அத்தியாயம் 12: நிகழ்தகவு கோட்பாடு - ஓர் அறிமுகம்#

“வாழ்க்கையில் நிகழும் ஒவ்வொரு நிகழ்வும் நிகழக்கூடியதைச் சார்ந்தே அமைகின்றது”

• பியரி சைமன் லாப்லாஸ்

12.1 அறிமுகம் (Introduction)#

பிளேஸ் பாஸ்கல் (Blaise Pascal) மற்றும் பியரி டி பெர்மாட் (Pierre de Fermat) ஆகிய இரு புகழ் பெற்ற பிரஞ்சு கணிதவியலார்களால் உருவாக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு கோட்பாட்டிற்கு 1654-ல் ஒரு சூதாட்ட களத்தில் நிகழ்ந்த விவாதமே மூல காரணமாக அமைந்தது. நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கொள்கைகளை முதன் முதலில் பாஸ்கல் மற்றும் பெர்மாட் ஆகியோர் வடிவமைத்தனர். லாப்லாஸ் தனது ஆழ்ந்த ஆராய்ச்சிக்குப் பின்னர் 1812 ல் வெளியிட்ட வரலாற்றுச் சிறப்பு மிக்க கட்டுரையின் வாயிலாக நிகழ்தகவு கோட்பாட்டிற்கு அடித்தளம் அமைத்தார். புள்ளியியலில் பேயஸின் (Bayesian) கோட்பாடு மூலமாக நிகழ்தகவுக்கு விளக்கம் அளித்தவர் லாப்லாஸ் ஆவார்.

தொடக்கத்தில் விளையாட்டுகளின் மூலம் அறியப்பட்ட நிகழ்தகவானது தற்போது பயன்பாட்டுக் கணிதத்தில் மிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்த பகுதியாக விளங்குகிறது. ஆயுள் காப்பீட்டுப் பிரிமியம் நிர்ணயத்திலிருந்து தேர்தல் கருத்துக்கணிப்பு முடிவுகள் வரை மற்றும் வாயுவினுள் உள்ள மூலக் கூறுகளின் தன்மைகளை அறிய நிகழ்தகவினைப் பயன்படுத்துவதைக் காணலாம்.

பள்ளிப் பாடப் பகுதியில் நிகழ்தகவு சேர்க்கப்பட்டற்கு அதன் வாழ்வியல் பயன்பாடு ஒரு முக்கிய காரணமாக அமைகின்றது. ‘நிகழ்தகவு’ எனும் சொல்லானது வாய்ப்பு, நிகழக்கூடியது, ஊகிக்கக் கூடியது, நிகழும் சாத்தியக் கூறு, சாதக அல்லது பாதக விகிதம், இடையூறு, எதிர்பார்ப்பு என்ற பலப் பொருளைத் தருகின்றது.

அன்றாட வாழ்வில் பல தருணங்களில் நமது அனுமானங்கள் நிச்சயமற்றதாக அமைகின்றது. இந்த நிச்சயமற்ற தன்மையை அளக்கும் கணிதப்பிரிவே நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு நிகழ்ச்சியின் நிகழக்கூடிய வாய்ப்பின் அளவினைக் கணிப்பது நிகழ்தகவு ஆகும்.

கற்றலின் நோக்கங்கள்#

இப்பாடப்பகுதி நிறைவுறும்போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகளாக

• நிகழ்தகவின் வழக்கமான கோட்பாட்டையும் அடிப்படை அனுகுமுறைகளையும் அறிதல்

• ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள், ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளைப் புரிந்து கொள்ளுதல்

• சார்பு நிலை நிகழ்தகவு, சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் பற்றிய கருத்துக்களைப் புரிந்து கொள்ளுதல்

• பேயஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும் முறையை அறிந்து கொள்ளுதல்

• நடைமுறைவாழ்க்கையில் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்த அறிந்து கொள்ளுதல் ஆகியவை எதிர்பார்க்கப்படுகின்றன.

12.2 அடிப்படை வரையறைகள் (Basic definitions)#

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடுகளைக் கற்பதற்கு முன்பு நாம் முந்தைய வகுப்புகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்திய சில வரையறைகளை நினைவு கூர்வோம்.

வரையறை 12.1

ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட முடிவுகளைக் கொண்டிருக்குமேயானால், அச்செயல்பாட்டினைச் சோதனை (experiment) என வரையறுக்கலாம்.

வரையறை 12.2

நிர்ணயிக்கப்பட்ட சோதனை (Deterministic Experiment): ஒரே மாதிரியான சூழ்நிலையில், ஒரு சோதனையின் முடிவுகளை முன்கூட்டிய உறுதியாகக் கணிக்க முடியுமாயின், அது நிர்ணயிக்கப்பட்ட சோதனையாகும்.

வரையறை 12.3

சமவாய்ப்புச் சோதனை (Random Experiment or non deterministic) என்பது

(i) ஒரு சோதனையில் கிடைக்கக்கூடிய எல்லா விதச் சாத்தியக்கூறுகளை முன்கூட்டிய அறிந்திருக்க முடியும்.

(ii) சோதனைக்கு முன்பே முடிவினைக் கணிக்க இயலாது மற்றும்

(iii) ஒரே மாதிரியான சூழ்நிலையில் இச்சோதனையை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்த இயலும்.

ஒரு பகடையை “உருட்டுவது”, ஒரு நாணயத்தைச் “சுண்டுவது” முதலியன சமவாய்ப்புச் சோதனைக்கு உதாரணங்களாகும்.

வரையறை 12.4

ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையில் கிடைக் கூடிய அடிப்படை நிகழ்வுகளை (முடிவுகளை) மேலும் பிரிக்க இயலாது எனில் அது ஒரு சாதாரண நிகழ்ச்சியாகும் (simple event).

வரையறை 12.5

சமவாய்ப்புச் சோதனையின் எல்லா நிகழ்வுகளையும் கொண்ட கணமானது கூறுவெளி (Sample space) எனப்படும். ஒரு கூறுவெளியின் ஒவ்வொரு நிகழ்வும் சாதாரண நிகழ்வாகும்.

விளக்கம் எடுத்துக்காட்டு 12.1#

(1) (i) ஒரு பகடையை ஒருமுறை உருட்டிக் கிடைக்கக்கூடிய கூறுவெளியானது

(ii) ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டினால் கிடைக்கும் கூறுவெளி \(S = \{H, T\}\).

(2) (i) தலை விழும் வரை ஒரு நாணயத்தை எத்தனை முறை சுண்ட வேண்டும் என முன்பே அறிய இயலாது. இச்சோதனையின் கூறுவெளி \(S = \{H, TH, TTH, TTTH, \dots\}\) என்ற முடிவுறா கணம் ஆகும்.

(ii) தொடர்வண்டிப் பயணச்சீட்டு வழங்கும் இடத்தில் காத்திருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கைக்குத் தொடர்புடைய கூறுவெளியானது \(S = \{0,1,2,\dots\}\).

(3) (i) சமவாய்ப்பு முறையில் 0-க்கும் 1-க்கும் இடையில் ஒரு எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்க அமையும் சோதனையின் கூறுவெளி \(S = \{x: 0 < x < 1\}\).

(ii) ஒரு மின் விளக்கின் ஆயுள் காலத்தைக் காட்டும் (t மணிநேரத்தில்) நிகழ்ச்சியின் கூறுவெளி \(S = \{ t: 0 < t < 1000\}\).

எடுத்துக்காட்டு (2) மற்றும் (3) ல் அமைந்துள்ள இரு வகையான முடிவுறா கணங்களை வேறுபடுத்தும்போது, அதில் ஒன்று மற்றொன்றைவிடக் குறிப்பிடத்தக்க அதிக உறுப்புகளைப் பெற்றுள்ளது என அறியலாம். குறிப்பாக (2) ல் உள்ள கூறுவெளி S-ல் உள்ள உறுப்புகள் எண்ணிடத்தக்கவை. ஆனால் (3) ல் உள்ள கூறுவெளியின் உறுப்புகள் எண்ணிடத்தக்கதல்ல. எண்ணிடத்தக்க மற்றும் முடிவற்ற (countably infinite) கணங்களின் உறுப்புகளைப் பட்டியலிட்டு அவைகளை இயல் எண்கள் கணம் \(\mathbb{N}\)-டன் ஒன்றுக் கொன்று தொடர்புபடுத்தலாம். ஆனால் எண்ணிடத்தக்க இயலாத கணங்களை இவ்வாறு தொடர்புபடுத்த இயலாத.

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் ஒரு கூறுவெளியில் உள்ள உறுப்புகள் எண்ணிடத்தக்கவையாக அல்லது எண்ணிடத்தக்கவை அல்லாதவையாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது.

12.3 முடிவுறு கூறுவெளி (Finite Sample Space)#

இப்பகுதியில் முடிவுறு கூறுப்புள்ளிகள் உடைய கூறுவெளிகளை மட்டுமே காண்போம்.

நிகழ்ச்சிகளின் வகைகள்#

இந்தப் பாட பகுதியில் நாம் அடிக்கடிப் பயன்படுத்தக்கூடிய சில முக்கிய நிகழ்ச்சிகளை (Events) வரையறுப்போம்.

