கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள்#

1.1 அறிமுகம் (Introduction)#

கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் மீதான செயல்பாடுகளின் கருத்தாக்கங்கள் கணிதவியலில் முக்கியத்துவமான இடத்தை வகிக்கிறது. ரஷ்யக் கணிதவியலாளர் லூசின் (Luzin) என்பவர் சார்புகளின் செயல்பாடுகள் பற்றிய கருத்து தற்செயலாக உருவாகிவிடவில்லை என மிகச் சரியாகக் கூறியுள்ளார். அதனைப் பற்றிய கருத்து, காலப்போக்கில் பல மாற்றங்களுக்கு உட்படுத்தப்பட்டுள்ளது. கலிலியோ (Galileo) (1564-1642) என்ற கணிதவியலாளர், பிரபஞ்ச இயக்கங்களின் ஆய்வில் ஒரு கணியம் இன்னொரு கணியத்தினைச் சார்ந்திருப்பதினைத் தெளிவாகப் பயன்படுத்தியுள்ளார். டெகார்டே (Descartes) (1596-1650), இரு மாறிகளில் அமைந்த சமன்பாடுகளை, வடிவியல் வாயிலாக மாறிகளுக்கு இடையேயான தொடர்பாகக் குறிப்பிட்டார். லீப்னிட்ஸ் (Leibnitz) (1646-1716) தன்னுடைய 1673 ஆண்டின் ஒரு கையெழுத்து பிரதியில் “சார்பு” என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தியுள்ளார். ஒரு வளைவரையின் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் மாறுபடும் மதிப்பைக் குறிக்கும் செயல்பாடாகச் சார்பினைப் பயன்படுத்தியுள்ளார். \(y = f(x)\) என்கிற நவீன முறையான வரையறை தந்த பெருமை, காஸ் (Gauss) மாணவரான டிரிச்லெட் (Dirichlet) (1805-1859) என்பவரைச் சாரும். இருபதாம் நூற்றாண்டில், இச்சார்பு கருத்தாக்கங்கள், கணங்கள் மற்றும் எண்சார் அல்லது எண்சார்பற்ற மதிப்புகள் ஆகியவற்றிற்கிடையில் தனித்தன்மை வாய்ந்த பொதுவான ஒத்திசைவிற்கு நீட்டிக்கப்பட்டது.

கேன்டர் (Cantor) (1845-1918) என்பவரால் கூறப்பட்ட கணவியலில் சார்புகள் பற்றிய கருத்து செம்மைப்படுத்தப்பட்டது. இக்காலகட்டத்தில் ஒத்திசைவு பற்றிய கண்ணோட்டத்திலிருந்து தொடர்பு என்ற கண்ணோட்டத்திற்குக் கணிதவியலாளர்கள் மாறத் தொடங்கினர். ஆயினும் சார்பினை, தொடர்பு என்ற கண்ணோட்டத்தில் நோக்காது, கணக்கீட்டு விதியாகவே கருதும் நிலை இன்றும் தொடர்கிறது. தற்கால நவீன வரையறையானது, செயற்கை நுண்ணறிவை உருவாக்கும் நிலைக்கு ஏதுவான வகையில், தொடர்பு வரையறையின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.

மெய்யெண்கள் மற்றும் மெய்யெண்களின் மீதான எண்ணியல் செயல்பாடுகள் பற்றிய கோட்பாடுகளை முந்தைய வகுப்புகளில் கற்றுள்ளோம். மேலும் மெய்யெண்களின் கணங்கள், வென்படங்கள், கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகளின் அடிப்படை வரையறைகள் முதலியவற்றைப் பற்றியும் தெரிந்து கொண்டுள்ளோம். எனினும் ‘தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள்’ ஆகியவற்றின் கணிதக் கோட்பாடுகளுக்கு ஒரு புதிய பரிணாமத்தினை இங்குக் காணப் போகிறோம். இதனை நன்கு புரிந்து கொள்ள வேண்டுமெனில், கணங்கள் மற்றும் அதன் மீதான செயல்பாடுகளைப் பற்றிய மீள்பார்வை அவசியமாகிறது.

கற்றலின் நோக்கங்கள் (Learning objectives)#

இப்பாடப்பகுதி நிறைவுறும்போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகளாக

● கணங்கள் மற்றும் கார்டீசியன் பெருக்கலின் பண்புகளைப் பட்டியலிடவும் அப்பண்புகளின் வாயிலாக மேற்கொள்ளும் செயல்முறைகள்;

● மாறிகள், மாறிலிகள், இடைவெளிகள் மற்றும் அண்மைப்பகுதிகள் ஆகியவற்றின் கருத்தாக்கங்களை அறிதல்;

● பலவகத் தொடர்புகளைப் புரிந்து கொள்ளுதல், தேவைப்படும் வகையில் தொடர்புகளை உருவாக்குதல்

● வெவ்வேறு வகைகளில் சார்புகளை விவரித்தல்;

● எளிமையான சார்புகள், சார்புகளின் வகைகள், இருபுறச் சார்பின் நேர்மாறு சார்பு உட்பட அவற்றின் மீதான செயல்பாடுகளை அறிந்திருத்தல்;

● சில சிறப்பு சார்புகளின் வரைபடங்களை அடையாளம் காணுதல்;

● சில கடினமான சார்புகளின் வரையடங்களைக் காட்சிப்படுத்துதல், ஆகியவை எதிர்பார்க்கப்படுகின்றன.

1.2 கணங்கள் (Sets)#

கடந்த வகுப்புகளில், கணம் என்பது முறையாக வரையறுக்கப்பட்ட பொருட்களின் தொகுப்பாகப் பார்த்தோம். நவீனக் கணிதத்தின் கட்டமைப்பில் ஒன்றாகக் கணங்கள் விளங்குவதால், கணங்களின் கோட்பாட்டைப் பற்றிக் கவனமாகவும் ஆழமாகவும் உள்ளார்ந்து புரிந்து கொள்ள வேண்டும். அதற்கு “முறையாக வரையறுக்கப்பட்டது” என்கிற சொல்லின் உள்ளார்ந்த பொருளினைக் காண்போம்.

கீழ்க்காணும் இரு கூற்றுக்களைக் கவனிக்கவும்:

(i) உதய ராஜா தோட்டத்திலுள்ள அழகான மலர்களின் தொகுப்பு.

(ii) தமிழகத்திலுள்ள அனைத்து முதியவர்களின் தொகுப்பு.

இத்தொகுப்புகள் கணங்களாக இருக்க இயலுமா?

“அழகான மலர்கள்” மற்றும் “முதியவர்கள்” என்கிற சொற்கள் முறையாக வரையறுக்கப்படவில்லை. அழகு என்பது அறுதியிட்டு அர்த்தம் கூற இயலாததால், “அழகான மலர்” என்கிற வார்த்தைக்குத் தெளிவான அல்லது முறையான வரையறை இல்லை. அழகு என்பது நபருக்கு நபர், இடத்துக்கு இடம், பொருளுக்குப் பொருள் மாறக் கூடியது. எனவே “உதய ராஜா தோட்டத்திலுள்ள அழகான மலர்களின் தொகுப்பு” போன்ற கூற்றுகளை நாம் கணமாகக் கருத இயலாது. இப்போது “உதய ராஜா தோட்டத்திலுள்ள சிவப்பு மலர்களின் தொகுப்பு” -ஐ ஒரு கணம் என்று சொல்ல இயலுமா? இதற்கு ‘ஆம்’ என்பதே நமது பதிலாக அமையும்.

சிலர் அறுபது வயதை முதுமையாகக் கருதுவர். சிலர் அவ்வாறு கருதுவதில்லை. முதுமைக்கான உரிய வயது அளவிற்கு, முறையான வரையறை இல்லை. எனவே இரண்டாவது கூற்றினை,

“தமிழகத்தில் உள்ள 70 வயதைக் கடந்தவர்களின் தொகுப்பு”

என வரையறுக்கும் போது வயது பற்றிய தெளிவான வரையறையுடன், மேற்குறிப்பிட்ட தொகுப்பு ஒரு கணமாக அமையும்.

எனவே, ஒரு கணத்தைப் பற்றிய விவரம், குறிப்பிட்ட பொருள் அந்தக் கணத்தின் உறுப்பாக அமைகிறதா, இல்லையா என்பதை நமக்குத் தெளிவாக்க வேண்டும். எனவே கணமானது, தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொகுப்பு ஆகும்.

\( \in , \notin , \subset , \cup , \cap \) மற்றும் \( + \) போன்ற குறியீடுகளை ஏற்கனவே நாம் பயன்படுத்தியுள்ளோம். அந்தக் குறியீடுகளைச் சரியாகக் குறிப்பிட்ட இடங்களில் பயன்படுத்துவதைப் பற்றிப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு கேள்வியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்: ‘A மற்றும் B என்பன இரு கணங்களாயின், \(A \in B\) என எழுதுவது சரியான பொருள் தருமா?’

முதல் பார்வையில், இது எப்போதுமே அர்த்தமற்றது, ஏனெனில், “\(\in\)” என்ற குறியீட்டை ஒரு உறுப்புக்கும் ஒரு கணத்திற்கும் இடையில் உள்ள தொடர்புக்கு மட்டுமே பயன்படுத்த வேண்டும் என்றும், அது இரண்டு கணங்களுக்கு இடையில் உள்ள தொடர்புக்குப் பயன்படுத்தப்படக்கூடாது" என்றும் கூற விழையலாம். இரண்டாவதாகக் கூறியது உண்மையை இல்லை என்றாலும், வாக்கியத்தின் முதல் பகுதி உண்மைதான். எடுத்துக்காட்டாக, \(A = \{1, 2\}\) மற்றும் \(B = \{1,\{1,2\},3,4\}\) எனும் போது இரு கணங்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு, \(A \in B\) ஆகும். இப்பகுதியில் நாம் அத்தகைய குறியீடுகளின் செயல்பாடுகளை மேலும் ஆழமாக ஆராய்வோம்.

முந்தைய வகுப்புகளில் நாம் கற்றுக் கொண்டதைப் போன்று, எந்த உறுப்பும் இல்லாத ஒரு கணம் வெற்று கணம் அல்லது வெற்றிடக் கணம் (empty set) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது பொதுவாக \(\emptyset\) அல்லது \(\{\}\) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. மேலும் \(A \subseteq B\) என்ற கூற்றின்படி, A என்னும் ஒரு கணத்தில் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் B என்னும் கணத்தில் அமைந்திருக்கிறது எனப் பொருள். இப்போது A கணமானது B–யின் உட்கணம் (subset) எனவும், B கணமானது A கணத்தின் மேற்கணம் அல்லது மிகைக் கணம் (super set) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்களுக்கு \(A \subseteq B\) மற்றும் \(B \subseteq A\) என இருப்பின், இரண்டு கணங்களும் சம கணங்கள் (equal sets) ஆகும். எந்தவொரு A என்கிற கணத்திற்கு வெற்றுக் கணமும் அந்தக் கணமும் எப்போதும் உட்கணங்களாகும். இந்த இரு உட்கணங்களும் வெளிப்படை உட்கணங்கள் (trivial subsets) எனப்படுகின்றன. மேலும் A கணமானது B–ன் உட்கணமாகவும் \(A \neq B\) எனவும் இருந்தால் A கணமானது B - இன் தகு உட்கணம் (proper subset) எனப்படும். அதாவது B கணத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பாவது A கணத்தின் உறுப்பாக இருக்காது. A என்னும் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் A என்னும் கணத்திலேயே அமைந்திருப்பதால் \(A \subseteq A\) எனலாம். இத்தகைய உட்கணம் தகா உட்கணம் (improper subset) எனப்படும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், A எனும் எந்த ஒரு வெற்றுக் கணமில்லாத கணமும், A எனும் கணத்தின் தகா உட்கணமே ஆகும். மேலும், \(N \subset W \subset Z \subset Q \subset R\) ஆகும். இதில் N என்பது இயல் எண்களின் கணம் அல்லது மிகை முழு எண்களின் கணம் எனவும், W என்பது குறையற்ற முழு எண்களின் கணம் எனவும், Z என்பது அனைத்து முழு எண்களின் கணம் எனவும், Q என்பது விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனவும் மற்றும் R என்பது மெய்யெண்களின் கணம் எனவும் குறிப்பிடப்படும். இதில் விகிதமுறா எண்களின் கணம், R-ன் உட்கணமாகவும், மேற்குறிப்பிட்ட வேறு எந்த ஒரு கணத்திற்கும் உட்கணமாக அமையவில்லை என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

A, B எனும் இரு கணங்களின் சேர்ப்புக் கணம்,

மற்றும் அதன் வெட்டுக் கணம்

என்ற வரையறைகளையும் ஏற்கனவே பார்த்துள்ளோம். A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்களுக்குப் பொதுவான உறுப்பு ஏதுமின்றி அமைந்தால் அவை வெட்டாக் கணங்கள் (disjoint sets) ஆகும். அதாவது A மற்றும் B ஆகியவை வெட்டாக் கணங்கள் எனில் \(A \cap B = \emptyset\) ஆகும்.

மேலும் சில குறியீடு முறைகளைக் காண்போம். \(\sum_{i=1}^{n} a_i\) போன்ற குறியீடு முறைகளை நாம் ஏற்கனவே அறிந்துள்ளோம். இது \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) என்பதன் சுருக்கமே. இதே போன்று \(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\) மற்றும் \(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\) ஆகியவை முறையே \(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\) மற்றும் \(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\) ஆகியவற்றைக் குறிக்கின்றன.

என்றும் கூறலாம். அதிக எண்ணிக்கையிலானக் கணங்களின் பயன்பாட்டின்போது இக்குறியீடுகள் தேவைப்படுகிறது.

A என்பது ஒரு கணம் எனில், A -ன் அனைத்து உட்கணங்களையும் உள்ளடக்கிய கணம் அடுக்குக் கணம் (power set) எனப்படும். இதனை \(\mathcal{P}(A)\) எனக் குறிக்கலாம். அதாவது, \(\mathcal{P}(A) = \{B : B \subseteq A\}\). A எனும் கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n எனில் \(\mathcal{P}(A)\) -ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^n\) ஆகும்.

நிரப்பிக் கணத்தினைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ள அனைத்துக் கணத்தைப் பற்றி முழுமையாகத் தெரிந்து கொள்வது அவசியமாகிறது. பொதுவாகக் கணித செயல்பாட்டில் கருத்தில் கொள்ளப்படும் எல்லாக் கணங்களும் உட்கணங்களாக அமையுமாறு ஒரு நிலையான கணம் அமையும். இந்தக் குறிப்பிட்ட கணமே அனைத்துக் கணம் (universal set) ஆகும். உதாரணமாக, சூழ்நிலைகளுக்கு ஏற்ப பகா எண்களுக்கு, பகா எண்களை உள்ளடக்கிய ஒரு கணம் அனைத்துக் கணமாக செயல்படும். எனவே N, W, Z, Q, R ஆகிய இவற்றில் ஒன்று பகா எண்களின் கணத்திற்கு அனைத்துக் கணமாக, செயல்படும் இடத்தைப் பொறுத்து அமையும். அனைத்துக் கணத்தினைப் பொதுவாக U எனக் குறிப்பிடுவோம்.

U எனும் அனைத்துக் கணத்தின் உட்கணமான A எனும் ஒரு கணத்திற்கு, நிரப்பிக் கணம் \(A'\) அல்லது \(A^c\) எனக் குறிப்பிடப்பட்டு, \(A' = \{x : x \in U \text{ மற்றும் } x \notin A\}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

கணம் B -ல், கணம் A–ன் கண வேறுபாடு (set difference) என்பதை A-B அல்லது A\B எனக் குறிப்பிட்டு, \(A - B = \{a : a \in A \text{ மற்றும் } a \notin B\}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும்,

A மற்றும் B ஆகிய கணங்களின் சமச்சீர் வேறுபாடு (symmetric difference) என்பதனை \(A \Delta B\) எனக் குறிப்பிட்டு, \(A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

உண்மையில், \(A \Delta B\) –ல் உள்ள உறுப்புகள், \(A \cap B\) –ல் இல்லாமல் \(A \cup B\) -ல் மட்டுமே இருக்கும் உறுப்புகளாகும். அதாவது \(A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)\) ஆகும்.

X எனும் கணமானது முடிவுறு (finite set) அல்லது முடிவுள்ள கணம் ஆக இருக்க வேண்டுமாயின் கணத்தில் k உறுப்புகள், \(k \in \mathbb{N}\) என இருத்தல் வேண்டும். இப்போது இம்முடிவுறு கணத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை செவ்வெண்மை என்றும் ஆதி எண் (cardinality) என்றும் அழைக்கலாம். இதனை k எனவும், குறியீட்டால் \(n(X)\) எனவும் குறிப்பிடுவோம். A எனும் கணம் முடிவுறு கணம் இல்லையெனில் அதனை முடிவுறாக் கணம் அல்லது முடிவிலாக் கணம் (infinite set) எனவும் குறிப்பிடுவோம். மேலும் \(n(A) = 1\) எனில் அதனை ஓருறுப்பு கணம் (singleton set) எனக் கூறலாம். குறிப்பாக \(n(\emptyset) = 0\) மற்றும் \(n(\{\emptyset\}) = 1\) என்பதனைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

1.2.1 கணச் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் (Properties of Set Operations)#

நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருந்த பண்புகளையும் மேலும் தெரிந்திருக்க வேண்டிய சில புதிய பண்புகளையும் முடிவுகளாகக் காண்போம்.

பரிமாற்றுப் பண்புகள் (Commutative)

சேர்ப்புப் பண்புகள் (Associative)

பங்கீட்டுப் பண்புகள் (Distributive)

சமனிப் பண்புகள் (Identity)

தன்மூக்குப் பண்புகள் (Idempotent)

உட்கவர் பண்புகள் (Absorption)

டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan Laws)

சமச்சீர் வேறுபாட்டுப் பண்புகள் (Symmetric difference)

வெற்று கணத்திற்கும் அனைத்துக் கணத்திற்குமான பண்புகள் (Empty and universal sets)

செவ்வெண்மைக் குணங்கள் (Cardinality)

(i) A மற்றும் B எனும் எந்த இரு முடிவுறு கணங்களுக்கும், \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\).

(ii) A மற்றும் B ஆகியவை வெட்டாக் கணங்களெளில், \(n(A \cup B) = n(A) + n(B)\).

(iii) A, B மற்றும் C எனும் எந்த மூன்று கணங்களுக்கும்,

1.3 கார்டீசியன் பெருக்கல் (Cartesian product)#

கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட உறுப்புகளின் கணமாகும். குறிப்பாக இரு கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கணமாகவும், மூன்று கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்றன் தொகுதி கணமாகவும் அமைகின்றது.

துல்லியமாகக் கூற வேண்டுமாயின், A, B மற்றும் C ஆகிய மூன்று கணங்களை எடுத்துக் கொள்வோம். A மற்றும் B ஆகிய கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் (cartesian product), \(A \times B\) எனக் குறிக்கப்பட்டு, \(A \times B = \{(a,b): a \in A, b \in B\}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதே போன்று, A, B மற்றும் C ஆகிய மூன்று கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல்,

என வரையறுக்கப்படுகிறது.

எளிதாக, \(A \times A = \{(a,b): a,b \in A\}\) எனலாம்.

கார்டீசியன் பெருக்கலில் உள்ள உறுப்புகள் வரிசைப்படுத்தப்பட்டது என்பதால், வெற்றற்ற கணங்கள் \(A = B\) என இருந்தாலன்றி, \(A \times B \neq B \times A\) ஆகும். அதாவது தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(A = B\) எனில் \(A \times B = B \times A\).

R என்பது மெய்யெண்களின் கணத்தைக் குறிப்பதால்,

குறிப்பாக, \(R \times R\) என்பதனை \(R^2\) எனவும் \(R \times R \times R\) என்பதனை \(R^3\) எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. \(R \times R\) என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கணமாகவும், \(R \times R \times R\) என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்றன் தொகுதி கணமாகவும் உள்ளது.

இப்போது, \(A = \{1,2,3\}\) மற்றும் \(B = \{2,4,6\}\) என எடுத்துக் கொண்டால்

இங்கு \(A \times B\) என்பது \(R \times R\) –ன் உட்கணமாக அமைவதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

\(A \times B\) -ல் உள்ள உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை A மற்றும் B கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையின் பெருக்கல் தொகையாகும். அதாவது, \(n(A \times B) = n(A) n(B)\) ஆகும். மேலும், \(n(A \times B \times C) = n(A) n(B) n(C)\). இங்கு A, B மற்றும் C ஆகியவை முடிவுறு கணங்கள் ஆகும்.

கீழ்க்காணும் கணங்கள் \(R \times R\) –ன் உட்கணங்கள் என்பது தெரிவாக தெரிகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.1 கணம் A ஆனது \(A = \{x : x = 4n + 1, 2 \leq n \leq 5, n \in \mathbb{N}\}\) எனில், A-ன் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

எனவே \(n(A) = 4\). \(n(\mathcal{P}(A)) = 2^4 = 16\).

எடுத்துக்காட்டு 1.2 மக்கள்தொகை 5000 உள்ள ஒரு நகரத்தில் நடத்தப்பட்ட ஒரு கணக்கெடுப்பில், மொழி A தெரிந்தவர்கள் 45%, மொழி B தெரிந்தவர்கள் 25%, மொழி C தெரிந்தவர்கள் 10%, A மற்றும் B மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 5%, B மற்றும் C மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 4%, A மற்றும் C மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 4% ஆகும். இதில் மூன்று மொழிகளையும் தெரிந்தவர்கள் 3% எனில், மொழி A மட்டும் தெரிந்தவர்கள் எத்தனை பேர்?

தீர்வு:

செவ்வெண்மை மற்றும் வென்படம் என இரு வழிகளில் தீர்வு காணலாம்.

(i) செவ்வெண்மை மூலம் தீர்வு காணல்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி விவரங்களிலிருந்து \(n(A) = 5000\)-ல் 45% = 2250. இதே போன்று,

மற்றும் \(n(A \cap B \cap C) = 150\).

மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள்

A மொழி மட்டும் தெரிந்தவர்களின் எண்ணிக்கை 1950.

(ii) வென்படம் மூலம் தீர்வு காணல்:

[படம் 1.1]

படம் 1.1 –லிருந்து, மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள் 39 சதவீதம் ஆகும். எனவே மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள்

எடுத்துக்காட்டு 1.3 \(((A \cup B' \cup C) \cap (A \cap B' \cap C')) \cup ((A \cup B \cup C') \cap (B' \cap C')) = B' \cap C'\) என நிரூபிக்க.

தீர்வு:

\(A \cap B' \cap C' \subseteq A \subseteq A \cup B' \cup C\) என்பது தெளிவு.

எனவே \((A \cup B' \cup C) \cap (A \cap B' \cap C') = A \cap B' \cap C'\).

மேலும் \(B' \cap C' \subseteq C' \subseteq A \cup B \cup C'\).

எனவே \((A \cup B \cup C') \cap (B' \cap C') = B' \cap C'\) மேலும், \(A \cap B' \cap C' \subseteq B' \cap C'\).

எனவே \(((A \cup B' \cup C) \cap (A \cap B' \cap C')) \cup ((A \cup B \cup C') \cap (B' \cap C')) = B' \cap C'\)

குறிப்பு: வென்படங்கள் மூலம் நிரூபிக்க முயற்சி செய்யவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.4 \(X = \{1,2,3,...,10\}\) மற்றும் \(A = \{1,2,3,4,5\}\) எனில், \(A - B = \{4\}\) என்று உள்ளவாறு அமையக்கூடிய X -ல் உள்ள B உட்கணங்கள், அதாவது \(B \subseteq X\) எத்தனை உள்ளது?

தீர்வு:

\(\{6,7,8,9,10\}\) எனும் கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமாகிய C கணத்திற்கும், \(B = C \cup \{1,2,3,5\}\) என எடுத்துக் கொள்ளலாம். இங்கு \(A - B = \{4\}\) என்கிற நிபந்தனை பொருந்தும். இதனால் X-ல் உள்ள B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையானது, \(\{6,7,8,9,10\}\) எனும் கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம். எனவே, B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை \(2^5 = 32\).

எடுத்துக்காட்டு 1.5 A மற்றும் B எனும் இரு கணங்கள், \(n(B - A) = 2n(A - B) = 4n(A \cap B)\) மற்றும் \(n(A \cup B) = 14\) என அமைந்தால், \(n(\mathcal{P}(A))\) காண்க.

தீர்வு:

\(n(\mathcal{P}(A))\)-ஐக் காண \(n(A)\) தேவைப்படும்.

\(n(A \cap B) = k\) என்க.

எனவே, \(n(A - B) = 2k\) மற்றும் \(n(B - A) = 4k\) ஆகும்.

இந்நிலையில், \(n(A \cup B) = n(A - B) + n(B - A) + n(A \cap B) = 7k\)

மேலும், \(n(A \cup B) = 14\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

இதனால் \(7k = 14\), \(k = 2\) ஆகும்.

ஆகையால், \(n(A - B) = 4\) மற்றும் \(n(B - A) = 8\).

\(n(A) = n(A - B) + n(A \cap B)\) என்பதால் \(n(A) = 6\).

எனவே, \(n(\mathcal{P}(A)) = 2^6 = 64\).

எடுத்துக்காட்டு 1.6 இரு கணங்களின் உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை m மற்றும் k ஆகும். முதல் கணத்திலுள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையை விட 112 அதிகமெனில், m மற்றும் k மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

\(n(A) = m\) மற்றும் \(n(B) = k\) என்று அமையுமாறு இரு கணங்கள் A மற்றும் B என்க. B கணத்தை விட A கணத்தின் எண்ணிக்கை அதிகமெனில், \(m > k\). கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின்படி \(2^m - 2^k = 112\).

