிற்றுக்கிழமை முதல் காயத்தின் பரப்பு குறைகிறது. திங்கட்கிழமை அன்று காயப்பகுதியின் பரப்பு 1.4 மிமீ² எனில் (இங்கு t என்பது நாட்களைக் குறிக்கிறது) (அ) ஞாயிற்றுக்கிழமையன்று காயப்பகுதியின் பரப்பளவு எவ்வளவாக இருந்திருக்கும்? (ஆ) இதே வீதத்தில் தொடர்ந்து குணமாகிக் கொண்டிருக்கும் போது வியாழக்கிழமையன்று எதிர்பார்க்கும் காயப் பகுதியின் பரப்பு எவ்வளவு?

11.7 தொகை காண வழிமுறைகள்#

வகையிடுதலைப் போன்று தொகையிடல் காண்பது அவ்வளவு எளிதானதன்று. ஒரு சார்பினை வகையிட வேண்டுமெனில் அதற்கென்று விதிமுறைகள் மற்றும் செயல்பாடுகள் வகையிடலில் திட்டவட்டமாகவும் தெளிவாகவும் உள்ளன. நாம் \(f(x)\)-ன் வகையிடுதலை இவ்வரையறையைப் பயன்படுத்தி \(\log x\)-ன் வகையிடுதலைக் காண முறையான வழிமுறைகள் நமக்குத் தெரியும். ஆனால், \(\log x\)-ன் தொகையைக் காண முறையான வழிமுறைகள் இல்லை.

வகையிடுதலில், அதன் விதிகளைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு சார்புகளின் கூட்டல், பெருக்கல், வகுத்தல், சார்புகளின் சேர்க்கை ஆகியவற்றின் வகையிடுதலைக் காணலாம்.

சார்பின் தொகையிடலைக் காண ஒரு சில தொகையீட்டு விதிகளே உள்ளன. மற்றும் இவ்விதிகளைப் பயன்படுத்தப் பல கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன.

தொகையிடலில் மிகப் பொருந்தமான முறையைத் தேர்வு செய்து, அதனை எளிதில் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதனைக் கண்டறியும் திறன் பல்வேறு தீவிரப் பயிற்சிகளுக்குப் பிறகே கிடைக்கும்.

தொகையிடுதலில் இரண்டு முக்கிய பண்புகளைப் பற்றி ஏற்கனவே நாம் பார்த்துள்ளோம். தொகையிடுதலில் பின்வரும் நான்கு முக்கிய முறைகள் உள்ளன.

(1) கூட்டல் அல்லது கழித்தலாகப் பிரித்துத் தொகையிடுதல்.

(2) பிரதியிடுதல் முறையில் தொகையிடுதல்.

(3) பகுதித் தொகையிடுதல்.

(4) அடுக்குகளைப் படிப்படியாகச் சுருக்கித் தொகையிடுதல்.

இங்கு மேற்கூறிய முதல் மூன்று முறைகளை நாம் படிப்போம். நான்காவது முறையை மேல் வகுப்பில் படிக்க உள்ளோம்.

11.7.1 பிரித்தல் முறை#

சில சமயங்களில் கொடுக்கப்பட்ட சார்பினுக்கு, நேரடியாகத் தொகையிடுதல் காண்பது மிகவும் கடினம். ஆனால் அவற்றைச் சார்புகளின் கூடுதல் அல்லது கழித்தலாக பிரித்து ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்த தொகையிடுதல் வாயிலாகக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக \(\frac{1}{(3-x)^2}\), \(\frac{x^2 - x + 1}{x^3}\), \(\frac{\cos^5 x}{\sin^3 x}\), \(\frac{e^{3x} - e^{2x}}{e^x}\) ஆகியவற்றை நேரடியாகத் தொகையிடுவதற்கான சூத்திரம் கிடையாது. அவற்றைக் கூடுதல் அல்லது கழித்தலாகப் பிரித்து பிறகு கிடைக்கப்படும் தனிப்பட்ட தொகையிடுதல் நமக்குத் தெரிந்தவையே. பெரும்பாலான கொடுக்கப்பட்ட தொகையீடுகள் இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் அல்லது அடுக்குவடிவு மற்றும் சில சமயங்களில் இவற்றின் சேர்ப்புகள் ஆகியவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றினை கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 11.15#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பனவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(\frac{1}{(3-x)^2}\)
(ii) \(\frac{x^2 - x + 1}{x^3}\)

தீர்வு

\[ (i) \int \frac{1}{(3-x)^2} dx = \int \frac{1}{x^2 - 6x + 9} dx \text{ என்பது நேரடியாக முடியாது. பின்னர் பார்க்கலாம்.} \]

(கொடுக்கப்பட்ட பதிப்பில் உள்ளபடி:)

\[ \int \frac{1}{(3-x)^2} dx = \int (3-x)^{-2} dx = \frac{1}{-1} \cdot \frac{(3-x)^{-1}}{-1} + c = \frac{1}{3-x} + c \]

(ii) \(\int \frac{x^2 - x + 1}{x^3} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \right) dx\)

\[ = \log|x| - \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^{-2}}{-2} + c = \log|x| + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.16#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பனவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(\int \frac{\cos^5 x}{\sin^3 x} dx\)
(ii) \(\int \cos^3 x dx\)

தீர்வு

\[ (i) \int \frac{\cos^5 x}{\sin^3 x} dx = \int \frac{\cos^4 x \cdot \cos x}{\sin^3 x} dx = \int \frac{(1 - \sin^2 x)^2 \cos x}{\sin^3 x} dx \]

t = sin x எனில், dt = cos x dx

\[ = \int \frac{(1-t^2)^2}{t^3} dt = \int \frac{1 - 2t^2 + t^4}{t^3} dt = \int (t^{-3} - 2t^{-1} + t) dt \]\[ = \frac{t^{-2}}{-2} - 2\log|t| + \frac{t^2}{2} + c = -\frac{1}{2\sin^2 x} - 2\log|\sin x| + \frac{\sin^2 x}{2} + c \]

(ii) \(\int \cos^3 x dx = \int \frac{1}{4}(3\cos x + \cos 3x) dx = \frac{1}{4} \left( 3\sin x + \frac{\sin 3x}{3} \right) + c\)

எடுத்துக்காட்டு 11.17#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பனவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x} dx\)
(ii) \(\int e^{3x}(e^{2x} - 1) dx\)

தீர்வு

\[ (i) \int \frac{e^{2x} - 1}{e^x} dx = \int (e^x - e^{-x}) dx = e^x + e^{-x} + c \]\[ (ii) \int e^{3x}(e^{2x} - 1) dx = \int (e^{5x} - e^{3x}) dx = \frac{e^{5x}}{5} - \frac{e^{3x}}{3} + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.18#

மதிப்பிடுக : \(\int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} dx\)

தீர்வு

\[ \int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \]\[ = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \sec^2 x dx + \int \csc^2 x dx \]\[ = \tan x - \cot x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.19#

மதிப்பிடுக : \(\int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx\)

