முக்கோணவியல்#

அண்டவெளியில் அலைபாயும் பொருள்களில் என் மகிழ்ச்சி கடலுண்டென்றால் என் கால்கள் யுமியில் ஊன்றப்பட்டவில்லை.

— தால்மி

3.1 அறிமுகம் (Introduction)#

கணிதத்தின் முதன்மை பிரிவான முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களுக்கிடையேயான தொடர்பைப் பற்றியதாகும். முக்கோணவியல் என்பது கிரேக்க மொழியில் இருந்து பெறப்பட்டது. கிரேக்க மொழியில் ‘trigonom’ என்பது முக்கோணத்தையும் மற்றும் ‘metron’ என்பது அளவையும் குறிக்கிறது. இவை இரண்டும் இணைந்து ‘Trigonometry’ என அழைக்கப்படுகிறது. ஆகவே, முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணங்களை அளப்பதை படிப்பதாகும். கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் தெரியாத தொலைவுகளை அளப்பதற்கு முக்கோணவியலின் விகிதங்களைப் பயன்படுத்தினர். மற்றொரு வகையில் கி.மு(பொ.ஆ.மு) 20000-ம் ஆண்டுக்கு முன் எகிப்தியர்கள் பிரமிடுகளை அமைப்பதற்கு முக்கோணவியலின் மூல அமைப்பினை பயன்படுத்தினர். ஆரிஸ்டார்சஸ் (Aristrachus) (310-250 கி.மு(பொ.ஆ.மு)) என்ற விஞ்ஞானி சூரியன் மற்றும் சந்திரனின் தொலைவுகளை அளப்பதற்கு முக்கோணவியலை பயன்படுத்தினார்.

அலெக்ஸாந்திரியாவின் தால்மி (கிபி 90-168)

முதன்முதலில் பூமியின் சுற்றளவை அளப்பதற்கு அக்கால பயன்பாட்டில் இருந்த ஸ்டாடியா என்ற அளவீட்டு முறையை ஏரடோஸ்தனிஸ் (Eratosthenes (276-195 கி.மு(பொ.ஆ.மு)) என்பவர் பயன்படுத்தினார். இவருக்கு முன்பே கிரேக்க வானியல் அறிஞர் ஹிப்பார்ச்சஸ் (Hipparchus (190-120 கி.மு(பொ.ஆ.மு)) முக்கோணவியலின் பொதுவான தத்துவங்களை உருவாக்கினார். முக்கோணவியலை உருவாக்கியவர் என்ற பெருமை அவரை சார்ந்ததாகும். இவருடைய தத்துவங்களைப் பயன்படுத்தி அலெக்ஸாந்திரியாவின் தாலமி (Ptolemy of Alexandria (கிபி(பொ.ஆ) 90–168)) என்பவர் வானியல் தாலமி தேற்றத்தை (Ptolemy theorem of Astronomy) உருவாக்கினார். பழங்கால இந்தியாவில் முக்கோணவியல் குறிப்பிடத்தக்க வளர்ச்சியை பெற்றிருந்தது. இந்திய கணிதவியல் மற்றும் வானியல் அறிஞர் ஆரியபட்டா (Aryabhata (கிபி(பொ.ஆ) 476–550)) என்பவர் சைன், கொசைன் மற்றும் அதன் நேர்மாறு சார்புகளை வரையறுத்து அதன் முடிவுகளை, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் சூத்திரத்தையும் உள்ளடக்கி, 108 பாசுரங்களாக வழங்கினார். பழங்கால இந்தியாவின் கணித மேதைகள், பிரம்மகுப்தா (Brahmagupta (598 கிபி(பொ.ஆ)), பாஸ்கரா I (Bhaskara-I (600 கிபி(பொ.ஆ)) மற்றும் பாஸ்கரா II (Bhaskara II (1114 கிபி(பொ.ஆ)) ஆகியோர்கள் முக்கோணவியலின் வளர்ச்சியில் பெரும் பங்காற்றினர்.

ஜான் பெர்னோலி (Johann Bernoulli (1667–1748)) மற்றும் லென்ஹார்டு ஆய்லர் (Leonhard Euler (1707–1783) அவர்களின் தீவிர உழைப்பால் முக்கோணவியல் கணிதத்தின் தனிப்பிரிவாக வளர்ச்சி அடைந்தது. முக்கோணவியல் சார்புகளையும் கலப்பு எண்ணின் அடுக்கு வடிவத்தையும் இணைக்கும் அடிப்படை முடிவுகளை ஆய்லர் என்பவர் உருவாக்கினார். ஜோசப் ஃபூரியர் (Joseph Fourier (1768-1830)) அவர்கள் முக்கோணவியல் தொடர் பற்றிய படிப்பில் பெரும் பங்காற்றினார். இவருடைய ஃபூரியர் தொடர் கணிதம், குறிப்பாக அதிர்வு பகுப்பாய்வு, மின்னியல் பொறியியல், ஒலியியல், ஒளியியல், சமிக்கை செயல்முறை, பிம்ப செயல்முறை, குவாண்டம் இயந்திரவியல் (Quantum Mechanics) ஆகியவற்றில் பெரிதும் பயன்படுகிறது. நவீன காலங்களில் முக்கோணவியல் சார்புகளானது கணிதவியல் சார்புகளின் கோண அளவு சார்புகளாக வளர்ந்து, வடிவியல் மற்றும் இயற்கணிதத்தின் வாயிலாகக் கணிதத்தின் அனைத்துப் பிரிவுகளிலும் கணக்குகளிலும் மேற்கொள்ளப்பட்டது. இன்று பயன்பாட்டில் உள்ள நிலைப்படுத்தும் அமைப்பு (GPS) முக்கோணவியல் கணக்கீட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. உடலில் உள்ள கட்டிகளைக் கண்டறிவதற்கு மேம்படுத்தப்பட்ட படமெடுக்கும் மருத்துவக் கருவிகளான CT மற்றும் MRI-களின் செயல்முறைகளில் சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கற்றலின் நோக்கங்கள் (Learning objectives)#

இப்பாடப்பகுதி நிறைவுறும்போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டிய பாடக் கருத்துகள்.

• குறுங்கோணங்களை தன்னகத்தே உள்ளடக்கிய செங்கோண முக்கோணத்தின் முக்கோணவியலின் விகிதங்களின் வரம்புகள்.
• ஆரையன் அளவீட்டை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான தேவை மற்றும் பாகையை ஒப்பிடும்போது ஆரையனின் நன்மைகள்.
• மெய்யெண்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க ஓரலகு வட்டத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது.
• வெவ்வேறு முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள், அவற்றிற்கிடையே உள்ள தொடர்புகள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகள்.
• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தன்மை மற்றும் பொதுத் தீர்வுகள்.
• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கு எவ்வாறு தீர்வு காண்பது.
• அன்றாட வாழ்க்கையில் முக்கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் விதிகளின் பயன்பாடுகள்.
• சைன் மற்றும் கொசைன் விதிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு விரிகோண முக்கோணத்தை எவ்வாறு தீர்வு காண்பது.
• ஹிரான்ஸ் சூத்திரத்தின் பயன்பாடுகள் மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காண்பதற்கு அதன் உயரத்தைக் கணக்கிடாமல் எவ்வாறு காண்பது.
• நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் மற்றும் அதனுடைய சார்பகங்கள் மற்றும் வீச்சகங்கள் இருந்ததை அறிதல்.

முந்தைய வகுப்புகளில் படித்த குறுங்கோண முக்கோணவியலின் விகிதங்கள் மற்றும் அதன் பண்புகளைத் தற்போது நினைவு கூறுவோம்.

3.2 அடிப்படை முடிவுகளின் மீள்பார்வை (A recall of Basic Results)#

முந்தைய வகுப்புகளில் செங்கோண முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியலின் விகிதங்களையும் மற்றும் குறுங்கோண முக்கோணவியலின் முற்றொருமைகளையும் படித்தோம். இரு கோள்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு, மலையின் உயரம், சந்திரன் மற்றும் சூரியன் போன்ற மிகத் தொலைவில் உள்ளவைகளின் தூரம், மிகப் பெரிய கட்டிடங்களின் உயரம், அதிவேக விமானங்களின் திசைவேகம் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவது விந்தையாக உள்ளது. அதுபோன்ற உயரங்கள் மற்றும் தூரங்களைக் குறுங்கோண முக்கோணவியலின் விகிதங்களைக் கொண்டு கணக்கிடுவது ஆர்வ மிகுதியைக் காட்டுகிறது. ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண்ணிற்கு முக்கோணவியல் சார்பை வரையறுத்து அதனை கணிதத்தின் அனைத்துப் பாடப்பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்துவது குறிப்பாக நுண்கணிதத்தில் பயன்படுத்துவது நமது குறிக்கோளாகும். முதலாவதாகக் கோணம் மற்றும் கோணத்தின் பாகை அளவின் வரையறைகளை நினைவு கூறுவோம்.