ஆகையால், \(2^k(2^{m-k} - 1) = 2^4 \cdot 7\).

இந்நிலையில் ஒரே சாத்தியக்கூறு \(k = 4\) மற்றும் \(2^{m-k} - 1 = 7\) ஆகும். இதனால் \(m - k = 3\). எனவே \(m = 7\).

எடுத்துக்காட்டு 1.7 \(n(A) = 10\) மற்றும் \(n(A \cap B) = 3\) எனில், \(n((A \cap B') \cup A')\)-ஐ காண்க.

தீர்வு:

எனவே \(n((A \cap B') \cup A') = n((A \cap B)') = n(U) - n(A \cap B) = 10 - 3 = 7\).

எடுத்துக்காட்டு 1.8 \(A = \{1,2,3,4\}\) மற்றும் \(B = \{3,4,5,6\}\) எனில், \(n((A \times B) \cup (A \times B)) \times (A \Delta B)\)-ஐ காண்க.

தீர்வு:

\(n(A \cup B) = 6\), \(n(A \cap B) = 2\) மற்றும் \(n(A \Delta B) = 4\).

எனவே, \(n((A \times B) \cup (A \times B)) \times (A \Delta B) = n(A \cup B) \times n(A \cap B) \times n(A \Delta B)\)

எடுத்துக்காட்டு 1.9 \(\mathcal{P}(A)\) என்பது A எனும் கணத்தின் அடுக்குக் கணத்தினைக் குறித்தால், \(n(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))))\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

\(\mathcal{P}(\emptyset)\) கணத்தில் ஒரு உறுப்பு உள்ளதால் \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))\) கணத்தில் \(2^1\) உறுப்புகளும், \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset)))\) கணத்தில் \(2^2\) உறுப்புகளும் இருக்கும். அதாவது 4 உறுப்புகள் இருக்கும்.

பயிற்சி 1.1#

1. கீழ்க்காண்பவைகளை பட்டியல் முறையில் எழுதுக.

(i) \(\{x : x \in \mathbb{N}, 2 < x \leq 12 \text{ மற்றும் } x \text{ ஒரு பகா எண்ணாகும்}\}\).

(ii) \((x-1)(x+1)(x^2-1)=0\) எனும் சமன்பாட்டின் மிகை மூலங்களின் கணம்.

(iii) \(\{x : x \in \mathbb{N}, 4x + 9 < 52\}\).

(iv) \(\{x : x \in \mathbb{R}, x^2 + 4x - 3 = 2x\}\).

2. \(\{-1, 1\}\) எனும் கணத்தைக் கணக் கட்டமைப்பு முறையில் எழுதுக.

3. கீழ்க்காண்பவற்றுள் எவை முடிவுள்ள கணம், முடிவில்லாத கணம் என்பதனைக் குறிப்பிடுக.

(i) \(\{x : x \in \mathbb{N} \text{ என்பது ஒரு இரட்டைப்படை பகா எண்}\}\).

(ii) \(\{x : x \in \mathbb{N} \text{ என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}\}\).

(iii) \(\{x \in \mathbb{Z}: x \text{ என்பது பத்தை விடக் குறைந்த இரட்டைப்படை எண்}\}\).

(iv) \(\{x \in \mathbb{R}: x \text{ என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}\}\).

(v) \(\{x \in \mathbb{N}: x \text{ என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}\}\).

4. பின்வருவனவற்றை, தகுந்த A, B, C கணங்களைக் கொண்டு சரிபார்க்கவும்.

(i) \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\).

(ii) \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\).

(iii) \((A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)\).

(iv) \(C - (B - A) = (C \cap A) \cup (C \cap B')\).

(v) \((B - A) \cap C = (B \cap C) - A = B \cap (C - A)\).

(vi) \((B - A) \cup C = (B \cup C) - (A - C)\).

5. “ஒரு கணத்திலுள்ள ஓர் உறுப்பு எப்பொழுதும் தன் கணத்திற்கே உட்கணமாக அமையாது” என்ற கூற்றின் உண்மைத்தன்மையை ஆராய்க.

6. \(n(\mathcal{P}(A)) = 1024\), \(n(A \cup B) = 15\) மற்றும் \(n(\mathcal{P}(B)) = 32\) எனில், \(n(A \cap B)\) காண்க.

7. \(n(A \cap B) = 3\) மற்றும் \(n(A \cup B) = 10\) எனில், \(n(\mathcal{P}(A \Delta B))\) காண்க.

8. \(A \times A\) என்ற கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன. மேலும் அதிலுள்ள இரு உறுப்புகள் (1, 3) மற்றும் (0, 2) எனில், A –ன் உறுப்புகளைக் காண்க.

9. \(n(A) = 3\) மற்றும் \(n(B) = 2\) எனும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு அமைந்துள்ள இரு கணங்கள் A, B ஆகும். (x, 1), (y, 2), (z, 1) என்பவை \(A \times B\) எனும் கணத்திலுள்ள சில உறுப்புகள் எனில், A, B கணங்களைக் காண்க. (இங்கு x, y, z முற்றிலும் வேறுபட்ட உறுப்புகள்)

10. \(A \times A\) கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன. \(S = \{(a,b) \in A \times A: a < b\}\) என்ற கணத்தில் உள்ள இரு உறுப்புகள் \((-1, 2)\) மற்றும் (0, 1) எனில் S இல் உள்ள மீதமுள்ள உறுப்புகளைக் காண்க.

1.4 மாறிலிகள், மாறிகள், இடைவெளிகள் மற்றும் அண்மைப்பகுதிகள் (Constants, Variables, Intervals and Neighbourhoods)#

இப்பகுதியினை மேலும் தொடர, அடிப்படைத்தேவைகளாக மாறிலிகள், மாறிகள், சாரா மாறிகள், சார்ந்த மாறிகள், இடைவெளிகள் மற்றும் அண்மைப் பகுதிகள் பற்றிய வரையறைகள் அவசியமாகிறது.

1.4.1 மாறிலிகள் மற்றும் மாறிகள் (Constants and variables)#

ஒரு குறிப்பிட்ட கணிதச் செயல்முறை முழுவதும் மாறாமல் இருக்கும் அளவை அல்லது கணியம், ஒரு மாறிலி (constant) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கணிதச் செயல்முறையின்போது மாறுபடும் ஒரு அளவை, மாறி (variable) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஏதேனும் ஒரு மாறியின் மதிப்பு பிற மாறிகளின் மதிப்புகளைச் சார்ந்து இல்லாத போது அதனை ஒரு சாரா மாறி (independent variable) எனக் கூறுகிறோம். அதேசமயம் அதன் மதிப்பு, பிற மாறிகள் மதிப்புகளைச் சார்ந்து இருப்பின், அது சார்ந்த மாறி (dependent variable) என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு \(A = \frac{1}{2}bh\) என நமக்குத் தெரியும். இங்கு \(\frac{1}{2}\) என்பது ஒரு மாறிலி மற்றும் A, b, h ஆகியவை மாறிகளாகும். குறிப்பாக b, h ஆகியவை சாரா மாறிகளாகவும், A ஒரு சார்ந்த மாறியாகவும் அமைந்துள்ளது. சாரா மற்றும் சார்ந்த மாறிகள் அவை அமைந்துள்ள இடத்தைப் பொறுத்து அமைகிறது என்பதனைக் கவனத்தில் கொள்ளவும். உதாரணமாக, \(x + y = 1\) என்ற தொடர்பில், x மற்றும் y மாறிகளாகவும் 1 ஒரு மாறிலியாகவும் உள்ளது. x, y ஆகியவற்றில் எது சாரா மாறி? எது சார்ந்த மாறி? இங்கு x சாரா மாறியாக எடுத்துக் கொண்டால் y சார்ந்த மாறியாகவும், y சாரா மாறியாக எடுத்துக் கொண்டால் x சார்ந்த மாறியாகவும் அமையும். மேலும் கீழ்க்காணும் உதாரணங்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.

(i) செவ்வகத்தின் பரப்பளவு; \(A = lb\)

(ii) வட்டத்தின் பரப்பளவு; \(A = \pi r^2\)

(iii) கனச் செவ்வகத்தின் கன அளவு; \(V = lbh\)

மேற்கண்ட உதாரணங்களில், b, h, l, r முதலியன சாரா மாறிகள், A மற்றும் V சார்ந்த மாறிகள் எனவும், \(\pi\) ஒரு மாறிலி எனவும் புரிந்து கொள்ள இயலும்.

1.4.2 இடைவெளிகள் மற்றும் அண்மைப் பகுதிகள் (Intervals and Neighbourhoods)#

மெய்யெண்களின் கணம் R -ஐ படம் 1.2–ல் உள்ளபடி ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளாகவும், கோட்டிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் தனித்த ஒரு மெய்யெண்ணாகவும் கருத இயலும். எனவே ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும், கோட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியுடன் தொடர்புபடுத்தப்படுகிறது. இதனால் இக்கோட்டினை மெய்யெண் கோடு (real line) என்கிறோம்.

[படம் 1.2]

வலப்பக்கம் மதிப்பு உயர்ந்தும் இடப்பக்கம் மதிப்பு குறைந்தும் அமைவதைக் காணலாம். x ஆனது y -ன் இடப்பக்கமாக அமைந்தால், \(x < y\) எனப் பெறும். மேலும், இக்கோட்டில் தொடர்ச்சியற்ற தன்மை இல்லாததால், எந்த இரண்டு மெய்யெண்களுக்கு இடையேயும் எண்ணிலடங்கா மெய்யெண்கள் அமையும்.

வரையறை 1.1

R -ன் ஒரு உட்கணமான I ஆனது ஒரு இடைவெளியாக (interval) இருக்க வேண்டுமெனில்

(i) I -ல் குறைந்தது இரு உறுப்புகள் இருக்க வேண்டும். மேலும்

(ii) \(a, b \in I\) மற்றும் \(a < c < b\) எனில், \(c \in I\) என இருத்தல் வேண்டும்.

வடிவியல் ரீதியாக, இடைவெளிகள் மெய்யெண்கோட்டிலுள்ள கதிர்களையும் கோட்டுத் துண்டுகளையும் குறிக்கிறது.

இயல் எண்களின் கணம், குறையற்ற முழு எண்களின் கணம், ஒற்றைப்படை எண்களின் கணம், இரட்டைப்படை எண்களின் கணம் போன்றவை இடைவெளிகளாகாது. ஏனெனில் எந்த இரு மெய்யெண்களுக்கிடையே எண்ணற்ற மெய்யெண்கள் இருப்பதனால் மேற்கண்ட உதாரணங்கள் இடைவெளிகள் ஆகாது.

கீழ்க்காணும் உதாரணங்களைக் கவனிக்கவும்.

(i) பூஜ்ஜியத்தை விட பெரிதான மெய்யெண்களின் கணம்.

(ii) 5 -க்கு மேற்பட்டும், 7 –ஐ விடக் குறைவாகவும் உள்ள மெய்யெண்களின் கணம்.

(iii) \(1 \leq x \leq 3\) எனும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட x -மெய்யெண்களின் கணம்.

(iv) \(1 \leq x < 2\) எனும் வரம்பிற்குட்பட்ட x -மெய்யெண்களின் கணம்.

மேற்கண்ட நான்கு கணங்களும் இடைவெளிகளைக் குறிக்கின்றன. குறிப்பாக உதாரணம் (i) ஒரு முடிவுறா அல்லது முடிவிலா இடைவெளி ஆகும். (ii), (iii) மற்றும் (iv) ஆகியவை முடிவுறு அல்லது முடிவுள்ள இடைவெளிகளாகும். “முடிவுள்ள இடைவெளி” என்றால் அவ்விடைவெளியில் எண்ணிலடங்கிய மெய்யெண்கள் மட்டும் இருக்கும் என்கிற பொருளன்று. இரு முனைகளும் முடிவுள்ள எண்ணாக இருப்பதனை மட்டுமே குறிக்கிறது. எனவே, முடிவுள்ள மற்றும் முடிவிலா இடைவெளிகள் இரண்டும், முடிவற்ற கணங்களையே குறிப்பிடுகிறது. கோட்டுத்துண்டைக் குறிக்கும் இடைவெளிகள் முடிவுள்ள இடைவெளி எனவும், கதிர்களைக் குறிக்கும் இடைவெளிகளும் மெய்யெண் கோடும் முடிவிலா இடைவெளிகளாகும்.

ஒரு முடிவுள்ள இடைவெளியை, மூடிய இடைவெளி (closed interval) என்று கூற வேண்டுமாயின் இரு முனைப் புள்ளிகளும் இடைவெளியில் அமைய வேண்டும். திறந்த இடைவெளி (open interval) என்று கூற வேண்டுமாயின், இரு முனைப் புள்ளிகளும் இடைவெளியில் அமைதல் கூடாது. மூடிய இடைவெளிக்கு ‘[’ ‘]’ சதுர அடைப்புக்குறியினையும், திறந்த இடைவெளிக்கு சாதாரண ‘(’ ‘)’ அடைப்புக் குறியினையும் பயன்படுத்துவதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும். முதல் இரு உதாரணங்கள் (i) மற்றும் (ii) ஆகியவை திறந்த இடைவெளிகளாகும். மூன்றாவது உதாரணம் மூடிய இடைவெளியாகும். நான்காவது உதாரணம் மூடிய இடைவெளியுமல்ல, திறந்த இடைவெளியுமல்ல. மேற்கண்ட நான்கு உதாரணங்களைக், குறியீடுகளாக \((0, \infty), (5, 7), [1, 3], [1, 2)\) என எழுதலாம்.

குறிப்பாக, \([1, 3]\) என்ற மூடிய இடைவெளியில் 1 மற்றும் 3, மேலும் அதனிடையே உள்ள அனைத்து மெய்யெண்களும் உள்ளன. \((1, 3)\) என்ற திறந்த இடைவெளியில் 1 மற்றும் 3 ஆகிய மெய்யெண்கள் இல்லை. ஆனால், அதற்கிடையேயான அனைத்து மெய்யெண்களும் உள்ளன. \([1, 2]\) என்ற இடைவெளி மூடியதும் அல்ல; திறந்ததும் அல்ல. குறிப்பாக, 1 என்ற மெய்யெண் இடைவெளியில் இல்லை. ஆனால் 2 என்ற மெய்யெண் உள்ளது. மேலும் அவற்றிற்கு இடையேயான அனைத்து மெய்யெண்களும் உள்ளன.

முடிவிலி குறியீடான \(\infty\) என்பது ஒரு எண் அன்று. குறியீடுகளான \(-\infty\) மற்றும் \(\infty\) என்பன மெய்யெண் கோட்டின் முனைகளைக் குறிக்கப் பயன்படுகின்றன. மேலும் \((a, b), [a, b]\) ஆகிய இடைவெளிகள் எப்போதும் R–ன் உட்கணங்களாகும்.

இடைவெளிகளின் வகைகள் (Types of intervals)

இடைவெளிகளில் பல வகை உள்ளன. \(a < b\) ஆக இருக்குமாறு \(a, b \in \mathbb{R}\) என எடுத்துக்கொள்வோம். கீழ்க்காணும் அட்டவணை வெவ்வேறு வகை இடைவெளிகளை உணர்த்துகிறது. ஒரு புள்ளியை நீக்கி விட்டு ஒரு கோட்டினை வரைய இயலாது. திறந்த வட்டமான “o” குறியீடு, அப்புள்ளி நீக்கப்பட்டுள்ளதாகவும், நிரம்பிய வட்ட குறியீடான ‘●’ ஆனது அப்புள்ளி உள்ளடங்கியது எனவும் பொருள்படும்.

குறியீட்டு வடிவில் எழுதவும்.

(i) \(\{x: x \in \mathbb{R}, -2 \le x \le 0\}\)

(ii) \(\{x: x \in \mathbb{R}, 0 < x < 8\}\)

(iii) \(\{x: x \in \mathbb{R}, -8 < x \le -2\}\)

(iv) \(\{x: x \in \mathbb{R}, -5 \le x \le 9\}\)

அண்மைப் பகுதி (Neighbourhood)

‘a’ எனும் புள்ளியினை உள்ளடக்கிய எந்தவொரு திறந்த இடைவெளியும் a எனும் புள்ளியின் அண்மைப்பகுதியாகும். ‘\(\varepsilon\)’ என்பது ஒரு மிகை எண், குறிப்பாக மிகச்சிறியது எனில் a -ன் \(\varepsilon\)-அண்மைப் பகுதி என்பது \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) என்ற இடைவெளியாகும். \((a - \varepsilon, a + \varepsilon) - \{a\}\) என்பது a - ஐ நீக்கிய அண்மைப்பகுதி எனவும் அதனை \(0 < |x - a| < \varepsilon\) எனவும் குறிப்பிடப்படுகிறது. [படம் 1.3]

1.5 தொடர்புகள் (Relations)#

தொடர்புகளைப் பற்றிய கோட்பாடினை, அன்றாட வாழ்க்கையிலிருந்து, சங்கேத மொழியியலிலிருந்து, வடிவியலிலிருந்து, கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கலின் மூலமாகப் பல்வேறு கோணங்களில் அணுகுவோம்.

“அவர் உனக்கு எவ்விதத்தில் உறவினர் அல்லது தொடர்புடையவர்?” என்கிற வினாவைப் பெரும்பாலும் நமது அன்றாட வாழ்க்கையில் எதிர்கொள்கிறோம். இவ்வினாவிற்கு,

(i) அவர் என் தந்தை.

(ii) அவர் என் ஆசிரியர்.

(iii) அவர் எனக்கு எவ்விதத்திலும் தொடர்பில்லாதவர்.

போன்ற சில சாத்தியமான விடைகள் உள்ளன. இதிலிருந்து தொடர்பு என்கிற சொல்லானது ஒருவரை மற்றொருவருடன் இணைக்கிறது என நாம் அறிகிறோம். இச்சிந்தனையை மேலும் விரிவாக்கி, கணிதத்தில் கணிதவுருக்களை இணைக்கத் தொடர்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(i) m ∈ N எனும் ஒரு எண்ணானது n எனும் எண்ணை வகுத்தால் m ஆனது n உடன் தொடர்புடையது.

(ii) மெய்யெண்களில் \(x \le y\) எனில் x ஆனது y–யுடன் தொடர்புடையது.

(iii) p எனும் புள்ளி L என்ற கோட்டில் அமைந்தால் p ஆனது L உடன் தொடர்புடையது.

(iv) X எனும் மாணவர் S எனும் பள்ளியுடன் தொடர்புடையவராக இருக்க வேண்டுமெனில் X என்பவர் S–ல் மாணவராக இருக்க வேண்டும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.1 சங்கேத மொழி (Cryptography) : மக்கள் ரகசியத் தன்மை வாய்ந்த தகவல்களைப் பாதுகாக்கச் சங்கேத மொழியை நூற்றாண்டு காலமாக பயன்படுத்தி வருகின்றனர். சங்கேதமொழியைத் திறம்பட இராணுவத்திலும், நிதி நிறுவனங்களிலும், கணினி நிரலர்களும் பயன்படுத்துகின்றனர். சங்கேத மொழியாக்கமும் அச்சங்கேத மொழியை மொழி மாற்றவும் பயன்படுத்தும் முறைகளைப் பற்றிய இயலே சங்கேதமொழியியல் என அழைக்கப்படுகின்றது.

ஒரு செய்தியைச் சங்கேத மொழியாக மாற்ற, பண்டைய காலத்தில் எளிய பிரதியிடல் முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. உதாரணமாக, செய்தியிலுள்ள ஒவ்வொரு எழுத்திற்கும் மாற்றாக அகர வரிசையில் அவ்வெழுத்திலிருந்து மூன்றாவதாக வரும் எழுத்தாகப் பிரதியிடப்பட்டது.

இம்முறையை, “LET US WIN” என்ற வாக்கியத்திற்கு பயன்படுத்தினால் “OHW XV ZLQ” என மாறும். இம்முறையை, பேரரசர் ஜூலியஸ் சீசர் பயன்படுத்தியதால் சீசரின் சங்கேதம் என அழைக்கப்படுகிறது. இச்சங்கேத மொழியை மொழி மாற்றம் செய்ய ஒவ்வொரு எழுத்தையும் அதற்கு மூன்று எழுத்துக்களுக்கு முந்தைய எழுத்தாக மாற்றீடு செய்யவேண்டும். இத்தகு முறை, தற்போது திறனறி தேர்வுகளில் வெகுவாகக் கையாளப்படுகிறது. இதனை அம்புக்குறி படம் மூலமும் (படம் 1.4) குறிப்பிடலாம்.

இப்போது, \(C = \{L, E, T, U, S, W, I, N\}\) மற்றும் \(D = \{O, H, W, X, V, Z, L, Q\}\) என எடுத்துக் கொண்டால் \(C \times D\) என்ற கார்டீசியன் பெருக்கலின் உட்கணமாக,

எனும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கணம் அமைகிறது.

அறிந்துகொள்வோம்

“KDUGZRUN” என்பது “HARDWORK” இன் சங்கேத மொழி எனில் “DFKLHYHPHQW” என்பது “ACHIEVEMENT”–க்கு சங்கேத மொழியாகும்.

“இதனை \(f(x) = x + 3\) எனச் சொல்ல முடியுமா?”.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.2 வடிவியல் (Geometry): கீழ்க்காணும் மூன்று சமன்பாடுகளை எடுத்துக் கொள்வோம்.

[படங்கள் 1.5, 1.6, 1.7]

(i) \(2x - y = 0\) என்ற சமன்பாடு ஒரு நேர்க்கோட்டை அமைக்கின்றது. தெளிவாக \((1, 2), (3, 6)\) போன்ற புள்ளிகள் இந்நேர்க்கோட்டில் அமையும்போது, \((1, 1), (3, 5), (4, 5)\) போன்ற புள்ளிகள் இந்நேர்க்கோட்டில் அமையவில்லை. x மற்றும் y இடையேயான பகுமுறை தொடர்பு \(y = 2x\) ஆகும். எனவே இந்நேர்க்கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளையும் \(\{(x, 2x): x \in \mathbb{R}\}\) என எழுதலாம். இக்கணமானது \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) –ன் உட்கணமாகும் (படம் 1.5).

(ii) \(x^2 - y = 0\)

ஏற்கனவே விவாதித்தபடி, இங்கு x மற்றும் y -க்கு இடையேயான தொடர்பு \(y = x^2\) ஆகும். இந்த வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளிகளின் கணம் \(\{(x, x^2): x \in \mathbb{R}\}\) ஆகும் (படம் 1.6). இதுவும் கார்டீசியன் பெருக்கலான \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) –ன் உட்கணமாகும்.

(iii) \(x - y^2 = 0\)

மேற்கண்ட விளக்கங்களிலிருந்து, இங்கு x மற்றும் y க்கு இடையேயான தொடர்பு \(y^2 = x\) அல்லது \(y = \pm \sqrt{x}, x \ge 0\) ஆகும். இச்சமன்பாட்டினை \(y = \sqrt{x}\) மற்றும் \(y = -\sqrt{x}\) எனவும் பிரித்து எழுதலாம். இவ்வளைவரையின் மீதான புள்ளிகளின் கணம், x எனும் குறையற்ற மெய்யெண்களால் ஆன \(\{(x, \sqrt{x})\}, \{(x, -\sqrt{x})\}\) என்கிற புள்ளிகளின் கணம் கணங்களின் சேர்ப்பு ஆகும். மேலும் இது கார்டீசியன் பெருக்கலான \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) –ன் உட்கணங்களாகும் (படம் 1.7).

மேற்கண்ட மூன்று உதாரணங்களிலிருந்து தொடர்பு என்ற சொல்லுக்கு ஓரளவு விளக்கம் தெரியவருகிறது. x உள்ள ஒரு கணத்திற்கும் y உள்ள மற்றொரு கணத்திற்கும் இடையே ஒரு ஒத்திசைவு உள்ளது. நுட்பமான வார்த்தைகளுக்கு, கணிதத்தில் ஏற்றுக் கொள்ளக் கூடிய வரையறை தேவை. எனவே கணிதப் பார்வையில் ‘தொடர்பு’ என்பதன் வரையறையைக் காண்போம்.

தொடர்பின் வரையறை (Definition of Relation)

\(A = \{p, q, r, s, t, u\}\), என்பது மாணவர்களின் கணம் என்க. \(B = \{X, Y, Z, W\}\), என்பது பள்ளிகளின் கணம் என்க. கீழ்க்காணும் தொடர்பினை எடுத்துக் கொள்வோம்.

“a” எனும் மாணவர் S எனும் பள்ளியில் படித்திருந்தால் அல்லது படிக்கிறார் எனில், மாணவர் \(a \in A\) க்கு பள்ளி \(S \in B\) யுடன் தொடர்பு எனக் கொள்வோம்.

கீழ்க்காணும் நிலையினை எடுத்துக் கொள்வோம். அதாவது,

p என்ற மாணவர் X என்ற பள்ளியில் படித்துவிட்டு, தற்போது W என்ற பள்ளியில் படித்துக் கொண்டிருக்கிறார். q என்பவர் X -ல் படித்துவிட்டு தற்போது Y-ல் படித்துக் கொண்டிருக்கிறார். r என்பவர் X மற்றும் Z -ல் படித்துவிட்டு, தற்போது W-ல் படிக்கின்றார். s என்பவர் X என்ற பள்ளியிலேயே தொடர்ந்து படித்துக் கொண்டிருக்கின்றார். t என்பவர் Z இல் படிப்பை முடித்துவிட்டு வேறு பள்ளிகளில் தொடரவில்லை. u என்பவர் இந்த நான்கு பள்ளிகளிலும் படிக்கவில்லை என எடுத்துக்கொள்வோம்.