தீர்வு

\[ \int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx = \int \frac{\sin x (1-\sin x)}{1-\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} dx \]\[ = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx - \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \tan x \sec x dx - \int \tan^2 x dx \]\[ = \int \tan x \sec x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx = \sec x - \tan x + x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.20#

மதிப்பிடுக : \(\int \sqrt{1+\cos 2x} dx\)

தீர்வு

\[ \int \sqrt{1+\cos 2x} dx = \int \sqrt{2\cos^2 x} dx = \sqrt{2} \int \cos x dx = \sqrt{2} \sin x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.21#

மதிப்பிடுக : \(\int \frac{(x-1)^2}{x^3+x} dx\)

தீர்வு

\[ \int \frac{(x-1)^2}{x^3+x} dx = \int \frac{x^2 - 2x + 1}{x(x^2+1)} dx \]\[ = \int \left[ \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} - \frac{2x}{x(x^2+1)} \right] dx = \int \frac{1}{x} dx - 2 \int \frac{1}{1+x^2} dx \]\[ = \log|x| - 2\tan^{-1}x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.22#

மதிப்பிடுக : \(\int (\tan x + \cot x)^2 dx\)

தீர்வு

\[ \int (\tan x + \cot x)^2 dx = \int (\tan^2 x + 2\tan x \cot x + \cot^2 x) dx \]\[ = \int [(\sec^2 x - 1) + 2 + (\csc^2 x - 1)] dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx \]\[ = \tan x - \cot x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.23#

மதிப்பிடுக : \(\int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} dx\)

தீர்வு

\[ \int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} dx = \int \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \int \tan^2 \frac{x}{2} dx \]\[ = \int \left( \sec^2 \frac{x}{2} - 1 \right) dx = 2\tan \frac{x}{2} - x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.24#

மதிப்பிடுக : \(\int \sqrt{1+\sin 2x} dx\)

தீர்வு

\[ \int \sqrt{1+\sin 2x} dx = \int \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x + 2\sin x \cos x} dx \]\[ = \int \sqrt{(\cos x + \sin x)^2} dx = \int (\cos x + \sin x) dx = \sin x - \cos x + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.25#

மதிப்பிடுக : \(\int \frac{x^3 + 2}{x-1} dx\)

தீர்வு

\[ \int \frac{x^3 + 2}{x-1} dx = \int \frac{x^3 - 1 + 3}{x-1} dx = \int \left( \frac{x^3-1}{x-1} + \frac{3}{x-1} \right) dx \]\[ = \int \left[ (x^2 + x + 1) + \frac{3}{x-1} \right] dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 3\log|x-1| + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.26#

மதிப்பிடுக : (i) \(\int a^x e^x dx\)
(ii) \(\int e^{\log_2 e^x} e^x dx\)

தீர்வு

\[ (i) \int a^x e^x dx = \int (ae)^x dx = \frac{(ae)^x}{\log(ae)} + c \]\[ (ii) \int e^{\log_2 e^x} e^x dx = \int 2^x e^x dx = \int (2e)^x dx = \frac{(2e)^x}{\log(2e)} + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.27#

மதிப்பிடுக : \(\int (x-3)\sqrt{x+2} dx\)

தீர்வு

\[ \int (x-3)\sqrt{x+2} dx = \int (x+2-5)\sqrt{x+2} dx \]\[ = \int (x+2)^{\frac{3}{2}} dx - 5 \int (x+2)^{\frac{1}{2}} dx \]\[ = \frac{(x+2)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 5 \cdot \frac{(x+2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c \]\[ = \frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}} - \frac{10}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.28#

மதிப்பிடுக : \(\int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} dx\)

தீர்வு

\[ \int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} dx = \int \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(x+1)-x} dx = \int (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx \]\[ = \int (x+1)^{\frac{1}{2}} dx - \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + c \]\[ = \frac{2}{3}[(x+1)^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}] + c \]

11.7.2 பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தல்#

தொகையிடுதலில் பகுதி பின்னமாகப் பிரித்துத் தொகையிடுதல் ஒரு முக்கியமான முறையாகும். தொகையிடப்பட வேண்டியவை இயற்கணிதப் பின்ன வடிவில் இருந்தால் அதனை எளிதாகத் தொகையிட முடியாது, தொகையிடல் காண்பதற்கு முன்பு பின்னத்தைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்து எழுத வேண்டும். விகிதமுறு சார்பு \(\frac{p(x)}{q(x)}\), \(q(x) \neq 0\) படியானது, p(x) < q(x)-ன் படி என இருக்க வேண்டும். அவ்வாறு இல்லையெனில், அதனை வகுத்து அதன்பிறகு பகுதி பின்னமாகப் பிரித்துத் தொகை காண வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 11.29#

மதிப்பிடுக : (i) \(\int \frac{3x+7}{x^2-3x+2} dx\)
(ii) \(\int \frac{x+3}{(x+2)(x+1)^2} dx\)

தீர்வு

(i) \(\int \frac{3x+7}{x^2-3x+2} dx = \int \frac{3x+7}{(x-1)(x-2)} dx\)

பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்க: \(\frac{3x+7}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}\)

\(3x+7 = A(x-2) + B(x-1)\)

x = 1: \(10 = A(-1) \Rightarrow A = -10\)

x = 2: \(13 = B(1) \Rightarrow B = 13\)

\[ \int \frac{3x+7}{x^2-3x+2} dx = \int \left( \frac{-10}{x-1} + \frac{13}{x-2} \right) dx = -10\log|x-1| + 13\log|x-2| + c \]

(ii) \(\int \frac{x+3}{(x+2)(x+1)^2} dx\)

\(\frac{x+3}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}\)

\(x+3 = A(x+1)^2 + B(x+2)(x+1) + C(x+2)\)

x = -2: \(1 = A(1) \Rightarrow A = 1\)

x = -1: \(2 = C(1) \Rightarrow C = 2\)

x = 0: \(3 = A(1) + B(2) + C(2) = 1 + 2B + 4 \Rightarrow 2B = -2 \Rightarrow B = -1\)

\[ \int \frac{x+3}{(x+2)(x+1)^2} dx = \int \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) dx \]\[ = \log|x+2| - \log|x+1| - \frac{2}{x+1} + c \]

பயிற்சி 11.5#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) \(\frac{x^3 + 4x^2 - 3x + 2}{x^2}\)

(2) \(\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2\)

(3) \((2x - 5)(36 + 4x)\)

(4) \(\cot^2 x + \tan^2 x\)

(5) \(\frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha}\)

(6) \(\frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x}\)

(7) \(\frac{3 + 4\cos x}{\sin^2 x}\)

(8) \(\frac{\sin^2 x}{1 + \cos x}\)

(9) \(\frac{\sin 4x}{\sin x}\)

(10) \(\cos 3x \cos 2x\)

(11) \(\sin^2 5x\)

(12) \(\frac{1 + \cos 4x}{\cot x - \tan x}\)

(13) \(e^{x \log a} e^x\)

(14) \((3x + 4)\sqrt{3x + 7}\)

(15) \(8\sqrt{1+x} + 4\sqrt{1-x} + 2x\)

(16) \(\frac{1}{\sqrt{x+3} - \sqrt{x-4}}\)

(17) \(\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}\)

(18) \((x-1)(x+2)^2\)

(19) \(\frac{(x-1)}{(x+2)(x^2+1)}\)

(20) \(\frac{x^3}{(x-1)(x-2)}\)

11.7.3 பிரதியிடல் முறை அல்லது மாறியை மாற்றி அமைக்கும் முறை#

தொகையிடலில் பிரதியிடல் முறையானது வகையிடலில் சார்பின் சார்புகளுக்கு வகையிடுதல் போன்றதாகும். பொருத்தமான பிரதியிடலைப் பயன்படுத்தித் தொகையிடலின் மாறியைப் புதிய மாறியாக மாற்றி அமைத்து எளிய முறையில் தொகையிடலாம்.

u ஆனது x-ஆல் ஆன சார்பு எனில், \(\frac{du}{dx} = u'\) என நமக்குத் தெரியும்.