• நிச்சயம் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சி (Sure event or certain event)

• இயலா நிகழ்ச்சி (Impossible event)

• நிரப்பி நிகழ்ச்சி (Complementary event)

• ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி (Mutually exclusive events)

• ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சி (Mutually inclusive event)

• யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் (Exhaustive events)

• சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் (Equally likely events)

• சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் (Independent events) (நிகழ்தகவு கொள்கைகளைப் பற்றி அறிந்த பின் வரையறுக்கப்படும்)

வரையறை 12.6

கூறுவெளியானது முடிவுறு உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் அதன் ஒவ்வொரு உட்கணமும் ஒரு நிகழ்ச்சியாகும். அதாவது கூறுவெளியின் அடுக்குக்கணம் \(\mathcal{P}(S)\) -இல் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிகழ்ச்சியாகும். ஒரு நிகழ்வானது கூறுபுள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். இந்நிலையில் \(S\) ஆனது உறுதியான அல்லது நிச்சயம் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சி என அழைக்கப்படும். \(S\)-இல் உள்ள வெற்றுக் கணம் \(\emptyset\) ஆனது இயலா நிகழ்ச்சி என அழைக்கப்படும்.

வரையறை 12.7

ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சி \(A\)-உடன் \(\overline{A}\) என்ற மற்றொரு நிகழ்ச்சியைத் தொடர்புபடுத்தலாம். \(\overline{A}\) என்பது \(A\)-ன் நிரப்பியாகும். நிகழ்ச்சி \(\overline{A}\)-ஐ, \(A\) இல்லா நிகழ்ச்சி எனவும் அழைக்கலாம்.

விளக்கம் எடுத்துக்காட்டு 12.2#

கூறுவெளி \(S = \{1,2,3,4\}\) -ன் எல்லா உட்கணங்களின் (\(S\)-ன் அடுக்குக்கணம்) கணம்,

(i) \(\mathcal{P}(S)\)-ன் எல்லா உறுப்புகளும் ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சியாகும்.

(ii) \(\emptyset\) என்பது இயலா நிகழ்ச்சியாகும்.

(iii) \(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\) என்பவை சாதாரண நிகழ்ச்சிகளாகும்

(iv) \(\{1, 2,3,4\}\) என்பது நிச்சயம் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சி (Sure event or certain event) ஆகும்.

வரையறை 12.8

இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் நிகழக்கூடியவையல்ல எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் (Mutually exclusive events) ஆகும்.

\(A_1, A_2, A_3, \dots, A_k\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் (mutually exclusive) எனில் \(A_i \cap A_j = \emptyset\), \(i \neq j\)

வரையறை 12.9

இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் நிகழக்கூடியவை எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகள் (Mutually inclusive events) ஆகும். \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_k\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகள் எனில், \(A_i \cap A_j \neq \emptyset\), \(i \neq j\)

விளக்கம் எடுத்துக்காட்டு 12.3#

ஒரு பகடையை உருட்டும் போது கிடைக்கும் கூறுவெளியானது \(S = \{1,2,3,4,5,6\}\).

(i) \(\{1, 3\} \cap \{2, 4, 5, 6\} = \emptyset\), என்பதால் \(\{1,3\}\) மற்றும் \(\{2,4,5,6\}\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(ii) \(\{1,6\}, \{2,3,5\}\) ஆகியன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(iii) \(\{2,3,5\},\{5,6\}\) என்ற நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகளாகும் ஏனெனில் \(\{2, 3, 5\} \cap \{5, 6\} = \{5\} \neq \emptyset\)

வரையறை 12.10

\(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_k = S\) எனில் \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_k\) ஆகியவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் என அழைக்கப்படும்.

வரையறை 12.11

(i) \(A_i \cap A_j = \emptyset\), \(i \neq j\) (ii) \(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_k = S\) எனில் \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_k\) ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

விளக்கம் எடுத்துக்காட்டு 12.4#

ஒரு பகடையை உருட்டும் போது கிடைக்கும் கூறுவெளியானது, \(S = \{1,2,3,4,5,6\}\).

இக்கூறுவெளியில் \(\{2,3\}, \{1,3,5\}, \{4,6\}, \{6\}\) மற்றும் \(\{1,5\}\) என்பவை சில நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(i) \(\{2, 3\} \cup \{1, 3, 5\} \cup \{4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = S\) (கூறுவெளி), என்பதால் \(\{2,3\},\{1,3,5\},\{4,6\}\) ஆகியவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(ii) அதே போன்று \(\{2,3\},\{4,6\}\) மற்றும் \(\{1,5\}\) ஆகியவையும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

(iii) \(\{1,3,5\},\{4,6\},\{6\}\) மற்றும் \(\{1,5\}\) ஆகியவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் அல்ல. (ஏனெனில் \(\{1, 3, 5\} \cup \{4, 6\} \cup \{6\} \cup \{1, 5\} \neq S\)).

(iv) \(\{2,3\},\{4,6\}\), மற்றும் \(\{1,5\}\) ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும். ஏனெனில் \(\{2,3\} \cap \{4,6\} = \emptyset\), \(\{2,3\} \cap \{1,5\} = \emptyset\), \(\{4,6\} \cap \{1,5\} = \emptyset\) மற்றும் \(\{2, 3\} \cup \{4, 6\} \cup \{1, 5\} = S\).

வென்படங்களின் வாயிலாகப்படங்கள் நிகழ்ச்சிகளுடன் கூடிய கூறுவெளிகளைக் கண்டறிவது எளிது என்பதனைக் கீழ்க்காணும் படங்கள் விளக்குகிறது.

வரையறை 12.12

ஒவ்வொரு நிகழ்ச்சியும் நிகழும் வாய்ப்பினைச் சமமாக பெற்றிருப்பின் அவை சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் (Equally likely events) என அழைக்கப்படும்.

(i) சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிக்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: ஒரு சீரான பகடை உருட்டப்படுகிறது

(ii) சமவாய்ப்பில்லாத நிகழ்ச்சிகளுக்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: படத்தில் காட்டிய ஒரு நிறம் பூசப்பட்ட பகடை உருட்டப்படுகிறது

இதே போல் ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டி விடும் போது தலை அல்லது பூ விழும் நிகழ்ச்சிகள் சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகளாகும்.

கூறுவெளிகளைக் காணும் முறைகள்#

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.5#

(i) இரு நாணயங்களைச் சுண்டிவிடும் போது கிடைக்கும் கூறுவெளியானது

(ii) ஒரே சமயத்தில், ஒரு நாணயம் சுண்டப்படுகிறது மற்றும் ஒரு பகடை உருட்டப்படுகிறது எனில் கிடைக்கும் கூறுவெளியானது

அல்லது

நாணயம் மற்றும் பகடையால் கிடைக்கும் முடிவுகளை (outcomes) வரிசை மாற்றியும் கூறுவெளியை எழுதலாம். சில சமவாய்ப்பு சோதனைகளால் கிடைக்கும் கூறுவெளிகள் பின்வரும் அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது.

குறியீடுகள்#

\(A\) மற்றும் \(B\) என்பன இரு நிகழ்ச்சிகள் என்க.

(i) \(A \cup B\) என்பது \(A\) அல்லது \(B\) அல்லது இரண்டும் நிகழ்வது

(ii) \(A \cap B\) என்பது \(A\) மற்றும் \(B\) ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வது. \(A \cap B\) என்பதை \(AB\) எனவும் குறிப்பிடலாம்.

(iii) \(\overline{A}\) அல்லது \(A'\) என்பது \(A\) நிகழாமையைக் குறிக்கிறது.

(iv) \((A \cap \overline{B})\) என்பது \(A\) மட்டும் நிகழ்வதைக் குறிக்கிறது.

12.4 நிகழ்தகவு (Probability)#

12.4.1 நிகழ்தகவின் பழமையான (முன்னற் நிகழ்தகவு) வரையறை (பெர்னௌலியின் சமவாய்ப்புக் கொள்கை) (Classical definition (A priori of probability (Bernoulli’s principle of equally likely))#

முன்வகுப்பில் நிகழ்தகவின் வரையறையைப் பயன்படுத்திக் கணிதத்தில் தீர்வு கண்டோம். இங்கு நிகழ்தகவின் அடிப்படைக் கொள்கைகளின் அனுகுமுறையைப் பற்றி அறிவோம் (பின் நிகழ்தகவு).

பழமையான கொள்கைகளின் கீழ் வரும் அடிப்படைக் கொள்கையில் எதேச்சையான தோதனையின் விளைவுகள் சமவாய்ப்பில் இருக்கும். ஒரு சோதனையில் யாவுமளாவிய மற்றும் ஒன்றையொன்று விலக்கிய சமவாய்ப்புள்ள முடிவுகள் \(n\) எண்ணிக்கையிலும், அவற்றில் \(m\) எண்ணிக்கையுள்ள முடிவுகள் \(A\)-விற்கு சாதகமாகவும் இருப்பின் \(A\)-யினுடைய நிகழ்தகவு \(\frac{m}{n}\) ஆகும். அதாவது, \(P(A) = \frac{m}{n}\).

வரையறை 12.13

ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனையின் கூறுவெளி \(S\) எனவும் அதன் ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சி \(A\) எனவும் கொள்க. \(S\) மற்றும் \(A\) -லுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை முறையே \(n(S)\) மற்றும் \(n(A)\) எனில் \(A\)-ன் நிகழ்தகவு,

ஒவ்வொரு நிகழ்தகவியல் மாதிரிகளை உள்ளடக்கிய செயல்முறை பின்வரும் படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளன.