இங்குத் தொடர்புகள் வெளிப்படையாக இருந்தாலும், ஒரு தொடர்பை எப்போதும் இவ்வகையில் தருவது சாத்தியமில்லை. எனவே வேறு சில வகைகளில் இத்தொடர்பைக் குறிப்பிட இயலுமா என கீழ்க்காணுமாறு முயல்வோம்.

(i) p p q q r r r s t

X W X Y X Z W X Z

(ii)

X: p, q, r, s Y: q Z: r, t W: p, r

(iii) {(p, X), (p, W), (q, X), (q, Y), (r, X), (r, Z), (r, W), (s, X), (t, Z)}

(iv) pRX, pRW, qRX, qRY, rRX, rRZ, rRW, sRX, tRZ

மேற்கண்ட நான்கு அமைப்புகளில், கணங்களின் அடிப்படையில் தொடர்புகளைக் கையாள்வதற்கு ஏற்ற வகையில் வசதியாக மூன்றாவது அமைப்பு உள்ளது.

மூன்றாவது அமைப்பில் தரப்பட்டுள்ள கணமானது கார்டீசியன் பெருக்கலான \(A \times B\) –ன் உட்கணமாகும். மேலும் விளக்க எடுத்துக்காட்டுகளான 1.1 மற்றும் 1.2 ஆகியவற்றிலும் ஒரு கார்டீசியன் பெருக்கலின் ஒரு உட்கணத்தை நம்மால் பெற முடிந்தது என்பதனை நினைவில் கொள்வோம்.

வரையறை 1.2

A மற்றும் B என்பவை இரு வெற்றற்ற கணங்கள் என்க. A -லிருந்து B -க்கு வரையறுக்கப்படும் தொடர்பு (relation) R என்பது A மற்றும் B -ன் கார்டீசியன் பெருக்கலின் உட்கணமாகும். குறியீட்டின்படி \(R \subseteq A \times B\) ஆகும்.

A -லிருந்து B -க்கு வரையறுக்கப்படும் தொடர்பும் B -லிருந்து A -க்கு வரையறுக்கப்படும் தொடர்பும் வெவ்வேறானவை என்பதைத் தெரிந்து கொள்க.

\(\{a \in A: (a, b) \in R \text{ ஏதோ ஒரு } b \in B\}\) என்ற கணம் தொடர்பின் சார்பகம் (domain) எனப்படும். \(\{b \in B: (a, b) \in R \text{ ஏதோ ஒரு } a \in A\}\) என்ற கணம் தொடர்பின் வீச்சகம் (range) எனப்படும். எனவே, தொடர்பு R –ன் சார்பகம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி உறுப்புகளிலுள்ள முதல் ஆயக்கூறுகளின் கணமாகவும், தொடர்பு R –ன் வீச்சகம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி உறுப்புகளிலுள்ள இரண்டாவது ஆயக்கூறுகளின் கணமாகவும் அமையும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.3 கீழ்க்காணும் படத்தினை எடுத்துக் கொள்வோம் [படம் 1.8].

படத்தில் ஆங்கில அகர வரிசை எழுத்துகள் இயல் எண்களோடு கோர்க்கப்படுகிறது. ஒரு எளிய சங்கேதமொழி என்பது ஒவ்வொரு எழுத்திற்கும் ஒரு இயல் எண் ஒதுக்கப்படுவதாகும். அதாவது, a -ஐ குறிக்க 1, b -ஐ குறிக்க 2, …, z -ஐ குறிக்க 26 என்பதாகும். இந்த ஒத்திசைவை \(\{(a, 1), (b, 2), ..., (z, 26)\}\) என வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி கணமாக எழுதலாம். இந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கணம் ஒரு தொடர்பாகும். இந்தத் தொடர்பின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் முறையே \(\{a, b, ..., z\}\) மற்றும் \(\{1, 2, ..., 26\}\) ஆகும்.

இப்போது விளக்க எடுத்துக்காட்டுகள் 1.1 மற்றும் 1.2 ஆகியவற்றில் தொடர்பானது ஒரு கார்டீசியன் பெருக்கலின் உட்கணமாக அமைந்துள்ளதையும் அவை வரையறை 1.2 -ன் நியதிக்குட்படுவதையும் நினைவு கூர்வோம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.1 -ல் உள்ள தொடர்பின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் முறையே \(\{L, E, T, U, S, W, I, N\}\) மற்றும் \(\{O, H, W, X, V, Z, L, Q\}\) ஆகும். எடுத்துக்காட்டு 1.2 -ல் \(2x - y = 0\) என்ற தொடர்பின் சார்பகம் R மற்றும் வீச்சகமும் R ஆகும் [படம் 1.9]. \(x^2 - y = 0\) என்ற தொடர்பின் சார்பகம் R மற்றும் அதன் வீச்சகம் \([0, \infty)\) ஆகும் [படம் 1.10]. \(x - y^2 = 0\) என்ற தொடர்பின் சார்பகம் \([0, \infty)\) மற்றும் வீச்சகம் R ஆகும் [படங்கள் 1.11, 1.12].

தொடர்பின் சார்பகமானது கார்டீசியன் பெருக்கலின் முதல் கணத்தின் உட்கணமாகவும், தொடர்பின் வீச்சகமானது இரண்டாவது கணத்தின் உட்கணம் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது. வழக்கமாக, இரண்டாவது கணத்தைத் தொடர்பின் துணைச்சார்பகம் (co-domain) என அழைக்கப்படுகிறது. ஆகையால் தொடர்பின் வீச்சகம் என்பது சார்பகத்திலுள்ள உறுப்புகளுக்குத் தொடர்புடைய துணைச்சார்பக உறுப்புகளின் தொகுப்பு ஆகும். துணைச்சார்பகத்தின் உட்கணமே தொடர்பின் வீச்சகமாகும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

\(\emptyset\) மற்றும் \(A \times A\) ஆகிய கணங்கள், கார்டீசியன் பெருக்கலான \(A \times A\) -ன் உட்கணங்களாக அமைகின்றது. இவ்விரண்டு தொடர்புகள் உச்சத் தொடர்புகள் (extreme relations) என அழைக்கப்படுகின்றன. \(\emptyset\) என்பது வெற்றுத்தொடர்பு (empty relation) எனவும் \(A \times A\) என்பது அனைத்துத் தொடர்பு (universal relation) எனவும் அழைக்கப்படும்.

சார்பகம், துணைச்சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் பற்றிய மேலான கருத்துக்களை “சார்புகள்” எனும் அடுத்த பகுதியில் விரிவாக ஆராய்வோம்.

A –லிருந்து B–க்கு R ஒரு தொடர்பு மற்றும் \((x, y) \in R\) எனில், இதனை \(xRy\) (“x” ஆனது “y” யுடன் தொடர்புடையது என வாசிக்கவும்) எனவும், \((x, y) \notin R\) எனில் \(x \not R y\) (“x” ஆனது “y” யுடன் தொடர்பற்றது என வாசிக்கவும்) எனவும் எழுதுவது மரபு.

தொடர்பானது ஒரு கணத்திலிருந்து மற்றொரு கணத்திற்கு என வரையறை செய்யப்பட்டிருந்தாலும் கணித நோக்கில் ஒரே கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் தொடர்பு மிகவும் முக்கியமானதாக அமையும். அதாவது சார்பகமும் துணைச்சார்பகமும் ஒரே கணமாக இருக்கும் தொடர்புகள் மிகுந்த முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகத் திகழ்கின்றன. எனவே ஒரு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் தொடர்புகளின் மீது கவனம் செலுத்துவோம்.

1.5.1 தொடர்புகளின் வகைகள் (Type of relations)#

கீழ்க்காணும் உதாரணங்களைக் கவனிக்கவும்.

(i) \(S = \{1, 2, 3, 4\}\), என்க. மேலும் S-ன் மீது \(R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 3)\}\), என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(ii) \(S = \{1, 2, 3, ..., 10\}\), என்க. “m ஆனது n -ன் வகுத்தியாக இருந்தால் m ஆனது n உடன் தொடர்புடையது” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(iii) C என்பது தளத்திலுள்ள அனைத்து வட்டங்களின் கணம் என்க. “C -ன் ஆரமும் C’-ன் ஆரமும் சமமாக இருந்தால் வட்டம் C ஆனது வட்டம் C’ உடன் தொடர்புள்ளது” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(iv) அனைத்து மக்களையும் கொண்ட கணம் S -ல் “a என்பவர் b -ன் சகோதரராக இருந்தால் a ஆனது b உடன் தொடர்புடையவர்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(v) S என்பது அனைத்து மக்களையும் கொண்ட கணம் என்க. S மீது “தாயாக இருந்தால்” எனும் விதியால் தொடர்பினை வரையறுக்கவும்.

இரண்டாவது உதாரணத்தில் ஒவ்வொரு எண்ணும் தனக்குத்தானே வகுபடுவதால் “அனைத்து \(a \in S\) -க்கும் a ஆனது a உடன் தொடர்புடையது”; இதே கூற்று மூன்றாவது உதாரணத்திற்கும் உண்மையாகும். ஆனால் முதல் உதாரணத்திற்கு “அனைத்து \(a \in S\) -க்கும் a ஆனது a உடன் தொடர்புடையது” என்பது உண்மையன்று. ஏனெனில் 2 உடன் 2 தொடர்பில் இல்லை.

“a ஆனது b உடன் தொடர்புடையது எனில் b ஆனது a உடன் தொடர்புடையது” எனும் பண்பினை இவ்வுதாரணங்களின் மூலம் எளிதாகச் சோதித்தியலாம். இது மூன்றாவது உதாரணத்தில் உண்மையாகிறது. ஆனால் இரண்டாவது உதாரணத்தில் உண்மையல்ல.

“a ஆனது b உடன் தொடர்புடையது மற்றும் b ஆனது c உடன் தொடர்புடையது எனில் a ஆனது c உடன் தொடர்புடையது” என்பதை மிக எளிதாகச் சோதித்திய இயலும். இது இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உதாரணத்தில் உண்மையாகும். ஆனால் ஐந்தாவதில் உண்மையில்லை.

இப்பண்புகளுடன் மேலும் சில பண்புகள் கணித வடிவமைப்பில் அதிகமாக தேவைப்படுகிறது. அவற்றை இங்கு வரையறுக்கலாம்.

வரையறை 1.3

S என்பது ஏதேனும் ஒரு வெற்றற்ற கணம் என்க. S இன் மீதான ஒரு தொடர்பு R என்க. இப்போது,

• அனைத்து \(a \in S\) -க்கும் a ஆனது a உடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால் R ஆனது தற்கூடுத் தொடர்பு (reflexive) எனப்படும்.

• “a ஆனது b உடன் தொடர்புடையது எனில், b ஆனது a உடன் தொடர்புடையதாக அமையும்” என்றால் R ஆனது சமச்சீர் தொடர்பு (symmetric) எனப்படும்.

• “a ஆனது b உடன் தொடர்புடையது மற்றும் b ஆனது c உடன் தொடர்புடையது எனும்போது a ஆனது c உடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும்” என்றால் R ஆனது கடப்புத் தொடர்பு (transitive) எனப்படும்.

இம்மூன்று தொடர்புகள் அடிப்படைத் தொடர்புகள் எனப்படும். இம்மூன்று அடிப்படைத் தொடர்புகளை வேறு வடிவத்தில் காண்போம்.

S என்பது ஏதேனும் ஒரு கணம் என்க. S இன் மீதான ஒரு தொடர்பு R என்க.

இப்போது R ஆனது,

• அனைத்து \(a \in S\) -க்கும், \((a, a) \in R\) எனில், அத்தொடர்பு ஒரு தற்கூடு தொடர்பாகும்;

• “\((a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R\)” எனில் R- சமச்சீர் தொடர்பாகும்;

• “\((a, b), (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R\)” எனில் R- கடப்பு தொடர்பு எனப்படும்.

வரையறை 1.4

S என்பது ஏதேனும் ஒரு கணம் என்க. S -ல் உள்ள ஒரு தொடர்பு R, தற்கூடு, சமச்சீர், மற்றும் கடப்பு தொடர்பாக இருப்பின், அது சமானத் தொடர்பு (equivalent relation) ஆகும்.

கீழ்க்கண்ட இரு தொடர்புகளைக் கருதுவோம்.

(i) அனைத்து மக்களையும் கொண்டுள்ள கணம் \(S_1\) -ல் தொடர்பு \(R_1\) என்பதனை “a என்பவர் b-ன் சகோதரர் எனில், a ஆனது b உடன் தொடர்புடையது” என்ற விதிப்படி வரையறுப்போம்.

(ii) அனைத்து ஆண்களையும் கொண்டுள்ள கணம் \(S_2\) -ல் தொடர்பு \(R_2\) என்பதனை “a என்பவர் b-ன் சகோதரர் எனில், a ஆனது b உடன் தொடர்புடையது” என்ற விதிப்படி வரையறுப்போம்.

\(S_1\) மற்றும் \(S_2\) கணங்களின் மீதான தொடர்புகளை வரையறுக்கும் விதிகள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. ஆனால் கணங்கள் வெவ்வேறானவை. தொடர்பு \(R_1\), கணம் \(S_1\) -ல் சமச்சீர் தொடர்பன்று. அதே சமயம் தொடர்பு \(R_2\), கணம் \(S_2\) -ல் சமச்சீர் தொடர்பாகும். இதன் மூலம் தொடர்பை வரையறுக்கும் விதிகள் மட்டுமன்றி எந்தக் கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதுவும் முக்கியமானது என்பது புலப்படுகிறது. எனவே தொடர்பை வரையறுக்கும்போது தொடர்புக்கான விதியுடன் தொடர்புக்கான கணத்தைப் பற்றிய முழு விவரமும் இன்றியமையாதது.

\(\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\}\) எனும் தொடர்பு \(\{1, 2, 3\}\) என்ற கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்டால் அது தற்கூடாகும்; \(\{1, 2, 3, 4\}\) என்ற கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்டால் அது தற்கூடாகாது.

விளக்க எடுத்துக்காட்டுகள் 1.4

1. \(X = \{1, 2, 3, 4\}\) மற்றும் \(R = \{(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (4, 4), (1, 2), (3, 1)\}\). இங்கு \((1, 1), (2, 2), (3, 3)\) மற்றும் \((4, 4)\) ஆகிய அனைத்தும் R -ல் இருப்பதால் அது தற்கூடாகும். மேலும் ஒவ்வொரு உறுப்பு \((a, b) \in R\) -க்கும் உறுப்பு \((b, a) \in R\) -ல் இருப்பதால் அது சமச்சீராகும். ஆனால் \((2, 1), (1, 3) \in R\) மற்றும் \((2, 3) \notin R\) என அமைந்துள்ளதால் இது கடப்பு தொடர்பு ஆகாது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பன்று.

2. தளத்தில் அமைந்துள்ள அனைத்து நேர்க்கோடுகளின் கணம் P என்க. P மீதான தொடர்பு R ஆனது l எனும் நேர்க்கோடு m எனும் நேர்க்கோட்டிற்கு இணையாக இருந்தால் lRm என வரையறுக்கப்படுகிறது. இத்தொடர்பு தற்கூடு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகுமென்பதால் இது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

3. ஒரு குடும்பத்திலுள்ள குழந்தைகளோடு (2 மகள் மற்றும் 1 மகன்) பெற்றோர்கள் இருபவரும் உள்ள கணம் A என்க. a என்பவர் b–இன் சகோதரியாக இருந்தால் தொடர்பு R ஆனது aRb என வரையறுக்கப்படுகிறது என்க. சற்று இத்தொடர்பை பிகுந்த கவனத்துடன் நோக்குவோம். வழக்கமாக எந்தப் பெண்ணும் தனக்குத்தானே சகோதரி எனக் கருதுவதில்லை. எனவே அது தற்கூடில்லை. மேலும் அது சமச்சீரும் அல்ல. மேலும் தெளிவாக இது கடப்பு தொடர்பும் அல்ல, எனவே இது சமானத் தொடர்பும் அல்ல (ஆனால் கணத்தினை குடும்பத்திலுள்ள பெண்கள் மட்டும் கொண்டுள்ள கணம் என மாற்றும்போது சமச்சீர் தொடர்பாக மாறும். கடப்பாக மாறாது).

4. இயல் எண்களின் கணத்தில், \(x + 2y = 21\) எனில் தொடர்பு R ஆனது xRy என வரையறுக்கப்படுகிறது. தொடர்பினை வெளிப்படையாக எழுதும்போது தொடர்பு R ஆனது \(\{(1,10), (3,9), (5,8), (7,7), (9,6), (11,5), (13,4), (15,3), (17,2), (19,1)\}\) எனும் கணமாகும். இங்கு \((1, 1) \notin R\) என்பதால் தற்கூடு இல்லை; \((1, 10) \in R\) ஆனால் \((10, 1) \notin R\) என்பதால் சமச்சீரல்ல. \((3,9), (9,6) \in R\) ஆனால் \((3, 6) \notin R\), எனவே தொடர்பு கடப்பும் அல்ல.

5. \(X = \{1, 2, 3, 4\}\) மற்றும் \(R = \emptyset\) என்க. இங்கு \(\emptyset\) ஒரு வெற்று கணமாகும். \((1,1) \notin R\) என்பதால் அது தற்கூடு அல்ல. \((y, x) \notin R\) என்று அமையும் வகையில் \((x, y)\) என ஒரு உறுப்பினை R –ல் காண இயலாது என்பதால் இந்தத் தொடர்பு “சமச்சீர் அல்ல” என்பதனை ஏற்க இயலாது. ஆகையால் இது சமச்சீர் தொடர்பாகும். இதே போன்று இது கடப்பும் ஆகும்.

6. அனைத்துத் தொடர்பு எப்பொழுதும் சமானத் தொடர்பாகும்.

7. வெற்று தொடர்பினைச் சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பாகக் கருதலாம்.

8. ஒரு தொடர்புக்கான கணத்தில் ஒற்றை உறுப்பு மட்டும் இருந்தால் அதனைக் கடப்புத் தொடர்பாகக் கருதலாம்.

இப்போது மேலும் சில சிறப்புத் தொடர்புகளைப் பற்றி தெரிந்து கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.10 \(S = \{1,2,3,...,n\}\) எனும் கணத்தின் மீது தொடர்பு \(R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3),..., (n, n)\}\) எனில், மூன்று அடிப்படைத் தொடர்புகளையும் சோதிக்கவும்.

தீர்வு:

அனைத்து \(a \in S\) -க்கும், \((a, a) \in R\) என்பதால் R ஆனது தற்கூடாகும்.

\((b,a) \notin R\) என்பதுபோல் அமையுமாறு \((a,b) \in R\) என எந்த உறுப்பும் இல்லை. வேறு விதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொரு உறுப்பு \((a,b) \in R\) க்கும் \((b,a) \in R\) எனக் கூற முடியும். இதனால் R ஆனது சமச்சீராகும்.

\((a, c) \notin R\) எனுமாறு \((a, b)\) மற்றும் \((b, c)\) ஆகிய இரு உறுப்புகளை R–ல் காண இயலாது. இதனால் “R ஆனது கடப்பு அல்ல” என்பது உண்மையன்று. எனவே “R ஆனது கடப்பு ஆகும்” என்ற கூற்று உண்மையாகும். எனவே R ஆனது கடப்பு ஆகும்.

இதனால் R ஆனது தற்கூடு, சமச்சீர், கடப்புத் தொடர்பு ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொடர்பு சமானத் தொடர்பாகும்.

தொடக்கம் முதல் அனைத்துத் தொடர்புகளையும் நாம் R என்ற ஒரே குறியீட்டால் பயன்படுத்தி வருகிறோம். அவ்வாறு மட்டுமே குறிப்பிட வேண்டும் என அவசியம் இல்லை. தொடர்பினைக் குறிக்க, கிரேக்க எழுத்தான \(\rho\) (ரோ என வாசிக்கவும்) என்பதனை நாம் பயன்படுத்தலாம். சமானத் தொடர்பினைப் பெரும்பாலும் “~” என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது.

தொடர்பானது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான தொடர்பாக இல்லையெனில், சில உறுப்புகளைச் சேர்த்தோ அல்லது நீக்கியோ தேவைப்படும் தொடர்பாக உருவாக்க இயலும். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டின் மூலம் இதனை அறிந்து கொள்ளலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.11

\(S = \{1, 2, 3\}\) மற்றும் \(\rho = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 1)\}\) என்க.

(i) \(\rho\) என்பது தற்கூடுத் தொடர்பா? இல்லையெனில் காரணத்தைக் கூறி மேலும் \(\rho\) -ஐ தற்கூடாக உருவாக்க \(\rho\) உடன் சேர்க்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளை எழுதுக.

(ii) \(\rho\) என்பது சமச்சீர் தொடர்பா? இல்லையெனில் காரணம் கூறுக. மேலும் \(\rho\) -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க \(\rho\) உடன் சேர்க்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளையும், \(\rho\) -விருந்து நீக்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளையும் எழுதுக.

(iii) \(\rho\) என்பது கடப்புத் தொடர்பா? இல்லையெனில் காரணம் கூறுக. மேலும் \(\rho\) -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க \(\rho\) விருந்து நீக்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளையும், சேர்க்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளையும் எழுதுக.

(iv) \(\rho\) என்பது சமானத் தொடர்பா? இல்லையனில் காரணம் கூறுக. மேலும் \(\rho\) -ஐ சமானத் தொடர்பாக உருவாக்க அதனுடன் சேர்க்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகள எழுதுக.

தீர்வு:

(i) \((3, 3)\) என்பது \(\rho\) -ல் இல்லை என்பதால் \(\rho\) ஆனது தற்கூடு அல்ல. \((1, 1)\) மற்றும் \((2, 2)\) ஆகியவை \(\rho\) -ல் இருப்பதால் \(\rho\) -ஐ தற்கூடாக உருவாக்க \((3, 3)\) என்ற உறுப்பினை மட்டும் சேர்த்தால் போதுமானது.

(ii) \(\rho\) ஆனது சமச்சீர் அல்ல. ஏனெனில் \((1, 2)\) என்பது \(\rho\) -ல் உள்ளது. ஆனால் \((2, 1)\) என்பது \(\rho\) -ல் இல்லை. \(\rho\) -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க \((2, 1)\) என்ற உறுப்பினை மட்டும் சேர்த்தால் போதுமானது. \((1, 2)\) என்ற உறுப்பினை \(\rho\) விலிருந்து நீக்கியும் \(\rho\) -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க இயலும்.

(iii) \(\rho\) ஆனது கடப்பு தொடர்பு அல்ல. ஏனெனில் \((3, 1)\) மற்றும் \((1, 3)\) ஆகியவை \(\rho\) -ல் உள்ளன. ஆனால் \((3, 3)\) ஆனது \(\rho\) -ல் இல்லை. \(\rho\) -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க \((3, 3)\)-ஐ சேர்க்க வேண்டும். அவ்வாறு சேர்த்த பின்னரும் தொடர்பானது கடப்புத் தொடர்பாக இல்லை. ஏனெனில் \((3, 1)\) மற்றும் \((1, 2)\) ஆகியவை \(\rho\) -ல் உள்ளன. ஆனால் \((3, 2)\) என்பது \(\rho\) -ல் இல்லை. எனவே \(\rho\) -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க \((3, 2)\) -ஐ \(\rho\) -ல் சேர்க்க வேண்டும். இப்பொழுது இது கடப்பு தொடர்பாக மாறும். எனவே \(\rho\) -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க \((3, 3)\) மற்றும் \((3, 2)\) ஆகியவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும். ஆனால் \((3, 1)\)-ஐ நீக்கிவிட்டால் கடப்புத் தொடர்பாக மாறிவிடும்.

(iv) இவ்வாறாக,

• \(\rho\) -ஐ தற்கூடாக உருவாக்க \((3, 3)\) -ஐ நாம் சேர்க்க வேண்டும்.

• \(\rho\) -ஐ சமச்சீராக உருவாக்க \((2, 1)\) -ஐ நாம் சேர்க்க வேண்டும்.

• \(\rho\) -ஐ கடப்பு தொடர்பாக உருவாக்க \((3, 3)\) மற்றும் \((3, 2)\) -ஐ சேர்க்க வேண்டும் எனக் கண்டறிந்தோம்.

சமானத் தொடர்பாக \(\rho\) -ஐ உருவாக்க மேற்கண்ட உறுப்புகளை நாம் சேர்க்க வேண்டும்.

இந்த உறுப்புகளைச் சேர்த்தபிறகு தொடர்பானது

என அமையும்.

இந்தக் தொடர்பானது தற்கூடு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பு எனக் கண்டறியலாம். இதனால் இது சமானத் தொடர்பாகும். எனவே சமானத் தொடர்பை உருவாக்க \((3, 3), (2, 1), (3, 2)\) மற்றும் \((2, 3)\) ஆகியவற்றை \(\rho\) -ல் சேர்க்க வேண்டும்.

இப்போது தொடர்புகள் சில பண்புகளைக் கொண்டிருக்குமாறு எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் கீழ்க்காணும் எடுத்துக்காட்டிலிருந்து நம்மால் புரிந்து கொள்ள இயலும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.12 \(A = \{0, 1, 2, 3\}\) என்க. A -ல் கீழ்க்காணும் வகையில் தொடர்புகளை அமைக்கவும்.

(i) தற்கூடு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு அல்லாத தொடர்பு.

(ii) தற்கூடு மற்றும் சமச்சீர் அல்லாமல் கடப்பு தொடர்பு.

(iii) தற்கூடு மற்றும் கடப்பு அல்லாமல் சமச்சீராகும் தொடர்பு.

(iv) தற்கூடு அல்லாமல் சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பு.

(v) சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு அல்லாமல் தற்கூடு தொடர்பு.