எனவே \(\int f(u)u' dx = \int f(u) du\) என எழுதலாம்.

ஆகவே, \(\int f[g(x)] g'(x) dx = \int f(u) du\), இங்கு u = g(x)

x = \(\phi(u)\) அல்லது u = g(x) என்ற பொருத்தமான பிரதியிடலை தேர்வு செய்வதைச் சார்ந்து மேலே சொல்லப்பட்ட முறை எளிதாகிறது.

குறிப்பு 11.2

தொகையில் மாறியின் பிரதியில் முக்கோணவியல் சார்புகளாக இருந்தால் அதன் மறுபிரதியிடலின் மதிப்பைக் காண்பதற்கு மாதிரி வரைப்படத்தை பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 11.30#

கீழ்காண்பனவற்றை மதிப்பிடுக:

(i) \(\int 2x\sqrt{1+x^2} dx\)
(ii) \(\int e^{-x^2} x dx\)
(iii) \(\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx\)
(iv) \(\int \frac{1}{1+x^2} dx\)
(v) \(\int x(a-x)^8 dx\)

தீர்வு

(i) \(1 + x^2 = u\) எனில் \(2x dx = du\)

\[ \int 2x\sqrt{1+x^2} dx = \int \sqrt{u} du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + c \]

(ii) \(x^2 = u\) எனில் \(2x dx = du\)

\[ \int e^{-x^2} x dx = \int e^{-u} \frac{du}{2} = -\frac{1}{2} e^{-u} + c = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + c \]

(iii) \(1 + \cos x = u\) எனில் \(-\sin x dx = du\)

\[ \int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\log|u| + c = -\log|1+\cos x| + c \]

(iv) \(x = \tan u\) எனில் \(dx = \sec^2 u du\)

\[ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \frac{\sec^2 u}{1+\tan^2 u} du = \int \frac{\sec^2 u}{\sec^2 u} du = \int du = u + c = \tan^{-1} x + c \]

(v) \(u = a - x\) எனில் \(du = -dx\)

\[ \int x(a-x)^8 dx = \int (a-u) u^8 (-du) = \int (-a u^8 + u^9) du \]\[ = -\frac{a u^9}{9} + \frac{u^{10}}{10} + c = \frac{(a-x)^{10}}{10} - \frac{a(a-x)^9}{9} + c \]

11.7.4 கீழ்க்காணும் முக்கியமான விதிமுறைகள்#

\[ (1) \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)| + c \]\[ (2) \int f'(x) [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c, \quad n \neq -1 \]

நிறுவல்

(1) \(I = \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx\) என்க. \(f(x) = u\) எனில் \(f'(x)dx = du\)

எனவே, \(I = \int \frac{du}{u} = \log|u| + c = \log|f(x)| + c\)

(2) \(I = \int f'(x) [f(x)]^n dx\) என்க. \(f(x) = u\) எனில் \(f'(x)dx = du\)

எனவே, \(I = \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c\)

எடுத்துக்காட்டு 11.31#

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக.

(i) \(\int \tan x dx\)
(ii) \(\int \cot x dx\)
(iii) \(\int \csc x dx\)
(iv) \(\int \sec x dx\)

தீர்வு

(i) \(I = \int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\)

\(\cos x = u\) எனில், \(-\sin x dx = du\)

\(I = \int -\frac{1}{u} du = -\log|u| + c = -\log|\cos x| + c = \log|\sec x| + c\)

(ii) \(I = \int \cot x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx\)

\(\sin x = u\) எனில், \(\cos x dx = du\)

\(I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + c = \log|\sin x| + c\)

(iii) \(I = \int \csc x dx = \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} dx = \int \frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x} dx\)

\(\csc x - \cot x = u\) எனில், \((-\csc x \cot x + \csc^2 x) dx = du\)

எனவே, \(I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + c = \log|\csc x - \cot x| + c\)

(iv) \(I = \int \sec x dx = \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx\)

\(\sec x + \tan x = u\) எனில் \((\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = du\)

ஆகவே, \(I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + c = \log|\sec x + \tan x| + c\)

இவ்வாறாகப் பின்வரும் முக்கியமான முடிவுகளைப் பெறுகிறோம்.

| (1) \(\int \tan x dx = \log|\sec x| + c\) | (2) \(\int \cot x dx = \log|\sin x| + c\) | | :— | :— | | (3) \(\int \csc x dx = \log|\csc x - \cot x| + c\) | (4) \(\int \sec x dx = \log|\sec x + \tan x| + c\) |

எடுத்துக்காட்டு 11.32#

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக:

(i) \(\int \frac{2x+4}{x^2+4x+6} dx\)
(ii) \(\int \frac{e^x}{e^x-1} dx\)
(iii) \(\int \frac{1}{x \log x} dx\)
(iv) \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} dx\)
(v) \(\int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx\)

தீர்வு

(i) \(I = \int \frac{2x+4}{x^2+4x+6} dx\)
\(x^2+4x+6 = u\) எனில் \((2x+4)dx = du\)

\(I = \int \frac{du}{u} = \log|u| + c = \log|x^2+4x+6| + c\)

(ii) \(I = \int \frac{e^x}{e^x-1} dx\)
\(e^x - 1 = u\) எனில் \(e^x dx = du\)

\(I = \int \frac{du}{u} = \log|u| + c = \log|e^x - 1| + c\)

(iii) \(I = \int \frac{1}{x \log x} dx\)
\(\log x = u\) எனில் \(\frac{1}{x} dx = du\)

\(I = \int \frac{du}{u} = \log|u| + c = \log|\log x| + c\)

(iv) \(I = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} dx\)
\(\sin x - \cos x = u\) எனில் \((\cos x + \sin x)dx = du\)

\(I = \int \frac{du}{u} = \log|u| + c = \log|\sin x - \cos x| + c\)

(v) \(I = \int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx = \int \frac{\cos 2x}{1 + \sin 2x} dx\)

\(1 + \sin 2x = u\) எனில் \(2\cos 2x dx = du\)

\(I = \int \frac{du}{2u} = \frac{1}{2} \log|u| + c = \frac{1}{2} \log|1 + \sin 2x| + c\)

பயிற்சி 11.6#

கீழ்க்காண்பனவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

(2) \(\frac{x^2}{1+x^6}\)

(3) \(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)