3.2.1 கோணங்கள் (Angles)#

\(OA\), \(OB\) ஆகிய இரண்டு கதிர்கள் \(O\) என்ற பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டு படம் 3.1–ல் காட்டியவாறு கோணம் \(\angle AOB\)-ஐ உருவாக்கும். பொதுவான புள்ளி \(O\)-வை உச்சி என்றும், இரண்டு கதிர்கள் கோணத்தின் பக்கங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோணத்தின் ஆரம்பப் பக்கம் \(OA\) என அழைக்கப்படுகிறது. ஆரம்ப நிலை \(OA\)-விலிருந்து \(OB\) வரை ஒரு கதிரை சுற்றிய பின் \(OB\) ஆனது கோணத்தின் முனையப் பக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இடஞ்சுழி சுழற்சி ஒரு நேர்மறை கோணத்தை உருவாக்குகிறது. (நேர்மறை அடையாளம் கோணத்தில்), ஒரு வலஞ்சுழி சுழற்சி ஒரு எதிர்மறை கோணத்தை உருவாக்குகிறது. (எதிர்மறை அடையாளம் கோணத்தில்).

குறிப்பு: இடஞ்சுழியாக (வலஞ்சுழியாக) \(OA\)-ஐ அதன் மீது ஒன்றிணையும்படி முழுமையாகச் சுற்றப்படுவதை ஒரு முழு வட்டச் சுற்று அல்லது சுழற்சி என்கிறோம்.

3.2.2 கோண அளவீடுகளின் பல்வேறு அமைப்புகள் (Different Systems of measurement of angle)#

கோணங்களை அளவிடுவதற்கு மூன்று வகையான அமைப்புகள் உள்ளன. அவையாவன,

(i) அறுபான் அமைப்பு (Sexagesimal system)#

அறுபான் அமைப்பின் கோண அளவீடு முறை பெரிதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதில் செங்கோணத்தை 90 சம பாகங்களாகப் பிரித்து அதைப் பாகை (Degree) என்றும், ஒரு பாகையை 60 சம பாகங்களாகப் பிரித்து அதனைக் கலைகள் (Minutes) என்றும், ஒரு கலையை 60 சம பாகங்களாகப் பிரித்து அதனை விகலைகள் (Seconds) என்றும் அழைக்கிறோம். ஒரு பாகை, ஒரு கலை மற்றும் ஒரு விகலை ஆகியவை முறையே \(1^\circ\), \(1'\), \(1''\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

(ii) நூற்றின் கூறு அமைப்பு (Centesimal system)#

நூற்றின் கூறு அமைப்பில் ஒரு செங்கோணத்தை 100 சமபாகங்களாகப் பிரித்து அதனைத் தரம் (Grades) என்றும், ஒரு தரத்தை 100 சம பாகங்களாகப் பிரித்து அதனைக் கலைகள் (Minutes) என்றும், ஒரு கலையை 100 சமபாகங்களாகப் பிரித்து அதனை விகலைகள் (Seconds) என்றும் அழைக்கிறோம். இதனை \(1^g\) என்ற குறியீடு ஒரு தரத்தைக் குறிக்கிறது.

(iii) வட்டமுறை அமைப்பு (Circular system)#

வட்டமுறை அமைப்பில் ஆரையன் (Radian) அளவீடு அவ்வட்டத்தின் வில்லின் நீளம் மற்றும் அதன் ஆரத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது. வட்டமுறை அமைப்பு கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் மற்றும் அறிவியலிலும் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. \(1^c\) என்ற குறியீடு ஓர் ஆரையன் அளவை குறிக்கிறது.

3.2.3 பாகை அளவு (Degree Measure)#

கோணங்களின் அளவீட்டு அலகை ஒரு பாகை என்றும் அதனைக் குறியீட்டின் மூலம் \(^\circ\) என்றும் குறிக்கலாம். நாம் ஒரு முழுவட்டச் சுற்றறை 360 சம பாகங்களாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு பகுதியையும் ஒரு பாகை என்கிறோம். ஒரு பாகை \(1^\circ\) என்பது ஒரு முழுச் சுழற்சியில் \(1/360\) ஆகும். கோணத்தின் ஒரு பகுதியை அளவிட மற்றும் கோணங்களின் அளவீடுகளின் துல்லியத்திற்காக, கலைகள் மற்றும் விகலைகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு கலை (\(1'\)) என்பது ஒரு பாகையில் (\(1/60\)) ஆகும், ஒரு விகலை (\(1''\)) என்பது ஒரு கலையில் (\(1/60\)) ஆகும் அல்லது ஒரு பாகையில் (\(1/3600\)) ஆகும்.

சிறப்பாகப் புரிந்து கொள்வதற்கும் மற்றும் பயன்பாட்டிற்கும் பின்வரும் வகையில் சில கோணங்களை நாம் வகைப்படுத்தலாம்.

(i) ஒரே அளவை கொண்ட இரு கோணங்கள் ஒத்த கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

(ii) இரண்டு கோணங்களின் கூடுதல் \(90^\circ\) எனில், அவை நிரப்புக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

(iii) இரண்டு கோணங்களின் கூடுதல் \(180^\circ\) எனில் அவை மிகை நிரப்புக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

(iv) \(0^\circ\)-விற்கும் \(360^\circ\)-விற்கும் இடைப்பட்ட இரண்டு கோணங்களின் கூடுதல் \(360^\circ\) எனில், அவை இணைவிய கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

குறிப்பு: (i) நாம் எங்கெல்லாம் ஒரு பாகையை ஒரு மணி நேரம் குறிக்கும் என்று நினைக்கிறோமோ அங்கெல்லாம் பாகை, கலை மற்றும் விகலை என்ற கருத்து, நேர அளவீட்டு முறைக்குச் சமமானதாகும்.

(ii) கவனிக்க: \(59.0854^\circ = 59^\circ + 0.0854^\circ\).

\(0.0854^\circ = 0.0854^\circ \times 60 = 5.124'\).

\(5.124' = 5' + 0.124'\).

\(0.124' = 0.124 \times 60 = 7.44''\).

எனவே, \(59.0854^\circ = 59^\circ 5' 7.44''\).

(iii) மேலும் \(34^\circ 51' 35'' = 34.8597^\circ\) மற்றும் \(90^\circ - 36^\circ 18' 47'' = 53^\circ 41' 13''\).

3.2.4 திட்ட நிலையில் உள்ள கோணங்கள் (Angles in Standard Position)#

ஒரு கோணத்தின் உச்சியானது \(O\)-விலும், அதன் ஆரம்பப் பக்கம் மிகை \(x\)-அச்சாகவும் செயல்பட்டால் கோணம் திட்ட நிலையில் இருப்பதாகக் கூறலாம்.

திட்ட நிலையில், கோணத்தின் முனையப் பக்கம் முதல் காற்பகுதியில் விழுந்தால் கோணம் முதல் காற்பகுதியில் இருப்பது என்று கூறலாம். இதே போன்று நாம் மற்ற மூன்று காற்பகுதிகளை வரையறுக்கலாம்.

திட்ட நிலையில், கோணங்களுக்கான முனையப் பக்கம் \(x\)-அச்சு அல்லது \(y\)-அச்சு வழியாக அமைந்தால் அக்கோணங்களைக் காற்பகுதி கோணங்கள் (Quadrantal Angles) என்று அழைக்கலாம். எனவே, \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) மற்றும் \(360^\circ\) ஆகியவை காற்பகுதி கோணங்கள் ஆகும்.

படம் 3.2

குறிப்பு: காற்பகுதி கோணத்தின் பாகை அளவீடு \(90^\circ\)-ன் மடங்காகும்.

3.2.5 இணை முனையக் கோணங்கள் (Coterminal angles)#

நாம் கதிரை இடஞ்சுழியாக முழுமையாகச் சுழற்றினால் அளவிடும் கோணம் \(360^\circ\) ஆகும். இடஞ்சுழியாக தொடர்ந்து சுழற்றிக் கொண்டிருந்தால் அளவிடும் கோணம் \(360^\circ\)-ஐ மிகும். வலஞ்சுழியாக சுழற்றினால் குறை கோணத்தை (Negative Angle) ஏற்படுத்தும்.

கோணங்கள் \(57^\circ\), \(417^\circ\) மற்றும் \(-303^\circ\) ஆகிய கோணங்கள் ஒரே ஆரம்ப மற்றும் முனையப் பக்கங்களைக் கொண்டவை, ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகளாலான சுழற்சிகளைக் கொண்டவை. இது போன்ற கோணங்களை இணை முனையக் கோணங்கள் (coterminal angles) என்று அழைக்கலாம். அதாவது ஒரே முனையம் கொண்ட திட்டநிலையில் உள்ள கோணங்களை இணை முனையக் கோணங்கள் (coterminal angles) என்று அழைக்கலாம்.