(vi) சமச்சீர் அல்லாமல் தற்கூடு மற்றும் கடப்பு தொடர்பு.

(vii) கடப்பு அல்லாமல் தற்கூடு மற்றும் சமச்சீர் தொடர்பு.

(viii) தற்கூடு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பு.

தீர்வு

(i) \((1, 2)\) என்ற உறுப்பின் மூலம் “சமச்சீர் அல்ல” என உருவாக்கப் பயன்படுத்துவோம். மேலும் \(\{(1, 2)\}\) என்ற தொடர்பு, வரையறையின்படி கடப்பு ஆகும். \((2, 3)\)-ஐ சேர்த்து, \((1, 3)\)-ஐ நீக்கினால் தொடர்பானது கடப்பு அல்ல. எனவே தொடர்பு \(\{(1,2), (2,3)\}\) என்பது தற்கூடு அல்ல, சமச்சீர் அல்ல மற்றும் கடப்பும் அல்ல. இதே போன்று பல உதாரணங்கள் கொடுக்க இயலும்.

(ii) வரையறையின் படி, தொடர்பு \(\{(1, 2)\}\) என்பது கடப்பு தொடர்பாகவும் அதே நேரத்தில், தற்கூடு மற்றும் சமச்சீர் அல்லாமலும் உள்ளதை அறிவோம்.

(iii) \((1, 2)\) என்ற உறுப்போடு தொடங்குவோம். நமக்குச் சமச்சீர் தேவை என்பதால் \((2, 1)\) என்ற உறுப்பினைச் சேர்க்க வேண்டும். இந்நிலையில் \((1, 1), (2, 2)\) ஆகிய உறுப்புகள் இல்லாமையால் தொடர்பானது கடப்பும் அல்ல, தற்கூடும் அல்ல. இதனால் \(\{(1,2), (2,1)\}\) என்பது தற்கூடும் அல்ல, கடப்பும் அல்ல. ஆனால் இது சமச்சீர் ஆகும்.

(iv) மேல் விவாதிக்கப்பட்ட தொடர்பில் \((1, 1)\) மற்றும் \((2, 2)\) என்ற உறுப்புகளைச் சேர்த்தால் அது கடப்பாக மாறும். எனவே, \(\{(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)\}\) என்பது தற்கூடு அல்ல ஆனால் சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு தொடர்பாகும்.

(v) \(\{0, 1, 2, 3\}\) -ல் அமைந்த தொடர்பானது தற்கூடாக இருக்க வேண்டுமெனில் \((0, 0), (1, 1), (2,2), (3, 3)\) என்ற உறுப்புகள் கண்டிப்பாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் இது சமச்சீர் மற்றும் கடப்புத் தொடர்பாகவும் அமையும். எனவே, (i) இல் சேர்த்தது போல் \((1, 2)\) மற்றும் \((2, 3)\) சேர்த்தால் தேவை பூர்த்தியாகிவிடும். ஆகவே, \(\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)\}\) என்பது தற்கூடாகும், ஆனால் சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு அல்ல.

(vi) மேற்கண்ட முறையையே கடைப்பிடித்தால் \(\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\}\) என்பது தற்கூடு ஆகும், கடப்பு ஆகும் ஆனால் சமச்சீர் அல்ல.

(vii) இதே போன்று \(\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2)\}\) என்பது தற்கூடு மற்றும் சமச்சீர் ஆகும் ஆனால் கடப்பு அல்ல.

(viii) \(\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}\) என்பது தற்கூடு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.13 Z என்ற கணத்தில், \(m - n\) என்பது 12 -ன் மடங்காக இருந்தால் தொடர்பு mRn என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில், R ஒரு சமானத் தொடர்பு என நிரூபிக்க.

தீர்வு:

\(m - m = 0\) என்பதால், \(0 = 0 \times 12\) என எழுதுவதன்மூலம் பூஜ்ஜியமும் 12 -ன் மடங்கு என்பது உண்மை. ஆகவே mRm என்பது எல்லா \(m \in \mathbb{Z}\) -க்கும் பொருந்தும். எனவே, R தற்கூடாகும்.

mRn என்க. அப்பொழுது \(k \in \mathbb{Z}\) -க்கு \(m - n = 12k\) ஆகும். இதனால் \(n - m = 12(-k)\). ஆகையால் nRm ஆகும். இது R சமச்சீர் என்பதைக் காட்டுகிறது.

mRn மற்றும் nRp என்க. அதாவது \(k, l \in \mathbb{Z}\) -க்கு, \(m - n = 12k\) மற்றும் \(n - p = 12l\) ஆகும். ஆகவே \(m - p = 12(k + l)\). அதாவது mRp. இது R என்பது கடப்பு தொடர் எனக் காட்டுகிறது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

தேற்றம் 1.1: m உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^{mn}\) ஆகும். குறிப்பாக n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் மீதான தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n^2}\) ஆகும்.

நிரூபணம்: A மற்றும் B கணங்களின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை முறையே m மற்றும் n என்க. ஆதலால் \(A \times B\) -ல் mn உறுப்புகள் உள்ளது. எனவே அதற்கு \(2^{mn}\) உட்கணங்கள் உள்ளது. \(A \times B\) –ன் ஒவ்வொரு உட்கணமும் A–விருந்து B–க்குரிய ஒரு தொடர்பை வரையறுக்கும் என்பதால், n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திற்கு m உறுப்புகள் கொண்ட கணத்திலிருந்து வரையறுக்கப்படும் தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^{mn}\) ஆகும். \(A = B\) என எடுத்துக்கொண்டால் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் மீதான தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n^2}\) ஆகும்.

குறிப்பு: (i) n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் மீதான தற்கூடுத் தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n^2 - n}\) ஆகும்.

(ii) n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் மீதான சமச்சீர் தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை \(2^{\frac{n^2 + n}{2}}\) ஆகும்.

வரையறை 1.5

R என்பது A–லிருந்து B-க்கு உள்ள ஒரு தொடர்பு எனில், B–லிருந்து A-க்கு \(R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}\) என வரையறுக்கப்படும் தொடர்பு, R-ன் நேர்மாறு (inverse) ஆகும்.

உதாரணமாக, தொடர்பு \(R = \{(1, a), (2, b), (2, c), (3, a)\}\) எனில் நேர்மாறு தொடர்பு \(R^{-1} = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2), (a, 3)\}\) ஆகும். R-ன் சார்பகம் \(R^{-1}\) -ன் வீச்சகமாகவும், R -ன் வீச்சகம் \(R^{-1}\) -ன் சார்பகமாகவும் மாறும்.

சமானத் தொடர்பின் மூலம் ஒரு கணத்தினை அதன் வெட்டா உட்கணங்களின் சேர்ப்பாக எழுத இயலும். இத்தகைய பிரித்தலை பிரிவினை எனலாம். இதனை கீழ்க்காணும் உதாரணம் மூலம் காணலாம். அனைத்து \(a, b \in \mathbb{Z}\) -க்கும் \(a - b = 3k, k \in \mathbb{Z}\) எனுமாறு தொடர்பு aRb வரையறுப்பின் R ஆனது \(\mathbb{Z}\) -ல் ஒரு சமானத் தொடர்பாக அமையும்.

இங்கு \(Z_0, Z_1, Z_2\) ஆகியவை வெட்டாக் கணங்கள் மட்டுமன்றி \(\mathbb{Z} = Z_0 \cup Z_1 \cup Z_2\).

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவினை \(S = S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_s\) –க்கு S மீதான R என்ற சமானத் தொடர்புக்கு \(x, y \in S_1\) எனில் xRy எனக் காணலாம். சமானத் தொடர்பு உயர் கணிதத்தில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பயிற்சி 1.2#

1. கீழ்க்காணும் தொடர்புகளுக்கு தற்கூடு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகியவற்றை பற்றி ஆராய்க

(i) மிகை முழு எண்களில் தொடர்பு R ஆனது “n -ன் வகுத்தி m ஆக இருந்தால் mRn” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(ii) P என்பது தளத்திலுள்ள அனைத்து நேர்க்கோடுகளின் கணத்தைக் குறிப்பதாகக் கொள்க. தொடர்பு R என்பது “l ஆனது m–க்குச் செங்குத்தாக இருந்தால் lRm” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(iii) A என்பது ஒரு குடும்பத்தின் உறுப்பினர்கள் அனைவரையும் கொண்ட கணமாகக் கருதுக. “a என்பவர் b -ன் சகோதரி இல்லையெனில் தொடர்பு R ஆனது aRb” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(iv) A என்பது ஒரு குடும்பத்தின் பெண் உறுப்பினர்கள் அனைவரையும் கொண்ட கணம் என்க. தொடர்பு R என்பது “a என்பவர் b -ன் சகோதரி இல்லையெனில் தொடர்பு R ஆனது aRb” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(v) அனைத்து இயல் எண்களின் கணத்தில் தொடர்பு R என்பது “x + 2y = 1” எனில் xRy என வரையறுக்கப்படுகிறது.

2. \(X = \{a, b, c, d\}\) மற்றும் \(R = \{(a, a), (b, b), (a, c)\}\) என்க. தொடர்பு R -ஐ

(i) தற்கூடு (ii) சமச்சீர் (iii) கடப்பு (iv) சமானத் தொடர்பு என உருவாக்க R-உடன் சேர்க்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளை எழுதுக.

3. \(A = \{a, b, c\}\) மற்றும் \(R = \{(a, a), (b, b), (a, c)\}\) என்க. தொடர்பு R-ஐ (i) தற்கூடு (ii) சமச்சீர் (iii) கடப்பு (iv) சமானத் தொடர்பு என உருவாக்க R-உடன் சேர்க்க வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகளை எழுதுக.

4. ஒரு தளத்திலுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களின் கணத்தை P என்போம். P -ல் R என்ற தொடர்பானது “a ஆனது b -ன் வடிவொத்தாக இருப்பின் aRb” என வரையறுக்கப்படுகிறது. R என்பது சமானத் தொடர்பு என நிறுவுக.

5. இயல் எண்களின் கணத்தில் R என்பது “2a + 3b = 30 எனில் aRb” என வரையறுக்கப்படுகிறது. R-ல் உள்ள உறுப்புகளை எழுதுக. அது (i) தற்கூடு (ii) சமச்சீர் (iii) கடப்பு (iv) சமானத் தொடர்பா என்பதை சரிபார்க்க.

6. சென்னையில் உள்ள மக்களின் கணத்தில் “நட்பு” ஒரு சமானத் தொடர்பா என்பதனை நிறுவுக.

7. இயல் எண்களில் கணத்தில் தொடர்பு R ஆனது “a + b ≤ 6 ஆக இருந்தால் aRb” என வரையறுக்கப்படுகிறது. R–ல் உள்ள உறுப்புகளை எழுதுக. அது (i) தற்கூடு (ii) சமச்சீர் (iii) கடப்பு (iv) சமானத் தொடர்பு என்பதை சரிபார்க்க.

8. \(A = \{a, b, c\}\) என்க. A-ன் மீதான மிகச்சிறிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு என்ன? A-ன் மீதான மிகப்பெரிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு என்ன?

9. \(\mathbb{Z}\) -ல் “m - n ஆனது 7 ஆல் வகுபடுமெனில் mRn” எனத் தொடர்பு R வரையறுக்கப்பட்டால் R என்பது சமானத் தொடர்பு என நிரூபிக்க.

1.6 சார்புகள் (Functions)#

ஆகாய வெளியில் ஒரு பொருள் நகர்கிறது எனவும், மேலும் அந்த பொருளை ஒரு புள்ளியாகவும் எடுத்துக்கொள்வோம். கால நேரத்தினைப் பொறுத்து பொருளின் நிலையும் மாறும். கணித முறையில், எந்த நேரத்திலும் \(R^3\) என்ற முப்பரிமாண வெளியில் அப்புள்ளி ஒரு இடத்தினைப் பெறுகிறது. கால நேரத்தினை 0 -லிருந்து 1 வரையிலான இடைவெளியாகக் கொள்வோம். இந்த இடைவெளியில் பொருளின் இடப்பெயர்வு அல்லது செயல்பாடானது பொருளின் நிலையினை முடிவு செய்கிறது. மாற்று மொழியில் கூறுவதாயின் ஒவ்வொரு \(t \in [0, 1]\) –க்கும் பொருளின் செயல்பாடானது \(R^3\) -ல் ஒரு புள்ளியை தருகிறது. t எனும் எந்நேரத்திலும் பொருளின் நிலையினை \(f(t)\) எனக் குறிக்கலாம்.

இன்னொரு உதாரணமாக நேர்க்கோட்டைக் குறிக்கும் சமன்பாடு \(2x - y = 0\) -ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இங்கு x -ஐ எடுத்துக் கொள்ளும் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும், y ஒரு மதிப்பினைப் பெறும். இங்கு y -ன் நகர்வு அல்லது செயல்பாடு x -ஐ பொறுத்து அமையும். இந்த y -ஐ \(f(x)\) எனக் குறிக்கலாம். இயற்கையில் இவ்வாறான நிகழ்வுகள் ஏராளமாக உள்ளன. இவற்றை ஆராயும் போது, ஒரு கணியத்தின் மாறுபாடு மற்றொரு கணியத்தினை சார்ந்திருப்பதை அறியலாம்.

நேரத்திற்கும் பொருளின் நிலைக்கும் உள்ள தொடர்பு, x - அச்சுத் தொலைவுக்கும் y - அச்சுத் தொலைவுக்கும் உள்ள தொடர்பு, மற்றும் இது போன்ற பல கருத்தாக்கங்கள் பற்றிய ஆய்வுக்கு முன்னோடியாக ‘சார்பு’ என்ற பெயரில் கையாளப்பட்டுள்ளது. கணிதவியலாளர் கேன்டர் என்பவருக்கு முன்னதாக, சார்பானது ஒரு மாறி இன்னொரு மாறியுடன் கொண்டுள்ள இசைவு விதியாகவே உணரப்பட்டது. அதற்குப் பின்னர் கணவியல் வளர்ச்சியின் காரணமாக சார்பு என்பது A என்ற கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் B என்ற கணத்தில் உள்ள ஒரு தனித்த உறுப்பினை இணைக்கும் விதியாக காணப்பட்டது. கணித ரீதியாக இசைவு மற்றும் விதி என்ற சொற்கள் முறையாக வரையறுக்கப்படவில்லை. தற்கால கணிதத்தில் ‘தொடர்பு’ வழியாக சார்பின் வரையறையானது முறையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

இதனை ஒரு விளக்க எடுத்துக்காட்டுடன் காண்போம். ஒரு வகுப்பில் உள்ள மாணவர்கள் எழுதிய தேர்வினைப் பற்றி விவாதிப்பதாகக் கொள்வோம். இது ஒரு தொடர்பு என்பது புலப்படும்.

A என்பது தேர்வு எழுதிய மாணவர்களின் கணம் என்க. \(B = \{0, 1, 2, 3, \dots, 100\}\) என்பது அவர்கள் பெறக்கூடிய சாத்தியமான மதிப்பெண்களின் கணம் என்க. தொடர்பு R –ஐ கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுப்போம்.

தேர்வில் a என்ற மாணவன் b என்ற மதிப்பெண் பெற்றிருந்தால் மாணவர் a -ஐ மதிப்பெண் b யுடன் தொடர்புபடுத்தலாம்.

இந்த உதாரணத்திலிருந்து கீழ்க்காணும் கருத்துகள் பெறப்படுகிறது.

• ஒவ்வொரு மாணவரும் ஒரு மதிப்பெண்ணைப் பெற்றுள்ளனர். வேறுவிதமாகக் கூறினால் அனைத்து \(a \in A\), \((a, b) \in R\) எனும் ஒரு ஏதேனும் ஒரு உறுப்பு \(b \in B\) -ல் இருக்கும்.

• ஒரே தேர்வில் ஒரு மாணவர் இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்பெண் பெற்றிருக்க முடியாது. வேறுவிதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொரு \(a \in A\), \((a, b) \in R\) எனுமாறு உறுதியாக ஒரே ஒரு உறுப்பு \(b \in B\) -ல் இருக்கும். இன்னும் வேறுவிதமாகக் கூறினால் \((a, b), (a, c) \in R\) எனில் \(b = c\) ஆகத்தான் இருக்க முடியும்.

மேற்கூறிய இரண்டு பண்புகளையும் கொண்டுள்ள தொடர்பானது ஒரு சார்பாக அமையும். இப்போது சார்புகளைப் பற்றிய முறையான வரையறையைக் காண்போம்.

வரையறை 1.6

A மற்றும் B ஆகியவை இரு கணங்கள் என்க. \(A \times B\) –இன் உட்கணமானத் தொடர்பு f ஆனது, A–விருந்து B–க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பு (function) எனக் கூற வேண்டுமாயின் கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும்.

(i) அனைத்து \(a \in A\) -க்கும் \((a, b) \in f\) எனுமாறு ஒரு உறுப்பு \(b \in B\) என அமைதல் வேண்டும்.

(ii) \((a, b), (a, c) \in f\) எனில் \(b = c\) என இருத்தல் வேண்டும்.

அதாவது, சார்பகத்திலிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்பும் வீச்சகத்திலுள்ள தனித்த ஒரு உறுப்புடன் கோர்த்துக்கும் தொடர்புதான் சார்பாகும்.

f-ன் சார்பகம் (domain) A மற்றும் f -ன் துணைச்சார்பகம் (co-domain) B ஆகும். \((a, b)\) ஆனது f-ல் இருந்தால் \(f(a) = b\) என எழுதுவோம். உறுப்பு b -ஐ a-ன் பிம்பம் (image) என்றும் a -ஐ b-ன் முன்பிம்பம் (pre-image) என்றும் கூறலாம். \(f(a)\) என்பது a-ல் f-ன் மதிப்பு ஆகும்.

\(\{b : (a, b) \in f \text{, ஏதோ சில } a \in A\}\) என்கிற கணத்தை சார்பின் வீச்சகம் (range) எனலாம். B ஆனது R -ன் உட்கணமாக இருப்பின், அச்சார்பு மெய்மதிப்புடைய சார்பு அல்லது மெய்மதிப்புச் சார்பு (real valued function) எனலாம்.

இரண்டு சார்புகள் f மற்றும் g சமம் (equal) எனில் அவற்றின் சார்பகங்கள் சமமாக இருந்து சார்பகத்திலுள்ள அனைத்து a -க்கும் \(f(a) = g(a)\) என இருந்தல் வேண்டும்.

\(f: A \to B\) என எழுதலாம். (நிகழ்வுக்கு ஏற்றபடி இதனை f, A -லிருந்து B அல்லது f ஆனது A -லிருந்து B -க்குள்ள சார்பு எனப் படிக்கவும்.). மேலும் f ஆனது A -ஐ B உடன் கோர்த்தல் என்றும் கூறலாம். \(f(a) = b\) என்பதை f ஆனது a -ஐ b -க்கு இணைக்கிறது, a ஆனது b -ன் மேல் f ஆல் இணைக்கப்படுகிறது என்றும் கூறலாம்.

சார்பின் வீச்சகம் என்பது துணைச்சார்பகத்தில் முன்பிம்பத்தைப் பெற்றுள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். தெளிவாக, சார்பின் வீச்சகமானது துணைச்சார்பகத்தின் உட்கணமாகும். மேலும் சார்பின் முதல் நிபந்தனையானது சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் கண்டிப்பாக பிம்பத்தினைப் பெற்றிருக்க வேண்டும் என்று கூறுகிறது. இரண்டாம் நிபந்தனையானது சார்பகத்திலுள்ள உறுப்பானது இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட பிம்பங்களைப் பெற்றிருக்க கூடாது என்றும் கூறுகிறது. ஒரு தொடர்பின் சார்பகத்தை நாம் A என்று அழைக்கவில்லை என்பதனை கவனத்தில் கொள்ளவும். பிம்பங்கள் உள்ள A -ன் உறுப்புகளின் கணமே தொடர்பின் சார்பகமாகும். இயல்பாகவே, ஒருவருக்கு கீழ்க்காணும் ஐயங்கள் எழலாம்.

• ஆங்கில வரையறையில், பிம்பம் a -க்கு நிச்சயப் பெயர்க்குறியான “the” என்பதையும், b -ன் முன்பிம்பத்திற்கு நிச்சயமற்ற பெயர்க்குறியான “a” என்பதையும் ஏன் பயன்படுத்துகிறோம்?

• சார்பகத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் கண்டிப்பாக பிம்பங்களைப் பெற்றிருக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனையில் கூறப்பட்டுள்ளது. அதே போன்று துணைச்சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் முன்பிம்பங்களைப் பெற்றிருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனை ஏதேனும் உண்டா? இல்லையெனில் ஏன்?

• சார்பகத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேலான பிம்பங்கள் இருக்க இயலாதென்ற நிபந்தனையை அறிவோம். அதே போன்று துணைச்சார்பகத்திலுள்ள ஒரு உறுப்புக்கு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேலான முன்பிம்பங்கள் இருக்க இயலுமா? இல்லையெனில் காரணம் யாது?

சார்பகத்திலுள்ள ஒரு உறுப்புக்கு ஒரே ஒரு பிம்பம்தான் இருக்கும். ஆனால் வரையறையின்படி துணைச்சார்பகத்திலுள்ள ஒரு உறுப்புக்கு ஒன்றுக்கு மேலான முன்பிம்பங்கள் இருக்க இயலும். எனவே சார்பகத்திலுள்ள உறுப்புக்கு பிம்பத்தைப் பற்றிப் பேசும்போது நிச்சயமான “the” யும், முன்பிம்பங்களைப் பற்றி பேசும்போது நிச்சயமற்ற பெயர்க்குறி ‘a’ உம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடைசி இரு வினாக்களுக்கு எந்தவித நிபந்தனைகளும் இல்லை. இதனை “மாணவர்கள் – மதிப்பெண்கள்” இடையேயான உதாரணம் மூலம் அறியலாம்.

எல்லா சார்பும் தொடர்பாகும் என்பது உண்மை என்றாலும் எல்லாத் தொடர்பும் சார்பாகும் என்று நம்மால் கூற இயலாது.

என எடுத்துக் கொள்வோம்.

f என்பது சார்பாக அமையுமா? கணம் \(\{a, b, c, d\}\) -விருந்து கணம் \(\{1, 2, 4\}\) -க்கு இது சார்பாக அமையும். கணம் \(\{a, b, c, d, e\}\) -விருந்து கணம் \(\{1, 2, 3, 4\}\) -க்கு இது சார்பாகாது. ஏனெனில் e என்ற உறுப்பு பிம்பத்தைப் பெற்றிருக்கவில்லை. கணம் \(\{a, b, c, d\}\) -விருந்து கணம் \(\{1, 2, 3, 5\}\) -க்கு இது சார்பாகாது. ஏனெனில் d -ன் பிம்பம் துணைச்சார்பகத்தில் இல்லை. அதாவது f என்பது \(\{a, b, c, d\} \times \{1, 2, 3, 5\}\) -ன் உட்கணமாக அமையவில்லை. எனவே எப்பொழுதெல்லாம் சார்புகளைக் கருதுகிறோமோ அப்பொழுதெல்லாம் சார்பகம் மற்றும் துணைச்சார்பகம் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்பட வேண்டும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.1 -ம் ஒரு சார்பு ஆகும். அதன் சார்பகம் \(\{L, E, T, U, S, W, I, N\}\) மற்றும் துணைச்சார்பகம் \(\{O, H, W, X, V, Z, L, Q\}\) ஆகும். மேலும் விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.3 கூட ஒரு சார்பாக அமையும். அதன் சார்பகம் \(\{a, b, ..., z\}\) மற்றும் துணைச்சார்பகம் \(\{1, 2, 3, ..., 26\}\).

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.2 -ல் மூன்று தொடர்புகள் உள்ளது.

தெளிவாக முதல் இரண்டும் சார்புகள் ஆகும். ஆனால் மூன்றாவது உதாரணத்தில் சார்பகமும் துணைச்சார்பகமும் R எனும்போது சார்பு அல்ல. மூன்றாவது உதாரணத்தில் ஒரே x -க்கு, நமக்கு இரண்டு y மதிப்புகள் கிடைப்பது சார்பின் வரையறைக்கு முரணானது. ஆனால் இரண்டு தொடர்புகளாக அதாவது \(y = \sqrt{x}\) மற்றும் \(y = -\sqrt{x}\) எனப் பிரித்து எழுதும்போது இரண்டும், சார்பகங்களாக குறையற்ற மெய்யெண்களாகவும் துணைச்சார்பகங்களாக முறையே \([0, \infty), (-\infty, 0]\) ஆகக் கொண்டு சார்புகளாக அமையும்.

1.6.1 சார்புகளை விவரிக்கும் வழிமுறைகள் (ways of representing functions)#

(a) அட்டவணை முறை (Tabular form)

சார்பகத்தின் உறுப்புகள் \(x_1, x_2, \dots, x_n\) என வரிசைப்படுத்தும்போது அட்டவணை முறையைப் பயன்படுத்தலாம். சார்பக மதிப்புகளான \(x_1, x_2, \dots, x_n\) மற்றும் அதற்குரிய சார்பின் மதிப்புகளான \(y_1, y_2, \dots, y_n\) முதலியன திட்டவட்டமான வரிசையில் பின்வருமாறு அட்டவணையாக அமைக்கலாம்.