(4) \(\frac{10x^9 + 10^x \log_e 10}{10^x + x^{10}}\)

(5) \(\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

(6) \(\frac{\cot x}{\log(\sin x)}\)

(7) \(\frac{\csc x}{\log\left(\tan\frac{x}{2}\right)}\)

(8) \(\frac{\sin 2x}{a^2 + b^2 \sin^2 x}\)

(9) \(\frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)

(10) \(\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\)

(11) \(\frac{1}{x \log x \log(\log x)}\)

(12) \(\alpha \beta x^{\alpha-1} e^{-\beta x^{\alpha}}\)

(13) \(\tan x \sqrt{\sec x}\)

(14) \(x(1-x)^{17}\)

(15) \(\sin^5 x \cos^3 x\)

(16) \(\frac{\cos x}{\cos(x-a)}\)

11.7.5 பகுதித் தொகையிடல்#

தொகைச் சார்பானது இரண்டு சார்புகளின் பெருக்கலாகவோ அல்லது ஒரே ஒரு மடக்கை சார்பாகவோ அல்லது ஒரே ஒரு நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பாகவோ அல்லது நேரடியாகத் தொகையிட முடியாத சார்பாகவோ இருந்தால் பொதுவாக பகுதித் தொகையிடலை பயன்படுத்தி தொகையைக் காணலாம். இரண்டு சார்புகளுக்கான பெருக்கல் வகையிடல் சூத்திரத்திலிருந்து இந்தப் பயனுள்ள தொகையீட்டு முறையைப் பெறுகிறோம்.

u மற்றும் v ஆகியவை இரண்டு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்,

\[ d(uv) = v du + u dv \]\[ u dv = d(uv) - v du \]

தொகையீடு காண,

\[ \int u dv = \int d(uv) - \int v du \]\[ \int u dv = uv - \int v du \]

u-ன் முறையான தேர்வைப் பொறுத்து இந்த முறை பொருத்தமாகிறது. அதாவது,

(i) \(\log x, \tan^{-1} x\) போன்ற தொகைச் சார்புகளை நேரடியாகத் தொகையிட முடியாது. தொகைச் சார்புகளை u எனவும் மற்றதை dv எனவும் கொள்ளவும்.

(ii) தொகையீட்டுச் சார்புகள் இரண்டுமே தொகைச் சார்புகளை உள்ளடக்கி இருந்து மற்றும் அதில் ஒன்று \(x^n\) (n ஒரு மிகை முழுவெண்) ஆக இருந்தால் அதனை \(u = x^n\) எனக் கொள்ளவும்.

(iii) மற்றைய நிலைகளில் u-ன் தேர்வு நம்முடைய விருப்பத்தைப் பொறுத்தது.

எடுத்துக்காட்டு 11.33#

மதிப்பிடுக

(i) \(\int xe^x dx\)
(ii) \(\int x \cos x dx\)
(iii) \(\int \log x dx\)
(iv) \(\int \sin^{-1} x dx\)

தீர்வு

(i) \(I = \int xe^x dx\)

இங்கு x ஒரு இயற்கணித சார்பு மற்றும் \(e^x\) ஒரு அடுக்குக்குறிச்சார்பு ஆதலால்,

u = x எனில், du = dx
dv = \(e^x dx \Rightarrow v = e^x\)

பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த,

\[ \int xe^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + c \]

(ii) \(I = \int x \cos x dx\)

u = x எனில், du = dx
dv = \(\cos x dx \Rightarrow v = \sin x\)

\[ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + c \]

(iii) \(I = \int \log x dx\)

u = \(\log x\) எனில், du = \(\frac{1}{x} dx\)
dv = dx \(\Rightarrow v = x\)

\[ \int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x + c \]

(iv) \(I = \int \sin^{-1} x dx\)

u = \(\sin^{-1} x\) எனில், du = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\)
dv = dx \(\Rightarrow v = x\)

\[ \int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

\(1-x^2 = t\) எனில், \(-2x dx = dt \Rightarrow x dx = -\frac{1}{2} dt\)

\[ = x \sin^{-1} x - \int \frac{1}{\sqrt{t}} \left(-\frac{1}{2} dt\right) = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt \]\[ = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + c = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.34#

மதிப்பிடுக : \(\int \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) dx\)

தீர்வு

\(I = \int \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) dx\)

x = \(\tan \theta\) எனில், dx = \(\sec^2 \theta d\theta\)

மேலும், \(\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \tan 2\theta\)

எனவே, \(\tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) = 2\theta\)

\[ I = \int 2\theta \sec^2 \theta d\theta \]

u = \(2\theta\), dv = \(\sec^2\theta d\theta\) எனில், du = \(2d\theta\), v = \(\tan\theta\)

\[ I = 2\theta \tan\theta - \int 2\tan\theta d\theta = 2\theta \tan\theta - 2\log|\sec\theta| + c \]\[ = 2x \tan^{-1}x - 2\log|\sqrt{1+x^2}| + c = 2x \tan^{-1}x - \log(1+x^2) + c \]

11.7.6 பகுதித் தொகையிடலுக்கான பெர்னோலியின் சூத்திரம்#

u மற்றும் v ஆகியவை x-ன் சார்புகள் எனில் பெர்னோலியின் சூத்திரமானது

\[ \int u dv = uv - u'v_1 + u''v_2 - \cdots \]

இங்கு \(u', u'', u'''...\) என்பன u-ன் அடுத்தடுத்த வகையிடல்கள் ஆகும் மற்றும் \(v, v_1, v_2, v_3, ...\) என்பன dv-ன் அடுத்தடுத்த தொகையிடல்கள் ஆகும்.

u = \(x^n\) (n ஒரு மிகை முழுவெண்) என எடுத்துக்கொள்ளும் போது பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 11.35#

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(i) \(\int x^2 e^{5x} dx\)
(ii) \(\int x^3 \cos x dx\)
(iii) \(\int x^3 e^{-x} dx\)

தீர்வு

(i) \(\int x^2 e^{5x} dx\)

u = \(x^2\), dv = \(e^{5x} dx \Rightarrow v = \frac{e^{5x}}{5}\)
\(u' = 2x\), \(v_1 = \frac{e^{5x}}{25}\)
\(u'' = 2\), \(v_2 = \frac{e^{5x}}{125}\)
\(u''' = 0\)

\[ \int x^2 e^{5x} dx = x^2 \cdot \frac{e^{5x}}{5} - 2x \cdot \frac{e^{5x}}{25} + 2 \cdot \frac{e^{5x}}{125} + c \]\[ = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2x e^{5x}}{25} + \frac{2e^{5x}}{125} + c \]

(ii) \(\int x^3 \cos x dx\)

u = \(x^3\), dv = \(\cos x dx \Rightarrow v = \sin x\)
\(u' = 3x^2\), \(v_1 = -\cos x\)
\(u'' = 6x\), \(v_2 = -\sin x\)
\(u''' = 6\), \(v_3 = \cos x\)
\(u^{(4)} = 0\)

\[ \int x^3 \cos x dx = x^3 \sin x - 3x^2(-\cos x) + 6x(-\sin x) - 6(\cos x) + c \]\[ = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + c \]

(iii) \(\int x^3 e^{-x} dx\)

u = \(x^3\), dv = \(e^{-x} dx \Rightarrow v = -e^{-x}\)
\(u' = 3x^2\), \(v_1 = e^{-x}\)
\(u'' = 6x\), \(v_2 = -e^{-x}\)
\(u''' = 6\), \(v_3 = e^{-x}\)
\(u^{(4)} = 0\)

\[ \int x^3 e^{-x} dx = x^3(-e^{-x}) - 3x^2(e^{-x}) + 6x(-e^{-x}) - 6(e^{-x}) + c \]\[ = -x^3 e^{-x} - 3x^2 e^{-x} - 6x e^{-x} - 6e^{-x} + c \]

பயிற்சி 11.7#

பின்வருவனவற்றின் தொகை காண்க.