நிகழ்தகவின் பழமையான வரையறையானது முடிவுறு எண்ணிக்கையுள்ள சாத்தியமான முடிவுகள் (outcomes) கொண்ட சோதனைகளுக்கு மட்டும் பயன்படும் வகையில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் இவ்வரையறையின் மூலம், சோதனைகளின் சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகளுடன் தொடர்புடைய மற்றும் சேர்ப்பியலை (combinatorial) முதன்மையாகக் கொண்ட கணக்கீடுகளை மட்டுமே தீர்க்கக் கூடியதாக அமைந்துள்ளது. ‘தலை விழும்வரை நாணயத்தை சுண்டுதல்’ போன்ற சில முக்கிய சமவாய்ப்புச் சோதனைகளின் நிகழ்ச்சிகளின் (events) கணம் ஒரு முடிவுறா கணத்தை உருவாக்குவதால் இவ்வரையறையைப் பயன்படுத்த இயலாது.

நிகழ்தகவின் வழக்கமான வரையறைகளின் இத்தகைய வரம்புகள், நிகழ்தகவின் நவீன வரையறையின் பரிணாம வளர்ச்சிக்கு வழிவகுத்தது.

ரஷ்யக் கணிதவியலாளரான ஆண்ட்ரே நிக்கோலவிச் கொல்மோகோரோவ் நவீன நிகழ்தகவு கொள்கைக்கு அடித்தளம் அமைத்தார். அவர் ரிச்சர்ட் ஃபான் மைசஸ் அறிமுகப்படுத்திய கூறுவெளியை அளவை இயலுடன் (measure theory) இணைத்து 1933-ல் நிகழ்தகவு அடிப்படைக் கொள்கையை அறிமுகப்படுத்தினார். நவீன நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டினைத் தர்க்க ரீதியாக உருவாக்க இவருடைய நிகழ்தகவுக் கொள்கையே அடிப்படையாக அமைந்தது.

12.4.2 நிகழ்தகவின் அடிப்படைக் கொள்கைகள் (Axioms of probability)#

\(S\) என்பது ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையின் முடிவுற்ற கூறுவெளி. \(\mathcal{P}(S)\) என்பது நிகழ்ச்சிகளின் தொகுப்பு எனவும், \(P\) என்பது \(\mathcal{P}(S)\)-ல் வரையறுக்கப்படும் மெய்மதிப்புடைய சார்பு எனவும் கொள்க. \(P(A)\) என்பது கீழ்க்காணும் கொள்கைகளை நிறைவு செய்தால், \(A\)-வின் நிகழ்தகவு \(P(A)\) என அழைக்கப்படுகிறது.

• [P1] ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சி \(A\)-க்கு \(P(A) \geq 0\) (குறையற்ற எண் கொள்கை) (Non-negativity axiom)
• [P2] ஒன்றையொன்று விலக்கும் ஏதேனும் இரு நிகழ்ச்சிகள் \(A\) மற்றும் \(B\) -க்கு \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (கூட்டல் கொள்கை) (Additivity axiom)
• [P3] நிச்சய நிகழ்ச்சிக்கு, \(P(S) = 1\) (சமப்படுத்துதல் கொள்கை) (Normalization axiom)

குறிப்பு 12.1

(i) \(0 \leq P(A) \leq 1\)

(ii) \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_n\) என்பவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனில்,

முடிவுறு கூறுவெளிகள் உடைய நிகழ்தகவிற்கான சில தேற்றங்கள் (நிரூபணமின்றி)#

கூறுவெளியிலுள்ள நிகழ்ச்சிகள் சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் எனில், தேற்றம் 12.1-யைப் பயன்படுத்தலாம். அவ்வாறில்லையெனில் தேற்றம் 12.2 -யைப் பயன்படுத்தலாம்.

தேற்றம் 12.1

\(S\) என்ற கூறுவெளியின் ஏதேனும் ஒரு உட்கணம் \(A\) என்க. \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) எனில் \(P(A)\) என்பது \([P1], [P2]\) மற்றும் \([P3]\) என்ற நிகழ்தகவுக் கொள்கைகளை நிறைவு செய்யும்.

தேற்றம் 12.2

\(S = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\}\) என்பது ஒரு முடிவுறு கூறுவெளி என்க. கூறுவெளி \(S\)-ல் உள்ள ஒவ்வொரு கூறுப்புள்ளி \(a_i\)-க்கும் \(p_i\) என்ற மெய் எண்ணுடன் தொடர்புபடுத்தி, பின்வரும் பண்புகளை

(i) ஒவ்வொரு \(p_i \geq 0\).

(ii) \(\sum p_i = p_1 + p_2 + p_3 + \dots + p_n = 1\)

நிறைவு செய்தால் \(p_i\) என்பது \(a_i\)-ன் நிகழ்தகவு என அழைக்கப்படும்.

\(A\) என்ற நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவு \(P(A)\) ஆனது \(A\)-ன் கூறுபுள்ளிகளின் நிகழ்தகவு கூடுதல் என வரையறுக்கப்பட்டால், \(P(A)\) என்ற சார்பானது [P1], [P2], மற்றும் [P3] என்ற நிகழ்தகவு கொள்கைகளை நிறைவு செய்யும்.

குறிப்பு: சில சமயங்களில் முடிவுறு கூறுவெளியிலுள்ள கூறுபுள்ளிகளையும் அதற்குரிய நிகழ்தகவுகளையும் பின்வருமாறு அட்டவணைப்படுத்தலாம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.6#

(1) \(S = \{1,2,3\}\) என்க. \(\mathcal{P}(S)\) என்பது \(S\)-ன் அடுக்குக்கணம் மற்றும் \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\). \(P(\{1\}) = \frac{1}{3}, P(\{2\}) = \frac{1}{3},\\) மற்றும் \(P(\{3\}) = \frac{1}{3}\), ஆகியவை நிகழ்தகவின் அடிப்படை கொள்கைகள் [P1], [P2] மற்றும் [P3]-ஐ நிறைவு செய்யும். இங்குச் சோதனையின் எல்லா முடிவுகளும் சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

(2) \(S = \{1,2,3\}\) என்க. \(\mathcal{P}(S)\) என்பது \(S\)-ன் அடுக்குக்கணம் ஆகும். \(A\) எனும் நிகழ்ச்சியில் உள்ள உறுப்புகளின் நிகழ்தகவின் கூடுதல், நிகழ்தகவு \(P(A)\) என வரையறுக்கப்பட்டால் \(P(\{1\}) = \frac{1}{2}, P(\{2\}) = \frac{1}{4}, P(\{3\}) = \frac{1}{4}\), ஆகியவை நிகழ்தகவின் அடிப்படை கொள்கைகள் [P1], [P2] மற்றும் [P3]-ஐ நிறைவு செய்யும்.

(3) \(S = \{1,2,3\}\) மற்றும் \(\mathcal{P}(S)\) என்பது \(S\)-ன் அடுக்குக்கணம் ஆகும். \(A\) எனும் நிகழ்ச்சியில் உள்ள உறுப்புகளின் நிகழ்தகவின் கூடுதல், நிகழ்தகவு \(P(A)\) என வரையறுக்கப்பட்டால் \(P(\{1\}) = 0, P(\{2\}) = \frac{1}{\sqrt{2}}, P(\{3\}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\), ஆகியவை நிகழ்தகவின் அடிப்படை கொள்கைகள் [P1], [P2] மற்றும் [P3]-ஐ நிறைவு செய்யும்.

(2) மற்றும் (3)-ல் சோதனையின் முடிவுகள் சமவாய்ப்பு நிகழ்ச்சிகள் அல்ல.

குறிப்பு 12.2

நிகழ்தகவின் மதிப்புகள் விகிதமுறா எண்களாகவும் இருக்கலாம்.

வகுப்பறைச் செயல்பாடு

ஒவ்வொரு மாணவரும் ஒரு நாணயத்தை 10 முறை சுண்ட வேண்டும்.

\(p = \frac{\text{கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை}}{10}\) எனக் கணக்கிடுக.

அனைத்து மாணவர்களும் நாணயத்தை சுண்டும்போது கிடைக்கக்கூடிய தலைகளின் மொத்த எண்ணிக்கையின் விகிதம் காண்க. நாணயத்தைச் சுண்டும் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது \(p \to \frac{1}{2}\) என அறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 12.1#

(1) ஒரு சோதனையில் \(A, B, C\) என்ற மூன்று நிகழ்ச்சிகள் மட்டுமே உள்ளன. ஒவ்வொரு வழக்கிலும் கீழ்க்காணும் நிகழ்தகவுகள் அனுமதிக்கப்படுமா?

(i) \(P(A) = \frac{4}{7}, P(B) = \frac{1}{7}, P(C) = \frac{2}{7}\).

(ii) \(P(A) = \frac{2}{5}, P(B) = \frac{1}{5}, P(C) = \frac{3}{5}\).

(iii) \(P(A) = 0.3, P(B) = 0.9, P(C) = -0.2\).

(iv) \(P(A) = \frac{1}{\sqrt{3}}, P(B) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}, P(C) = 0\).

(v) \(P(A) = 0.421, P(B) = 0.527, P(C) = 0.042\).

தீர்வு

\(A, B, C\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் என்பதால் அவை யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும். எனவே \(S = A \cup B \cup C\) மற்றும் \(P(A) + P(B) + P(C) = 1\).

(i) \(P(A) + P(B) + P(C) = \frac{4}{7} + \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = 1\) மற்றும் ஒவ்வொரு நிகழ்தகவும் \( \geq 0\). எனவே அனுமதிக்கப்படும்.

(ii) \(P(A) + P(B) + P(C) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{6}{5} > 1\). எனவே அனுமதிக்கப்படாது.