(b) வரைபட முறை (Graphical representation)

சார்பகம் மற்றும் துணைச்சார்பகம் ஆகியவை R-ன் உட்கணங்களாக அமையும்போது, x -அச்சானது சார்பகத்தையும், y -அச்சானது துணைச்சார்பகத்தையும் xy -தளத்தில் குறிக்கும். விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.2 -ல் சார்புகளை \(f(x) = 2x, f(x) = x^2\) எனக் குறிக்கப்பட்டுள்ளதை நினைவு கூர்வோம். பொதுவாக, x ஆனது சாரா மாறியாகவும், y ஆனது சார்ந்த மாறியாகவும் செயல்படும். x என்பதனைக் கீழ்வீச்சு அல்லது சார்பின் மாறி என்றும் \(f(x)\) -ஐ x-ல் சார்பு f-ன் மதிப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

(c) பகுத்தாய்வு முறை (Analytical representation)

சார்பியல் தொடர்பு \(y = f(x)\) ஆகவும், f ஆனது ஒரு பகுப்பாய்வு கோவையைக் குறிப்பதாக இருப்பின், x ஆல் உருவாக்கப்பட்ட சார்பு y -ஐ பகுப்பாய்வு முறையில் எழுதலாம்.

போன்றவை சில பகுப்பாய்வு கோவைகளுக்கு உதாரணங்கள் ஆகும். அதாவது குறிப்பிட்ட கணிதச் செயல்பாடுகளை நிச்சயிக்கப்பட்ட வரிசையில், மாறிலிகள் அல்லது மாறிகளை மதிப்புகளாகக் கொண்ட எண்கள், எழுத்துகள் மூலம் குறிக்கும் ஒரு குறியீட்டுத் தொடராகும்.

(i) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) (ii) \(y = \sqrt{9 - x^2}\) (iii) \(y = \sin x + \cos x\) (iv) \(A = \pi r^2\)

என்பவை பகுப்பாய்வு முறையில் வரையறுக்கப்பட்ட சில சார்புகள் ஆகும்.

பகுப்பாய்வு முறையில் எழுதும்போது இயற்கையாகச் சார்பகங்களை எளிமையாகக் கண்டுபிடித்து விடலாம். அதாவது, வலது புறத்தில் உள்ள பகுப்பாய்வுக் கோவையினைக் காணும் வகையில் அமைந்துள்ள x -ன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு சார்பின் சார்பகமாகும்.

ஆகையால் சார்புகளின் இயல்பான சார்பகங்களில் சிலவற்றைக் காணலாம்

(i) \(y = \sqrt[3]{x+3}\) -ன் சார்பகம் \((-3, \infty)\)

(ii) \(y = \sqrt[4]{x-2}\) -ன் சார்பகம் \([2, \infty)\)

(iii) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) -ன் சார்பகம் \(\mathbb{R} - \{1\}\)

(iv) \(y = \sqrt{4 - x^2}\) -ன் சார்பகம் \(-2 \le x \le 2\)

இப்போது பகுப்பாய்வு முறையில் அமைந்துள்ள, ஏற்கனவே விவரிக்கப்பட்ட

(i) \(y = 2x\) (ii) \(y = x^2\) (iii) \(y = \sqrt{x}\) (iv) \(y = -\sqrt{x}\) ஆகிய சார்புகளின் சார்பகங்களை நினைவு கூர்வோம்.

சிற்சமயங்களில் பகுதிவாரியாக வரையறுத்துள்ள சார்புகளை நாம் பயன்படுத்துவோம். உதாரணமாக, கீழ்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ள சார்பு \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ஆகக் கருதுக.

ஏதேனும் ஒரு புள்ளி x -க்கு f-ன் மதிப்பைக் காண, x-ன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, பொருத்தமான வரையறையைக் கையாளவேண்டும். ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண்ணுக்கு f-ன் மதிப்பினைக் கணக்கிட, x ஆனது எந்த இடைவெளியில் உள்ளது என முதலில் கண்டறிய வேண்டும். பிறகு அதற்குரிய வரையறையைப் பயன்படுத்தி அப்புள்ளியில் f-ன் மதிப்பைக் காண வேண்டும். உதாரணமாக,

\(f(6)\)-ன் மதிப்பைக் காண வேண்டுமாயின், இடைவெளி \(3 \le x < \infty\)-ல் 6 அமைந்துள்ளதால் அதற்குரிய வரையறை \(f(x) = x^2\)-ஐ பயன்படுத்தி \(f(6) = 36\) எனக் காணலாம். இதே போன்று \(f(-1) = -2\), \(f(-5) = 0\) என மதிப்புகளைக் காணலாம்.

சார்பானது R-ன் உட்கணத்திலிருந்து அல்லது R-லிருந்து வரையறுக்கப்பட்டால் சார்பின் வரைபடத்தை நம்மால் வரைய இயலும். உதாரணமாக \(f: [0, 4] \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பு \(f(x) = x^2 + 1\) என வரையறுக்கப்படும்போது \(x \in [0, 4]\) எனுமாறு \((x, x^2 + 1)\) என்ற வடிவில் உள்ள புள்ளிகளைத் தளத்தில் குறிக்கலாம். இப்போது \((0, 1)\) மற்றும் \((4, 3)\) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டுத் துண்டினைப் பெறலாம். [படம் 1.13]

இன்னொரு உதாரணமாக, \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}, x \ge 0\) என்ற சார்பினை எடுத்துக் கொள்வோம். இச்சார்பினை வரைபடம் மூலமாக படம் 1.14–ல் தரப்பட்டுள்ளது.

சார்பகத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி x என்க. புள்ளி x வழியாக ஒரு நிலைக்குத்துக்கோடு வரையவோம். அது வளைவரையை P என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது என்போம். அப்புள்ளி P வழியாக ஒரு கிடைமட்டக் கோடு வரைந்தால் அது y அச்சில் சந்திக்கும் புள்ளி \(f(x)\) ஆகும். இதேப் போன்று துணைச்சார்பகத்தில் உள்ள புள்ளி y வழியாகக் கிடைமட்டக் கோடு வரைந்தால் y-ன் முன்-பிம்பத்தை கண்டறியலாம்.

R-ன் உட்கணத்திலிருந்து R-க்கு ஒரு தளத்தின் மேல் வரையப்படும் எந்த ஒரு வளைவரையையும் சார்பு என்று சொல்ல முடியுமா? இல்லை, நம்மால் கூற இயலாது. அதைக் கண்டறிய ஓர் எளிதான சோதனை உள்ளது.

நிலைக்குத்துக் கோடு சோதனை (Vertical line test)

நாம் முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, சார்பகத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி x வழியாகச் செல்லும் ஒரு நிலைக்குத்துக்கோடு, வளைவரையைச் சில புள்ளிகளில் சந்திக்கலாம். அப்போது y -ன் ஆயத்தொலை \(f(x)\) ஆகும். சார்பகத்தில் உள்ள புள்ளி x வழியாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக்கோடு வளைவரையை ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட புள்ளிகளில் சந்தித்தால், ஒரு x க்கு பல \(f(x)\) மதிப்புகளை நாம் பெறலாம். ஆனால் இவ்வாறு சார்பில் அனுமதிக்கப்படுவதில்லை. மேலும், சார்பகத்திலுள்ள புள்ளி வழியாகச் செல்லும் நிலைக்குத்துக்கோடு வளைவரையைச் சந்திக்கவில்லை எனில் x -க்கு எந்த பிம்பமும் அங்கு இருக்காது. இதுவும் சார்பில் சாத்தியம் இல்லை. எனவே,

“சார்பகத்தில் உள்ள புள்ளி x வழியாகச் செல்லும் நேர்குத்துக்கோடு வளைவரையை ஒரு புள்ளிக்கு மேல் சந்தித்தாலோ அல்லது சந்திக்காமலிருந்தாலோ அப்பொழுது அவ்வளைவரை சார்பைக் குறிக்காது என்று நாம் கூறலாம்.”

[படங்கள் 1.15, 1.16, 1.17, 1.18]

படம் 1.15 -ல் \([0, 4]\) -விருந்து R -க்கு வரையப்பட்டுள்ள வரைவரையானது சார்பாகாது. ஏனெனில் படம் 1.17-ன் படி நிலைக்குத்துக்கோடு வரைவரையை ஒரு புள்ளிக்கு மேல் சந்திக்கிறது. படம் 1.16-ல் காட்டப்பட்டுள்ள வரைவரையும் \([0, 4]\) -விருந்து R-க்கு சார்பாகாது. ஏனெனில் படம் 1.18 -ன் படி \(x = 2.5\) -ல் வரையப்படும் நிலைக்குத்துக்கோடு வரைவரையை எங்கும் சந்திக்கவில்லை.

தரப்பட்டுள்ள வளைவரை ஒரு சார்பா? இல்லையா? என நிலைக்குத்துக்கோடு வரைந்து கண்டறியும் முறையை நிலைக்குத்துக்கோடு சோதனை என்று கூறலாம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.2-ல் உள்ள மூன்றாவது வளைவரை \(y^2 = x\) ஆனது நிலைக்குத்துக்கோடு சோதனை மூலம் \(R \to R\)-ல் அது சார்பு இல்லை எனப் புரிந்து கொள்ளலாம்.

1.6.2 சில எளிமையான சார்புகள் (Some elementary functions)#

அடிக்கடி பயன்படுத்தும் சில சார்புகளை அதன் பெயர்கள் மூலம் அறியலாம். சிலவற்றை இங்குப் பட்டியலிடுவோம்.

(i) ஏதேனும் ஒரு வெற்றற்ற கணம் X என்க. \(f: X \to X\) என்ற சார்பானது \(f(x) = x\) என அனைத்து \(x \in X\) -க்கும் வரையறுக்கப்பட்டால் அதனை X -ன் மீதான சமனிச் சார்பு (identity function) என்று அழைக்கலாம். மேலும் அதனை \(I_X\) எனவும் குறிப்பிடலாம். [படம் 1.19]

(ii) X மற்றும் Y என்பவை இரு கணங்கள். மேலும் Y -ல் உள்ள ஒரு நிலையான உறுப்பு c என்க. \(f: X \to Y\) என்ற சார்பானது \(f(x) = c\) என அனைத்து \(x \in X\) -க்கும் வரையறுக்கப்பட்டால் அதனை மாறிலிச் சார்பு (constant function) என்று கூறலாம். மாறிலிச் சார்பின் மதிப்புகள் சார்பகம் முழுமைக்கும் ஒரே மதிப்பாகும் [படம் 1.20].

இங்கு X மற்றும் Y ஆகிய கணங்கள் R ஆக இருப்பின் சமனிச்சார்பு மற்றும் மாறிலிச் சார்பின் வரையடங்கள் முறையே படம் 1.21 மற்றும் 1.22 ஆக அமையும்.

ஏதேனும் ஒரு கணம் X என்க. அனைத்து \(x \in X\) –க்கும் \(f(x) = 0\) என வரையறுக்கப்பட்டால் அதனை பூஜ்ஜிய சார்பு (zero function) என்று அழைக்கப்படும்.

(iii) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பு \(f(x) = |x|\) என வரையறுக்கப்பட்டால் (இங்கு \(|x|\) என்பது x -ன் மட்டு அல்லது எண்ணளவு மதிப்பாகும்) அதனை மட்டுச் சார்பு அல்லது எண்ணளவு சார்பு (modulus or absolute value function) எனக் கூறலாம் [படம் 1.23]. \(|x|\) என்பது கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

(iv) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பானது

என வரையறுக்கப்பட்டால், \(\lfloor x \rfloor\) என்பது \(x\) -ஐ விடப் பெரிதான மீச்சிறு முழு எண் அல்லது \(x\) -ன் மீப்பெரு முழு எண்ணாகும். \(f\) ஆனது மீப்பெரு முழு எண் சார்பு (greatest integer function) எனப்படும். [படம் 1.24]

(v) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பானது

என வரையறுக்கப்பட்டால், \(\lceil x \rceil\) என்பது \(x\) -ஐ விடச் சிறிதான மீச்சிறு முழு எண் அல்லது \(x\) -ன் மீச்சிறு முழு எண்ணாகும். \(f\) ஆனது மீச்சிறு முழு எண் சார்பு (least integer function) எனப்படும். [படம் 1.25 மற்றும் 1.26]

இந்தச் சார்புகளின் பெயர்களுக்கும் சார்புகளைக் குறிக்கின்ற குறியீடுகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பானது நாம் பொதுவாக அறைக்குப் பயன்படும் மேற்கூரை மற்றும் தரையைக் குறிக்கும் வார்த்தைகளாகும் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

1.6.3 சார்புகளின் வகைகள் (types of functions)#

சார்புகளை, அதன் தேவையினைப் பொறுத்துப் பல வகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டிருந்தாலும், நாம் இரண்டு அடிப்படை வகைகளில் கவனம் செலுத்தப் போகிறோம். அவை ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்பு ஆகும்.

[படங்கள் 1.27, 1.28, 1.29]

படம் 1.27 மற்றும் படம் 1.28 ஆகியவற்றில் தரப்பட்டுள்ள இரண்டு எளிய சார்புகளைப் பார்ப்போம். முதல் சார்பில் சார்பகத்தில் உள்ள இரண்டு உறுப்புகள் b, c ஆகியவை y என்ற ஒரே உறுப்புடன் கோர்க்கப்பட்டுள்ளது. அதே சமயம் படம் 1.28 -ல் அவ்வாறு கோர்க்கப்படவில்லை. இரண்டாவது வகையாக படம் 1.28 -ல் குறிப்பிட்டுள்ள மாதிரியான சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்றான சார்புகளுக்கு உதாரணங்களாகும்.

தற்போது, படங்கள் 1.28 மற்றும் 1.29 ஆகியவற்றை உற்றுநோக்குவோம். படம் 1.28 -ல் z என்ற உறுப்புக்கு முன்பிம்பம் இல்லை. ஆனால் படம் 1.29 -ல் அவ்வாறு முன்பிம்பம் இல்லாத உறுப்புகள் இல்லை. படம் 1.29 -ல் குறிப்பிட்டுள்ள மாதிரியான சார்பு மேற்கோர்த்தல் சார்புக்கு உதாரணமாகும். இப்போது ஒன்றுக்கொன்றான மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்புகளை வரையறுப்போம்.

வரையறை 1.7

\(f: A \to B\) எனும் சார்பு, ஒன்றுக்கொன்றான சார்பாக (one-to-one function) இருக்க வேண்டுமாயின், \(x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)\) [அல்லது நிகராக \(f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\)] அமைய வேண்டும். \(f: A \to B\) எனும் சார்பு, மேற்கோர்த்தல் சார்பாக (onto function) இருக்க வேண்டுமாயின், ஒவ்வொரு \(b \in B\)-க்கும், \(f(a) = b\) எனுமாறு குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு \(a \in A\) என இருக்கவேண்டும். அதாவது f–ன் வீச்சகம் B ஆக இருத்தல் வேண்டும்.

ஒன்றுக்கொன்றான சார்பினை உள் செலுத்தும் சார்பு (injective) என்றும், மேற்கோர்த்தல் சார்பினை மேல் செலுத்தும் சார்பு (surjective) என்றும் அழைக்கலாம். மேலும் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல் என இரண்டையும் பெற்றிருந்தால் அச்சார்பை இருபுறச் சார்பு (bijective) என்று கூறலாம்.

\(f: A \to B\) எனும் சார்பு ஒன்றுக்கொன்றானது என நிரூபிக்கக் கீழ்க்காணும் ஏதேனும் ஒன்றினை நிரூபித்தால் போதுமானது.

ஒவ்வொரு சமனிச்சார்பும் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்பு என்று எளிதாக அறியமுடியும். மாறிலிச் சார்பில் துணைச்சார்பகம் ஒரே ஒரு உறுப்பினைப் பெற்றில்லாதவரை அது மேற்கோர்த்தல் சார்பு ஆகாது.

கீழ்வருவன சில முக்கியமான எளிய முடிவுகளாகும்.

A மற்றும் B ஆகியவை m மற்றும் n உறுப்புகள் கொண்ட இரு கணங்கள் என்க.

(i) \(m > n\) எனில் A -லிருந்து B -க்கு ஒன்றுக்கொன்று சார்பு கிடையாது.

(ii) A -லிருந்து B -க்கு ஒன்றுக்கொன்று சார்பு இருந்தால் அப்போது \(m \le n\).

(iii) \(m < n\) எனில் A -லிருந்து B -க்கு மேற்கோர்த்தல் சார்பு கிடையாது.

(iv) A -லிருந்து B -க்கு மேற்கோர்த்தல் சார்பு இருந்தால் \(m \ge n\).

(v) A -லிருந்து B -க்கு இருபுறச் சார்பாக இருக்கத் தேவையானதும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(m = n\) ஆகும்.

(vi) A -லிருந்து B -க்கு இருபுறச் சார்பாக இல்லாமல் இருக்கத் தேவையானதும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \(m \neq n\) ஆகும்.

குறிப்பு: ஒரு சார்பு மேற்கோர்த்தல் இல்லையெனில் அதனை உள் சார்பு (into) என அழைக்கலாம். அதாவது ஒரு சார்பு மேற்கோர்த்தல் இல்லையெனில் வீச்சகமானது துணைச்சார்பகத்தின் தகு உட்கணமாக அமையும்.

சில விளக்க எடுத்துக்காட்டுக்களை இப்பொழுது பார்ப்போம்.

(i) \(X = \{a, b, c, d, e\}, Y = \{1, 2, 3, 4\}\), மற்றும் \(f = \{(a, 1), (c, 2), (e, 3), (b, 4)\}\).

இச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல.

(ii) \(X = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{a, b\}\) மற்றும் \(f = \{(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)\}\).

இச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்று அல்ல. மேலும் மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.

(iii) \(X = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{a\}\), மற்றும் \(f = \{(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)\}\).

இச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்று அல்ல. ஆனால் மேற்கோர்த்தல் சார்பாகும். இது எடுத்துக்காட்டு (ii) போலவே உள்ளது. ஆனால் துணைச்சார்பகம் மாறியுள்ளது. எனவே சார்பானது மேற்கோர்த்தலா? இல்லையா? என்பதனைத் தீர்மானிப்பதற்கு, சார்பின் துணைச்சார்பகம் மிகவும் முக்கியமானதாகும்.

(iv) \(X = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{a, b, c, d, e\}\) மற்றும் \(f = \{(1, a), (2, c), (3, b), (4, b)\}\).

இந்தச் சார்பு ஒன்றுக்கொன்றும் இல்லை, மேற்கோர்த்தலும் இல்லை.

(v) \(X = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{a, b, c, d\}\) மற்றும் \(f = \{(1, a), (2, c), (3, d), (4, b)\}\)

இந்தச் சார்பு ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தலும் ஆகும்.

(vi) \(X = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{a, b, c, d, e\}\) மற்றும் \(f = \{(1, a), (2, c), (3, e)\}\)

இது சார்பே அல்ல. இது வெறும் தொடர்பு மட்டுமே ஆகும்.

(vii) X என்பது k உறுப்புகள் உள்ள முடிவுறு கணம் என்க. இப்போது X -விருந்து \(\{1, 2, 3, \dots, k\}\) என்ற கணத்திற்கு இருபுறச் சார்பு உருவாக்கலாம்.

தெரிந்த கணங்களின் மீது, விதிகள் வழியாக வரையறுக்கப்படும் சில சார்புகளைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.14 கீழ்க்காணும் சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்புகளா எனச் சரிபார்க்கவும்.

(i) \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) எனும் சார்பு \(f(n) = n + 2\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(ii) \(f: \mathbb{N} \cup \{-1, 0\} \to \mathbb{N}\) எனும் சார்பு \(f(n) = n + 2\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

தீர்வு:

(i) \(f(n) = f(m)\) என எடுத்துக்கொண்டால் \(n + 2 = m + 2\). இதிலிருந்து \(m = n\). இதனால் f ஆனது ஒன்றுக்கொன்று ஆகும். 1 என்ற உறுப்பிற்கு முன்பிம்பம் இல்லை என்பதால் இச்சார்பு மேற்கோர்த்தல் அல்ல [படம் 1.30].

(ii) மேற்கண்டவாறு இச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்றாகும். துணைச்சார்பகத்தில் m இருந்தால் \(m - 2\) என்பது சார்பகத்தில் இருக்கும். மேலும் \(f(m - 2) = (m - 2) + 2 = m\). இதனால் துணைச்சார்பகத்திலுள்ள m என்ற உறுப்பு முன்பிம்பத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே இச்சார்பு மேற்கோர்த்தல் ஆகும் [படம் 1.31].

குறிப்பு: இரண்டாவதாக குறிப்பிட்டுள்ள சார்பு முதலில் உள்ள சார்பு போலவே தோன்றும். ஆனால் சார்பகங்கள் வெவ்வேறாகும். இதிலிருந்து சார்பானது மேற்கோர்த்தலா, இல்லையா என்பதனைத் தீர்மானிப்பதற்கு, சார்பின் சார்பகம் முக்கியம் எனத் தெரிந்து கொள்ளலாம். ஒரு சார்பு ஒன்றுக்கொன்று என்பதனை துணைச்சார்பகம் தீர்மானிப்பதில்லை. ஆனால் துணைச்சார்பகம் மேற்கோர்த்தலை தீர்மானிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.15 கீழ்க்காணும் சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்புகளா எனச் சரிபார்க்கவும்.

(i) \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) எனும் சார்பு \(f(n) = n^2\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(ii) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = x^2\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

தீர்வு

(i) \(f(m) = f(n) \Rightarrow m^2 = n^2 \Rightarrow m = n\) (m, n \(\in \mathbb{N}\) ஆதலால்). எனவே f ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு. ஆனால், துணைச்சார்பகத்திலுள்ள வர்க்கமற்ற உறுப்புகளுக்கு முன்பிம்பங்கள் கிடையாது. எனவே f மேற்கோர்த்தல் சார்பு அல்ல.

(ii) சார்பகத்திலுள்ள இரு வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு ஒரே ஒரு உறுப்பு பிம்பமாக அமைகிறது. எனவே ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல. மேலும் f –ன் வீச்சகம், துணைச்சார்பகத்தின் தகு உட்கணமாக அமைகிறது. எனவே f ஆனது, மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.

தற்போது விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.1 -ல்

\(C = \{L, E, T, U, S, W, I, N\}\), மற்றும் \(D = \{O, H, W, X, V, Z, L, Q\}\), மற்றும்

என வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு \(f: C \to D\), ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தலுமாகும்.

ஆனால் விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.3 -ல்

என வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு \(f: A \to \mathbb{N}\), ஒன்றுக்கொன்று ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல. \(\mathbb{N}\) -க்கு பதிலாக \(\{1, 2, 3, \dots, 26\}\), என எடுத்துக்கொண்டால் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தலும் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.16 கீழ்க்காணும் சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல் சார்புகளா எனச் சரிபார்க்கவும்.

(i) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு, \(f(x) = \frac{1}{x}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது

(ii) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} - \{0\}\) எனும் சார்பு \(f(x) = \frac{1}{x}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது

தீர்வு:

(i) இது சார்பே அல்ல. ஏனெனில் \(x = 0\) எனும் மதிப்பிற்கு \(f(x)\) வரையறுக்கப்படவில்லை.

(ii) இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு, ஆனால் மேற்கோர்த்தல் இல்லை. காரணம், துணைச்சார்பகத்திலுள்ள \(x = 0\) எனும் உறுப்புக்கு முன்பிம்பம் இல்லை.

குறிப்பு: \(\mathbb{R} - \{0\}\) என்பதைத் துணைச்சார்பகமாக இரண்டாவது உதாரணத்திற்கு எடுத்துக் கொண்டால் இது இருபுறச் சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.17 \(f: \mathbb{R} \to (-1, 1)\) எனும் சார்பினை \(f(x) = \frac{x}{1 - x^2}\), என வரையறுத்தால் f எனும் சார்பு ஒன்றுக்கொன்றா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு:

\(f(x) = f(y)\) என எடுத்துக்கொள்வோம். எனவே

இதிலிருந்து \(x = y\) அல்லது \(xy = -1\). எனவே \(xy = -1\) என்றவாறு x மற்றும் y என்ற இரு எண்களை நாம் தேர்ந்தெடுத்தால் அப்பொழுது \(f(x) = f(y)\) என கிடைக்கும். \(2, -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}; 7, -\frac{1}{7}\) என எண்ணற்ற பல உறுப்புகள் \(xy = -1\) எனக் கிடைக்கும். அதாவது, \(f(2) = f(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}\) ஆகும். இது \(f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\) என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாததால், f ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 1.18 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு, \(f(x) = 2x^2 - 1\) எனுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் 17, 4 மற்றும் -2 ஆகியவற்றின் முன்பிம்பங்களைக் காண்க.

தீர்வு:

17 -ன் முன்பிம்பத்தைக் கண்டறிய நாம் \(2x^2 - 1 = 17\) என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவேண்டும். இதன் இரு தீர்வுகளான 3 மற்றும் -3 என்பவை f -ன் கீழ் 17 -ன் முன்பிம்பங்களாகும். சமன்பாடு \(2x^2 - 1 = 4\) என்பது \(\sqrt{\frac{5}{2}}\) மற்றும் \(-\sqrt{\frac{5}{2}}\) என்ற இரு முன்பிம்பங்களை 4 என்ற உறுப்புக்கு கொடுக்கின்றது. மேலும், -2 -ன் முன்பிம்பம் கண்டறிய \(2x^2 - 1 = -2\) என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். \(2x^2 = -1\) என்பதற்கு \(\mathbb{R}\) -ல் எந்த ஒரு தீர்வும் கிடையாது. எனவே -2 ஆனது f -ன் கீழ் முன்பிம்பத்தைப் பெறவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1.19 \(f: [-2, 2] \to B\) எனும் சார்பு \(f(x) = 2x^3\), என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் f ஒரு மேற்கோர்த்தலாக அமைய B –ஐக் காண்க.

தீர்வு:

சார்பின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு \(f(-2)\) மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்பு \(f(2)\) ஆகும். இவை துணைச்சார்பகத்தில் அமைகிறது. மேலும் அவற்றின் மதிப்பு முறையே -16 மற்றும் 16 ஆகும். எனவே \(B = [-16, 16]\) என இருக்கும்போது f மேற்கோர்த்தலாக அமையும்.