(1) (i) \(9xe^{3x}\)
(ii) \(x \sin 3x\)
(iii) \(25xe^{-5x}\)
(iv) \(x \sec x \tan x\)

(2) (i) \(x \log x\)
(ii) \(27x^2 e^{3x}\)
(iii) \(x^2 \cos x\)
(iv) \(x^3 \sin x\)

(3) (i) \(x \sin^{-1} x\)
(ii) \(x^5 e^x\)
(iii) \(\tan^{-1} 8x\)
(iv) \(\sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2}\)

11.7.8 (i) \(\int e^{ax} \sin bx dx\) (ii) \(\int e^{ax} \cos bx dx\) வடிவங்களின் தொகை காணல்#

\(e^{ax} \sin bx\) மற்றும் \(e^{ax} \cos bx\) ஆகிய தொகைச் சார்புகளின் தொகையிடல்கள் தொடர்ந்து செல்வதால், கீழ்க்காணும் எடுத்துக்காட்டுகளில் தொகையிடலை இருமுறை பயன்படுத்தி, இருமுறையும் ஒரு தொகையாகக் கொண்டு வந்து தீர்வு காண வேண்டும்.

முடிவு 11.1#

\[ (i) \int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} [a \sin bx - b \cos bx] + c \]\[ (ii) \int e^{ax} \cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} [a \cos bx + b \sin bx] + c \]

நிறுவல் (i)

\(I = \int e^{ax} \sin bx dx\) என்க.

u = \(\sin bx\), du = \(b \cos bx dx\)
dv = \(e^{ax} dx \Rightarrow v = \frac{e^{ax}}{a}\)

பகுதித் தொகையிடல் முறையை பயன்படுத்த,

\[ I = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \int \frac{e^{ax}}{a} b \cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos bx dx \]

மீண்டும் பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த, \(\int e^{ax} \cos bx dx\)-க்கு:

u = \(\cos bx\), du = \(-b \sin bx dx\)
dv = \(e^{ax} dx\), v = \(\frac{e^{ax}}{a}\)

\[ \int e^{ax} \cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \cos bx + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \cos bx + \frac{b}{a} I \]

இதை மேலுள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட,

\[ I = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \frac{b}{a} \left[ \frac{e^{ax}}{a} \cos bx + \frac{b}{a} I \right] \]\[ I = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \frac{b e^{ax}}{a^2} \cos bx - \frac{b^2}{a^2} I \]\[ I + \frac{b^2}{a^2} I = \frac{e^{ax}}{a^2} (a \sin bx - b \cos bx) \]\[ \frac{a^2 + b^2}{a^2} I = \frac{e^{ax}}{a^2} (a \sin bx - b \cos bx) \]\[ I = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.36#

மதிப்பிடுக.

(i) \(\int e^{3x} \cos 2x dx\)
(ii) \(\int e^{-5x} \sin 3x dx\)

தீர்வு

(i) \(\int e^{3x} \cos 2x dx = \frac{e^{3x}}{3^2 + 2^2} (3\cos 2x + 2\sin 2x) + c = \frac{e^{3x}}{13} (3\cos 2x + 2\sin 2x) + c\)

(ii) \(\int e^{-5x} \sin 3x dx = \frac{e^{-5x}}{(-5)^2 + 3^2} (-5\sin 3x - 3\cos 3x) + c = -\frac{e^{-5x}}{34} (5\sin 3x + 3\cos 3x) + c\)

பயிற்சி 11.8#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) (i) \(e^{ax} \cos bx\)
(ii) \(e^{2x} \sin x\)
(iii) \(e^{-x} \cos 2x\)

(2) (i) \(e^{-3x} \sin 2x\)
(ii) \(e^{-4x} \sin 2x\)
(iii) \(e^{-3x} \cos x\)

முடிவு 11.2

\[ \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c \]

நிறுவல்

\(I = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = \int e^x f(x) dx + \int e^x f'(x) dx\)

முதல் தொகையில் u = \(f(x)\), du = \(f'(x)dx\), dv = \(e^x dx\), v = \(e^x\)

\[ \int e^x f(x) dx = e^x f(x) - \int e^x f'(x) dx \]\[ I = [e^x f(x) - \int e^x f'(x) dx] + \int e^x f'(x) dx + c = e^x f(x) + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.37#

மதிப்பிடுக

(i) \(\int e^x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx\)
(ii) \(\int e^x (\sin x + \cos x) dx\)
(iii) \(\int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx\)

தீர்வு

(i) \(f(x) = \frac{1}{x}\) எனில், \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\)

\[ \int e^x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx = e^x \cdot \frac{1}{x} + c \]

(ii) \(f(x) = \sin x\) எனில், \(f'(x) = \cos x\)

\[ \int e^x (\sin x + \cos x) dx = e^x \sin x + c \]

(iii) \(\left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 = \frac{1 + x^2 - 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2}\)

\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) எனில் \(f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}\)

\[ \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx = e^x \cdot \frac{1}{1+x^2} + c \]

பயிற்சி 11.9#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) \(e^x(\tan x + \log \sec x)\)

(2) \(e^x \left( \frac{x-1}{2x^2} \right)\)

(3) \(e^x \sec x (1 + \tan x)\)

(4) \(e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right)\)

(5) \(e^{\tan^{-1}x} \left( \frac{1 + x + x^2}{1 + x^2} \right)\)

(6) \(\frac{\log x}{(1 + \log x)^2}\)

11.7.9 விகிதமுறு இயற்கணித சார்பின் தொகை#

இப்பிரிவில் விகிதமுறு இயற்கணித சார்புகள் தொகுதி மற்றும் பகுதிகளில் மாறிலிக் கணங்களையும் x ஆனது முழு எண் அடுக்குகளைப் பெற்றிருக்கும்.

வகை I

\(\int \frac{dx}{a^2 + x^2}, \int \frac{dx}{x^2 - a^2}, \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}}, \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) எனும் வடிவில் உள்ள தொகைகளைக் காணல்

\[ (i) \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c \]\[ (ii) \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c \]\[ (iii) \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c \]\[ (iv) \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c \]\[ (v) \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + c \]\[ (vi) \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + c \]

குறிப்பு: \( \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{x^2 + a^2}, \sqrt{x^2 - a^2} \) என்ற வடிவங்களுக்கு எளிதாகத் தொகைக் காணப் பயன்படக்கூடிய கீழ்க்காணும் பயனுள்ள பிரதியிடலை நினைவில் கொள்க.