படம் 3.3

\(\theta\) மற்றும் \(\phi\) ஆகியவை இணை முனையக் கோணங்கள் எனில் \(\phi = \theta + k(360^\circ)\), இங்கு \(k\) என்பது ஒரு முழு எண். திட்ட நிலையில் ஒரே முனையம் கொண்ட கோணங்களின் அளவீட்டு வித்தியாசம் \(360^\circ\) ன் முழு எண் மடங்கில் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, \(417^\circ\) மற்றும் \(-303^\circ\) ஆகியவை இணை முனையக் கோணங்கள். ஏனெனில்

குறிப்பு: (i) \(45^\circ\), \(-315^\circ\) மற்றும் \(405^\circ\) ஆகியவை முதல் காற்பகுதியில் அமையும் என்பதை கவனியுங்கள்.

(ii) \((30^\circ, 390^\circ)\), \((280^\circ, 1000^\circ)\) மற்றும் \((-85^\circ, 275^\circ)\) ஆகிய கோணங்களின் சோடிகள் இவை முனையக் கோணங்கள் ஆகும்.

3.2.6 செங்கோண முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Basic Trigonometric ratios using a right triangle)#

செங்கோண முக்கோணம் \(ABC\) இல் \(a, b, c\) ஆகிய பக்கங்களின் நீளங்கள் ஆறு விகிதங்களை உருவாக்கும் என்பதை நாம் நன்கறிவோம். அவ்விகிதங்கள் முக்கோணவியலில் ஆறு அடிப்படை சார்புகளை வரையறுக்க வழிவகுக்கும்.

முதலாவதாக, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை குறிப்பாக வைத்து வரையறுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் விகிதங்களை நாம் நினைவு கூறுவோம்.

படம் 3.4

ஆகியவற்றை முக்கோணவியல் விகிதங்கள் \(\sin \theta\) மற்றும் \(\cos \theta\)-வை பயன்படுத்திக் காணலாம்.

3.2.7 பரவலாக பயன்படுத்தப்படும் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் சரியான மதிப்புகள் (Exact Values for trigonometric functions of widely used angles)#

அறிந்த கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளை பட்டியலிடுவோம்.

குறிப்பு: (i) மேலே கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளும் மிகச் சரியானவையாகும்.

(ii) \(\sin 30^\circ\) மற்றும் \(\cos 60^\circ\) இன் மதிப்புகளும் \(\sin 60^\circ\) மற்றும் \(\cos 30^\circ\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளும் சமம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்க.

(iii) தலைகீழ் விகித மதிப்புகளான \(\csc\), \(\sec\) மற்றும் \(\cot\) ஆகியவைகளை மேற்கண்ட அட்டவணையின் மூலம் பெறலாம்.

(iv) \(\cos 90^\circ = 0\) என்பதால், \(\tan 90^\circ\) மற்றும் \(\sec 90^\circ\) ஆகியவை வரையறுக்க இயலாதவையாகிறது.

(v) \(\sin 0^\circ = 0\) என்பதால் \(\cot 0^\circ\) மற்றும் \(\csc 0^\circ\) ஆகியவை வரையறுக்க இயலாதவையாகிறது.

3.2.8 அடிப்படை முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் (Basic Trigonometric Identities)#

சார்பகத்தில் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒரு முக்கோணவியல் முற்றொருமை எப்பொழுதும் உண்மை என்ற உறவைத் தெரிவிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\) என்பது \(\theta\)-ன் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இந்த உறவு உண்மையாகிறது. எனவே, இது ஒரு முற்றொருமையாகும். மேலும், \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) ஒரு முற்றொருமையல்ல. ஏனெனில் \(\theta = 60^\circ\) எனும்போது இந்த உறவு உண்மையற்றதாகும். சிக்கலான கோவைகளை எளிமைப்படுத்த முற்றொருமைகள் நமக்குப் பயன்படுகிறது. அவைகள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குப் பெரிதும் பயன்படுகிறது.

முற்றொருமைகளை கையாண்டு அதனைத் திருத்தி அமைப்பதற்கு இயற்கணிதத்தின் பல்வேறு யுக்திகள் உதவி புரிகின்றன.

முக்கோணவியலில் அடிப்படை முற்றொருமைகளை (பித்தாகோரியன் முற்றொருமைகள்) நினைவு கூறுவோம், குறிப்பாக

குறிப்பு: (i) \(\sin^2 \theta\) என்பது \((\sin \theta)^2\)-ஐக் குறிக்கும். இந்த முறை மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கும் பொருந்தும்.

(ii) \(\theta = 90^\circ\) எனில் \(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1\) என்பது அர்த்தமற்றதாகும். \(\sec \theta\) மற்றும் \(\tan \theta\) ஆகியவை வரையறுக்கப்படும் அனைத்து \(\theta\)-வின் மதிப்புகளுக்கும் உண்மை இருப்பினும் இது ஒரு முற்றொருமையாகும். ஆகவே, சார்பகத்தின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் முற்றொருமை ஒரு சமன்பாடு என்பது உண்மையாகும்.

(iii) \(\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}\) என்னும் கோவை, \(1 + \cos \theta \neq 0\)-விற்கு, \(\theta\)-ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நாம் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.1#

நிறுவுக: \(\frac{\tan \theta + \sec \theta - 1}{\tan \theta - \sec \theta + 1} = \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\).

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.2#

நிறுவுக: \((\sec A - \csc A)(1 + \tan A + \cot A) = \tan A \sec A - \cot A \csc A\).

தீர்வு:

(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து நமக்குத் தேவையான தீர்வு கிடைத்துள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 3.3#

\(a \cos \theta = b\) மற்றும் \(c \sin \theta = d\) விருந்து \(\theta\)-ஐ நீக்குக, \(a, b, c, d\) ஆகியவை மாறிலிகள்.

தீர்வு:

\(ac \cos \theta = bc\) மற்றும் \(ac \sin \theta = ad\) ஆகியவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்டக் கிடைப்பது

பயிற்சி 3.1#

1. கொடுக்கப்பட்ட கோணங்கள் எந்தக் காற்பகுதியில் அமையும் என்பதைக் காண்க.

   (i) \(25^\circ\) (ii) \(825^\circ\) (iii) \(-55^\circ\) (iv) \(328^\circ\) (v) \(-230^\circ\)

2. \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\)-ல் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கோணத்திற்கான இணை முனையக் கோணத்தை காண்க.

   (i) \(395^\circ\) (ii) \(525^\circ\) (iii) \(1150^\circ\) (iv) \(-270^\circ\) (v) \(-450^\circ\)

3. \(a \cos \theta - b \sin \theta = c\) எனில், \(a \sin \theta + b \cos \theta = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}\) என்பதை நிறுவுக.

4. \(\sin \theta + \cos \theta = m\) எனில், \(\cos^6 \theta + \sin^6 \theta = \frac{4 - 3(m^2 - 1)^2}{4}\) என நிறுவுக. (இங்கு \(m^2 \le 2\)).

5. \(\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1\) எனில்,

   (i) \(\sin^4 \alpha + \sin^4 \beta = 2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta\) (ii) \(\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} = 1\) என நிறுவுக.

6. \(y = \frac{2 \sin \alpha}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha}\) எனில் \(\frac{1 - \cos \alpha + \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = y\) என நிறுவுக.

7. \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\), \(x = \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n} \theta\), \(y = \sum_{n=0}^\infty \sin^{2n} \theta\) மற்றும் \(z = \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n} \theta \sin^{2n} \theta\) எனில், \(xyz = x + y + z\) என நிறுவுக. [குறிப்பு: \(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x}\), \(|x| < 1\)-ஐப் பயன்படுத்தலாம்].

8. \(\tan^2 \theta = 1 - k^2\) எனில், \(\sec \theta + \tan^3 \theta \csc \theta = (2 - k^2)^{3/2}\) என நிறுவுக. மேலும் இவற்றை நிறைவு செய்யும் \(k\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

9. \(\sec \theta + \tan \theta = p\) எனில், \(\sec \theta\), \(\tan \theta\) மற்றும் \(\sin \theta\) ஆகியவற்றின் மதிப்பை \(p\) இன் வாயிலாகக் காண்க.

10. \(\cot \theta (1 + \sin \theta) = 4m\) மற்றும் \(\cot \theta (1 - \sin \theta) = 4n\) எனில், \((m^2 - n^2)^2 = mn\) என நிறுவுக.

11. \(\csc \theta - \sin \theta = a^3\) மற்றும் \(\sec \theta - \cos \theta = b^3\) எனில், \(a^2 b^2 (a^2 + b^2) = 1\) என நிறுவுக.

12. \(a \sec \theta - c \tan \theta = b\) மற்றும் \(b \sec \theta + d \tan \theta = c\) ஆகிய சமன்பாடுகளிலிருந்து \(\theta\) ஐ நீக்குக.

3.3 ஆரையன் அளவு (Radian Measure)#

தொடக்கத்தில் முக்கோண விகிதங்களை வரையறுப்பதற்கும் மற்றும் கோணங்களைப் பாகையில் அளவிடுவதற்கும் செங்கோண முக்கோணம் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஆனால் குறுங்கோணங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்கள் சில வரம்புகளுக்குட்பட்டிருந்தது.