குறிப்பு: \(f(x) = 2x^3\) எனும் சார்பு \([-2, 2]\) என்ற இடைவெளியில் ஏறும் சார்பாக இருப்பதால் இடைவெளியின் இடப்பக்க மதிப்பில் சார்பின் மீச்சிறு மதிப்பினையும் வலப்பக்க மதிப்பில் சார்பின் மீப்பெரு மதிப்பினையும் பெறும் [ஏறும்/இறங்கும் சார்பினைப் பற்றி பின்னர் வரும் பகுதிகள் மூலம் தெரிந்து கொள்ளலாம்.]

எடுத்துக்காட்டு 1.20 \(f(x) = x|x|\) என்ற சார்பானது \([-2, 2]\) -ல் வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் அது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பா எனச் சரிபார்க்கவும். அது ஒன்றுக்கொன்றாக இருப்பின் இருபுறச் சார்பாக அமைய பொருத்தமான துணைச்சார்பகத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

\(f(x) = f(y)\) எனுமாறு \(x, y \in [-2, 2]\) உள்ளது என்க. \(y = 0\) எனில் \(x = 0\). எனவே \(y \neq 0\) என்க. இதனால் \(x \neq 0\). இப்பொழுது \(f(x) = f(y) \Rightarrow x|x| = y|y| \Rightarrow x|y| = y|x|\). ஆனால் \(|x| > 0\) என்பதனால் \(xy > 0\). அதனால் x மற்றும் y இரண்டுமே மிகையாகவோ அல்லது இரண்டுமே குறையாகவோ இருக்கும்; இருவழிகளிலும் \(x^2 = y^2\) ஆகும்.

எனவே \(f(x) = f(y) \Rightarrow x^2 = y^2\) என நாம் பெற முடியும். மேலும் x மற்றும் y இரண்டுமே மிகையாகவோ அல்லது இரண்டுமே குறையாகவோ இருக்கக் கூடிய ஒரே சாத்தியக்கூறு \(x = y\) மட்டுமே. ஆதலால் f ஆனது ஒன்றுக்கொன்று ஆகும். இப்போது \(x < 0\) எனும்பொழுது, \(f(x) = -x^2\) மற்றும் \(x \ge 0\), \(f(x) = x^2\). எனவே வீச்சகம் \([-4, 4]\). \([-2, 2]\)-விருந்து \([-4, 4]\) -க்கு இச்சார்பு இருபுறச் சார்பாகும்.

குறிப்பு: \(f(x) = x|x|\) என்ற சார்பு ஏறும் சார்பாகும்.

கிடைமட்டக்கோட்டுச் சோதனை (Horizontal test)

நிலைக்குத்துக்கோடு சோதனையைப் போலவே உள்ள ஒரு சோதனை கிடைமட்டக்கோடு சோதனையாகும். இதன் மூலம் சார்பானது ஒன்றுக்கொன்றா, மேற்கோர்த்தலா எனச் சரிபார்க்கலாம். தளத்தில் உள்ள வளைவரையாகச் சார்பு தரப்பட்டுள்ளது என்க. துணைச்சார்பகத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி y வழியாக வரையப்படும் கிடைமட்டக்கோடு வளைவரையைச் சில புள்ளிகளில் சந்திக்கும். அப்பொழுது கிடைக்கும் x ஆயத்தொலை புள்ளிகள் அனைத்தும் y -ன் முன்பிம்பங்களை கொடுக்கும்.

(i) துணைச்சார்பகத்தில் உள்ள y வழியாக வரையப்படும் கிடைமட்டக்கோடு வளைவரையைச் சந்திக்கவில்லை எனில், அப்பொழுது குறிப்பிட்ட y ஆனது எவ்வித முன்பிம்பமும் பெற்றிருக்கவில்லை எனப் பொருள். எனவே சார்பானது மேற்கோர்த்தல் அல்ல.

(ii) துணைச்சார்பகத்தில் குறைந்தபட்சம் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி வழியாகச் செல்லும் கிடைமட்டக்கோடு வளைவரையை ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட புள்ளிகளில் சந்தித்தால், சார்பு ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல.

(iii) வீச்சகத்திலுள்ள அனைத்து y - க்கும், y வழியாகச் செல்லும் கிடைமட்டக்கோடு வளைவரையை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்குமானால் ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆகும்.

எனவே கீழ்வரமாறு கூறலாம்.

“வளைவரையால் குறிக்கப்படும் சார்பானது ஒன்றுக்கொன்றாக இருக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவெனில் ‘வீச்சகத்திலுள்ள அனைத்து y - க்கும், y வழியாகச் செல்லும் கிடைமட்டக் கோடு, வளைவரையை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்க வேண்டும்.”

“வளைவரையில் குறிக்கப்படும் சார்பானது மேற்கோர்த்தலாக இருக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை என்னவெனில் “வீச்சகத்திலுள்ள அனைத்து y -க்கும், y வழியாகச் செல்லும் கிடைமட்டக் கோடு வளைவரையை குறைந்த பட்சம் ஒரு புள்ளியிலாவது சந்திக்க வேண்டும்.”

[படங்கள் 1.32, 1.33, 1.34]

துணைச்சார்பகத்தில் \([1, 3]\) என்ற இடைவெளி உட்கணமாக அமையும்போது படம் 1.32 இல் தரப்பட்டுள்ள வளைவரையைக் குறிக்கும் சார்பானது \([0, 4]\) என்ற இடைவெளியில் மேற்கோர்த்தல் அல்ல. படம் 1.33 இல் தரப்பட்டுள்ள வளைவரையானது \([0, 4]\) -லிருந்து R -க்கு ஒன்றுக்கொன்றானது. ஆனால் படம் 1.34 -ல் தரப்பட்டுள்ள வரை \([0, 4]\) -லிருந்து R -க்கு வரையப்பட்டுள்ள வளைவரை ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல.

தரப்பட்டுள்ள வளைவரை ஒன்றுக்கொன்றான சார்பா, மேற்கோர்த்தல் சார்பா அல்லது இல்லையா எனக் கிடைமட்டக்கோடு வரைந்து சோதிக்கும் முறையை நாம் கிடைமட்டக்கோடு சோதனை என்று கூறலாம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.2 -ல் 1.5 -லிருந்து 1.7 வரையிலான படங்களை உற்று நோக்கும்போது கீழ்க்காணும் முடிவுகள் கிடைக்கும்.

(i) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = 2x\) என வரையறுத்தால் அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தலாக இருக்கும்.

(ii) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = x^2\) என வரையறுத்தால் அது ஒன்றுக்கொன்று அல்ல மற்றும் மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.

(iii) \(f: [0, \infty) \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = \sqrt{x}\) என வரையறுத்தால் அது ஒன்றுக்கொன்று ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல.

(iv) \(f: [0, \infty) \to [0, \infty)\) எனும் சார்பு \(f(x) = \sqrt{x}\) என வரையறுத்தால் அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தலாக இருக்கும்.

(v) \(f: [0, \infty) \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = -\sqrt{x}\) என வரையறுத்தால் அது ஒன்றுக்கொன்று ஆயினும் மேற்கோர்த்தல் அல்ல.

(vi) \(f: [0, \infty) \to (-\infty, 0]\) எனும் சார்பு \(f(x) = -\sqrt{x}\) என வரையறுத்தால் அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தலாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.21 மெய்மதிப்பு சார்பு f ஆனது \(f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}\) என வரையறுக்கப்பட்டால் அதன் சாத்தியமான மீப்பெரு சார்பகத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

\(x^2 - 5x + 6\) இன் வர்க்கமூலத்தை நாம் கண்டறிய வேண்டும் என்பதால் சார்பகத்தில் இருக்கும் அனைத்து x -க்கும், \(x^2 - 5x + 6 \ge 0\) என இருக்கவேண்டும். இதற்கு, கீழ்க்காணும் வழிமுறையைக் கையாளலாம். \(x^2 - 5x + 6 = 0\) எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க \(x = 2\) மற்றும் \(3\) என இரு மதிப்புகள் கிடைக்கும். படம் 1.35 -ல் உள்ளவாறு எண்கோடு வரை.

இப்போது நமக்கு மூன்று இடைவெளிகள் \((-\infty, 2), (2, 3)\) மற்றும் \((3, \infty)\) எனக் கிடைக்கும்.

(i) \((-\infty, 2)\) -ல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \(x = 1\) -க்கு தெளிவாக \(x^2 - 5x + 6\) ஒரு மிகையன்.

(ii) \((2, 3)\) -ல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \(x = 2.5\) -க்கு தெளிவாக \(x^2 - 5x + 6\) ஒரு குறையன்.

(iii) \((3, \infty)\) -ல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \(x = 4\) -க்கு தெளிவாக \(x^2 - 5x + 6\) ஒரு மிகையன்.

\((-\infty, 2)\) மற்றும் \((3, \infty)\) ஆகிய இடைவெளிகள் உள்ள அனைத்து x -க்கும் \(x^2 - 5x + 6\) ஒரு மிகையன். மேலும், \(x = 2\) மற்றும் \(3\) ஆகிய மதிப்புகளில் \(x^2 - 5x + 6\) பூஜ்ஜியமாகிறது. அதாவது, \((-\infty, 2]\) மற்றும் \([3, \infty)\) ஆகிய இடைவெளிகள் \(x^2 - 5x + 6 \ge 0\). எனவே \(\sqrt{x^2 - 5x + 6}\) -ன் மீப்பெரு சார்பகம் \((-\infty, 2] \cup [3, \infty)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.22 \(f(x) = \frac{1}{1 - 2\cos x}\) -ன் சார்பகத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

\(1 - 2\cos x\) இன் மதிப்பு 0 ஆக அமையும் x மதிப்புகள் தவிர மற்ற அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\) –க்கு \(f(x)\) வரையறுக்கப்படும். அதாவது \(\cos x = \frac{1}{2}\) –ஐ பூர்த்தி செய்யும் x –ஐ தவிர மற்ற மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படும். வேறு வகையில் கூறினால், \(x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}\) என்பதைத் தவிரப் பிற மதிப்புகளுக்கு \(f(x)\) வரையறுக்கப்படும். எனவே சார்பகம் \(\mathbb{R} - \{2n\pi \pm \frac{\pi}{3}\}, n \in \mathbb{Z}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.23 \(f(x) = \frac{1}{1 - 3\cos x}\) -ன் வீச்சகம் காண்க.

தீர்வு:

\(\Rightarrow -1 \le \cos x \le 1\) என நமக்குத் தெரியும். \(\Rightarrow -3 \le -3\cos x \le 3\) \(\Rightarrow 1 - 3 \le 1 - 3\cos x \le 1 + 3\) \(\Rightarrow -2 \le 1 - 3\cos x \le 4\) \(\Rightarrow 1 - 3\cos x \le -2\) மற்றும் \(1 - 3\cos x \ge 4\) என்பதை திருப்திப்படுத்தும் மதிப்புகள் f -ன் மதிப்புகளாகும். எனவே f -ன் வீச்சகம் \((-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{4}, \infty)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.24 மெய்மதிப்புச் சார்பு f ஆனது \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{9 - x^2}}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் அதன் சாத்தியமான மீப்பெரு சார்பகத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

x -ன் மதிப்புகள் -3 -ஐ விடக் குறைவாகவோ அல்லது 3 -ஐ விட கூடுதலாக இருப்பின் \(9 - x^2\) என்ற கோவை குறையெண்ணாக மாறும். எனவே இம்மதிப்புகளுக்கு \(\sqrt{9 - x^2}\) காண இயலாது. அதாவது \(\sqrt{9 - x^2}\) ஆனது \([-3, 3]\) என்ற இடைவெளியில் மட்டுமே காண இயலும்.

x –ன் மதிப்புகள் -1 அல்லது அதனை விடக் கூடுதலாகவும், அதே நேரத்தில் 1 அல்லது அதனை விடக் குறைவாகவும் இருக்கும்போது \(x^2 - 1\) என்ற கோவை குறையெண்ணாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமாகவோ மாறும். அதாவது குறையெண்ணாக இருக்கும்போது \(\sqrt{x^2 - 1}\) என்பதனைக் காண இயலாது. மேலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது f வரையறுக்க இயலாது. அதாவது \(\sqrt{x^2 - 1}\) என்பதனை \([-1, 1]\) என்ற இடைவெளிக்கு வெளியில் காணலாம். அதாவது \((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\) என்ற இடைவெளியில் \(\sqrt{x^2 - 1}\) –ன் மதிப்பு காணலாம்.

மேற்காணும் இரண்டு நிபந்தனைகளையும் இணைக்கும்போது \(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{9 - x^2}}\) –ன் மதிப்பு \((-3, -1] \cup [1, 3)\) என்ற இடைவெளியில் மட்டுமே காணலாம். அதாவது f -ன் மீப்பெரு சார்பகம் \((-3, -1] \cup [1, 3)\) ஆகும்.

குறிப்பு: மேற்காணும் இடைவெளியைக் காண மெய்யெண் கோட்டில் இரு இடைவெளிகளையும் குறித்து, வெட்டுக் கணத்தினை எடுக்க வேண்டும்.

1.6.4 சார்புகளின் மீதான செயல்பாடுகள் (Operations on functions)#

சார்புகளின் சேர்ப்பு (Composition)

[படங்கள் 1.36, 1.37, 1.38]

f -ன் துணைச்சார்பகமும் g -ன் சார்பகமும் ஒன்றே என்பதைக் கவனிக்கவும். f -ன் துணைச்சார்பகமாக உள்ள Y கணத்தில் g -ன் சார்பகமாக உள்ள Y கணமானது இணையுமாறு g -ன் உருவத்தை f உருவத்துடன் கீழ்க்காணுமாறு இணைக்கவும் [படம் 1.38].

இப்பொழுது \(h: X \to Z\) என்ற சார்பை இயல்பாக வரையறுப்போம். சார்பு h -ன் கீழ் a -ன் பிம்பத்தைக் காண முதலில் f -ன் கீழ் a -ன் பிம்பத்தைக் காண வேண்டும். அது x ஆகும். பிறகு g -ன் கீழ் x -ன் பிம்பத்தைக் காண வேண்டும். அது r ஆகும். எனவே \(h(a) = r\). இதே போன்று \(h(b) = q\) மற்றும் \(h(c) = q\). இந்த முறையில் புதிய சார்பு h -ஐ வரையறுப்போம். இந்தச் சார்பு h -ஐ, g உடன் f -ன் சேர்ப்பு அல்லது இணக்கம் என அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 1.8

\(f: X \to Y\) மற்றும் \(g: Y \to Z\) என்பன இரு சார்புகள் என்க. இப்போது, சார்பு \(h: X \to Z\) என்பது ஒவ்வொரு \(x \in X\) -க்கும் \(h(x) = g(f(x))\) என வரையறுக்கப்பட்டால் அதனை g உடன் f -ன் சேர்ப்பு என்று அழைக்கலாம். அதனை \(g \circ f\) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. (f ஆனது g உடன் சேர்ப்பு என்று வாசிக்கவும்) [படங்கள் 1.38 மற்றும் 1.39].

f -ன் வீச்சகமானது Y ஆக இருக்கவேண்டியதில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும். மேலும் \(f: X \to Y_1, g: Y_2 \to Z\) மற்றும் \(Y_1 \subseteq Y_2\) எனில் f -ன் துணைச்சார்பகமாக \(Y_2\) -ஐ எடுத்துக்கொண்டு \(g \circ f\) -ஐ வரையறுக்க முடியும். எனவே, \(g \circ f\) -ஐ வரையறுக்கத் தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவெனில், f -ன் வீச்சகம் g -ன் சார்பகத்தினுள் இருக்கவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.25 \(f = \{(1,2), (3,4), (2,2)\}\) மற்றும் \(g = \{(2,1), (3,1), (4,2)\}\) எனில், \(g \circ f\) மற்றும் \(f \circ g\) காண்க.

தீர்வு

சேர்ப்பு, முறையாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதா எனச் சோதிக்க இச்சார்புகளின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் கண்டறிவோம். f -ன் சார்பகம் = \(\{1, 2, 3\}\), f -ன் வீச்சகம் = \(\{2, 4\}\), g -ன் சார்பகம் = \(\{2, 3, 4\}\), g -ன் வீச்சகம் = \(\{1, 2\}\). இங்கு g -ன் சார்பகத்தினுள் f -ன் வீச்சகம் இருப்பதால் \(g \circ f\) -ஐ வரையறுக்க இயலும். எனவே \(g \circ f\) -ன் கீழ் 1 -ன் பிம்பத்தைக் காண முதலில் f -ன் கீழ் 1 -ன் பிம்பத்தையும் பிறகு கிடைக்கப்படும் பிம்பத்தை g -ன் கீழும் காண வேண்டும். f -ன் கீழ் 1 -ன் பிம்பம் 2 மற்றும் g -ன் கீழ் 2 -ன் பிம்பம் 1. எனவே \((g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 1\).

இதே போன்று \((g \circ f)(2) = 1\) மற்றும் \((g \circ f)(3) = 2\). எனவே, \(g \circ f = \{(1,1), (2,1), (3,2)\}\). இதே போன்று \(f \circ g = \{(2,2), (3,2), (4,2)\}\) எனக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.26 \(f = \{(1,4), (2,5), (3,5)\}\) மற்றும் \(g = \{(4,1), (5,2), (6,4)\}\) எனில் \(g \circ f\) காண்க. மேலும் \(f \circ g\) -ஐ காண இயலுமா?

தீர்வு:

தெளிவாக, \(g \circ f = \{(1,1), (2,2), (3,2)\}\). அதே தருணத்தில், \(f \circ g\) வரையறுக்க இயலாது. ஏனெனில் g -ன் வீச்சகமான \(\{1, 2, 4\}\) என்பது f -ன் சார்பகமான \(\{1, 2, 3\}\) -ன் உட்கணமாக இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1.27 f மற்றும் g என்ற இரு சார்புகள் R -விருந்து R -க்கு \(f(x) = 3x - 4\) மற்றும் \(g(x) = x^2 + 3\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில், \(g \circ f\) மற்றும் \(f \circ g\) காண்க.

தீர்வு

குறிப்பு: மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் பொதுவாக இரு சார்புகளின் சேர்ப்பு, பரிமாற்றப் பண்பினைப் பெற்றிருக்கவில்லை என்பதைக் காட்டுகின்றன. அதாவது \(g \circ f\) ஆனது \(f \circ g\) -க்கு சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

தேற்றம் 1.2

\(f: A \to B\) மற்றும் \(g: B \to C\) என்பன இரு சார்புகள் என்க. f மற்றும் g ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாக இருப்பின் \(g \circ f\) ஆனது ஒன்றுக்கொன்றாகும்.

நிரூபணம்

\(x, y \in A\) மற்றும் \(x \neq y\) என்க. f ஆனது ஒன்றுக்கொன்று என்பதால் \(f(x) \neq f(y)\). சார்பு g ஆனது ஒன்றுக்கொன்றாக இருப்பின் \(g(f(x)) \neq g(f(y))\) அதாவது \(x \neq y \Rightarrow (g \circ f)(x) \neq (g \circ f)(y)\) எனவே \(g \circ f\) என்பது ஒன்றுக்கொன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.28 “f மற்றும் \(g \circ f\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாக இருந்தால், g ஆனதும் ஒன்றுக்கொன்றாகும்” என்ற கூற்று தவறு என நிரூபிக்க.

தீர்வு

ஒரு கூற்று உண்மையில்லை என்பதனை ஒரு எடுத்துக்காட்டு மூலம் நிரூபிக்கலாம். கீழ்க்காணும் படம் 1.40 -ஐ கவனிக்கவும்.

படத்திலிருந்து, தெளிவாக f மற்றும் \(g \circ f\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாகும். ஆனால் g ஒன்றுக்கொன்று அல்ல. எனவே கூற்று உண்மையில்லை என்பதை படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.29 \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ஆகிய இரு சார்புகள் \(f(x) = 2x - |x|\) மற்றும் \(g(x) = 2x + |x|\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் \(f \circ g\) -ஐ காண்க.

தீர்வு

என நாம் அறிவோம்.

\(x \le 0\) எனில், \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x) = 3x\).

\(x > 0\) எனில், \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 3x\).

எனவே எல்லா x -க்கும் \((f \circ g)(x) = 3x\).

1.6.5 சார்பின் நேர்மாறு (Inverse of a function)#

[படம் 1.41]

படம் 1.41 -ல் உள்ளவாறு ஒரு இருபுறச் சார்பு \(f: X \to Y\) இருப்பதாகக் கருதுவோம்.

இச்சார்பைக் கண்ணாடியில் பார்த்தால் Y -லிருந்து X -க்கான சார்பு கிடைக்கும். அச்சார்பினை g என அழைப்போம். இப்போது Y -லிருந்து X -க்கான சார்பு \(g(x) = b, g(y) = c, g(z) = a\) என வரையறுக்கப்படும்.

இந்த சார்பு f -ன் நேர்மாறு சார்புக்கு எடுத்துக்காட்டாக விளங்குகிறது. இப்போது நேர்மாறு சார்பின் வரையறையைக் காண்போம்.

வரையறை 1.9

\(f: X \to Y\) என்பது இருபுறச் சார்பு என்க. சார்பு \(g: Y \to X\) ஆனது \(f(x) = y\) எனும்போது \(g(y) = x\) என வரையறுக்கப்படின், சார்பு g -ஐ f -ன் நேர்மாறு (inverse) என்று அழைக்கப்பட்டு \(f^{-1}\) என குறிப்பிடப்படுகிறது.

சார்பு f நேர்மாறு உடையதாக இருந்தால் f -ஐ நேர்மாற்றுத்தன்மை (invertible) உடையது எனக் கூறலாம்.

சார்புகளின் சேர்ப்பிற்கும், நேர்மாறுக்கும் வியப்பிற்குரிய தொடர்பு உண்டு.

\(f: X \to Y\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு \(g: Y \to X\) என்க.

இப்போது \(g \circ f = I_X\) மற்றும் \(f \circ g = I_Y\). இங்கு \(I_X\) மற்றும் \(I_Y\) என்பவை முறையே X மற்றும் Y மீதான சமனிச் சார்புகளாகும்.

மேலும், \(f: X \to Y\) மற்றும் \(g: Y \to X\) ஆகிய சார்புகள் \(g \circ f = I_X\) மற்றும் \(f \circ g = I_Y\) என இருக்குமானால் f மற்றும் g இரண்டும் இருபுறச் சார்புகளாகும். மற்றும் அவை ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாகும்; அதாவது, \(f^{-1} = g\) மற்றும் \(g^{-1} = f\).

மேற்கண்ட கருத்துக்களின் அடிப்படையில் நேர்மாற்றுத்தன்மை மற்றும் நேர்மாறு என்ற சொற்களை வேறு வகையில் வரையறுப்போம்.

வரையறை 1.10

\(I_X\) மற்றும் \(I_Y\) என்பவை முறையே X மற்றும் Y மீதான சமனிச் சார்புகளாகக் கருதுக. \(g \circ f = I_X\) மற்றும் \(f \circ g = I_Y\) என அமையுமாறு \(g: Y \to X\) எனும் சார்பு கிடைக்குமானால் \(f: X \to Y\) -ஐ நேர்மாற்றுத்தன்மை உடையது எனக் கூறலாம். இந்நிலையில் g -ஐ f -ன் நேர்மாறு எனவும் g -ஐ \(f^{-1}\) எனவும் குறிப்பிடலாம்.

இந்த வரையறையைப் பயன்படுத்திச் சார்புகளில் சிலவற்றை இருபுறச் சார்புகளா எனக் காணலாம்.

f என்பது இருபுறச் சார்பாக இருப்பின் \(f^{-1}(y)\) என்பது f -ன் கீழ் y -ன் முன்பிம்பமாகும். இருபுறச் சார்புகளில் மட்டுமே நேர்மாறு வரையறுக்க இயலும் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒருவேளை, f ஒன்றுக்கொன்றாக இல்லையெனில் \(a \neq b\) மற்றும் \(f(a) = f(b) = y\) என்க) என்ற வகையில் அமையுமாறு a மற்றும் b என இரு முன்பிம்பங்கள் f -ன் கீழ் y க்கு இருக்கும். ஆனால் \(f^{-1}\) -க்கு இருவேறு மதிப்புகள் கிடைப்பது என்பது சார்பின் வரையறைக்கு முரண்படுகின்றது. எனவே, f ஒன்றுக்கொன்றாகத்தான் இருக்க வேண்டும். f ஆனது மேற்கோர்த்தல் இல்லையெனில் Y -ல் உள்ள ஏதேனும் ஒரு y -க்கு முன்பிம்பம் X -ல் இல்லாத நிலை ஏற்படும். அந்நிலையில் எந்த ஒரு உறுப்பினையும் \(f^{-1}(y)\) -க்கு ஒதுக்க இயலாது. எனவே f ஆனது இருபுறச் சார்பாக இருந்தாலன்றி நேர்மாறு வரையறுக்க இயலாது.

எடுத்துக்காட்டாக, \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), மற்றும் \(f = \{(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)\}\) என்க. இப்போது f -ன் வீச்சகம் \(\{1, 2, 3, 4\}\) ஆகும்; f -ன் நேர்மாறு \(\{(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 2)\}\) ஆகும்.

R -லிருந்து R -க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பு f -ன் நேர்மாறு காணும் படிநிலைகள் (Working Rule to Find the Inverse of a Function)

(i) சார்பினை \(y = f(x)\) எனும் கட்டமைப்பில் எழுதுக;

(ii) x -ஐ y -ன் அடிப்படையில் எழுதவும்;

(iii) \(f^{-1}(y)\)-ஐ y -ன் கோவையாக எழுதவும்;

(iv) y -ஐ x ஆக மாற்றவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.30 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = 2x - 3\) என வரையறுக்கப்படின் f ஒரு இருபுறச் சார்பு என நிரூபித்து, அதன் நேர்மாறினைக் காண்க.