வடிவம்	பிரதியிடல்
\(\sqrt{a^2 - x^2}\)	\(x = a \sin \theta\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a \tan \theta\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\)	\(x = a \sec \theta\)

எடுத்துக்காட்டு 11.38#

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக :

(i) \(\int \frac{1}{(x-2)^2 + 1} dx\)
(ii) \(\int \frac{x^2}{x^2 + 5} dx\)
(iii) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} dx\)
(iv) \(\int \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 25}} dx\)

தீர்வு

(i) \(\int \frac{1}{(x-2)^2 + 1^2} dx = \tan^{-1}(x-2) + c\)

(ii) \(\int \frac{x^2}{x^2+5} dx = \int \left(1 - \frac{5}{x^2+5}\right) dx = x - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) + c = x - \sqrt{5} \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) + c\)

(iii) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+(2x)^2}} dx\)

2x = t எனில், 2dx = dt \(\Rightarrow dx = \frac{1}{2} dt\)

\[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt = \frac{1}{2} \log|t + \sqrt{t^2+1}| + c = \frac{1}{2} \log|2x + \sqrt{4x^2+1}| + c \]

(iv) \(\int \frac{1}{\sqrt{4x^2-25}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(2x)^2 - 5^2}} dx\)

2x = t எனில், 2dx = dt \(\Rightarrow dx = \frac{1}{2} dt\)

\[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 5^2}} dt = \frac{1}{2} \log|t + \sqrt{t^2 - 25}| + c = \frac{1}{2} \log|2x + \sqrt{4x^2 - 25}| + c \]

வகை II

\(\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c}\) மற்றும் \(\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}\) எனும் வடிவில் உள்ள தொகைகளைக் காணல் :

முதலில் \(ax^2 + bx + c\)-ஐ இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் அல்லது கழித்தலாகப் பிரித்தெழுதி வகை-I-ன் ஏதேனும் ஒரு வடிவத்துக்குக் கொண்டு வந்து தொகையீடு காணலாம்.

\[ ax^2 + bx + c = a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right] = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right] \]

எடுத்துக்காட்டு 11.39#

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக:

(i) \(\int \frac{1}{x^2 - 2x + 5} dx\)
(ii) \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 11}} dx\)
(iii) \(\int \frac{1}{\sqrt{12 + 4x - x^2}} dx\)

தீர்வு

(i) \(\int \frac{1}{x^2 - 2x + 5} dx = \int \frac{1}{(x-1)^2 + 2^2} dx = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x-1}{2} \right) + c\)

(ii) \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 11}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x+6)^2 - 25}} dx = \log|x+6 + \sqrt{x^2 + 12x + 11}| + c\)

(iii) \(\int \frac{1}{\sqrt{12 + 4x - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{16 - (x-2)^2}} dx = \sin^{-1} \left( \frac{x-2}{4} \right) + c\)

பயிற்சி 11.10#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பனவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) (i) \(\frac{1}{4 - x^2}\)
(ii) \(\frac{1}{25 - 4x^2}\)
(iii) \(\frac{1}{9x^2 - 4}\)

(2) (i) \(\frac{1}{6x - 7 - x^2}\)
(ii) \(\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 25}}\)
(iii) \(\frac{1}{(x+1)^2 - 25}\)

(3) (i) \(\frac{1}{\sqrt{(2+x)^2 - 1}}\)
(ii) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}\)
(iii) \(\frac{1}{\sqrt{9 + 8x - x^2}}\)

வகை III

\(\int \frac{px + q}{ax^2 + bx + c} dx\) மற்றும் \(\int \frac{px + q}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} dx\) எனும் வடிவில் உள்ள தொகைகளைக் காணல்.

மேற்கண்ட தொகைகளை மதிப்பிட, முதலில் நாம் கீழ்கண்டவாறு எழுதலாம்:

\[ px + q = A \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) + B \]\[ px + q = A(2ax + b) + B \]

எடுத்துக்காட்டு 11.40#

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக.

(i) \(\int \frac{3x+5}{x^2+4x+7} dx\)
(ii) \(\int \frac{x+1}{x^2 - 3x + 1} dx\)
(iii) \(\int \frac{5x-7}{\sqrt{3x - x^2 + 2}} dx\)

தீர்வு

(i) \(I = \int \frac{3x+5}{x^2+4x+7} dx\)

\(3x+5 = A(2x+4) + B\)

\(2A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{2}\)
\(4A + B = 5 \Rightarrow 6 + B = 5 \Rightarrow B = -1\)

\[ I = \frac{3}{2} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+7} dx - \int \frac{1}{x^2+4x+7} dx \]\[ = \frac{3}{2} \log|x^2+4x+7| - \int \frac{1}{(x+2)^2 + 3} dx \]\[ = \frac{3}{2} \log|x^2+4x+7| - \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{x+2}{\sqrt{3}} \right) + c \]

(ii) \(I = \int \frac{x+1}{x^2 - 3x + 1} dx\)

\(x+1 = A(2x-3) + B\)

\(2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}\)
\(-3A + B = 1 \Rightarrow -\frac{3}{2} + B = 1 \Rightarrow B = \frac{5}{2}\)

\[ I = \frac{1}{2} \int \frac{2x-3}{x^2-3x+1} dx + \frac{5}{2} \int \frac{1}{x^2-3x+1} dx \]\[ = \frac{1}{2} \log|x^2-3x+1| + \frac{5}{2} \int \frac{1}{\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}} dx \]\[ = \frac{1}{2} \log|x^2-3x+1| + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} \log \left| \frac{x - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}{x - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right| + c \]\[ = \frac{1}{2} \log|x^2-3x+1| + \frac{5}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{2x - 3 - \sqrt{5}}{2x - 3 + \sqrt{5}} \right| + c \]

(iii) \(I = \int \frac{5x-7}{\sqrt{3x - x^2 + 2}} dx\)

\(5x-7 = A(3 - 2x) + B\)

\(-2A = 5 \Rightarrow A = -\frac{5}{2}\)
\(3A + B = -7 \Rightarrow -\frac{15}{2} + B = -7 \Rightarrow B = \frac{1}{2}\)

\[ I = -\frac{5}{2} \int \frac{3-2x}{\sqrt{3x - x^2 + 2}} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3x - x^2 + 2}} dx \]\[ = -\frac{5}{2} \cdot 2\sqrt{3x - x^2 + 2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{17}{4} - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2}} dx \]\[ = -5\sqrt{3x - x^2 + 2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x - \frac{3}{2}}{\sqrt{17}/2} \right) + c \]\[ = -5\sqrt{3x - x^2 + 2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{2x-3}{\sqrt{17}} \right) + c \]

பயிற்சி 11.11#

x-ஐப் பொறுத்து கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.

(1) (i) \(\frac{2x-3}{x^2+4x-12}\)
(ii) \(\frac{5x-2}{2+2x+x^2}\)
(iii) \(\frac{3x+1}{2x^2-2x+3}\)

(2) (i) \(\frac{2x+1}{\sqrt{9+4x-x^2}}\)
(ii) \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}\)
(iii) \(\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+4x+1}}\)

வகை IV

\(\int \sqrt{a^2 \pm x^2} dx, \int \sqrt{x^2 - a^2} dx\) எனும் வடிவில் உள்ள தொகைகளைக் காணல்.