(iii) \(P(C) = -0.2 < 0\). எனவே அனுமதிக்கப்படாது.

(iv) ஒவ்வொரு நிகழ்தகவும் \( \geq 0\) மற்றும் \(P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 0 = 1\). எனவே அனுமதிக்கப்படும்.

(v) \(P(A) + P(B) + P(C) = 0.421 + 0.527 + 0.042 = 0.99 \neq 1\). எனவே அனுமதிக்கப்படாது.

எடுத்துக்காட்டு 12.2#

முதல் 10 மிகை முழு எண்களில் இருந்து ஒரு எண் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அந்த எண் (i) இரட்டைப்படை (ii) மூன்றின் மடங்காக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

கூறுவெளி \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\), \(n(S) = 10\)

\(A\) என்பது இரட்டைப்படை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(B\) என்பது மூன்றின் மடங்கு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

எடுத்துக்காட்டு 12.3#

மூன்று நாணயங்கள் ஒரே சமயத்தில் சுண்டப்படுகின்றன. (i) சரியாக ஒரு தலை (ii) குறைந்தது ஒரு தலை (iii) அதிகபட்சமாக ஒரு தலை கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

தீர்வு

மூன்று நாணயங்களை ஒரு முறை சுண்டுவதும் ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டுவதும் ஒன்றே என்பதைக் கவனிக்கவும்.

கூறுவெளி \(S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}\), \(n(S) = 8\)

\(A\) என்பது ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி, \(B\) என்பது குறைந்தபட்சம் ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி மற்றும் \(C\) என்பது அதிகபட்சமாக ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி என்க.

எனவே தேவையான நிகழ்தகவுகள்

குறிப்பு 12.3

கூறுவெளியில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் சிறிய அளவில் இருந்தால் கூறுவெளியின் உறுப்புகளை விரல் விட்டு எண்ணிவிடலாம். ஆனால் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மிக அதிக அளவில் இருந்தால் சேர்ப்பியல் (Combinatorics) முறையைப் பயன்படுத்திக் கூறுவெளியில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 12.4#

பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படுகின்றன (i) சரியாக இரு தலைகள் (ii) அதிகபட்சமாக இரண்டு தலைகள் (iii) குறைந்தது இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவினைக் காண்க.

தீர்வு

ஒரே நேரத்தில் பத்து நாணயங்களைச் சுண்டுவதும், ஒரு நாணயத்தைப் பத்து முறை சுண்டுவதும் ஒரே கூறுவெளியைக் கொடுக்கும்.

\(S\) என்பது கூறுவெளி என்க.

\(A\) என்பது சரியாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி

\(B\) என்பது அதிகபட்சமாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி மற்றும்

\(C\) என்பது குறைந்தபட்சம் இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.

பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படும்போது கூறுவெளியின் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^n = 2^{10} = 1024\)

தேவையான நிகழ்தகவுகள்

எடுத்துக்காட்டு 12.5#

ஒரு சீரான பகடையை ஒரு முறை உருட்டி விடும்போது (i) இரட்டைப்படை எண் (ii) மூன்றின் மடங்காக கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

\(S\) என்பது கூறுவெளி, \(A\) என்பது இரட்டைப்படை எண் மற்றும் \(B\) என்பது மூன்றின் மடங்காகக் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.

தேவையான நிகழ்தகவுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 12.6#

ஒரு சோடிப் பகடைகளை உருட்டி விடும்போது அவற்றின் கூட்டுத் தொகை (i) 7 (ii) 7 அல்லது 9 (iii) 7 அல்லது 12 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

கூறுவெளி \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \times \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

நிகழக்கூடிய மொத்த நிகழ்ச்சிகள் \(= 6^2 = 36 = n(S)\)

\(A\) என்பது கூடுதல் 7 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி, \(B\) என்பது கூடுதல் 9 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி மற்றும் \(C\) என்பது கூடுதல் 12 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

(i) \(P(\text{கூடுதல் 7 கிடைக்க}) = P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)

(ii) \(P(\text{7 அல்லது 9 கிடைக்க}) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (A மற்றும் B ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள், \(A \cap B = \emptyset\))

(iii) \(P(\text{7 அல்லது 12 கிடைக்க}) = P(A \cup C) = P(A) + P(C)\) (A மற்றும் C ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள்)

எடுத்துக்காட்டு 12.7#

நடப்பு ஆண்டுக்கான FIDE சதுரங்கப் போட்டியில் (World Chess Federation) கோப்பையை வெல்ல, \(X, Y\) மற்றும் \(Z\) என்ற மூன்று நபர்கள் போட்டியிடுகின்றனர். \(X\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பு \(Y\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3 மடங்காக இருக்கும். \(Y\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பு \(Z\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 2 மடங்காக இருக்கும் எனில் ஒவ்வொருவரும் கோப்பையை வெல்வதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

நடப்பு ஆண்டுக்கான FIDE கோப்பையை \(X, Y\) மற்றும் \(Z\) வெற்றி பெறும் நிகழ்ச்சிகளை \(A, B\) மற்றும் \(C\) என்க. \(X\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பு \(Y\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3 மடங்காக இருக்கும். எனவே \(A : B : : 3 : 1\) … (1)

\(Y\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பு \(Z\)-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 2 மடங்காக இருக்கும். எனவே \(B : C : : 2 : 1\) … (2)

(1) மற்றும் (2)-லிருந்து \(A : B : C : : 6 : 2 : 1\)

\(A = 6k\), \(B = 2k\), \(C = k\), இங்கு \(k\) என்பது ஒரு விகித மாறிலி ஆகும்.

கோப்பையை \(X\) வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{6k}{9k} = \frac{2}{3}\)

கோப்பையை \(Y\) வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு \(P(B) = \frac{2k}{9k} = \frac{2}{9}\)

கோப்பையை \(Z\) வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு \(P(C) = \frac{k}{9k} = \frac{1}{9}\).

எடுத்துக்காட்டு 12.8#

மூன்று வெவ்வேறு நபர்களுக்கு மூன்று கடிதங்கள் எழுதப்பட்டு மூன்று உறைகளில் வைக்கப்பட்டு அவர்களுக்கான விலாசமும் எழுதப்பட்டுள்ளன. முகவரியைப் பார்க்காமலே கடிதங்களை உறையிலிடும்போது (i) ஒரு கடிதம் சரியான உறையிலிட (ii) எல்லாக கடிதங்களுமே தவறாக உறையிலிட நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

தீர்வு

\(A, B\) மற்றும் \(C\) என்பவை உறைகளைக் குறிக்கும் என்க. \(1, 2\) மற்றும் \(3\) ஆனது முறையே \(A, B\) மற்றும் \(C\)-க்கான கடிதங்களைக் குறிக்கும் என்க.

கடிதங்களை உறைகளில் இடுவதற்கான எல்லா சாத்தியக் கூறுகளும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

\(S = \{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6\}\), \(n(S) = 6\)

\(X\) என்பது ஒரு கடிதம் மட்டும் சரியான உறையிலிடும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(Y\) என்பது மூன்று கடிதங்களுமே தவறாக உறையிலிடுவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.

எடுத்துக்காட்டு 12.9#

\(M = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 1 \end{bmatrix}\) என்ற அணியில் \(x, y, z\) ஆகிய மூன்றும் \(\{1, 2, 3\}\) என்ற கணத்திலிருந்து சமவாய்ப்பு முறையில் (மீண்டும் வர) தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன எனில், \(M\) என்ற அணி பூச்சிய கோவை அணியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவினைக் காண்க.

தீர்வு

\(M\) என்பது பூச்சிய கோவை அணி எனில், \(\begin{vmatrix} x & y \\ z & 1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow x - yz = 0\).

செய்ய வேண்டிய வாய்ப்புகளுக்கான கணம்,

සාධනීය வழிகளின் எண்ணிக்கை \(n(A) = 5\)

மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை \(n(S) = 3^3 = 27\)

தேவையான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{27}\).

எடுத்துக்காட்டு 12.10#

ஒரு விளையாட்டுப் போட்டியில் வெற்றி பெறுபவர் ஏறும் வெற்றி மேடையானது படத்தில் உள்ளவாறு மூன்று நிலைகளாக அடைக்கப்பட்டுள்ளன. சிவப்பு வர்ணம் உட்பட ஆறு வர்ணங்களைக் கொண்டு மூன்று நிலைகளுக்கும் வெவ்வேறான வர்ணங்கள் பூச வேண்டும். சிறிய நிலை மேடைக்கு (3வது நிலை) சிவப்பு வர்ணம் பூசப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு

\(S\) என்பது கூறுவெளி என்க.

\(A\) என்பது சிறிய நிலை (3 வது நிலை) சிவப்பு வர்ணம் பூசப்படும் நிகழ்ச்சி என்க.

12.4.3 சாதக மற்றும் சாதகமற்ற விகிதங்கள் (Odds)#

புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றில் விகிதங்கள் என்ற சொல் அதிக அளவில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு நிகழ்ச்சியில் \(A\)-க்குச் சாதக மற்றும் அதற்குப் பாதகமாக உள்ள நிகழ்வினைத் தொடர்புபடுத்துவது விகிதமாகும். ‘\(a\)’ என்பது ஒரு நிகழ்ச்சி எத்தனை வழிகளில் நிகழ்கிறது மற்றும் ‘\(b\)’ என்பது அதே நிகழ்ச்சி எத்தனை வழிகளில் நடக்க இயலாது என்பதையும் குறிக்கிறது என்க.