பல்லாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பு பாபிலோனியர்கள் (Babylonians) 360 நாட்களைப் பாகையில் ஒரு முழுச்சுற்று \(360^\circ\)-ஐ குறிப்பதாக கணக்கில் கொண்டு \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) மற்றும் \(180^\circ\) ஆகிய சிறிய கோணங்களாகப் பிரிப்பதற்கு ஏதுவாக ஒரு ஆண்டின் 365 நாட்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு \(360^\circ\)-ஐ தேர்வு செய்தனர்.

வேதியியல் மற்றும் இயற்பியல் பாடங்களில் கோணத்திற்குப் பதிலாக மெய்யெண்களைக் கொண்ட சார்பகமுடைய முக்கோணவியலின் சார்புகளின் தேவையின் பொருட்டு 17–ம் நூற்றாண்டில் முக்கோணவியல் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்டது. இதனை ஓரலகு வட்டத்தின் மீதான வில்லின் நீளம் மற்றும் அதன் மைய கோணம் ஆகியவற்றிற்கு இடையே உள்ள தொடர்பைப் பயன்படுத்தி பெற்றோம். இம்முறையில் கோணத்தை அளக்கும் அலகு ஆரையன் அளவையாகும். கோட்பாடுகளின் பயன்பாட்டிற்கு அதிக அளவில் பொதுவாகப் பயன்படக்கூடிய கோண அளவீட்டு அமைப்பு ஆரையன் ஆகும். நுண்கணிதம் உட்படப் பல தொழில்நுட்பங்களுக்குப் பொதுவான அளவீட்டு அலகு முறை ஆரையன் ஆகும். மிக முக்கியமான விகிதமுறா எண்ணான \(e\), ஆரையன் அளவீட்டில் பெரும்பங்கு வகிக்கிறது. ஒரு கோணத்தின் ஆரையன் அளவீட்டு முறையை நாம் அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 3.1#

ஒரு வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் ஆரையன் அளவு, அவ்வில்லின் நீளத்திற்கும் அதன் ஆரத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும்.

ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் \(r\) என்க. \(s\) நீளமுள்ள வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் \(\theta\) என்க.

படம் 3.5

எனில், \(\theta = \frac{\text{வில்லின் நீளம்}}{\text{ஆரம்}} = \frac{s}{r}\) ஆரையன்கள். எனவே \(s = r\theta\) ஆகும்.

குறிப்பு: (i) அனைத்து வட்டங்களும் வெவ்வேறு தன்மைகளாகும். எனவே எந்த ஒரு வட்டத்திலும் வெட்டப்பட்ட வில்லின் நீளத்திற்கும் அதன் ஆரத்திற்கும் உள்ள விகிதம் எப்பொழுதும் ஒரு மாறிலியாகும்.

(ii) \(s = r\) எனில், 1 ஆரையன் கொண்ட கோணத்தை நாம் பெறுகிறோம். எனவே, ஒரு ஆரையன் என்பது ஒரு வட்டத்தில் ஆரத்தின் நீளத்திற்குச் சமமான நீளமுடைய வில் மையத்தில் தாங்கும் கோணமாகும்.

(iii) \(s\) மற்றும் \(r\) ஆகியவற்றின் அலகுகள் ஒன்றாக இருப்பதால் \(\theta\)-க்கு அலகுகள் ஏதும் இல்லை. எனவே, ஆரையன்களைக் குறிக்க எந்த விதமான குறியீடுகளையும் நாம் பயன்படுத்துவதில்லை.

(iv) \(\theta = 1\) ஆரையன் அளவு எனில் \(s = r\) ஆகும். \(\theta = 2\) ஆரையன் அளவு எனில் \(s = 2r\) ஆகும். எனவே, \(s = kr\) எனில், பொதுவாக \(\theta = k\) ஆரையன் அளவாகும். மையக்கோணம் \(\theta\)-வை தாங்கும் வட்டக்கோணப்பகுதி ஒரு முழு வட்டமாகச் சுற்றிவர எத்தனை மடங்கு ஆரங்கள் தேவை என்பதை கோணத்தின் ஆரையன் அளவீடு நமக்குத் தெரிவிக்கிறது.

(v) ஆரையன் அளவு ஒரு அலகு வட்டத்தின் விளிம்போடு தொடர்பு படைத்ததாகும். ஆரையன் அமைப்பில் முனையப் பக்கம் ஓரலகு வட்டத்தின் விளிம்பை எங்கு வெட்டுகிறதோ அது வரை பயணிக்கும் தூரத்தை அளவிடுவதே கோணத்தை நாம் அளவிடுவதாகும்.

3.3.1 பாகை மற்றும் ஆரையன் அளவுகளுக்கிடைய உள்ள தொடர்பு (Relationship between Degree and Radian measures)#

கோணத்தை அளவிடப் பாகை மற்றும் ஆரையன் ஆகிய அலகுகள் உள்ளன. எளிமையாக வரையறுக்கப்பட்டுப் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும் அலகு மற்றதைவிடச் சிறந்ததாகும். எடுத்துக்காட்டாக, நீரின் வெப்பநிலையை அளக்கும்போது \(0^\circ\) மற்றும் \(100^\circ\), உறைநிலை மற்றும் கொதிநிலை ஆகியவை செல்சியஸ் (Celsius) முறையில் அமைவதால் அது பாரன்ஹீட் (Fahrenheit) முறையைவிடச் சிறந்தது. மாற்றுவதற்கும் மற்றும் கணக்கிடுவதற்கும் ஆரையன் அளவு சிறந்தது. பகுப்பாய்விற்கு ஆரையன் அளவு ஏற்றதாக இருக்கும் அதே நேரத்தில் மக்களிடையே கருத்துப்பரிமாற்றம் செய்வதற்கு பாகை அளவு ஏற்றதாக இருக்கும். கிரேக்கக் கணிதவியலாளர்கள் வட்டத்தின் சுற்றளவிலிருந்து உருவாகும் \(\pi\) என்ற உறவைக் கவனித்தனர் மற்றும் ஆரையன் அளவுகளில் \(\pi\) ஒரு முக்கியப் பங்கு ஆற்றுகிறது.

ஓரலகு வட்டத்தில் ஒரு முழுவட்டச்சுற்று \(360^\circ\)-ஐக் குறிக்கும்போது ஆரையன் அளவீட்டில் \(2\pi\) ஆரையன்களைக் குறிக்கிறது. \(2\pi\) என்பது ஓரலகு வட்டத்தின் சுற்றளவாகும். இவ்வாறு நாம் பின்வரும் தொடர்புகளைப் பெறுகிறோம்.

மேலும், 1 ஆரையன் = \(\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\) அல்லது \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\) ஆரையன்கள்.

இங்கு, \(x\) ஆரையன்கள் = \(\left(\frac{180x}{\pi}\right)^\circ\) அல்லது \(x^\circ = \frac{\pi x}{180}\) ஆரையன்கள்.

ஆரையனில் பயன்படுத்தப்படும் அளவுகோல் பாகையின் அளவுகோலைவிடச் சிறியதாக உள்ளது என்பதைக் கவனிக்கவும். சிறிய அளவுகோல், முக்கோண சார்புகளின் வரைபடங்களை கண்ணுக்கு புலப்படும் படியும், பயன்படுத்தும் படியும் அமைக்கிறது. மேலே உள்ள தொடர்பு, பாகையை ஆரையன்களாகவும் அல்லது ஆரையன்களை பாகைகளாகவும் மாற்ற வழி வகுக்கிறது.

குறிப்பு: (i) ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் அதன் விட்டத்திற்கும் உள்ள விகிதம் ஒரு மாறிலியாகும். அதை \(\pi\) என்ற விகிதமுறா எண்ணால் குறிக்கலாம்.

(ii) ஓரலகு வட்டத்தின் மீது \(P\) என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும் மற்றும் \(P\) ஆனது \(O\)-ஐ தொடுமாறு எண் வரிசையில் ஓரலகு வட்டத்தை வைக்கவும். அவ்வட்டத்தை எண்வரிசை மீது உருள வைக்கவும். வட்டம் வலதுபுறத்தில் ஒரு முழுச்சுற்று சுற்றிய பிறகு \(P\) என்ற புள்ளி எண்கோட்டில் \(2\pi\) என்ற எண்ணைத் தொடும்.

(iii) கோண அளவில் எதுவும் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், கோண அலகு ஆரையன்களில் உள்ளதாகக் கருதுவோம்.

(iv) ஒரு வட்டக் கோணப் பகுதியின் ஆரம் \(r\) என்றும் மையக்கோணம் \(\theta\) எனில் வட்டக்கோணப் பகுதியின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} r^2 \theta\). ஆரையன் அளவுகளில் கணக்கிடுவது மிகவும் எளிது என்பது தெளிவு.

(v) \(\pi\) மற்றும் \(\frac{22}{7}\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் நான்கு தசமத்திருத்தங்களில் 3.1416 மற்றும் 3.1429 முறையே ஆகும். எனவே, முதல் இரண்டு தசமத் திருத்தங்களில் \(\pi\) மற்றும் \(\frac{22}{7}\)-ன் மதிப்பு சமம் ஆகும். ஆதலால் \(\pi \approx \frac{22}{7}\).