முடிவு 11.3

\[ (1) \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c \]\[ (2) \int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c \]\[ (3) \int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \log|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c \]

எடுத்துக்காட்டு 11.41#

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக :

(i) \(\int \sqrt{4-x^2} dx\)
(ii) \(\int \sqrt{25x^2 - 9} dx\)
(iii) \(\int \sqrt{x^2 + x + 1} dx\)
(iv) \(\int \sqrt{(x-3)(5-x)} dx\)

தீர்வு

(i) \(\int \sqrt{4-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c = \frac{x}{2} \sqrt{4-x^2} + 2\sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c\)

(ii) \(\int \sqrt{25x^2 - 9} dx = \int \sqrt{(5x)^2 - 3^2} dx\)

5x = t எனில், 5dx = dt \(\Rightarrow dx = \frac{dt}{5}\)

\[ = \frac{1}{5} \left[ \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - 9} - \frac{9}{2} \log|t + \sqrt{t^2 - 9}| \right] + c \]\[ = \frac{1}{5} \left[ \frac{5x}{2} \sqrt{25x^2 - 9} - \frac{9}{2} \log|5x + \sqrt{25x^2 - 9}| \right] + c \]

(iii) \(\int \sqrt{x^2 + x + 1} dx = \int \sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} dx\)

\[ = \frac{x + \frac{1}{2}}{2} \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{3/4}{2} \log| \left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^2 + x + 1} | + c \]\[ = \frac{2x+1}{4} \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{3}{8} \log|2x+1 + 2\sqrt{x^2 + x + 1}| + c \]

(iv) \(\int \sqrt{(x-3)(5-x)} dx = \int \sqrt{-x^2 + 8x - 15} dx = \int \sqrt{1 - (x-4)^2} dx\)

\[ = \frac{x-4}{2} \sqrt{1 - (x-4)^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x-4) + c \]\[ = \frac{x-4}{2} \sqrt{(x-3)(5-x)} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x-4) + c \]

பயிற்சி 11.12#

பின்வரும் சார்புகளின் தொகைக் காண்க.

(1) (i) \(\sqrt{x^2 + 2x + 10}\)
(ii) \(\sqrt{x^2 - 2x - 3}\)
(iii) \(\sqrt{(6-x)(x-4)}\)

(2) (i) \(\sqrt{9 - (x+5)^2}\)
(ii) \(\sqrt{81 + (x+1)^2}\)
(iii) \(\sqrt{(x+1)^2 - 4}\)

பயிற்சி 11.13#

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.

(1) \(\int f(x) dx = g(x) + c\) எனில், \(\int f'(x) g(x) dx\) என்பது

(1) \(\int [f(x)]^2 dx\)
(2) \(\int f(x) g(x) dx\)
(3) \(\int f'(x) g(x) dx\)
(4) \(\int [g(x)]^2 dx\)

(2) \(\int \frac{3^{3x+1}}{1+3^{2x}} dx = \frac{3^{k}}{1} \tan^{-1}(3^x) + c\) எனில், k-ன் மதிப்பு

(1) \(\log 3\)
(2) \(-\log 3\)
(3) \(-\frac{1}{\log 3}\)
(4) \(\frac{1}{\log 3}\)

(3) \(\int f'(x) e^x dx = \frac{e^x}{2} (x^2 - 2x + 1) + c\) எனில், f(x) என்பது

(1) \(2x^3 - 3x^2 + x + c\)
(2) \(x^3 + 2x^2 + 4x + c\)
(3) \(x^3 + 4x^2 + 6x + c\)
(4) \(2x^3 - 3x^2 + x + c\)

(4) (x, y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஒரு வளைவரையின் சாய்வு \(2 - \frac{4}{x^2}\) ஆகும். இவ்வளைவரை (2, 7) என்ற புள்ளி வழியாகச் சென்றால், வளைவரையின் சமன்பாடு

(1) \(y = x + \frac{4}{x} + 3\)
(2) \(y = x + \frac{4}{x} + 4\)
(3) \(y = x^2 + 3x + 4\)
(4) \(y = x^2 - 3x + 6\)

(5) \(\int \frac{e^x (1+x)}{\cos^2(x e^x)} dx =\)

(1) \(\cot(x e^x) + c\)
(2) \(\sec(x e^x) + c\)
(3) \(\tan(x e^x) + c\)
(4) \(\cos(x e^x) + c\)

(6) \(\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin 2x} dx =\)

(1) \(\sqrt{\tan x} + c\)
(2) \(2\sqrt{\tan x} + c\)
(3) \(\frac{1}{2}\sqrt{\tan x} + c\)
(4) \(\frac{1}{4}\sqrt{\tan x} + c\)

(7) \(\int \sin^3 x dx =\)

(1) \(-\frac{3}{4} \cos x - \frac{\cos 3x}{12} + c\)
(2) \(\frac{3}{4} \cos x + \frac{\cos 3x}{12} + c\)
(3) \(-\frac{3}{4} \cos x + \frac{\cos 3x}{12} + c\)
(4) \(-\frac{3}{4} \sin x - \frac{\sin 3x}{12} + c\)

(8) \(\int \frac{e^{6\log x} - e^{5\log x}}{e^{4\log x} - e^{3\log x}} dx =\)

(1) \(x + c\)
(2) \(\frac{x^3}{3} + c\)
(3) \(\frac{3}{x^3} + c\)
(4) \(\frac{1}{x^2} + c\)

(9) \(\int \frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}} dx =\)

(1) \(\tan^{-1}(\sin x) + c\)
(2) \(2\sin^{-1}(\tan x) + c\)
(3) \(\tan^{-1}(\cos x) + c\)
(4) \(\sin^{-1}(\tan x) + c\)

(10) \(\int \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}} \right) dx =\)

(1) \(x^2 + c\)
(2) \(2x^2 + c\)
(3) \(\frac{x^2}{2} + c\)
(4) \(-\frac{x^2}{2} + c\)

(11) \(\int 2^{3x+5} dx =\)

(1) \(\frac{3(2^{3x+5})}{\log 2} + c\)
(2) \(\frac{2^{3x+5}}{2\log(3x+5)} + c\)
(3) \(\frac{2^{3x+5}}{2\log 3} + c\)
(4) \(\frac{2^{3x+5}}{3\log 2} + c\)

(12) \(\int \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x} dx =\)

(1) \(\frac{1}{2} \sin 2x + c\)
(2) \(-\frac{1}{2} \sin 2x + c\)
(3) \(\frac{1}{2} \cos 2x + c\)
(4) \(-\frac{1}{2} \cos 2x + c\)

(13) \(\int \frac{e^x (x^2 \tan^{-1} x + \tan^{-1} x + 1)}{x^2 + 1} dx =\)

(1) \(e^x \tan^{-1}(x+1) + c\)
(2) \(\tan^{-1}(e^x) + c\)
(3) \(e^x \frac{(\tan^{-1} x)^2}{2} + c\)
(4) \(e^x \tan^{-1} x + c\)