\(A\) என்ற நிகழ்வில் \(A\) நிகழ்வதற்குச் சாதகமான விகிதம் \(a : b\) மற்றும்

மேலும் ஒரு நிகழ்ச்சி நிகழ்வதற்குச் சாதகமான விகிதம் \(a : b\) என்பதை அந்நிகழ்ச்சிக்குப் பாதகமான விகிதம் \(b : a\) என எழுதலாம். ஒரு நிகழ்ச்சி நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு \(p\) எனில், \(p\) க்கு சாதகமான விகிதம் \(1-p\) ஆகும் மற்றும் \(1-p\)-க்குப் பாதகமான விகிதம் \(p\) ஆகும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.7#

(i) ஒரு பகடை ஒரு முறை உருட்டப்படுகிறது. கூறுவெளியை \(S\) என்க. \(A\) என்பது 5 விழும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(A\)-க்கு சாதகமான விகிதமானது \(1:5\) அல்லது \(\frac{1}{5}\), \(A\)-க்கு சாதகமற்ற விகிதம் \(5:1\) அல்லது \(\frac{5}{1}\),

(ii) \(B\) என்ற நிகழ்ச்சிக்குச் சாதகமான விகிதம் \(3:5\), எனில் \(P(B) = \frac{3}{8}\)

(iii) \(C\) என்ற நிகழ்ச்சிக்குச் சாதகமற்ற விகிதம் \(4:11\), எனில் \(P(C) = \frac{11}{15}\)

எடுத்துக்காட்டு 12.11#

இரண்டு பத்து ரூபாய் தாள்கள், 4 நூறு ரூபாய் தாள்கள் மற்றும் 6 ஐநூறு ரூபாய் தாள்கள் ஆகியவற்றை ஒருவர் தனது பேட்டியில் வைத்துள்ளார். சமவாய்ப்பு முறையில் 2 தாள்கள் எடுக்கப்படுகின்றன. அவ்விரண்டு தாள்கள் நூறு ரூபாய் தாள்களாக இருப்பதற்குச் சாதக விகிதம் மற்றும் அதன் நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு

\(S\) என்பது கூறுவெளி என்க.

\(A\) என்பது 2 நூறு ரூபாய்த் தாள்களை எடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(A\)-விற்கு சாதகமான விகிதம் \(6:60\) அதாவது \(A\) விற்கு சாதகமான விகிதம் \(1:10\), மற்றும் \(P(A) = \frac{1}{11}\).

பயிற்சி 12.1#

(1) பின்வரும் ஒன்றையொன்று விலக்கிய \(A, B, C\) மற்றும் \(D\) என்ற நான்கு நிகழ்ச்சிகளை மட்டும் கொண்ட ஒரு சோதனையின் நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவுகள் சாத்தியமானவையா எனத் தீர்மானிக்கவும்.

(i) \(P(A) = 0.15, P(B) = 0.30, P(C) = 0.43, P(D) = 0.12\)

(ii) \(P(A) = 0.22, P(B) = 0.38, P(C) = 0.16, P(D) = 0.34\)

(iii) \(P(A) = \frac{2}{5}, P(B) = \frac{3}{5}, P(C) = -\frac{1}{5}, P(D) = \frac{1}{5}\)

(2) இரண்டு நாணயங்கள் ஒரே சமயத்தில் சுண்டப்படுகின்றன. (i) ஒரு தலை மற்றும் ஒரு பூ (ii) அதிகபட்சமாக இரு பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

(3) ஒரு பெட்டியில் 5 மாம்பழங்களும் 4 ஆப்பிள் பழங்களும் உள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் இரண்டு பழங்கள் எடுக்கப்பட்டால் (i) ஒரு மாம்பழமும் ஒரு ஆப்பிள் பழமும் (ii) இரண்டும் ஒரே வகையைச் சார்ந்ததாகவும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

(4) (i) ஒரு சாதாரண வருடத்தில் (ii) ஒரு லீப் வருடத்தில் 53 ஞாயிற்றுக் கிழமைகள் வருவதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

(5) எட்டு நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டப்படுகின்றன. (i) சரியாக இரண்டு பூக்கள் (ii) குறைந்தபட்சம் இரண்டு பூக்கள் (iii) அதிகபட்சமாக இரண்டு பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

(6) முதல் 100 மிகை முழுக்களிலிருந்து ஒரு எண் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அது ஒரு பகா எண் அல்லது 8-இன் மடங்காக இருக்க நிகழ்தகவு யாது?

(7) ஒரு பையில் 7 சிவப்பு மற்றும் 4 கருப்பு நிறப் பந்துகளும் உள்ளன. 3 பந்துகள் சமவாய்ப்பு முறையில் எடுக்கப்பட்டால் (i) எல்லாப் பந்துகளும் சிவப்பு நிறப் பந்துகள் (ii) ஒரு சிவப்பு மற்றும் இரண்டு கருப்புநிறப் பந்துகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

(8) ஒரு கிரிக்கெட் சங்கத்தில் 16 உறுப்பினர்கள் உள்ளனர். அவர்களில் 5 பேர் மட்டுமே பந்து வீச்சு திறம் படைத்தவர்கள். இவர்களுள் 11 பேர் கொண்ட ஒரு குழுவில் குறைந்தது 3 பந்து வீச்சாளர்களாவது இடம் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.

(9) (i) ஒரு நிகழ்ச்சி \(A\) நிகழ சாதக விகிதம் 5 க்கு 7 எனில் \(P(A)\)-ஐ காண்க. (ii) \(P(B) = \frac{2}{5}\) எனில் நிகழ்ச்சி \(B\) நிகழ சாதக விகிதத்தைக் காண்க.

12.5 நிகழ்தகவின் சில அடிப்படைத் தேற்றங்கள்#

இதுவரை தீர்க்கப்பட்ட கணக்குகள் யாவும் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளுடன் தொடர்புடையவை. அதாவது \(P(A \text{ அல்லது } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) என்ற சூத்திரம் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஆனால் நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிகள் எனில் \((A \cap B)\) இருமுறை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கா நிகழ்ச்சிக்குத் தனிச் சூத்திரம் உள்ளது.

நிகழ்தகவியலில் உள்ள எல்லாச் தேற்றங்களும் நேரடியாகவோ அல்லது மறைமுகமாகவோ, நிகழ்தகவின் அடிப்படைக் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தித் தருவிக்கப்படுகின்றன. நிகழ்தகவின் சில அடிப்படைத் தேற்றங்களை இங்கு தருவிப்போம்.

தேற்றம் 12.3

நடக்க இயலா நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவு பூச்சியம் ஆகும். அதாவது,

நிரூபணம்

நடக்கவியலா நிகழ்ச்சியில் கூறுபுள்ளி கிடையாது. எனவே, \(S \cup \emptyset = S\)

எடுத்துக்காட்டு 12.12#

ஒரு பகடையை உருட்டி விடும்போது 7 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

7 கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி நடக்கவியலா நிகழ்ச்சி ஆகும். எனவே \(P(\text{7 கிடைக்க}) = 0\).

தேற்றம் 12.4

\(\overline{A}\) என்பது \(A\) என்ற நிகழ்வின் நிரப்பியானால்,

நிரூபணம்

\(S\) என்பது கூறுவெளி எனில்

\(P(A) + P(\overline{A}) = P(S)\) (ஏனெனில் \(A\) மற்றும் \(\overline{A}\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் தன்மையுடையதால்) \(= 1\)

எடுத்துக்காட்டு 12.13#

ஒன்பது நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டப்படும்போது குறைந்தது இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

\(S\) என்பது கூறுவெளி என்க. \(A\) என்பது குறைந்தது இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. \(\overline{A}\) என்பது அதிகபட்சமாக ஒரு தலை கிடைக்கும் நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

தேற்றம் 12.5

\(A, B\) என்பன ஏதேனும் இரு நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் \(\overline{B}\) என்பது \(B\)-ன் நிரப்பியனில்

நிரூபணம்

படத்திலிருந்து தெளிவாக

தேற்றம் 12.6 (நிகழ்ச்சிகளின் கூட்டல் தேற்றம்)

\(A, B\) என்பன ஏதேனும் இரு நிகழ்ச்சிகள் எனில்

நிரூபணம்

படத்திலிருந்து,

எனவே \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

குறிப்பு 12.4

மேற்கண்ட தேற்றத்தை மூன்று நிகழ்ச்சிகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்.

(i) \(P(A \cup B \cup C) = \{P(A) + P(B) + P(C)\} - \{P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)\} + P(A \cap B \cap C)\)

(ii) \(P(A \cup B \cup C) = 1 - P(\overline{A \cup B \cup C}) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})\)

எடுத்துக்காட்டு 12.14#

\(P(A) = 0.52, P(B) = 0.43,\) மற்றும் \(P(A \cap B) = 0.24,\) எனில் (i) \(P(A \cap \overline{B})\) (ii) \(P(A \cup B)\) (iii) \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) (iv) \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\) காண்க.

தீர்வு

(i) \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.52 - 0.24 = 0.28\)

(ii) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.52 + 0.43 - 0.24 = 0.71\)

(iii) \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})\) (டி மார்கன் விதிப்படி) \(= 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.71 = 0.29\)

(iv) \(P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B})\) (டி மார்கன் விதிப்படி) \(= 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.24 = 0.76\)

எடுத்துக்காட்டு 12.15#

போட்டித் தேர்வுகளுக்கு தயாராகும் ஒரு பெண்ணிற்கு மாநில அரசுப் பணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.12, மற்றும் மத்திய அரசு வேலை கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.25, மற்றும் இரு பணிகளும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.07 எனில் (i) இரண்டில் ஒரு பணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு (ii) ஒரே ஒரு பணி மட்டுமே கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.