(vi) 1 ஆரையன் \(\approx 57^\circ 17' 45''\) மற்றும் \(1^\circ \approx 0.017453\) ஆரையன்

\(1' = \left(\frac{\pi}{180 \times 60}\right)\) ஆரையன் \(\approx 0.000291\) ஆரையன்

\(1'' = \left(\frac{\pi}{180 \times 60 \times 60}\right)\) ஆரையன் \(\approx 0.000005\) ஆரையன்

(vii) சில அறியப்பட்ட கோணங்கள், ஆரையன்களிலும் மற்றும் அதற்கு ஒத்த பாகை அளவுகளிலும் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

(viii) \(\sin 90^\circ = 1\) ஆனால் \(\sin 90 \neq 1\) (ஆரையன் அளவுகளில்).

எடுத்துக்காட்டு 3.4#

ஆரையனாக மாற்றவும். (i) \(18^\circ\) (ii) \(-108^\circ\).

தீர்வு:

\(180^\circ = \pi\) ஆரையன்கள் \(\Rightarrow 1^\circ = \frac{\pi}{180}\) ஆரையன்கள்.

(i) \(18^\circ = \frac{\pi}{180} \times 18 = \frac{\pi}{10}\) ஆரையன்கள்.

(ii) \(-108^\circ = \frac{\pi}{180} \times (-108) = -\frac{3\pi}{5}\) ஆரையன்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 3.5#

பாகையாக மாற்றுக (i) \(\frac{3\pi}{5}\) ஆரையன்கள் (ii) \(6\) ஆரையன்கள்.

தீர்வு:

\(\pi\) ஆரையன்கள் = \(180^\circ\) எனத் தெரியும். எனவே,

(i) \(\frac{3\pi}{5}\) ஆரையன்கள் = \(\frac{3\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = 108^\circ\).

(ii) \(6\) ஆரையன்கள் = \(6 \times \frac{180}{\pi} = \left(6 \times \frac{180}{22/7}\right)^\circ = \left(6 \times \frac{180 \times 7}{22}\right)^\circ = \left(\frac{7560}{22}\right)^\circ \approx 343.64^\circ\).

எடுத்துக்காட்டு 3.6#

5 செ.மீ. ஆரம், மையக் கோணம் \(15^\circ\)-ஐ கொண்ட வட்ட வில்லின் நீளம் காண்க.

தீர்வு:

வில்லின் நீளம் \(s\), ஆரம் \(r\), மையக்கோணம் \(\theta\) எனில், \(s = r\theta\).

\(\theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}\) ஆரையன்கள்.

\(s = r\theta = 5 \times \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\) செ.மீ.

குறிப்பு: \(r\) மற்றும் \(\theta\) இல் \(\theta\) என்பதை எப்போதும் ஆரையனில் குறிக்கவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.7#

இரண்டு வட்டங்களில், ஒரே அளவு கொண்ட வில்லின் நீளங்கள் \(30^\circ\) மற்றும் \(80^\circ\)-ஐ மையக் கோணங்களாகத் தாங்கும்போது அவ்விரு வட்டங்களுக்கான ஆரங்களின் விகிதம் காண்க.

தீர்வு:

\(r_1\) மற்றும் \(r_2\) ஆகியவை இரண்டு வட்டங்களின் ஆரங்கள் மற்றும் வில்லின் நீளம் \(l\) எனில்

\(\theta_1 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}\) ஆரையன்கள், \(\theta_2 = 80^\circ = \frac{4\pi}{9}\) ஆரையன்கள்.

\(l = r_1\theta_1 = r_2\theta_2\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, \(r_1 \cdot \frac{\pi}{6} = r_2 \cdot \frac{4\pi}{9} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{9} \times \frac{6}{1} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\).

\(\Rightarrow r_1 : r_2 = 8 : 3\).

பயிற்சி 3.2#

1. பின்வரும் கோணங்களை ஆரையன் அளவுகளில் கூறுக.

   (i) \(30^\circ\) (ii) \(135^\circ\) (iii) \(-205^\circ\) (iv) \(150^\circ\) (v) \(330^\circ\)

2. பின்வரும் கோணத்தின் ஆரையன் அளவை பாகை அளவுகளில் காண்க.

   (i) \(\frac{\pi}{3}\) (ii) \(\frac{5\pi}{9}\) (iii) \(\frac{2\pi}{3}\) (iv) \(\frac{7\pi}{3}\) (v) \(\frac{10\pi}{9}\)

3. ஒரு தடகள வீரர் 1 கி.மீ.-ஐக் கடக்க வட்ட ஒருபாதையை 5 முறை சுற்றி வரவேண்டும் எனில் வட்ட ஒரு பாதையின் ஆரம் என்ன?

4. ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் 40 செ.மீ., ஒரு நாணின் நீளம் 20 செ.மீ., எனில், சிறிய வில்லின் நீளத்தைக் காண்க.

5. 100 செ.மீ. ஆரமுடைய வட்டத்தில், 22 செ.மீ. நீளமுடைய வட்டவில் மையத்தில் தாங்கும் கோணத்தைப் பாகையில் காண்க.

6. 10 அடி ஆரம்கொண்ட ஒரு வட்டத்தில், \(\theta = 41^\circ\)-ஐ மையக் கோணமாகக் கொண்ட வட்ட வில்லின் நீளம் காண்க.

7. இரண்டு வட்டங்களில், ஒரே அளவு கொண்ட வில்லின் நீளங்கள் \(60^\circ\) மற்றும் \(75^\circ\)-ஐ மையக் கோணங்களாகத் தாங்கும்போது அவ்விரு வட்டங்களுக்கான ஆரங்களின் விகிதம் காண்க.

8. ஒரு வட்ட கோணப்பகுதியின் சுற்றளவும் அதே ஆரமுடைய அரைவட்டத்தின் வில்லின் நீளமும் சமம் எனில், அவ்வட்டக் கோணப் பகுதியின் மையக் கோணத்தைப் பாகை, கலை மற்றும் விகலையில் காண்க.

9. ஒரு விமானத்தை இயக்கும் முன்தள்ளி ஒரு நிமிடத்திற்கு 1000 முறை சுழல்கிறது. முன்தள்ளியின் முனைப்புள்ளி சுழல்கின்றபோது ஒரு விநாடிக்கு எத்தனை பாகைகள் கிடைக்கும் என்பதைக் காண்க.

10. 66 கி.மீ./மணி நேர வேகத்தில் 1500 மீ. ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டப்பாதையில் ஒரு தொடர்வண்டி இயக்கப்படுகிறது எனில், 20 வினாடியில் அது கடக்கும் கோணத்தைக் காண்க.

11. 8 செ.மீ. ஆரம் மற்றும் 6 மிமீ. தடிமன் கொண்ட ஒரு வட்ட வடிவ உலோகத் தட்டினை உருக்கி, 16 செ.மீ. ஆரம் மற்றும் 4 மிமீ. தடிமன் உடைய ஒரு வட்டக் கோணப்பகுதியை உருவாக்கினால் அவ்வட்டக் கோணப் பகுதியின் கோண அளவை காண்க.

3.4 முக்கோணவியல் சார்புகளும் மற்றும் அதன் பண்புகளும் (Trigonometric Functions and their Properties)#

3.4.1 கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலை வடிவில் ஏதேனுமொரு கோணத்திற்கு முக்கோணவியல் சார்புகள் (Trigonometric Functions of any angle in terms of Cartesian Coordinates)#

முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கான கொள்கைகளைக் கீழ் வகுப்புகளில் நாம் பயின்றோம். அது குறுங்கோண அளவில் மட்டுமே இருந்தது. ஆனால் நாம் குறுங்கோணம் அல்லாத பல கோணங்களைப் பார்த்துள்ளோம். நாம் குறுங்கோணத்தை நீட்டித்து மற்றும் முக்கோணவியலின் சார்புகளை ஏதேனும் ஒரு கோணத்திற்கு வரையறை செய்வோம். ஏதேனுமொரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் விகிதங்களை ஆரையன் வடிவில் தரும்போது அவற்றை முக்கோணவியல் சார்புகள் என்கிறோம்.

திட்ட நிலையில் \(\theta\)-ன் முனையப் பக்கத்தில் ஆதியைத் தவிர வேறு ஒரு புள்ளி \(P(x, y)\) என்க. \(OP = r\) என்க.

படம் 3.6

இதனால் \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

பின்வருமாறு \(\theta\)-ன் ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன.

இதைப் பயன்படுத்தி மற்ற சார்புகளையும் காணலாம்.

(i) \(|x| \le r\), \(|y| \le r\) எனவே \(|\cos \theta| \le 1\) மற்றும் \(|\sin \theta| \le 1\).

(ii) கோணம் குறுங்கோணமாக இருப்பின், மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வரையறைகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அடிப்படையாக கொண்ட வரையறைகளுக்குச் சமமாகும்.