தீர்வு

வழிமுறை - 1

ஒன்றுக்கொன்று: \(f(x) = f(y)\) என்க. இதனால் \(2x - 3 = 2y - 3\); இதிலிருந்து \(2x = 2y\). எனவே \(x = y\). அதாவது, \(f(x) = f(y)\) எனில் \(x = y\). எனவே, f என்பது ஒன்றுக்கொன்று.

மேற்கோர்த்தல்: \(y \in \mathbb{R}\) என்க. \(x = \frac{y + 3}{2}\) என்க. எனவே, \(f(x) = 2\left(\frac{y + 3}{2}\right) - 3 = y\). இதனால் f என்பது மேற்கோர்த்தல் ஆகும். (அல்லது) f -ன் வீச்சகம் தெளிவாக R ஆகும். (எவ்வாறு?) அதாவது வீச்சகமும் துணைச்சார்பகமாகவும் சமமாக இருப்பதால் f மேற்கோர்த்தல் ஆகும்.

நேர்மாறு: \(y = 2x - 3\) என்க. எனவே \(y + 3 = 2x\). அதனால் \(x = \frac{y + 3}{2}\). அதாவது \(f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{2}\). இப்போது y -ஐ x -ஆல் மாற்ற \(f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}\) எனக் கிடைக்கும்.

வழிமுறை - 2

\(y = 2x - 3\) என்க. எனவே \(x = \frac{y + 3}{2}\), \(g(y) = \frac{y + 3}{2}\) என்க. இப்போது,

ஆகையால், \(g \circ f = I_X\) மற்றும் \(f \circ g = I_Y\). f மற்றும் g ஆகியன இருபுறச் சார்புகள் என்பதும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு என்பதும் இதன்மூலம் தெளிவாகிறது. எனவே f என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் \(f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{2}\). இதிலிருந்து y -ஐ x -ஆல் பிரதியிட \(f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}\).

1.6.6 சார்புகளில் இயற்கணித செயல்பாடுகள் (Algebra of functions)#

R அல்லது R-ன் உட்கணத்தினை துணைச்சார்பகமாக கொண்ட ஒரு சார்பு மெய்மதிப்புச் சார்பு என அறிந்துள்ளோம். மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் மீதான செயல்பாடுகளைப் பற்றி அறிவோம்.

f மற்றும் g ஆகியன இரு மெய்மதிப்புச் சார்புகள் என்க. f மற்றும் g இடையே கூட்டலை வரையறுக்க இயலுமா? இயல்பாகவே இரு சார்புகளின் கூட்டலும் ஒரு சார்பாக இருக்கும் என எதிர்பார்க்கலாம். x எனும் புள்ளியில் \(f + g\) -ன் மதிப்பிற்கும், x புள்ளியில் உள்ள f மற்றும் g -ன் மதிப்புகளுக்கும் தொடர்பு இருக்க வேண்டும். x என்ற புள்ளியில் \(f + g\) வரையறுக்கப்பட \(f(x), g(x)\) ஆகியன தெரிந்திருக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூற வேண்டுமானால், x என்ற புள்ளி f மற்றும் g -ன் சார்பகங்களில் இருக்க வேண்டும். மேலும் x-ல் \(f + g\) -ஐ \(f(x) + g(x)\) என வரையறுக்கலாம். எனவே f மற்றும் g -ன் சார்பகங்கள் ஒன்றாக இருக்க வேண்டும் என்கிற நிபந்தனையுடன் \(f + g\) -ஐ வரையறுக்க வேண்டும். இதே போன்று சார்புகளின் கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் ஏனைய கணிதச் செயல்பாடுகளையும் R -ல் வரையறுக்கலாம்.

வரையறை 1.11

X ஒரு கணம் என்க. f மற்றும் g என இரு மெய்மதிப்புச் சார்புகள் X -ன் மீது வரையறுக்கப்படுகிறது என்க. அவற்றின் அனைத்து \(x \in X\) -க்கும்

என வரையறுக்கப்படுகிறது.

சார்பகங்கள் எண்களின் கணங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைக் கவனிக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வகுப்பிலுள்ள மாணவர்களின் கணம் X எனில், f மற்றும் g எனும் சார்புகள், மாணவர்களின் இரு தேர்வு மதிப்பெண்களைக் குறிக்கின்றன எனில், \(f + g\) எனும் சார்பு இரு தேர்வுகளிலும் மாணவர்களின் மொத்த மதிப்பெண்களைக் குறிக்கும். பின்வரும் பண்புகளை மேற்கண்ட வகையில் வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சார்புகள் நிறைவேற்றுகின்றன.

• 0 + f = f + 0 இங்கு 0 என்பது பூஜ்ஜியச் சார்பு. அனைத்து x-க்கும் \(0(x) = 0\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. \[ f + (-f) = (-f) + f = 0 \] \[ f(g + h) = fg + fh \]
• \((c_1 + c_2)f = c_1f + c_2f\) இங்கு \(c_1\) மற்றும் \(c_2\) என்பன மெய் மாறிலிகளாகும்.

இவ்வாறு இச்செயல்களில் பல்வேறு பண்புகளைப் பட்டியலிடலாம். நிரூபணங்கள் எளிதானது என்றாலும் எவ்வழியில் இப்பண்புகளை நிரூபிப்பது என்பதற்கு ஒரு பண்பினை மட்டும் இங்கு நிரூபிக்கலாம்.

\(f(g + h) = fg + fh\) என்பதை நிரூபிப்போம். இதனை நிரூபிக்க, சார்பகத்திலுள்ள அனைத்து x -க்கும் \((f(g + h))(x) = (fg + fh)(x)\) என நிரூபிக்க வேண்டும்.

தேற்றம் 1.3 f, g மற்றும் h என்பன X மீது வரையறுக்கப்படும் இரு மெய்மதிப்புச் சார்புகள் எனில், \(f(g + h) = fg + fh\).

நிரூபணம்: \(x \in X\) என்க.

ஆகையால் அனைத்து \(x \in X\) -க்கும் \((f(g + h))(x) = (fg + fh)(x)\). எனவே, \(f(g + h) = fg + fh\).

1.6.7 சில சிறப்பு சார்புகள் (Some Special Functions)#

இனிச் சில சிறப்பு சார்புகளைப் பார்ப்போம்.

(i) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பு \(f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n\), \(a_i\) என்பவை மாறிலிகள், என வரையறுக்கப்படுமெனில், f -ஐ பல்லுறுப்பு சார்பு (polynomial function) என்றழைக்கலாம். வலப்புறத்தில் அமைந்துள்ளது பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதால் பல்லுறுப்பு சார்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

(ii) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பு \(f(x) = ax + b, a \neq 0, b\) ஆகியவை மாறிலிகள் என்று வரையறுக்கப்படுமானால், அதனை நேரியல் சார்பு (linear function) என அழைக்கலாம். நேரியல் அல்லாத சார்பு நேரியலற்ற சார்பு (non-linear function) என்று அழைக்கப்படுகிறது. தெளிவாக நேரியல் சார்பு ஒரு பல்லுறுப்பு சார்பு ஆகும். இச்சார்பின் வரைபடம் ஒரு நேர்க்கோடாகும். இந்நேர்க்கோட்டினை ஒரு நேரியல் வளைவரை என்று அழைக்கலாம். ஆதலால் இது நேரியல் சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. (கணித மேற்படிப்பில் இந்நேரியல் சார்பினை மேலும் வெவ்வேறான வகையில் வரையறுக்கப்படும் வாய்ப்பு உண்டு)

(iii) \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு \(f(x) = a^x\), a ஒரு குறையற்ற மாறிலி, என வரையறுக்கப்படுவதாகக் கருதுக. \(a = 0, x \neq 0\) எனில், இச்சார்பு பூஜ்ஜியச் சார்பாக அமையும். \(a = 1\) எனில், \(f(x) = 1\) என்கிற மாறிலிச் சார்பு ஆகும். \(a > 1\) எனில், \(f(x) = a^x\) என்பது ஒரு படிக்குறிச் சார்பு அல்லது அடுக்குச் சார்பு (exponential function) ஆகும். மேலும், x -ஐ அடுக்காகக் கொண்டுள்ள எந்தச் சார்பும் ஒரு படிக்குறிச் சார்பாகும் [படம் 1.42 மற்றும் 1.43].

குறிப்பு: e என்ற சிறப்பு விகிதமுறா எண் 2 மற்றும் 3 க்கு இடையே அமைந்துள்ளது. e பற்றிய மேலான கருத்துகளை அடுத்து வரும் அத்தியாயங்களில் பார்க்கலாம்.

(iv) \(a > 1\) என்பது ஒரு மாறிலி என்க. \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\) எனும் ஒரு சார்பு \(f(x) = \log_a x\) என வரையறுக்கப்பட்டால் அதனை மடக்கைச் சார்பு (logarithmic function) எனலாம். மேலும் தக்க சார்பகத்தின் மீதான ஒரு படிக்குறிச் சார்பு \(f(x) = a^x\) -ன் நேர்மாறு, மடக்கைச் சார்பாக அமையும் [படம் 1.44].

(v) தகுந்த சார்பகத்தில் \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) என வரையறுக்கப்படும் மெய்மதிப்புச் சார்பு (இங்கு \(p(x)\) மற்றும் \(q(x)\) ஆகியன பல்லுறுப்புக் கோவைகள், \(q(x) \neq 0\)) f ஆனது ஒரு விகிதமுறு சார்பு (rational function) என்று அழைக்கப்படுகிறது. \(q(x) = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வுகளைத் தவிர்த்து R -ல் பெறப்படும் மதிப்புகள் இச்சார்பின் சார்பகமாக அமையும்.

(vi) பூஜ்ஜியமற்ற மெய்மதிப்புச் சார்பு \(f(x)\)-க்கு தகுந்த சார்பகத்தில் \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) என வரையறுக்கப்படும் மெய்மதிப்புச் சார்பு g ஆனது f -ன் தலைக்குச் சார்பு (reciprocal function) ஆகும். \(f(x) = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வுகளை R-ல் இருந்து நீக்கிப் பெறப்படும் மதிப்புகள் இச்சார்பின் சார்பகமாக அமையும். உதாரணமாக \(f(x) = \frac{1}{x - 1}\) -ன் மீப்பெரு சார்பகமாக \(\mathbb{R} - \{1\}\) அமையும்.

மேலும் இரு வகை சார்புகளைக் காண்போம்.

வரையறை 1.12

அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\) -க்கும் \(f(-x) = -f(x)\) எனில், \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) எனும் சார்பு ஒரு ஒற்றைப்படைச் சார்பு (odd function) எனப்படும். அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\) -க்கும் \(f(-x) = f(x)\) எனில், f ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பு (even function) எனப்படும் [படங்கள் 1.45 மற்றும் 1.46].

\(f(x) = x, f(x) = 2x\) மற்றும் \(f(x) = x^3 + 2x\) என்பன ஒற்றைப் படைச் சார்புகளுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகளாகும். \(f(x) = x^2, f(x) = 3, f(x) = x^4 + x^2\) மற்றும் \(f(x) = |x|\) என்பன இரட்டைப் படைச் சார்புகளுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகளாகும். மேலும், \(f(x) = x + x^2\) என்பது ஒற்றைப்படையுமல்ல, இரட்டைப்படைச் சார்புமல்ல.

பின்வரும் முடிவுகளை நம்மால் நிரூபிக்க முடியும்.

(i) இரு ஒற்றைப்படைச் சார்புகளின் கூடுதல் ஒற்றைப்படைச் சார்பாகும்.

(ii) இரு இரட்டைப்படைச் சார்புகளின் கூடுதல் இரட்டைப்படைச் சார்பாகும்.

(iii) இரு ஒற்றைப்படைச் சார்புகளின் பெருக்கல் ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பாகும்.

(iv) இரு இரட்டைப்படைச் சார்புகளின் பெருக்கல் ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பாகும்.

(v) ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பின் பெருக்கல் ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பாகும்.

(vi) ஒற்றைப்படையாகவும் இரட்டைப்படையாகவும் அமையும் ஒரே சார்பு பூஜ்ஜியச் சார்பாகும்.

(vii) ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பினை மிகை மாறிலியால் பெருக்கப்படும்போது கிடைப்பது இரட்டைப்படைச் சார்பாகும்.

(viii) ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பினை ஒரு குறை மாறிலியால் பெருக்கப்படும்போது கிடைப்பது இரட்டைப்படைச் சார்பாகும்.

(ix) ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பினை ஒரு மாறிலியால் பெருக்கப்படும்போது கிடைப்பது ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பாகும்.

(x) ஒற்றைப்படைச் சார்புமன்றி இரட்டைப்படைச் சார்புமன்றிப் பல சார்புகள் உள்ளன.

மேற்கண்டவற்றிலிருந்து ஒன்றினை மட்டும் நிரூபிப்போம். ஏனைய பண்புகளையும் இவ்வாறே நிரூபிக்க இயலும்.

தேற்றம் 1.4: ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் இரட்டைப்படைச் சார்பின் பெருக்கல் ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பாகும்.

நிரூபணம்: f ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பு மற்றும் g ஓர் இரட்டைப்படைச் சார்பு எனக் கொள்க. \(h = fg\) என்க. எனவே,

ஆதலால், h ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பாகும். இதிலிருந்து fg ஓர் ஒற்றைப்படைச் சார்பு என்பது புலனாகும்.

குறிப்பு: ஒரு சார்பு ஒற்றைப்படைச் சார்பு இல்லையெனில், அச்சார்பு இரட்டைச் சார்பாகத்தான் இருக்கும் எனத் தவறாக எண்ணக்கூடாது. பல சார்புகள் ஒற்றைப்படைச் சார்புமல்ல அதேசமயம் இரட்டைப்படைச் சார்புமல்ல.

பயிற்சி 1.3#

1. ஒரு பள்ளியில் பதினோராம் வகுப்பில் 4 பிரிவுகளில் மொத்தம் 120 மாணவர்கள் படிக்கின்றனர். மாணவர்களின் கணம் A மற்றும் பிரிவுகளின் கணம் B என்க. “x எனும் மாணவர் y பிரிவிலிருந்தால் x ஆனது y உடன் தொடர்புடையது” என வரையறுக்கப்படுகிறது. இத்தொடர்பு சார்பாகுமா? இதன் நேர்மாறு தொடர்பு பற்றி விளக்குக.

என வரையறுக்கப்படின் \(-4, 1, -2, 7, 0\) ஆகியவற்றில் f -ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

என வரையறுக்கப்படின் \(-3, 5, 2, -1, 0\) ஆகியவற்றில் f –ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

4. கீழ்க்காணும் தொடர்புகள் சார்புகளா? என்பதனைச் சோதிக்கவும். சார்புகள் எனில் அவை ஒன்றுக்கொன்றா மற்றும் மேற்கோர்த்தலா எனச் சோதிக்கவும். சார்பு இல்லை எனில் காரணம் கூறவும்.

(i) \(A = \{a, b, c\}\) மற்றும் \(f = \{(a, c), (b, c), (c, b)\}; (f: A \to A)\)

(ii) \(X = \{x, y, z\}\) மற்றும் \(f = \{(x, y), (x, z), (z, x)\}; (f: X \to X)\)

5. \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) மற்றும் \(B = \{a, b, c, d\}\) எனில் பின்வரும் ஒவ்வொன்றிற்கும் \(A \to B\) -க்கு ஒரு சார்பு உதாரணமாகத் தருக.

(i) ஒன்றுக்கொன்றும் அல்ல மற்றும் மேற்கோர்த்தலும் அல்ல

(ii) ஒன்றுக்கொன்று அல்ல ஆனால் மேற்கோர்த்தல்

(iii) ஒன்றுக்கொன்று ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல

(iv) ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல்

6. \(\frac{1}{1 - 2\sin x}\) என்ற சார்பின் சார்பகத்தைக் காண்க.

7. \(f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\sqrt{x^2 - 9}}\) என்ற சார்பின் மீப்பெரு சார்பகத்தைக் காண்க.

8. \(\frac{1}{2\cos x - 1}\) என்ற சார்பின் வீச்சகத்தைக் காண்க.

9. \(xy = -2\) எனும் தொடர்பு தகுந்த சார்பகத்தில் ஒரு சார்பு எனக் காட்டுக. அதன் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் காண்க.

10. \(f(x) = |x| + x\) மற்றும் \(g(x) = |x| - x\) என \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) வரையறுக்கப்படின் \(g \circ f\) மற்றும் \(f \circ g\) காண்க.

11. \(f, g, h\) என்பன \(\mathbb{R}\)-ல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்புகளெனில், \((f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h\) என நிரூபிக்க. மேலும் \(f \circ (g + h)\) பற்றி என்ன கூற இயலும்? தகுந்த காரணங்களுடன் விடை தருக.

12. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) என்ற சார்பு \(f(x) = 3x - 5\) என வரையறுக்கப்படின் அது ஒரு இருபுறச் சார்பு என நிரூபித்து அதன் நேர்மாறு காண்க.

13. ஒரு மனிதனின் தசைகளின் எடை W ஆனது அவரது உடல் எடை x -ன் சார்பாக அமைகிறது. மற்றும் \(W(x) = 0.35x\) எனவும் குறிப்பிடப்பட்டது எனில், இச்சார்பின் சார்பகத்தை தீர்மானிக்கவும்.

14. மேற்பரப்பினிலிருந்து கீழே விழும் ஒரு பொருளின் உயரம், t நேரத்தைப் பொறுத்துச் சார்பாக, \(s(t) = -16t^2\) என அமைகிறது. இச்சார்பினை வரைபடமாகக் கொண்டு ஒன்றுக்கொன்றா எனத் தீர்மானிக்கவும்.

15. ஒரு குறிப்பிட்ட வான்வழிப் பயணக் கட்டணமானது, அடிப்படை வானூர்திக் கட்டணம் (ரூபாயில்) C உடன் எரிபொருள் கூடுதல் கட்டணம் S உள்ளடக்கியது. C மற்றும் S ஆகிய இரண்டுமே வான் தொலைவு அளவு m ஆல் அமைகிறது. மேலும் \(C(m) = 0.4m + 50\) மற்றும் \(S(m) = 0.03m\) எனில் வான் தொலைவு அளவு ரீதியாக ஒரு பயணச் சீட்டின் மொத்தக் கட்டணத்தினை m -ன் சார்பாக எழுதுக. மேலும் 1600 வான் தொலைவு மைல்களுக்கான பயணச் சீட்டின் தொகையைக் காண்க.

16. ஒரு விற்பனை பிரதிநிதியின் ஆண்டு வருமானத்தைக் குறிக்கும் சார்பு \(A(x) = 30,000 + 0.04x\). இங்கு x என்பது அவர் விற்கும் பொருளின் மதிப்பை ரூபாயாகக் குறிக்கின்றது. விற்பனைத் துறையில் உள்ள அவர் மகனின் வருமானம் \(S(x) = 25,000 + 0.05x\) எனும் சார்பாகக் குறிக்கப்படுகிறது எனில், \((A + S)(x)\) காண்க. மேலும் ₹1,50,00,000 மதிப்புள்ள பொருட்களை அவர்களிருவரும் தனித்தனியே விற்றால் குடும்ப மொத்த வருமானத்தினைக் கணக்கிடுக.

17. அமெரிக்க டாலரை சிங்கப்பூர் டாலராக ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் பண மதிப்பு மாற்றம் செய்யும் சார்பு \(f(x) = 1.23x\) ஆகும். இங்கு x என்பது அமெரிக்க டாலர்களின் எண்ணிக்கை ஆகும். அதே நாளில் இந்திய ரூபாய்க்கு சிங்கப்பூர் டாலரை மாற்றும் சார்பு \(g(y) = 50.50y\), இங்கு y என்பது சிங்கப்பூர் டாலர்களின் எண்ணிக்கை ஆகும். இந்திய ரூபாயின் அடிப்படையில் அமெரிக்க டாலரின் நாணயப் பரிவர்த்தனை விகிதத்தை வழங்கும் சார்பினை எழுதுக.

18. ஒரு சிறிய உணவகத்தின் உரிமையாளர் ₹100 செலவில் ஒரு குறிப்பிட்ட உணவைத் தயாரிக்க முடியும். உணவு வகைப் பட்டியலின்படி அந்த உணவின் விலை x என நிர்ணயித்தால், அந்நாளில் அவ்வுணவைப் பெறும் வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை \(D(x) = 200 - x\) என்ற சார்பாக அமைகிறது. அந்த உணவைப் பொறுத்து அவருடைய அன்றைய வருமானம், மொத்தச் செலவு மற்றும் லாபம் ஆகியவற்றை x -ன் சார்பாக அமைக்கவும்.

19. பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செல்சியஸ் வெப்பநிலைக்கு மாற்றும் சார்பு \(y = \frac{9}{5}x + 32\) எனில், y -ன் நேர்மாறு சார்பினைக் காண்க. நேர்மாறு சார்பும் ஒரு சார்பு எனவும் காண்க.

20. ஒரு சாதாரண சங்கேதமொழியில் ஓர் உருவினை மாற்றியமைக்க எண்ணால் எழுதப் பயன்படுத்தப்படும் சார்பு \(f(x) = 3x - 4\). இச்சார்பின் நேர்மாறினையும், அந்நேர்மாறு ஒரு சார்பு என்பதையும் காண்க. அவை \(y = x\) என்ற நேர்க்கோட்டில் சமச்சீர் உடையது என்பதை வரைந்து காண்க.

1.7 உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சார்புகளை வரைபடமாக்குதல் (Graphing Functions using Transformations)#

“ஒரு சித்திரம் ஆயிரம் சொற்களுக்குச் சமம்” என்பது பழமொழி. ஒரு சார்பைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ளப் பகுமுறை கோவையை விட அதன் வரைபடமே நமக்கு நன்கு புரிந்து கொள்ள உதவுகிறது என்றால் மிகையில்லை. பல புள்ளிகளைத் தளத்தில் குறியிட்டு வரைவதனைத் தவிர்த்து, ஒரு வளைவரையை வரைவது ஒரு சிறந்த கலைத்திறமையாகும். சில கடினமான சார்புகளை வரைபடமாக்க, சில அடிப்படை வடிவங்கள் மற்றும் சார்புகளைப் பற்றிய புரிதல் இன்றியமையாதது. சமச்சீர் தன்மையும், உருமாற்றமும் வரைபடக் கலையைச் செம்மையாக்குகிறது. இப்பிரிவு வெறும் வரைபடங்களின் தொகுப்பன்று. மாறாகச் சில சார்புகளை வரைபடமாக்கும் முறைகளைப் பற்றி கற்பிக்கிறது.

உதாரணமாக \(y = 2\sin(x - 1) + 3\) எனும் வளைவரையின் சார்பினைப் பார்த்த மாத்திரத்தில் வளைவரையை வரைவது கடினம் என்ற எண்ணம் தோன்றும். ஆனால் சார்பின் அமைப்பினைப் பிரித்துப் புரிந்து கொண்டால் எளிதாக வரைய இயலும். இப்பகுதியின் முடிவில் இச்சார்பின் வளைவரையைக் காணலாம்.

ஒரு கோட்டைப் பொறுத்து வரைபடத்தின் ஒரு பாதி மற்ற பாதியின் பிம்பம் என்பதை அறிந்திருந்தாலோ அல்லது குறிப்பிட்ட வளைவரையை சற்றுத் திசை நகர்த்துவதன் மூலம் முன்னர் அறிந்த வளைவரையைக் கொண்டு அறியாத வளைவரையை புதியதாக வரையலாம். மேலும் ஒரு வளைவரையை பெரியதாக ஆக்கவோ, சுருக்கவோ கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை மூலமாகப் பெற முடிந்ததால் புதிய வளைவரைகளை, தெரிந்த வளைவரைகளைக் கொண்டே எளிதாக வரைய இயலும்.

கீழ்க்காணும் உருமாற்றங்களின் வகைகள் வரைபடமாக்கலில் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது.

(i) பிரதிபலிப்பு (reflection)

(ii) இடப்பெயர்ச்சி (translation)

(iii) விரிதல் / சுருங்குதல் (dilation)

பிரதிபலிப்பு மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி உருமாற்றங்களைப் பொறுத்தவரை மூல வரைபடங்களுக்கு சர்வசமமாக அவை அமையும். அதாவது அதன் அளவு, தோற்றம் முதலியன மாறாது. ஆனால் விரிதலில் அவ்வாறு நிகழ்வதில்லை.

பிரதிபலிப்பு (reflection)

[படம் 1.47]

கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் f -க்கு, l எனும் கோட்டின் மீதான பிரதிபலிப்பு \(f'\) என்பது l -ஐப் பொறுத்து f -க்குச் சமச்சீராக அமையும் வரைபடம் ஆகும். l எனும் கோட்டினைக் கண்ணாடியாகக் கொண்டு ஒரு வளைவரைக்கு கிடைக்கும் பிம்பமே பிரதிபலிப்பாகும் [படம் 1.47].

இங்கு, \(f'\) என்பது l மீதான f -ன் கண்ணாடி பிம்பமாகும். f -ல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் \(f'\)-ல் ஒத்திசைவான ஒரு புள்ளி அமையும்.

(i) x -அச்சைப் பொறுத்து, \(y = f(x)\) -ன் பிரதிபலிப்பு \(y = -f(x)\) எனும் வரைபடம்.

(ii) y -அச்சைப் பொறுத்து \(y = f(x)\) -ன் பிரதிபலிப்பு \(y = f(-x)\) எனும் வரைபடம்.