தீர்வு

\(I\) என்பது மாநில அரசு பணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. \(C\) என்பது மத்திய அரசு பணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.

(i) \(P(\text{இரண்டிலொரு பணி கிடைப்பதற்கான}) = P(I \cup C) = P(I) + P(C) - P(I \cap C) = 0.12 + 0.25 - 0.07 = 0.30\)

(ii) \(P(\text{ஒரே ஒரு பணி கிடைப்பதற்கான}) = P(I \text{ மட்டும் } \cup C \text{ மட்டும்})\)

பயிற்சி 12.2#

(1) \(A\) மற்றும் \(B\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள், \(P(A) = \frac{3}{8}\) மற்றும் \(P(B) = \frac{1}{8}\) எனில் (i) \(P(\overline{A})\) (ii) \(P(A \cup B)\) (iii) \(P(\overline{A} \cap B)\) (iv) \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\) காண்க.

(2) \(A\) மற்றும் \(B\) என்பன ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையின் நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் \(P(A) = 0.35, P(A \text{ அல்லது } B) = 0.85,\) மற்றும் \(P(A \text{ மற்றும் } B) = 0.15\) எனில் (i) \(P(B \text{ மட்டும்})\) (ii) \(P(\overline{B})\) (iii) \(P(A \text{ மட்டும்})\) காண்க.

(3) ஒரு பகடை இருமுறை உருட்டப்படுகிறது. ‘முதல் முறை வீசுவதில் 5 விழுவது’ நிகழ்ச்சி \(A\) எனவும் ‘இரண்டாவது முறை வீசுவதில் 5 விழுவது’ \(B\) எனக் கொண்டால் \(P(A \cup B)\)-ஐ காண்க.

(4) \(A\) என்ற நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவு 0.5, \(B\) என்ற நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவு 0.3, மற்றும் \(A\)-யும் \(B\)-யும் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி எனில் கீழ்க்காணும் நிகழ்தகவுகளைக் காண்க. (i) \(P(A \cup B)\) (ii) \(P(A \cap \overline{B})\) (iii) \(P(\overline{A} \cap B)\).

(5) ஒரு நகரத்தில் இரு தீயணைக்கும் வண்டிகள் தனித்தனியாகச் செயல்படும் வகையில் உள்ளன. ஒவ்வொரு தீயணைக்கும் வண்டி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.96. (i) தேவையான பொழுது தீயணைக்கும் வண்டி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? (ii) தேவையான பொழுது ஒரு தீயணைக்கும் வண்டியும் கிடைக்காமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

(6) ஒரு தொடர்வண்டி செயலும் புதிய பாலத்தின் அமைப்பிற்காக விருது கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.48, நேரத்தியான முறையில் மூலப்பொருட்களைப் பயன்படுத்தியதற்காக விருது கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.36 மற்றும் மேற்கண்ட இரு விருதுகளையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.2 எனில் (i) குறைந்தது ஒரு விருதாவது கிடைப்பதற்கு (ii) ஒரே ஒரு விருது மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் யாவை?

12.6 சார்புநிலை நிகழ்தகவு (நிபந்தனை நிகழ்தகவு) (Conditional Probability)#

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.8

சார்புநிலை நிகழ்தகவின் கருத்தாக்கத்தை அறிந்து கொள்ள முதலில் ஒரு எடுத்துக்காட்டைக் காண்போம்.

ஒரு சீரான பகடை உருட்டப்படுவதாகக் கொள்வோம். அதன் கூறுவெளி \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). இப்போது நாம் இரு வினாக்களை எழுப்புவோம்.

Q1 : பகடையில் 2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

Q2 : பகடையில் ஒற்றைப்படை எண் விழுந்திருப்பின், அது 2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

நிலை 1

2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சிகள் \(\{3, 5\}\).

\(P_1\) என்பது 2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்க

\(P_1 = \frac{n(3,5)}{n(1, 2, 3, 4, 5, 6)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

நிலை 2

இங்கு முதலில் கூறுவெளி \(S\)-ஐ ஒற்றைப்படை எண்கள் மட்டுமே கொண்ட ஒரு உட்கணத்திற்குக் கட்டுப்படுத்துகிறோம். அதாவது \(S_1 = \{1, 3, 5\}\) என்ற உட்கணத்திற்குக் கட்டுப்படுத்துகிறோம். மேலும் 2 -க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P_2\)

\(P_2 = \frac{n(3,5)}{n(1, 3, 5)} = \frac{2}{3}\)

மேற்கண்ட இரண்டு நிலைகளிலும் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றாக இருந்தாலும், அவற்றின் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சியின் முடிவுகள் வெவ்வேறாக இருக்கின்றன. நிலை இரண்டில் கூறுவெளி ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தப்பட்ட பிறகு நிகழ்தகவினைக் கண்டறிகிறோம். இத்தகைய நிகழ்தகவானது சார்பு நிலை நிகழ்தகவு எனப்படும்.

இச்சார்பு நிலை நிகழ்தகவானது கூறுவெளியைப் பயன்படுத்தி

முக்கிய குறிப்பு: நிகழ்தகவிற்கும் சார்புநிலை நிகழ்தகவிற்கும் கூறுவெளி ஒன்றேயாகும்.

வரையறை 12.14

நிகழ்ச்சி \(A\) ஏற்கனவே நிகழ்ந்துள்ள நிலையில் \(A\)-ன் நிபந்தனையில் \(B\)-ன் சார்புநிலை \(P(B/A)\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும்

என வரையறுக்கப்படுகிறது.

இதேபோல் \(P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 12.16#

\(P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A \cap B) = 0.2\) எனில் (i) \(P(A/B)\) (ii) \(P(\overline{A}/B)\) (iii) \(P(A/\overline{B})\) காண்க.

தீர்வு

(i) \(P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.5} = \frac{2}{5}\)

(ii) \(P(\overline{A}/B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.5 - 0.2}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = \frac{3}{5}\)

(iii) \(P(A/\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)} = \frac{0.6 - 0.2}{1 - 0.5} = \frac{0.4}{0.5} = \frac{4}{5}\)

குறிப்பு 12.5

எடுத்துக்காட்டு 12.17#

ஒரு பகடையை ஒரு முறை உருட்டும்போது ஒரு ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்கும் எனில் 5 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு

கூறுவெளி \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

\(A\) என்பது ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(B\) என்பது 5 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(P(\text{5 கிடைக்க / ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்க}) = P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3}\)

சார்புநிலை நிகழ்தகவினை மாற்றி எழுத நிகழ்தகவின் பெருக்கல் தேற்றம் கிடைக்கிறது.

தேற்றம் 12.7 (நிகழ்தகவின் பெருக்கல் தேற்றம்)

உடனிகழ்வுகளாக ஏற்படும் \(A, B\) என்னும் இரு நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவு

12.6.1 சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் (Independent events)#

நடைபெறுவதும் அல்லது நடைபெறாதுமான ஒரு நிகழ்ச்சியானது, நடைபெறும் அல்லது நடைபெறாதுமான மற்ற நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்காது எனில் இந்நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

வரையறை 12.15

\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) எனில் \(A, B\) என்ற இரு நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும். இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்.

குறிப்பு 12.6

(i) இந்த வரையறைக்குச் சமானமாகக் கீழ்க்காண்பனவற்றைக் கூறலாம்

(ii) \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_n\) என்பவை ஒன்றுக்கொன்று சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில்

தேற்றம் 12.8

\(A\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில்

(i) \(\overline{A}\) மற்றும் \(\overline{B}\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

(ii) \(A\) மற்றும் \(\overline{B}\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

(iii) \(\overline{A}\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

நிரூபணம்

(i) \(\overline{A}\) மற்றும் \(\overline{B}\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் என நிரூபிக்க, \(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\) (டி மார்கன் விதி) என்பதைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

எனவே \(\overline{A}\) மற்றும் \(\overline{B}\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும். இதேபோல் (ii) மற்றும் (iii) ஆகியவற்றையும் நிரூபிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 12.18#

40 அட்டைகளைக் கொண்ட ஒரு கட்டிலிருந்து (கீழே காட்டியவாறு) இரண்டு அட்டைகள் அடுத்தடுத்து எடுக்கப்படுகிறது.

18 மற்றும் 24 ஆகியவை கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

(i) முதலில் எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் கட்டில் வைக்கப்படுகிறது.

(ii) முதலில் எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் கட்டில் வைக்கப்படவில்லை.

தீர்வு

முதலில் எடுக்கப்பட்ட அட்டை 18 ஆக இருக்கும் நிகழ்வின் நிகழ்வினை \(A\) என்க. இரண்டாவதாக எடுக்கப்பட்ட அட்டை 24 ஆக இருக்கும் நிகழ்வினை \(B\) என்க.

நிலை (i)

எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் வைக்கப்படுகிறது.

\(n(A) = 2, n(B) = 2\) மற்றும் \(n(S) = 40\)

நிகழ்ச்சி \(A\) ஆனது \(B\)-ன் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்காது. ஆதலால் \(A\)-ம் \(B\)-ம் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

நிலை (ii)

எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் வைக்கப்படவில்லை.