(iii) \(P(x, y)\) ஐ தன்னகத்தே கொண்ட \(\theta\) கோணத்தை உருவாக்கும் முனையப் பக்கம் எந்தக் காற்பகுதியில் இருக்கும் என்பதைப் பொறுத்து முக்கோணவியல் சார்புகளின் குறி (மிகை அல்லது குறை) அமையும்.

(iv) மேலே கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறைகள் கோணத்தின் முனையப் பக்கத்தின் மீது உள்ள புள்ளியைச் சார்ந்திருக்காது (சரிபார்க்க!).

காற்பகுதிக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric ratios of Quadrantal angles)#

படம் 3.7

திட்ட நிலையில் கோணத்தின் முனையப் பக்கம் ஏதேனும் ஒரு அச்சோடு இணைந்திருந்தால் அக்கோணத்தைக் காற்பகுதிக் கோணங்கள் என்போம். காற்பகுதிக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் காண்போம்.

\(x^2 + y^2 = 1\) என்ற சமன்பாட்டை உடைய ஓரலகு வட்டத்தைக் கருத்தில் கொள்க. \(\theta\)-ன் முனையப் பக்கம் ஓர் அலகு வட்டத்தின் மீது எங்குச் சந்திக்கிறதோ அப்புள்ளியை \(P(x, y)\) எனக் கொள்க.

எனவே, ஓரலகு வட்டத்தில் ஏதேனுமொரு புள்ளி \(P(x, y)\) இன் ஆயத்தொலைவுகள் \(P(\cos \theta, \sin \theta)\) ஆகும். இவ்வகையில் கோண அளவை \(\theta\)-ஆனது ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளியுடன் தொடர்புடையது.

மேலே உள்ள விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு காற்பகுதிக்கோணங்களில் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகள் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை பின்வரும் அட்டவணை விளக்குகிறது.

காற்பகுதிக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மிகச் சரியான மதிப்பு#

குறிப்பு: (i) ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளிகளின் \(x\) மற்றும் \(y\)-ன் ஆயத்தொலைகள் \(-1\) மற்றும் \(1\)-க்கு இடையே இருக்கும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. எனவே \(\theta\)-ன் மதிப்பு எதுவாகயிருந்தாலும் \(-1 \le \cos \theta \le 1\), \(-1 \le \sin \theta \le 1\) ஆகும்.

(ii) \(\theta = 360^\circ\) எனில் அது ஒரு முழு வட்டச் சுழற்சியாகும். அப்போது முனையப் பக்கம் மிகை \(x\) அச்சோடு இணைந்திருக்கும். எனவே, \(0^\circ\) மற்றும் \(360^\circ\) இல் சைனானது ஒரே மதிப்பைப் பெறும். இதனைப்போன்ற கொசைன் மற்றும் மற்றைய முக்கோணவியல் சார்புகளும் பின்பற்றுகிறது.

(iii) இரண்டு கோணங்களின் வித்தியாசம் \(360^\circ\) அல்லது \(2\pi\)-இன் முழு எண் மடங்காக இருப்பின் ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் இரண்டு கோணங்களில் சம மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

(iv) காற்பகுதிக்கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வடிவக் கணித ரீதியில் பொதுமைப்படுத்திக் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

(v) \(\cos \theta = 0\) எனும்போது \(\tan \theta\) ஐ வரையறுக்க இயலாது. எனவே, \(\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\) எனும்போது \(\tan \theta\) ஐ வரையறுக்க இயலாது.

3.4.2 மெய்யெண்களின் முக்கோணவியல் சார்புகள் (Trigonometric functions of real numbers)#

நுண்கணிதம் உட்பட உயர் கணிதவியல் கணக்குகள், இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் கணக்குகள் ஆகியவற்றிற்கு முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்த விடுபடுவதற்கு மெய்யெண்களின் முக்கோணவியல் சார்புகள் தேவைப்பட்டது. இதற்காக ஓரலகு வட்டத்தின் மையக் கோணத்தை வில்லின் நீளத்தோடு தொடர்புபடுத்தப்பட்டது.

ஆதியை மையமாகக்கொண்ட ஓரலகு வட்டத்தைக் கருத்தில் கொள்க. ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி \(A(1,0)\) என்பது பூச்சியக் கோணத்தை (ஆரையன் அளவில்) கொண்டது. \(A(1,0)\) இல் ஓரலகு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைக. \(t\) ஒரு மெய்யெண் என்றிருக்கும்படி தொடுகோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் \(y\) அச்சத் தூரம் \(t\) என்க.

படம் 3.8

ஒவ்வொரு மெய்யெண் \(t\) இக்கும் ஓரலகு வட்டத்தின் மீது வில் \(AB\) இன் நீளம் \(t\) என அமையும்படி \(B(x, y)\) என்ற புள்ளியைக் காண்க. \(t\) ஒரு மிகை எண் எனில் இடஞ்சுழி சுற்றில் \(B(x, y)\) ஐ தேர்வு செய்யவேண்டும். இல்லையெனில், வலஞ்சுழி சுற்றுத் திசையில் தேர்வு செய்ய வேண்டும். வில் \(AB\) மையத்தில் தாங்கும் கோணம் \(\theta\) என்க. இம்முறையில் ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கு மெய்யெண் \(t\)-யுடன் தொடர்புடைய \(w(t)\) என்ற சார்பு பெறப்படுகிறது. இதைப் போர்த்தும் சார்பு (Wrapping Function) என்போம். மேலும் \(s = r\theta\) எனும் போது வில்லின் நீளம் \(t = \theta\) என பெறப்படுகிறது.

இங்கு, \(\sin t = \sin \theta\) மற்றும் \(\cos t = \cos \theta\) என்றும் வரையறுப்போம்.

\(\sin t = \sin \theta = y\) மற்றும் \(\cos t = \cos \theta = x\), என்பது தெளிவாகிறது.

மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளை \(\sin t\) மற்றும் \(\cos t\) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி மெய்யெண்களின் சார்புகளாக வரையறுக்க முடியும்.

குறிப்பு: (i) \(B(x, y) = B(\cos t, \sin t)\) என்ற புள்ளி ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ளது. எனவே, ஏதேனுமொரு \(t\)-க்கு \(-1 \le \cos t \le 1\) மற்றும் \(-1 \le \sin t \le 1\).

(ii) ஒரு வட்டத்தை ஒரு கோட்டைக்கொண்டு போர்த்தும் போது கிடைக்கும் சார்பு போர்த்தும் சார்பு \(w(t)\) (Wrapping function) ஆகும்.

(iii) மெய்யெண் \(t\)-ஆல் ஆன முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்பு கோண \(t\) ஆரையன்களிடத்து முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்பாகும்.

(iv) சீரான இடைவெளியில் இயங்கும் அலைவு மற்றும் அலைகளின் மாதிரி நிகழ்வுகளைப் பற்றி படிப்பதற்கு மெய்யெண்களின் முக்கோணவியல் சார்புகள் பயன்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3.8#

திட்டநிலையில் உள்ள \(\theta\)-ன் முனையப் பக்கம் \((3, -4)\) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில் \(\theta\)-ன் ஆறு முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

\(B(x, y) = B(3, -4)\) என்க.

திட்ட நிலையில் \(\theta\) கோணத்தின் ஆரம்பப் பக்கம் \(OA\) எனவும் முனையப் பக்கம் \(OB\) எனவும் கொள்க. \(\angle AOB = \theta\). மேலும் முனையம் நான்காவது காற்பகுதியில் இருக்கும்.

\(x = 3, y = -4\) மற்றும் \(r = 5\) எனில்

முக்கோணவியல் சார்புகளின் குறியீடுகள் (Signs of Trigonometric functions)#

மையம் ஆதியில் உள்ளவாறு ஓரலகு வட்டத்தை கருதுவோம். திட்டநிலையில் \(\theta\) -வை கொள்க, கோணம் \(\theta\) -க்கு ஒத்ததாக \(P(x, y)\) ஓரலகு வட்டத்தின்மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி எனில் \(\cos \theta = x\), \(\sin \theta = y\) மற்றும் \(\tan \theta = \frac{y}{x}\) ஆகும். \(P\)-எக் காற்பகுதியில் இருக்கிறதோ அதைப்பொறுத்து \(x\) மற்றும் \(y\)-ன் மதிப்புகள் மிகை அல்லது குறையாக இருக்கும்.

படம் 3.9

முதல் காற்பகுதியில்: \(\cos \theta = x > 0\) (மிகை), \(\sin \theta = y > 0\) (மிகை)

எனவே, \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) மற்றும் அனைத்து முக்கோணவியல் சார்புகளும் முதல் காற்பகுதியில் மிகை மதிப்புடையவை.

படம் 3.10

இரண்டாம் காற்பகுதியில்: \(\cos \theta = x < 0\) (குறை), \(\sin \theta = y > 0\) (மிகை)

இவ்வாறாக \(\sin \theta\) மற்றும் \(\csc \theta\) ஆகியவை மிகை மதிப்புடையது மற்றைய சார்புகள் குறை மதிப்புடையது.