(14) \(\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{x^2 + 1} \sec^2 x dx =\)

(1) \(\cot x + \sin^{-1} x + c\)
(2) \(-\cot x + \tan^{-1} x + c\)
(3) \(-\tan x + \cot^{-1} x + c\)
(4) \(-\cot x - \tan^{-1} x + c\)

(15) \(\int x^2 \cos x dx =\)

(1) \(x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + c\)
(2) \(x^2 \sin x - 2x \cos x - 2\sin x + c\)
(3) \(-x^2 \sin x + 2x \cos x + 2\sin x + c\)
(4) \(-x^2 \sin x - 2x \cos x + 2\sin x + c\)

(16) \(\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx =\)

(1) \(\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1} x + c\)
(2) \(\sin^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + c\)
(3) \(\log|x + \sqrt{1-x^2}| - \sqrt{1-x^2} + c\)
(4) \(\sqrt{1-x^2} + \log|x + \sqrt{1-x^2}| + c\)

(17) \(\int \frac{dx}{e^x - 1} =\)

(1) \(\log|e^x| - \log|e^x - 1| + c\)
(2) \(\log|e^x| + \log|e^x - 1| + c\)
(3) \(\log|e^x - 1| - \log|e^x| + c\)
(4) \(\log|e^x + 1| - \log|e^x| + c\)

(18) \(\int e^{-4x} \cos x dx =\)

(1) \(\frac{e^{-4x}}{17}(-4\cos x + \sin x) + c\)
(2) \(\frac{e^{-4x}}{17}(4\cos x + \sin x) + c\)
(3) \(\frac{e^{-4x}}{17}(-4\cos x - \sin x) + c\)
(4) \(\frac{e^{-4x}}{17}(4\cos x - \sin x) + c\)

(19) \(\int \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x - 1} dx =\)

(1) \(2\log\left|\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right| + c\)
(2) \(\log\left|\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right| + c\)
(3) \(\frac{1}{2} \log\left|\frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}\right| + c\)
(4) \(\frac{1}{2} \log\left|\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}\right| + c\)

(20) \(\int e^{-7x} \sin 5x dx =\)

(1) \(\frac{e^{-7x}}{74}(-7\sin 5x - 5\cos 5x) + c\)
(2) \(\frac{e^{-7x}}{74}(7\sin 5x + 5\cos 5x) + c\)
(3) \(\frac{e^{-7x}}{74}(7\sin 5x - 5\cos 5x) + c\)
(4) \(\frac{e^{-7x}}{74}(-7\sin 5x + 5\cos 5x) + c\)

(21) \(\int x^2 e^{\frac{x}{2}} dx =\)

(1) \(x^2 e^{\frac{x}{2}} - 4x e^{\frac{x}{2}} - 8e^{\frac{x}{2}} + c\)
(2) \(2x^2 e^{\frac{x}{2}} - 8x e^{\frac{x}{2}} - 16e^{\frac{x}{2}} + c\)
(3) \(2x^2 e^{\frac{x}{2}} - 8x e^{\frac{x}{2}} + 16e^{\frac{x}{2}} + c\)
(4) \(x^2 e^{\frac{x}{2}} - \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} + c\)

(22) \(\int \frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}} dx =\)

(1) \(\sqrt{x^2-1} - 2\log|x + \sqrt{x^2-1}| + c\)
(2) \(\sin^{-1}x - 2\log|x + \sqrt{x^2-1}| + c\)
(3) \(2\log|x + \sqrt{x^2-1}| - \sin^{-1}x + c\)
(4) \(\sqrt{x^2-1} + 2\log|x + \sqrt{x^2-1}| + c\)

(23) \(\int \frac{1}{x\sqrt{(\log x)^2 - 5}} dx =\)

(1) \(\log|x + \sqrt{x^2 - 5}| + c\)
(2) \(\log|\log x + \sqrt{\log x - 5}| + c\)
(3) \(\log|\log x + \sqrt{(\log x)^2 - 5}| + c\)
(4) \(\log|\log x - \sqrt{(\log x)^2 - 5}| + c\)

(24) \(\int \sin \sqrt{x} dx =\)

(1) \(2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + \sin \sqrt{x}) + c\)
(2) \(2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x} - \sin \sqrt{x}) + c\)
(3) \(2(-\sqrt{x} \sin \sqrt{x} - \cos \sqrt{x}) + c\)
(4) \(2(-\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}) + c\)

(25) \(\int e^{\sqrt{x}} dx =\)

(1) \(2\sqrt{x}(1 - e^{\sqrt{x}}) + c\)
(2) \(2\sqrt{x}(e^{\sqrt{x}} - 1) + c\)
(3) \(2e^{\sqrt{x}}(1 - \sqrt{x}) + c\)
(4) \(2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + c\)

பாடத் தொகுப்பு#

வகையிடல்	எதிர்வகையிடல்
\(\frac{d}{dx}(c) = 0\), இங்கு c ஒரு மாறிலி	\(\int 0 dx = c\), இங்கு c ஒரு மாறிலி
\(\frac{d}{dx}(kx) = k\), இங்கு k ஒரு மாறிலி	\(\int k dx = kx + c\), ஒரு தன்னிச்சை மாறிலி
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n\)	\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1\) (அடுக்கு விதி)
\(\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}\)	(\int \frac{1}{x} dx = \log
\(\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\)	\(\int \sin x dx = -\cos x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)	\(\int \cos x dx = \sin x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)	\(\int \sec^2 x dx = \tan x + c\)
\(\frac{d}{dx}(-\cot x) = \csc^2 x\)	\(\int \csc^2 x dx = -\cot x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)	\(\int \sec x \tan x dx = \sec x + c\)
\(\frac{d}{dx}(-\csc x) = \csc x \cot x\)	\(\int \csc x \cot x dx = -\csc x + c\)
\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)	\(\int e^x dx = e^x + c\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{a^x}{\log a}\right) = a^x\)	\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + c\)
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c\)
\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\)	\(\int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + c\)

\[ (1) \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \]\[ (2) \int [f_1(x) \pm f_2(x)] dx = \int f_1(x) dx \pm \int f_2(x) dx \]\[ \int f(x) dx = g(x) + c \text{ எனில், } \int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} g(ax+b) + c \]

பகுதித் தொகையிடலுக்கான பெர்னோலியின் சூத்திரம்

u மற்றும் v ஆகியவை x-ன் சார்புகள் எனில் பெர்னோலியின் சூத்திரமானது

\[ \int u dv = uv - u'v_1 + u''v_2 - \cdots \]

இங்கு \(u', u'', u'''\) … என்பன u-ன் அடுத்தடுத்த வகையிடல்கள் ஆகும் மற்றும் \(v, v_1, v_2, v_3, \dots\) என்பன dv-ன் அடுத்தடுத்த தொகையிடல்கள் ஆகும்.

\[ \int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + c \]\[ \int e^{ax} \cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx) + c \]\[ \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c \]\[ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c \quad \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c \]\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + c \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + c \]\[ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c \]\[ \int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + c \]\[ \int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + c \]