முதல் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 40 அட்டைகளில் இரண்டு 18 அட்டைகள் இருக்கும். முதல் அட்டை மீண்டும் வைக்காமல் இரண்டாம் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 39 அட்டைகள் இருக்கும். எனவே முதலில் நடந்த நிகழ்ச்சி \(A\) ஆனது, பின் நடக்கும் நிகழ்ச்சி \(B\)-ன் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்கின்றது. ஆதலால் \(A, B\) நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் அல்ல. அவை ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த நிகழ்ச்சிகளாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.19#

ஒரு நாணயம் இருமுறை சுண்டிவிடப்படுகிறது. \(E\) என்பது முதல் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல், \(F\) என்பது இரண்டாம் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல் என வரையறுக்கப்பட்டால் பின்வரும் நிகழ்தகவினைக் காண்க.

(i) \(P(E \cup F)\)

(ii) \(P(E/F)\)

(iii) \(P(\overline{E}/F)\)

(iv) \(E\) மற்றும் \(F\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளா?

தீர்வு

கூறுவெளி \(S = \{H, T\} \times \{H, T\} = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}\)

(i) \(P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

(ii) \(P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/4}{2/4} = \frac{1}{2}\)

(iii) \(P(\overline{E}/F) = \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(F) - P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{2/4 - 1/4}{2/4} = \frac{1}{2}\)

(iv) \(P(E \cap F) = \frac{1}{4}, P(E) \cdot P(F) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). எனவே \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\). ஆதலால் \(E\) மற்றும் \(F\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

குறிப்பு 12.7

நிகழ்ச்சிகளின் சார்பிலாத் தன்மை நிகழ்தகவின் பண்புகளைக் கொண்டது. ஆனால் ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் கணங்களின் பண்புகளைக் கொண்டது. ஆகையால் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளை அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் மூலமும், ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளை அவற்றின் கணங்களாகக் கொண்டும் கண்டறியலாம்.

தேற்றம் 12.9

\(A\) மற்றும் \(B\) என்ற இரு நிகழ்ச்சிகளானவை \(P(A) \neq 0, P(B) \neq 0\) என இருப்பின்

(1) \(A\) மற்றும் \(B\) ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் எனில் அவை சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாக இருக்க இயலாது.

(2) \(A\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளாக இருக்க இயலாது (நிரூபணம் தேவையில்லை).

எடுத்துக்காட்டு 12.20#

\(A\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில் \(P(A) = 0.4\) மற்றும் \(P(A \cup B) = 0.9\). \(P(B)\) காண்க.

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 12.21#

வேகமாக ஊடுருவும் ஓர் எதிரி நாட்டு விமானத்தை ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கியின் உதவியால் அதிகபட்சமாக நான்கு முறை மட்டுமே சுட (பயன்படுத்த) முடியும். அந்த விமானத்தை முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் சுட்டு வீழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவுகள் முறையே 0.2, 0.4, 0.2 மற்றும் 0.1 எனில் அந்த விமானத்தைச் சுட்டு வீழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

\(H_1, H_2, H_3, H_4\) என்பன முறையே விமானத்தை முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்ச்சி என்க. \(H\) என்பது விமானத்தை துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்வாகும். எனவே, \(\overline{H}\) என்பது விமானத்தைத் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தாத நிகழ்ச்சியாகும்.

விமானம் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு

எடுத்துக்காட்டு 12.22#

\(X\) என்பவர் 70% தருணங்களில் உண்மையே பேசுவர். \(Y\) என்பவர் 90% தருணங்களில் உண்மையே பேசுவர் எனில் ஒரே கருத்தை இருவரும் கூறுகையில் ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைத் தெரிவிப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

தீர்வு

\(A\) என்பது \(X\) என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க. \(B\) என்பது \(Y\) என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க. \(C\) என்பது ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைக் கூறும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(\overline{A}\) என்பது \(X\) என்பவர் உண்மை பேசாமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. \(\overline{B}\) என்பது \(Y\) என்பவர் உண்மை பேசாமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து,

\((A \cap \overline{B})\) மற்றும் \((\overline{A} \cap B)\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி,

எடுத்துக்காட்டு 12.23#

ஒரு நகரத்தில் உள்ள பிரதான சாலையில் 4 குறுக்குச் சாலையுடன் போக்குவரத்து சமிக்கைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு போக்குவரத்துச் சமிக்கை திறப்பதற்கு அல்லது மூடுவதற்கான நிகழ்தகவு முறையே 0.4 மற்றும் 0.6 ஆகும்.

(i) முதல் குறுக்குச்சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.

(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.

(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.

(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.

தீர்வு

\(A_i\) என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்கை \(i\) வது குறுக்குச் சாலையில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. இங்கு \(i = 1, 2, 3, 4\).

\(B_i\) என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்கை \(i\) வது குறுக்குச் சாலையில் நின்று செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. இங்கு \(i = 1, 2, 3, 4\).

போக்குவரத்துச் சமிக்கைகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள். எனவே \(A_i\) மற்றும் \(B_i\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள், இங்கு \(i = 1, 2, 3, 4\).

(i) முதல் குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு,

(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு

(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு

(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு

பயிற்சி 12.3#

(1) இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாக இருக்க இயலுமா?

(2) \(A\) மற்றும் \(B\) என்ற இரு நிகழ்ச்சிகளுக்கு \(P(A \cup B) = 0.7, P(A \cap B) = 0.2\) மற்றும் \(P(B) = 0.5\) எனில் \(A\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனக் காட்டுக.

(3) \(A\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகவும் \(P(A \cup B) = 0.6, P(A) = 0.2\) எனில் \(P(B)\) காண்க.

(4) \(P(A) = 0.5, P(B) = 0.8\) மற்றும் \(P(B/A) = 0.8\) எனில் \(P(A/B)\) மற்றும் \(P(A \cup B)\) காண்க.

(5) \(A, B\) என்ற நிகழ்ச்சிகளுக்கு \(P(A) = \frac{3}{4}, P(B) = \frac{2}{5}\) மற்றும் \(A \cup B = S\) (கூறுவெளி) எனில் சார்பு நிலை நிகழ்தகவு \(P(A/B)\) காண்க.

(6) கணிதவியலில் ஒரு வினாவானது மூன்று மாணவர்களிடம் தீர்வு காண்பதற்காக கொடுக்கப்படுகிறது. அவர்கள் தனித்தனியே தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\) மற்றும் \(\frac{1}{5}\) (i) அந்த வினா தீர்வு கண்டதற்கான நிகழ்தகவு யாது? (ii) சரியாக ஒருவர் மட்டுமே அந்த வினாவிற்குத் தீர்வு காண்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

(7) பெட்ரோல் நிரப்பப்பட்ட ஒரு மகிழுந்துக்கு எண்ணெய் மாற்றத் தேவையான நிகழ்தகவு 0.30, எண்ணெய் வடிப்பான் மாற்றத் தேவையான நிகழ்தகவு 0.40, எண்ணெய் மற்றும் எண்ணெய் வடிப்பான் இரண்டையும் மாற்ற நிகழ்தகவு 0.15 ஆகும். (i) எண்ணெய் மாற்றப்பட வேண்டும் என்றால் ஒரு புதிய எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? (ii) புதிய எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்பட்டால், எண்ணெய் மாற்றப்பட வேண்டியதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

(8) ஒரு பையில் 5 வெள்ளை மற்றும் 3 கருப்பு நிறப் பந்துகள் உள்ளன. மற்றொரு பையில் 4 வெள்ளை மற்றும் 6 கருப்பு நிறப் பந்துகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு பையிலிருந்தும் ஒரு பந்து எடுக்கப்படுகிறது எனில் (i) இரண்டும் வெள்ளை நிறப் பந்துகள். (ii) இரண்டும் கருப்பு நிறப் பந்துகள். (iii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்புப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் காண்க.

(9) ஒரு வகுப்பில் \(\frac{2}{3}\) பங்கு மாணவர்களும், மீதம் மாணவியர்களும் உள்ளனர். ஒரு மாணவி முதல் தரத்தில் தேர்ச்சி பெற நிகழ்தகவு 0.85 மற்றும் மாணவர் முதல் தரத்தில் தேர்ச்சி பெற நிகழ்தகவு 0.70 ஆகும். சமவாய்ப்பு முறையில் ஒருவர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் அவர் முதல் தரத்தில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

(10) \(P(A) = 0.4\) மற்றும் \(P(A \cup B) = 0.7\) எனில், \(P(B)\)-ஐ கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டுக் காண்க. (i) \(A\) மற்றும் \(B\) ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள். (ii) \(A\) மற்றும் \(B\) சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள். (iii) \(P(A/B) = 0.4\) (iv) \(P(B/A) = 0.5\)

(11) சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு வருடம் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அது (i) 53 ஞாயிற்றுக் கிழமைகளைக் கொண்டதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது? (ii) 53 ஞாயிற்றுக் கிழமைகளைக் கொண்ட ஒரு லீப் வருடமாக கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

(12) ஒரு இலக்கை நோக்கிச் சுடும் போது 4 இல் 3 முறை X-ம், 5 இல் 4 முறை Y-ம், 3 இல் 2 முறை Z-ம் சரியாக இலக்கைச் சுடுகின்றனர். மூவரும் அந்த இலக்கைச் சுடும்போது சரியாக இருவர் மட்டுமே சுடுவதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

12.7 ஒரு நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு (Total Probability of an event)#

தேற்றம் 12.10 (ஒரு நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு)

\(A_1, A_2, A_3, \dots, A_n\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் \(B\) என்பது கூறுவெளி \(S\)-ல் உள்ள ஒரு நிகழ்ச்சி எனில் \(P(B)\) என்பது \(B\) நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்வு ஆகும்.