இதேபோல் மற்றைய காற்பகுதிகளில் முக்கோணவியல் சார்புகளின் குறியீடுகளை நாம் கண்டறியலாம் என்பதை படம் 3.10 இல் காணலாம்.

குறிப்பு: வெவ்வேறு காற்பகுதியில் முக்கோணவியல் சார்புகளின் குறியீடுகளை கீழ்க்கண்டவாறு நினைவில் கொள்ளலாம்: “All Students Take Chocolate” (ASTC).

எடுத்துக்காட்டு 3.9#

\(\sin \theta = \frac{3}{5}\) மற்றும் \(\theta\) இரண்டாம் காற்பகுதியில் அமைந்தால் மற்ற ஐந்து முக்கோணவியல் சார்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

எனவே, \(\cos \theta = -\frac{4}{5}\). (ஏனெனில், இரண்டாம் காற்பகுதியில் \(\cos \theta\) ஒரு குறை மதிப்புடையது.)

குறிப்பு: \(\sin \theta\) மற்றும் \(\cos \theta\) ஆகியவை தெரியும் எனில், தலைகீழ் முற்றொருமை மற்றும் வகுத்தல் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி மற்ற நான்கு சார்புகளின் முக்கோணவியல் மதிப்புகளைக் காணலாம். ஒரு முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்பும் மற்றும் கோணம் அமையும் காற்பகுதியும் தெரிந்தால் பித்தாகரஸ் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி மற்றைய சார்புகளின் முக்கோணவியல் மதிப்புகளைக் காணலாம்.

3.4.3. தொடர்புடைய கோணங்கள் (Allied Angles)#

இரண்டு கோணங்களின் கூடுதல் அல்லது வித்தியாசம் \(\frac{\pi}{2}\) ஆரையன்கள் மடங்காக இருப்பின் அவை தொடர்புடைய கோணங்கள் எனப்படும். \(\theta, -\theta, \frac{\pi}{2} \pm \theta, \pi \pm \theta, \frac{3\pi}{2} \pm \theta, 2\pi \pm \theta\) ஆகியவற்றில் எந்த இரு கோணங்களும் தொடர்புடைய கோணங்களாகும்.

\(\theta\) மற்றும் \(-\theta\) ஆகிய தொடர்புடைய கோணங்களைக் கொண்ட முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் காண்போம்.

\(\theta\) வின் வாயிலாக \((- \theta)\) இன் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric ratio of \((- \theta)\) in terms of \(\theta\))#

\(\angle AOL = \theta\) மற்றும் \(\angle AOM = -\theta\) என்க. \(OL\) மீதுள்ள புள்ளி \(P(a, b)\) என்க. \(OP = OP'\) என்றமையும்படி \(OM\) மீது \(P'\) எடுத்துக்கொள்க.

படம் 3.11

\(OA\)-க்கு செங்குத்தாக \(PN\)-ஐ வரையவும் அது \(OM\) ஐ \(P'\)-ல் சந்திக்கட்டும்.

\(\triangle PON\) மற்றும் \(\triangle P'ON\) ஆகியவை சர்வசமமுடையதாகும். எனவே, \(PN = P'N\) மற்றும் \(P'\)-ன் கூறுகள் \(P'(a, -b)\) என ஆகும். முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறைப்படி

எனவே,

குறிப்பு: (i) \(x\)-அச்சைப் பொறுத்து ஓரலகு வட்டமானது சமச்சீர் என்பதிலிருந்து \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\) மற்றும் \(\cos(-\theta) = \cos \theta\) என்பதைப் பெறலாம். \(\theta\) ஐப் போன்றே \(-\theta\) இருப்பினும் அது \(x\) அச்சின் மற்றொரு பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது. சமச்சீர் முறையில் புள்ளி \((x, y)\) ஐ \(x\) அச்சைப் பொருத்து பிரதிபலிக்கும்போது \((x, -y)\) கிடைக்கிறது. இங்கு \(y\) அச்சத் தூரம் ஒரு குறை எண்ணாகிறது என்பதால் சைன் ஒரு குறை எண்ணாகும். ஆனால் \(x\) அச்சத் தூரத்தில் மாற்றம் இல்லை என்பதால் கொசைனில் மாற்றம் இல்லை.

(ii) குறை கோண முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளா அல்லது இரட்டைச் சார்புகளா என்பதை தீர்மானிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.10#

மதிப்பைக் காண்க: (i) \(\sin(-45^\circ)\) (ii) \(\cos(-45^\circ)\) (iii) \(\cot(-45^\circ)\).

தீர்வு:

முந்தைய வகுப்பில் \((90^\circ - \theta)\) (\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)) என்ற கோணத்தின் முக்கோணவியல் விகிதங்களை பற்றி அறிந்துள்ளோம். இவ்வாறான முக்கோணவியல் விகிதங்களை கீழ்க்கண்டவாறு காணலாம்.

மேற்கண்டுள்ள முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கு, \((90^\circ + \theta)\) என்ற கோணத்திற்கு தற்போது வரையறுப்போம்.

\((90^\circ + \theta)\), (\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)) அமைப்பிலுள்ள கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் (Trigonometric ratios of an angle of the form \((90^\circ + \theta)\) in terms of \(\theta\))#

\(\angle AOL = \theta\) மற்றும் \(\angle AOR = 90^\circ + \theta\) என்க. இங்கு \(P(a, b)\) என்பது \(OL\) மீது இருக்கும் ஒரு புள்ளி மற்றும் \(P'\) என்னும் ஒரு புள்ளியானது, \(OP = OP'\) ஆக இருக்கும்படி \(OR\) இன் மீது தேர்வு செய்க.

\(Ox\) மற்றும் \(Ox'\) மீது \(P\) மற்றும் \(P'\) இலிருந்து \(PM\) மற்றும் \(P'N\) ஆகிய செங்குத்துக் கோடுகளை வரை.

இங்கு, \(\angle AOP = 90^\circ + \theta\).

தெளிவாக, \(\triangle OPM\) மற்றும் \(\triangle P'ON\) ஆகியவை சர்வசமமுடையதாகும்.

\(ON = MP\) மற்றும் \(NP' = OM\).

எனவே, \(P\) மற்றும் \(P'\) இன் ஆயத் தொலைகள் முறையே \(P(a, b)\) மற்றும் \(P'(-b, a)\) ஆகும்.

எனவே, \(\tan(90^\circ + \theta) = -\cot \theta\), \(\csc(90^\circ + \theta) = \sec \theta\), \(\sec(90^\circ + \theta) = -\csc \theta\), \(\cot(90^\circ + \theta) = -\tan \theta\).

\(\pi \pm \theta\), \(\frac{3\pi}{2} \pm \theta\), \(2\pi \pm \theta\) ஆகிய தொடர்புடைய கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளை இதே முறையில் கண்டறியலாம்.

மேற்கண்ட முடிவுகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).

குறிப்பு: (i) மேற்கண்ட அட்டவணையிலிருந்து ஒத்த தலைகீழ் விகிதங்களை எழுதலாம்.

(ii) \(2n\frac{\pi}{2} \pm \theta\), \(n \in \mathbb{Z}\) என்ற அமைப்பிலுள்ள தொடர்புடைய கோணங்கள் அதாவது \(\pm \theta, \pi \pm \theta, 2\pi \pm \theta\) ஆகியவைகளுக்கு முக்கோணவியல் விகிதம் மாறாது. (சைன் மாறாமல் சைன் ஆகவும், கொசைன் மாறாமல் கொசைன் இருக்கும்,…)

3.4.4 முக்கோணவியல் சார்புகளின் சில குணாதிசயங்கள் (Some characteristics of Trigonometric functions)#

முக்கோணவியல் சார்புகள் சில அருமையான குணாதிசயங்களைப் பெற்றிருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,

(i) சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள் ஆகும். அதாவது \(\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta\) மற்றும் \(\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta\).

(ii) ஓரலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் கூறுகளாக \(\cos \theta\) மற்றும் \(\sin \theta\) ஆகியவை பெறப்படுகின்றன, அவை \(-1 \le \cos \theta \le 1\) மற்றும் \(-1 \le \sin \theta \le 1\) என்ற சமனிலியை பூர்த்தி செய்கின்றன. எனவே, \(\cos \theta, \sin \theta \in [-1, 1]\).

(iii) ஒரு சீரான இடைவெளியில் முக்கோணவியல் சார்புகள் அதன் மதிப்பை மீண்டும் மீண்டும் பெறுகின்றது.

(iv) சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் \(\cos(-\theta) = \cos \theta\) மற்றும் \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\) என்ற வியக்கத்தக்க பண்புகளை பெற்றிருக்கும்.