(iii) \(y = x\) என்ற நேர்க்கோட்டினைப் பொறுத்து \(y = f(x)\) -ன் பிரதிபலிப்பு \(y = f^{-1}(x)\) எனும் வரைபடம் ஆகும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.5

(i) \(y = x^2\) (ii) \(y = -x^2\) என்னும் சார்புகளைக் கருதுக.

[படம் 1.48]

\(f(x) = x^2\) என்ற சார்புக்கு \(-f(x) = -x^2\) ஆகும். ஆகையால் x -அச்சினைப் பொறுத்து \(y = x^2\) –ன் பிரதிபலிப்பு \(y = -x^2\) ஆகும் [படம் 1.48].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.6

\(y^2 = x\) மற்றும் \(y^2 = -x\) ஆகிய வளைவரைகளின் மிகைக் கிளைகளைக் கருத்தில் கொள்க.

[படம் 1.49]

\(f(x) = \sqrt{x}\) என்ற சார்புக்கு \(f(-x) = \sqrt{-x}\). ஆகையால் y-அச்சைப் பொறுத்து \(f(x) = \sqrt{x}\) -ன் பிரதிபலிப்பு \(f(-x) = \sqrt{-x}\) ஆகும். இங்கு \(x < 0\) [படம் 1.49].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.7

(i) \(y = e^x\) (ii) \(y = \log x\)

[படம் 1.50]

\(y = \log x\) -ன் நேர்மாறு \(y = e^x\) என நாம் அறிவோம். ஆதலால் \(y = x\) என்ற கோட்டினைப் பொறுத்து \(y = \log x\) -ன் பிரதிபலிப்பு \(y = e^x\) ஆகும். [படம் 1.50]

இடப்பெயர்ச்சி (Translation)

ஒரு வரைபடத்தைக் கிடைமட்டமாக அல்லது நிலைக்குத்தாக இடப்பிறழ்வில் ஒருங்கிசைவான வரைபடங்களை உருவாக்குவது இடப்பெயர்ச்சி எனப்படும்.

வளைவரை \(y = f(x)\) -ஐ c அலகுகளுக்குக் கிடைமட்டமாக இடப்பக்கம் நகர்த்தால் கிடைப்பது \(y = f(x + c), c > 0\) என்ற வளைவரையாகும்.

வலப்பக்கம் நகர்த்தால் கிடைப்பது \(y = f(x - c), c > 0\) என்ற வளைவரையாகும்.

வளைவரை \(y = f(x)\) -ஐ d அலகுகளுக்கு நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி நகர்த்தால் கிடைப்பது \(y = f(x) + d, d > 0\) என்ற வளைவரையாகும்.

கீழ்நோக்கிய நகர்த்தால் கிடைப்பது \(y = f(x) - d, d > 0\) என்ற வளைவரையாகும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.8

(i) \(f(x) = \sqrt{x}\) (ii) \(f(x) = \sqrt{x - 1}\) (iii) \(f(x) = \sqrt{x + 1}\) என்ற வளைவரைகளைக் கருதுக.

[படம் 1.51]

\(f(x) = \sqrt{x - 1}\) என்பதன் வளைவரை \(f(x) = \sqrt{x}\) என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு வலப்பக்கமாக நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

\(f(x) = \sqrt{x + 1}\) என்பதன் வளைவரை \(f(x) = \sqrt{x}\) என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு இடப்பக்கமாக நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும் [படம் 1.51].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.9

(i) \(f(x) = |x|\) (ii) \(f(x) = |x| - 1\) (iii) \(f(x) = |x| + 1\) என்ற வளைவரைகளைக் கருதுக.

[படம் 1.52]

\(f(x) = |x| - 1\) என்ற வளைவரை, \(f(x) = |x|\) என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு கீழ்நோக்கி நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

\(f(x) = |x| + 1\) என்ற வளைவரை, \(f(x) = |x|\) என்ற வளைவரையை ஒரு அலகு மேல்நோக்கி நகர்த்திக் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும் [படம் 1.52].

விரிதல் / சுருங்குதல் (dilation)

வரைபடத்தை x –அச்சை நோக்கி விரிக்கவோ அல்லது y -அச்சை நோக்கிச் சுருக்கவோ செய்வது, விரிதல் / சுருங்குதல் ஆகும். ஒரு மிகை மாறிலியால் ஒரு சார்பினைப் பெருக்குவதால் வரைபடமானது, விரிதல் அல்லது சுருங்குதல் அடைகிறது; அதாவது x -அச்சிலிருந்து விலகிச் செல்லவோ அல்லது நெருங்கவோ செய்கிறது. குறிப்பாக மிகை மாறிலி, ஒன்றை விடப் பெரியதாக இருப்பின், வரைபடம் x -அச்சிலிருந்து விலகிச் செல்லும். அதாவது y -அச்சை நோக்கிச் சுருங்கும். ஒன்றை விட மிகை மாறிலி குறைவாக இருப்பின், வரைபடம் x -அச்சை நோக்கி நெருங்கும். அதாவது y -அச்சை விட்டு விலகி விரிவடையும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.10:

(i) \(f(x) = x^2\) (ii) \(f(x) = \frac{1}{2}x^2\) (iii) \(f(x) = 2x^2\)

[படம் 1.53]

\(f(x) = \frac{1}{2}x^2\) என்ற சார்பின் வரைபடம், \(f(x) = x^2\) -ன் வரைபடத்தை x -அச்சை நோக்கி நெருக்குகிறது. அதாவது விரிவடைகிறது. ஏனெனில், இங்குப் பெருக்கல் காரணி \(\frac{1}{2}\), ஒன்றை விடச் சிறியதாக இருக்கிறது.

\(f(x) = 2x^2\) என்ற சார்பின் வரைபடம் \(f(x) = x^2\) -ன் வரைபடத்தை x -அச்சிலிருந்து விலகி y -அச்சை நோக்கி நெருக்குகிறது. அதாவது வரைபடம் y -அச்சை நோக்கிச் சுருங்குகிறது. ஏனெனில், இங்கு பெருக்கல் காரணி 2, ஒன்றை விடப் பெரியதாக இருக்கிறது [படம் 1.53].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.11:

(i) \(f(x) = x^2\) (ii) \(f(x) = x^2 + 1\) (iii) \(f(x) = (x + 1)^2\)

என்ற வளைவரைகளைக் கருதுக.

[படம் 1.54]

\(f(x) = x^2 + 1\) என்ற சார்பின் வரைபடம், \(f(x) = x^2\) -ஐ ஒரு அலகு கிடைமட்டமாக மேல்நோக்கி நகர்த்துகிறது.

\(f(x) = (x + 1)^2\) என்ற சார்பின் வரைபடம் \(f(x) = x^2\) -ஐ ஒரு அலகு கிடைமட்டமாக இடப்பக்கம் நோக்கி நகர்த்துகிறது [படம் 1.54].

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.12: \(y = x^2 - 1, y = 4(x^2 - 1)\) மற்றும் \(y = (4x)^2 - 1\) ஆகிய வரைபடங்களை ஒப்பீடு மற்றும் வேறுபடுத்திக் காண்க.

[படங்கள் 1.55, 1.56, 1.57]

[படம் 1.58]

[படம் 1.59]

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.13

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.12 -ல் பயன்படுத்திய செயல்முறையை \(y = \sin x ; y = \sin 2x\) வரைபடங்களுக்கும் ஒருங்கிணைந்த வரைபடங்களுக்கும் பயன்படுத்தப்பட்டுக் கீழே தரப்பட்டுள்ளது [படங்கள் 1.60, 1.61, 1.62].

[படம் 1.60]

[படம் 1.61]

[படம் 1.62]

\(\sin x\) மற்றும் \(\sin 2x\) ஆகியவற்றின் மீச்சிறு மற்றும் பெரும மதிப்புகளில் மாறுபாடு இல்லை. ஆனால் x வெட்டுத்துண்டுகள் வெவ்வேறாக அமையும். \(y = \sin x\) என்ற சார்பின் x வெட்டுத்துண்டுகள் \(\pm n\pi\) ஆகும். ஆனால், \(y = \sin 2x\) –ன் வெட்டுத்துண்டுகள் \(\pm \frac{1}{2}n\pi\) ஆகும். இங்கு \(n \in \mathbb{Z}\).

இப்பகுதியின் தொடக்கத்தில் \(y = 2\sin(x - 1) + 3\) என்ற சார்பின் வரைபடத்தை வரைவது பற்றி கூறினோம். இப்போது அதை வரைவதற்கு தேவையானவற்றைத் தெரிந்து கொண்டுள்ளோம். மேலும் இதனை விடக் கடினமான வளைவரை வரைவதற்குக் கூட ஆயத்தமாக இருக்கின்றோம். இனி \(y = 2\sin(x - 1) + 3\) என்ற சார்பின் வளைவரையை வரைவோம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 1.14 \(y = 2\sin(x - 1) + 3\) என்ற சார்பின் வளைவரையை வரை.

\(y = \sin x\) என்ற வளைவரையை இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் விரிதலைப் பயன்படுத்தி இவ்வளைவரையை வரைய இயலும் என்பது புலனாகிறது. முதலில் \(y = \sin x\) என்பதன் வளைவரையை வரைவோம். இதிலிருந்து \(y = \sin(x - 1)\) -ஐ எளிதாக வரையலாம். பிறகு \(y = 2\sin(x - 1)\) -ன் வளைவரையை வரைந்து இறுதியாக \(y = 2\sin(x - 1) + 3\) என்பதன் வளைவரையை வரையலாம் [படங்கள் 1.63, 1.64, 1.65 மற்றும் 1.66].

[படம் 1.63]

[படம் 1.64]

[படம் 1.65]

[படம் 1.66]

பயிற்சி 1.4#

1. கொடுக்கப்பட்டுள்ள [படம் 1.67] \(y = x^3\) என்ற வளைவரையின் படத்தினைப் பயன்படுத்தி அச்சு மதிப்பு மாறாமல் ஒரே தளத்தில் கீழ்க்காணும் சார்புகளை வரை.

2. கொடுக்கப்பட்டுள்ள [படம் 1.68] \(y = x^{1/3}\) என்ற வளைவரையைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்காணும் சார்புகளை ஒரே தளத்தில் வரை.

3. ஒரே தளத்தில் \(f(x) = x^3\) மற்றும் \(g(x) = \sqrt[3]{x}\) சார்புகளை வரைபடமாக்குக. \(f \circ g\)-ஐ கணித்து அதே தளத்தில் வரைபடமாக்குக. முடிவுகளை ஆய்வு செய்க.

4. \(y = x^2\) என்ற வளைவரையிலிருந்து \(y = 3(x - 1)^2 + 5\) என்ற வளைவரையை காணும் படிநிலைகளை எழுதுக.

5. \(y = \sin x\) என்ற சார்பினை வரைந்து அதன் மூலம்

ஆகியவற்றை வரை. (இங்கு (iii), (iv) என்பவை \(\cos x\) என்பது முக்கோணவியல் மூலம் தெரிந்து கொள்ளலாம்.)

6. \(y = x\) என்ற நேர்கோட்டின் மூலம்

ஆகியவற்றைத் தோராயமாக வரை.

7. \(y = |x|\) என்ற வளைவரையின் மூலம்

(i) \(y = |x - 1| + 1\) (ii) \(y = |x + 1| - 1\) (iii) \(y = |x + 2| - 3\) ஆகியவற்றை வரை.

8. \(y = \sin x\) என்ற வளைவரை மூலம் \(y = \sin|x|\) என்பதன் வரைபடத்தை வரை. [இங்கு \(\sin(-x) = -\sin x\)].

மதிப்பீடு#

1. மேற்கண்ட படத்தில் உள்ள புள்ளி விவரங்களை

(i) தொடர்பாக்குக

(ii) சார்பாக்குக

(iii) ஓர் மேற்கோர்த்தல் சார்பாக்குக

(iv) ஒன்றுக்கொன்றாக மாற்ற இயலுமா? இல்லையெனில் காரணம் கண்டறிக

2. கொடுக்கப்பட்டுள்ள படம் 1.69 -விலிருந்து, \(y = x^2\) எனும் அடிப்படையான வளைவரை (துணுக்குகள் துண்டாக தொடர்ச்சியற்றுக் காட்டப்பட்டுள்ளன) ஏனைய வளைவரைகளின் சமன்பாடுகளை அளவீட்டினைக் கண்ணுற்று இனம் காண்க.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்#

1. \(A = \{(x,y): y = e^x, x \in \mathbb{R}\}\) மற்றும் \(B = \{(x,y): y = e^{-x}, x \in \mathbb{R}\}\) எனில், \(n(A \cap B)\) என்பது

(1) \(\infty\) (2) 0 (3) 1 (4) 2

2. \(A = \{(x,y): y = \sin x, x \in \mathbb{R}\}\) மற்றும் \(B = \{(x,y): y = \cos x, x \in \mathbb{R}\}\) எனில், \(A \cap B\) -ல்

(1) உறுப்புகளில்லை (2) எண்ணிலடங்கா உறுப்புகள் உள்ளன

(3) ஒரே ஒரு உறுப்பு உள்ளது (4) தீர்மானிக்க இயலாது

3. \(A = \{0, -1, 1, 2\}\) எனும் கணத்தில் \(|x^2 + y^2| \le 2\) எனுமாறு xRy ஆக வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்பு R எனில், கீழ்க்காண்பனவற்றில் எது சரியானது?

(1) \(R = \{(0,0), (0,-1), (0,1), (-1,0), (-1,1), (1,2), (1,0)\}\)

(2) \(R^{-1} = \{(0,0), (0,-1), (0,1), (-1,0), (1,0)\}\)

(3) R -ன் சார்பகம் \(\{0, -1, 1, 2\}\)

(4) R -ன் வீச்சகம் \(\{0, -1, 1\}\)

4. \(f(x) = |x - 2| + |x + 2|, x \in \mathbb{R}\) எனில், கீழ்க்காண்பனவற்றில் எது சரியானது?

(1) \(f(x) = \begin{cases} -2x, & x \in (-\infty, -2] \\ 4, & x \in (-2,2] \\ 2x, & x \in (2,\infty) \end{cases}\)

(2) \(f(x) = \begin{cases} 2x, & x \in (-\infty, -2] \\ -2x, & x \in (2,\infty) \end{cases}\)

(3) \(f(x) = \begin{cases} -2x, & x \in (-\infty, -2] \\ -4, & x \in (-2,2] \\ 2x, & x \in (2,\infty) \end{cases}\)

(4) \(f(x) = \begin{cases} 2x, & x \in (-\infty, -2] \\ 2, & x \in (2,\infty) \end{cases}\)

5. R மெய்யெண்களின் கணம் என்க. \(R \times R\) –ல் கீழ்க்கண்ட உட்கணங்களைக் கருதுக.

எனில் கீழ்க்காணும் கூற்றில் எது மெய்யானது?

(1) T சமானத் தொடர்பு ஆனால், S சமானத் தொடர்பு அல்ல.

(2) S, T இரண்டுமே சமானத் தொடர்பு அல்ல.

(3) S, T இரண்டுமே சமானத் தொடர்பு.

(4) S சமானத் தொடர்பு ஆனால், T சமானத் தொடர்பு அல்ல.

6. இயல் எண்களின் அனைத்துக் கணம் \(\mathbb{N}\) -க்கு A மற்றும் B உட்கணங்கள் எனில் \(A' \cup [(A \cap B) \cup B']\) என்பது

(1) A (2) \(A'\) (3) B (4) \(\mathbb{N}\)

7. கணிதம் மற்றும் வேதியியல் இரண்டும் பாடங்களாக ஏற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 70. இது கணிதத்தை ஏற்றவர்களின் 10% மற்றும் வேதியியல் ஏற்றவர்களின் 14% ஆகும். இவற்றில் ஏதாவதொரு பாடமாக ஏற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை

(1) 1120 (2) 1130

(3) 1100 (4) போதுமான தகவல் இல்லை.

8. \(n[(A \times B) \cap (A \times C)] = 8\) மற்றும் \(n(B \cap C) = 2\) எனில், \(n(A)\) என்பது

(1) 6 (2) 4 (3) 8 (4) 16

9. \(n(A) = 2\) மற்றும் \(n(B \cup C) = 3\), எனில் \(n[(A \times B) \cup (A \times C)]\) என்பது

(1) \(2^3\) (2) \(3^2\) (3) 6 (4) 5

10. A மற்றும் B எனும் இரு கணங்களில் 17 உறுப்புகள் பொதுவானவை எனில், \(A \times B\) மற்றும் \(B \times A\) ஆகிய கணங்களில் உள்ள பொது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

(1) \(2^{17}\) (2) \(17^2\) (3) 34 (4) போதுமான தகவல் இல்லை

11. வெற்றற்ற கணங்கள் A மற்றும் B என்க. \(A \subset B\) எனில் \((A \times B) \cap (B \times A) =\)

(1) \(A \cap B\) (2) \(A \times A\)

(3) \(B \times B\) (4) இவற்றுள் எதுவும் இல்லை.

12. 3 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீதான தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை

(1) 9 (2) 81 (3) 512 (4) 1024

13. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்ட கணம் X -ன் மீதான அனைத்துத் தொடர்பு R எனில் R என்பது

(1) தற்கூடுத் தொடர்பு அல்ல (2) சமச்சீர் தொடர்பல்ல

(3) கடப்புத் தொடர்பு (4) இவற்றுள் எதுவுமன்று

14. \(X = \{1, 2, 3, 4\}\) மற்றும் \(R = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,3), (2,1), (3,1), (1,4), (4,1)\}\) எனில் R என்பது

(1) தற்கூடுத் தொடர்பு (2) சமச்சீர் தொடர்பு

(3) கடப்புத் தொடர்பு (4) சமானத் தொடர்பு

15. \(\frac{1}{1 - 2\sin x}\) -ன் வீச்சகம்

(1) \((-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)\) (2) \((-1, \frac{1}{3})\)

(3) \([-1, \frac{1}{3}]\) (4) \((-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)\)

16. \(f(x) = ||x| - x|, x \in \mathbb{R}\) என்ற சார்பின் வீச்சகம்,

(1) \([0, 1]\) (2) \([0, \infty)\) (3) \([0, 1)\) (4) \((0, 1)\)

17. \(f(x) = x^2\) எனும் சார்பு இருபுறச் சார்பாக அமைய வேண்டுமெனில் அதன் சார்பகமும், துணைச்சார்பகமும் முறையே

(1) \(\mathbb{R}, \mathbb{R}\) (2) \(\mathbb{R}, (0, \infty)\)

(3) \((0, \infty), \mathbb{R}\) (4) \([0, \infty), [0, \infty)\)

18. m உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் மாறிலிச் சார்புகளின் எண்ணிக்கை

(1) \(m^n\) (2) m (3) n (4) \(m + n\)

19. \(f: [0, 2\pi] \to [-1, 1]\) எனும் சார்பு, \(f(x) = \sin x\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில், அது

(1) ஒன்றுக்கொன்று (2) மேற்கோர்த்தல்

(3) இருபுறச் சார்பு (4) வரையறுக்க இயலாது

20. \(f: S \to [-3, 3]\) எனும் சார்பு \(f(x) = x^2\) என வறையறுக்கப்பட்டு மேற்கோர்த்தல் எனில், S என்பது

(1) \([-9, 9]\) (2) \(\mathbb{R}\) (3) \([-3, 3]\) (4) \([0, 9]\)

21. \(X = \{a, b, c, d\}, Y = \{1, 2, 3, 4\}\), மற்றும் \(f = \{(a, 1), (b, 4), (c, 2), (d, 3), (d, 2)\}\), எனில் f என்பது

(1) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு (2) மேற்கோர்த்தல் சார்பு

(3) ஒன்றுக்கொன்று அல்லாத சார்பு (4) சார்பன்று

எனில் கீழ்க்காண்பனவற்றில் எது சரியானது?

(1) \(f^{-1}(x) = \begin{cases} x, & 1 \le x \le 2 \\ \frac{x}{2}, & 2 < x \le 4 \\ 3, & x = 4 \\ 4, & 4 < x \le 8 \end{cases}\)

(2) \(f^{-1}(x) = \begin{cases} x, & 1 \le x \le 2 \\ \frac{x}{2}, & 2 < x \le 4 \\ 3, & x = 8 \\ 4, & 4 < x \le 8 \end{cases}\)

(3) \(f^{-1}(x) = \begin{cases} x, & 1 \le x \le 2 \\ 2x, & 2 < x \le 4 \\ 3, & x = 4 \\ 4, & x = 8 \end{cases}\)

(4) \(f^{-1}(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 1 \le x \le 2 \\ x, & 2 < x \le 4 \\ 3, & x = 4 \\ 4, & 4 < x \le 8 \end{cases}\)

23. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) –ல் சார்பு \(f(x) = 1 - x\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில் f -ன் வீச்சகம்

(1) \(\mathbb{R}\) (2) \((1, \infty)\) (3) \((-1, \infty)\) (4) \((-\infty, 1]\)

24. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) -ல் \(f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}\) எனில் f ஆனது

(1) ஒரு ஒற்றைப்படைச் சார்பு (2) ஒற்றைப்படையுமல்ல இரட்டைப்படையுமல்ல

(3) ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பு (4) ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டைப்படைச் சார்பு

25. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) -ல் \(f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + \cos x + x^3 + x^2 + 4\) எனில் f

(1) ஒரு ஒற்றைப்படைச் சார்பு (2) ஒற்றைப்படையுமல்ல, இரட்டைப்படையுமல்ல

(3) ஒரு இரட்டைப்படைச் சார்பு (4) ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டைப்படைச் சார்பு

பாடத்தொகுப்பு (Summary)#

இந்தப் பாடத்தில் நாம் கற்றுத் தெளிந்தவை

● கணங்கள்#

– உட்கணம், மிகைக் கணம், வெளிப்படை உட்கணம், தகு உட்கணம், தகா உட்கணம் – வெற்றுக் கணம், அடுக்குக் கணம், அனைத்துக் கணம், ஓருறுப்புக் கணம், முடிவுள்ள கணம், முடிவிலாக் கணம் – கணத்தின் செவ்வெண்மை – சேர்ப்பு, வெட்டு, வெட்டா, நிரப்பிக் கணங்கள், கண வேறுபாடு, சமச்சீர் வேறுபாடு – பண்புகள் மற்றும் டி மார்கன் பண்புகள் – கார்டீசியன் பெருக்கல்

● இடைவெளிகள்#

– மாறிலிகள், சார்ந்த மற்றும் சாரா மாறிகள் – திறந்த, மூடிய, முடிவுள்ள மற்றும் முடிவிலா இடைவெளிகள் மற்றும் அண்மைகள்

● தொடர்புகள்#

– சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் – உச்சத் தொடர்புகள் (வெற்று மற்றும் அனைத்து) – தொடர்பின் நேர்மாறு – தற்கூடு, சமச்சீர், கடப்பு, சமானத் தொடர்புகள்

● சார்புகள்#

– வரையறை, சார்பகம், துணைச்சார்பகம், வீச்சகம், பிம்பம், முன்பிம்பம் – அட்டவணை, வரைபட, பகுமுறை வழிமுறைகள் மற்றும் பகுதிவாரி முறை – சமனிச் சார்பு, மாறிலிச் சார்பு, பூஜ்ஜியச் சார்பு, மட்டுச் சார்பு, படிக்குறிச் சார்பு, மீப்பெரு முழு எண் சார்பு, மீச்சிறு முழு எண் சார்பு, ஒன்றுக்கொன்றான, மேற்கோர்த்தல் சார்புகள், இருபுறச் சார்புகள். – நிலைக்குத்துக்கோட்டுச் சோதனை மற்றும் கிடைமட்டக்கோட்டுச் சோதனை – சார்புகளின் சேர்ப்பு, சார்பின் நேர்மாறு – மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் – பல்லுறுப்புச் சார்பு, நேரியல் சார்பு, படிக்குறிச் சார்பு, மடக்கைச் சார்பு, விகிதமுறுச் சார்பு, தலைக்கீழ்ச் சார்பு – ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டைப் படைச் சார்புகள். – பிரதிபலிப்பு, இடப்பெயர்வு, விரித்தல் – கடினமாகத் தோற்றமளிக்கும் சார்புகளின் வரைபடம் வரைதல்

இணையச் செயல்பாடு – 1 (அ)#

படி-1

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள உரையைத் தேடிப்பொறியில் தட்டச்சு செய்க அல்லது QR குறியீட்டைப் பயன்படுத்துக.

படி-2

“Graph of Special Functions” எனும் GeoGebra பணிப்புத்தகம் தோன்றும். அங்கே சார்புகள் தொடர்பான 7 பயிற்சித்தாள்கள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதைக் காணலாம். அதில் தேவையான ஒரு பயிற்சியைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக “More Modulus Functions” என்ற பயிற்சித்தாளைத் தெரிவு செய்யலாம்.

படி-3

பயிற்சித்தாளின் வலப் பக்கத்தில் நிலைதகவுச் சார்புகளும் அதற்கான தெரிவு பெட்டியும் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்.

படி-4

அவற்றை ஒவ்வொன்றாகத் தேர்வு செய்தால் இடப் பக்கத்தில் அவற்றின் வரைபடம் தோன்றும். மேலும் a என்கிற நடுவுக்கோட்டை நகர்த்தி மாறுதல்களை ஆய்வு செய்க.

மேலும் பல பயிற்சித்தாள்களை இப்பணிப்புத்தகத்தில் காணலாம்

*படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டுமே.

செயல்பாட்டிற்கான உரவி : https://ggbm.at/ucz465au or Scan the QR Code.

*படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டுமே. செயல்பாட்டிற்கான உரவி : https://ggbm.at/ucz46sau or Scan the QR Code.