நிரூபணம்

\(B\) என்பது கூறுவெளி \(S\)-ல் உள்ள ஒரு நிகழ்ச்சி. படத்திலிருந்து

\(A_1, A_2, \dots, A_n\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் எனவே \((A_1 \cap B), (A_2 \cap B), \dots, (A_n \cap B)\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.24#

ஒரு ஜாடியில் 8 சிவப்பு மற்றும் 4 நீல நிறப் பந்துகள் உள்ளன. மற்றொரு ஜாடியில் 5 சிவப்பு மற்றும் 10 நீல நிறப் பந்துகள் உள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு ஜாடி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு அதிலிருந்து இரண்டு பந்துகள் எடுக்கப்படுகின்றன. இரு பந்துகளும் சிவப்பு நிறப் பந்துகளாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

\(A_1\) என்பது ஜாடி - I-ஐ தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. மற்றும் \(A_2\) என்பது ஜாடி - II-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

\(B\) என்பது இரண்டு சிவப்பு நிறப் பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. \(B\)-ன் கூட்டு நிகழ்தகவினை நாம் காண வேண்டும். அதாவது \(P(B)\).

\(A_1\) மற்றும் \(A_2\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய, யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 12.25#

ஒரு தொழிற்சாலையில் இயந்திரங்கள் I மற்றும் II என இருவகைகள் உள்ளன. இயந்திரம்-I தொழிற்சாலையின் உற்பத்தியில் 40% தயாரிக்கிறது மற்றும் இயந்திரம்-II உற்பத்தியில் 60% தயாரிக்கிறது. மேலும் இயந்திரம்-I -ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 4% குறைபாடுள்ளதாகவும் இயந்திரம்-II-ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 5% குறைபாடுள்ளதாகவும் இருக்கின்றன. உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு பொருள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அப்பொருள் குறைபாடுடன் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

தீர்வு

\(A_1\) என்பது இயந்திரம்-I-ன் உற்பத்தி பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. \(A_2\) என்பது இயந்திரம்-II-ன் உற்பத்தி பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. \(B\) என்பது குறைபாடுள்ள பொருள்களைத் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் நிகழ்ச்சி என்க.

நிகழ்ச்சி \(B\)-ன் கூட்டு நிகழ்தகவினை நாம் காண வேண்டும். அதாவது, \(P(B)\).

\(A_1\) மற்றும் \(A_2\) என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும்.

12.8 பேயஸ்-ன் தேற்றம் (Bayes’ Theorem)#

தாமஸ் பேயஸ் (1702-1761) என்பவர் இங்கிலாந்து நாட்டைச் சேர்ந்த புள்ளியியலாளர் மற்றும் தத்துவ ஞானி ஆவார். பேயஸின் தேற்றமானது, சோதனை நிகழ்வதற்கு முன்பான நிகழ்தகவு மற்றும் நிபந்தனை நிகழ்தகவினைச் சோதனைக்குப் பின் காண வேண்டிய நிபந்தனை நிகழ்தகவுடன் இணைக்கப் பயன்படுகிறது. பல நிகழ்தகவுகளின் புரிதலுக்கு பேயசியன் நிகழ்தகவு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தேற்றம் 12.11 (பேயீசியன் தேற்றம்)

\(A_1, A_2, A_3, \dots, A_n\) என்ற ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகவும் மேலும் \(P(A_i) > 0, i = 1, 2, 3, \dots, n\) மற்றும் \(B\) என்பது ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சியாகவும் மேலும் \(P(B) > 0\), எனில்

நிரூபணம்

\(B\)-ன் நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு விதிப்படி,

பெருக்கல் தேற்றத்தின்படி \(P(A_i \cap B) = P(B/A_i) P(A_i)\).

சார்பு நிலை நிகழ்தகவின் வரையறுப்படி,

எடுத்துக்காட்டு 12.26#

ஒரு தொழிற்சாலையில் இயந்திரங்கள் I மற்றும் II என இருவகைகள் உள்ளன. இயந்திரம்-I தொழிற்சாலையின் உற்பத்தியில் 40% தயாரிக்கிறது மற்றும் இயந்திரம்-II உற்பத்தியில் 60% தயாரிக்கிறது. மேலும் இயந்திரம்-I –ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 4% குறைபாடுள்ளதாகவும் இயந்திரம்-II-ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 5% குறைபாடுள்ளதாகவும் இருக்கின்றன. உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளதாக இருப்பின், அப்பொருள் இயந்திரம் II-ல் உற்பத்தி செய்ததற்கான நிகழ்தகவு யாது? (முந்தைய எடுத்துக்காட்டு வினாவுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கவும்.)

தீர்வு

\(A_1\) மற்றும் \(A_2\) முறையே இயந்திரங்கள் I மற்றும் II மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. \(B\) என்பது குறைபாடுள்ள ஒரு பொருளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. \(P(A_2/B)\) எனும் நிகழ்தகவைக் காண வேண்டும். \(A_1, A_2\) என்பவை ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.27#

கட்டிடம் கட்டும் நிறுவனத்தில் 2 செயற்பொறியாளர்கள் பணியில் அமர்த்தப்பட்டுள்ளனர். நிறுவனத்தின் 60% மற்றும் 40% வேலைகளை முறையே செயற்பொறியாளர்-1 மற்றும் செயற்பொறியாளர்-2 செய்கிறார்கள். முன் அனுபவத்தைப் பொறுத்து செயற்பொறியாளர்-1 மற்றும் செயற்பொறியாளர்-2 வேலை செய்வதில் தவறு நிகழும் நிகழ்தகவு முறையே 0.03 மற்றும் 0.04 ஆகும். தற்போது நடைபெறும் கட்டுமானப் பணியில் ஒரு மோசமான (விளைவு) தவறு நிகழ்வதாகக் கொண்டால் எந்த செயற்பொறியாளர் தவறு இழைத்திருக்கக்கூடும் என்பதை ஊகிக்க.

தீர்வு

\(A_1\) என்பது செயற்பொறியாளர்-1-ன் வேலையைக் குறிக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. \(A_2\) என்பது செயற்பொறியாளர்-2-ன் வேலையைக் குறிக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. \(B\) என்பது வேலையில் தவறு ஏற்படும் நிகழ்ச்சி என்க.

சார்பு நிலை நிகழ்தகவு \(P(A_1/B)\) மற்றும் \(P(A_2/B)\) கண்டறிவதன் மூலம் தவறு செய்பவர்களை ஒப்பிட இயலும்.

\(A_1, A_2\) ஆகிய இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால், பேயஸ்-ன் தேற்றப்படி,

\(P(A_1/B) > P(A_2/B)\), என்பதால் செயற்பொறியாளர்-1 தவறு செய்தற்கான நிகழ்தகவு செயற்பொறியாளர்-2 தவறு செய்ததற்கான நிகழ்தகவை விட அதிகமாக இருப்பதால் வேலையில் ஏற்பட்ட தவறை செயற்பொறியாளர்-1 இழைத்திருக்கக் கூடும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.28#

ஒரு அலுவலகத்தில் \(X, Y\) மற்றும் \(Z\) ஆகியோர் அலுவலகத்தின் மேலாளராக பொறுப்பேற்பதற்கான வாய்ப்புகள் முறையே \(4 : 2 : 3\) என்ற விகிதத்தில் அமைந்துள்ளன. \(X, Y\) மற்றும் \(Z\) மேலாளர்களாக பொறுப்பேற்பின் போனஸ் திட்டத்தை அமைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் முறையே 0.3, 0.5 மற்றும் 0.4 ஆகும். அலுவலகத்தில் போனஸ் திட்டம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டிருப்பின் \(Z\) மேலாளராக நியமனம் செய்யப்படுவதற்கான நிகழ்தகவினைக் காண்க.

தீர்வு

\(A_1, A_2\) மற்றும் \(A_3\) என்பவை முறையே \(X, Y\) மற்றும் \(Z\) ஆகியோர் மேலாளராக நியமனம் பெறுவதற்கான நிகழ்ச்சிகள் என்க. \(B\) என்பது போனஸ் திட்டத்தை அமல்படுத்துவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.

இங்கு நாம் சார்புநிலை நிகழ்தகவு \(P(A_3/B)\) -யைக் காண வேண்டும்.

\(A_1, A_2\) மற்றும் \(A_3\) நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால் பேயஸ்-ன் தேற்றப்படி

எடுத்துக்காட்டு 12.29#

மூன்று வாடகை மகிழுந்து நிறுவனங்களிடமிருந்து, ஆலோசனை தரும் ஒரு நிறுவனம் மகிழுந்துகளை வாடகைக்கு வாங்குகிறது. 50% மகிழுந்துகளை \(L\) நிறுவனத்திடமிருந்து, 30%-ஐ \(M\)-யிடமும் மற்றும் 20%-ஐ \(N\) நிறுவனங்களிடமிருந்து வாங்குகிறது. \(L\) நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 90% -ம், \(M\) நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளின் 70% -ம் \(N\) நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 60% -ம் நல்ல நிலைமையில் உள்ள எனில்

(i) ஆலோசனை நிறுவனம் வாங்கிய வாடகை மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளதற்கான நிகழ்தகவு யாது? (ii) வாடகைக்கு வாங்கிய மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளது எனில் \(N\) நிறுவனத்திடமிருந்து பெறப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

\(L, M\) மற்றும் \(N\) நிறுவ