இறுதியில் உள்ள இரு பண்புகளை ஆராய்வோம்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் காலமுறைப் பண்புகள் (Periodicity of Trigonometric functions)#

ஒரு சிறிய மிகை \(p\)-க்கு, சார்பு \(f\) ஆனது சார்பகத்தில் உள்ள அனைத்து \(x\)-ற்கும், \(f(x+p) = f(x)\) என்றவாறு இருந்தால் அச்சார்பு \(p\) காலம் உடைய திரும்பு அல்லது காலவட்டச் சார்பு என்பது நமக்கு தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

என்பது நமக்குத் தெரியும், அதாவது \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x + 4\pi) = \sin(x + 6\pi) = \cdots = \sin x\). எனவே \(\sin x\) \(2\pi\) காலம் கொண்ட காலவட்டச் சார்பு \(2\pi\) ஆகும்.

இதேபோல் \(2\pi\) காலம் கொண்ட காலவட்டச் சார்புகள் \(\cos x\), \(\csc x\) மற்றும் \(\sec x\) ஆகும்.

ஆனால் \(\pi\) காலம் கொண்ட காலவட்டச் சார்புகள் \(\tan x\) மற்றும் \(\cot x\) ஆகும்.

\(\sin x\) மற்றும் \(\cos x\) ஆகியவற்றின் காலமுறைப் பண்பு அதன் வரைபடங்களைக் கொண்டு எளிதில் காணலாம்.

(i) சைன் சார்பின் வரைபடம்

படம் 3.13: \(y = \sin x\)

கோணத்தைக் குறிக்கும் மாறியை \(x\) என்க. கிடைமட்ட அச்சை \(x\)-அச்சாகவும், நேர்குத்து அச்சை \(y\)-அச்சாகவும் கொள்க. \(y = \sin x\) என்ற சார்பின் வரைபடம் படம் 3.13 ஆகும். முதலாவதாக, \(2\pi\) இடைவெளி கொண்ட காலமுறைச் சீரமைப்பைக் காணலாம். வடிவகணித ரீதியில் இதன் பொருள் என்னவென்றால் படத்திலுள்ள வளைவரையை \(2\pi\) அளவு இடப்பக்கமாகவோ அல்லது வலப்பக்கமாகவோ நகர்த்தினால் மீண்டும் அதே வளைவரை மீது சரியாகப் பொருந்தும். இரண்டாவதாக, வரைபடம் \(y\) அச்சில் ஓரலகிற்குள் மட்டும் இருப்பதைக் கவனிக்கவும். வரைபடம் சீர் இடைவெளியில் கூடும் மற்றும் குறையும் சார்பாக உள்ளது. அதாவது \(-\frac{\pi}{2}\) லிருந்து \(\frac{\pi}{2}\) வரை கூடும் சார்பாகவும், \(\frac{\pi}{2}\) லிருந்து \(\frac{3\pi}{2}\) வரை குறையும் சார்பாகவும் உள்ளது.

(ii) கொசைன் சார்பின் வரைபடம்

படம் 3.14: \(y = \cos x\)

வரைபடம் \(y = \cos x\) ஆனது \(y = \sin x\) வரைபடத்தைப் போன்றுள்ளது என்பதைக் கவனிக்கலாம். சைன் சார்பின் வரைபடத்தை இடப்புறமாக \(\frac{\pi}{2}\) அளவு நகர்த்தும்போது கொசைன் சார்பின் வரைபடம் கிடைக்கிறது. இதற்குக் காரணம் \(\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\) என்ற முற்றொருமை ஆகும். \(\cos x = \cos(-x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\) என்பதை வரைபடத்தில் எளிதாகக் காணலாம்.

குறிப்பு: (i) சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் காலமுறை பண்பைப் பெற்றிருப்பதால் அவைகள் பெரிதும் பயன்படக் காரணமாகிறது. நம்மைச் சுற்றி நடக்கும் பல நிகழ்வுகள் காலமுறை பண்புடையவை. எடுத்துக்காட்டாக, சூரிய உதயம் மற்றும் மறைதல், சுருளின் (Spring) மேல் மற்றும் கீழ்நோக்கி இயக்கம், கடல் அலைகள் ஆகியவை சம இடைவெளியில் (நேரத்தில்) மீண்டும் மீண்டும் நிகழ்தல், அனைத்துக் காலமுறை நிகழ்வுகளையும் சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளை இணைத்துப் புரிந்துகொள்ள முடியும்.

(ii) அறிவியல் முழுவதும் சீரான இடைவெளியில் நடக்கும் அலைவுகள், அலைகள் மற்றும் பிற இயற்கையான நிகழ்வுகளுக்குக் காலமுறைச் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஒற்றை மற்றும் இரட்டை முக்கோணவியல் சார்புகள் (Odd and even trigonometric functions)#

ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள் சில சமச்சீர் பண்புகளை நிறைவுப்படுத்துகிறது. \(x\) இன் எல்லா மெய்யெண் மதிப்பிற்கும் \(f(-x) = f(x)\) எனில், \(f(x)\) ஓர் இரட்டைச் சார்பு மேலும் \(x\) இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் \(f(-x) = -f(x)\) எனில் \(f(x)\) ஓர் ஒற்றைச் சார்பு. பல்லுறுப்புக் கோவை அல்லாத இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளுக்கு முக்கோணவியல் சார்புகள் ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டாகும்.

\(x\) இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் \(\cos(-x) = \cos x\) எனவே \(\cos x\) ஓர் இரட்டைச் சார்பு ஆகும்.

\(x\) இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் \(\sin(-x) = -\sin x\) எனவே \(\sin x\) ஓர் ஒற்றைச் சார்பு ஆகும்.

அதேபோல் \(\sec x\) ஓர் இரட்டைச் சார்பு ஆகும். அதேபோல் \(\tan x, \csc x\) மற்றும் \(\cot x\) ஆகியவை ஒற்றைச் சார்புகளாகும். \(\frac{\cos t}{t - \sin t}\) என்பது இரட்டைச் சார்பும் அல்ல, ஒற்றைச் சார்பும் அல்ல (ஏன்?).

எடுத்துக்காட்டு 3.14#

பின்வரும் சார்புகளை ஒற்றைச் சார்பு, இரட்டைச் சார்பு மற்றும் இரண்டும் இல்லை என வகைப்படுத்துக.

(i) \(\sin^2 x - 2\cos^2 x - \cos x\) (ii) \(\sin(\cos x)\) (iii) \(\cos(\sin x)\) (iv) \(\sin x + \cos x\)

தீர்வு:

(i) \(f(x) = \sin^2 x - 2\cos^2 x - \cos x\) என்க. \(f(-x) = \sin^2(-x) - 2\cos^2(-x) - \cos(-x) = (-\sin x)^2 - 2(\cos x)^2 - \cos x = \sin^2 x - 2\cos^2 x - \cos x = f(x)\) [ஏனெனில், \(\sin(-x) = -\sin x\) மற்றும் \(\cos(-x) = \cos x\)] எனவே, \(f(x)\) ஓர் இரட்டைச் சார்பு.

(ii) \(f(x) = \sin(\cos x)\) என்க. \(f(-x) = \sin(\cos(-x)) = \sin(\cos x) = f(x)\). \(f(x)\) ஓர் இரட்டைச் சார்பு.

(iii) \(f(x) = \cos(\sin x)\) என்க. \(f(-x) = \cos(\sin(-x)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x) = f(x)\). எனவே, \(f(x)\) ஓர் இரட்டைச் சார்பு.

(iv) \(f(x) = \sin x + \cos x\). \(f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x\). \(f(-x) \neq f(x)\) மற்றும் \(f(-x) \neq -f(x)\). எனவே, \(f(x) = \sin x + \cos x\) என்பது இரட்டைச் சார்பும் அல்ல, ஒற்றைச் சார்பும் அல்ல.

குறிப்பு: (i) பொதுவாக ஒரு சார்பின் வரைபடத்தில் \(y\)-அச்சை பிரதிபலிப்பதில் மாறாமல் இருந்தால் அச்சார்பு இரட்டைச் சார்பாகும். ஆதியைப் பொறுத்து மாறாமல் வரைபடம் சமச்சீராக இருந்தால் அது ஒற்றைப்படை சார்பாகும்.

(ii) முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பகுப்பாய்வு செய்வதற்குக் குறிப்பாகக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் சூத்திரத்தில், ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகளின் பண்புகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

(iii) சில வரையறுக்கப்பட்ட தொகையிடலை மதிப்பீடு செய்வதற்கு இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் பண்புகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இதை நாம் நுண்கணிதத்தில் பார்க்கப்போம்.

பயிற்சி 3.3#

1. மதிப்புகளைக் காண்க.

   (i) \(\sin 480^\circ\) (ii) \(\sin(-1110^\circ)\) (iii) \(\cos 300^\circ\) (iv) \(\tan 1050^\circ\) (v) \(\cot 660^\circ\) (vi) \(\tan\left(\frac{19\pi}{3}\right)\) (vii) \(\sin\left(-\frac{11\pi}{3}\right)\)

2. திட்டநிலையில் உள்ள \(\theta\)-ன் முனையப் பக்கம் \(\left(\frac{5}{7}, \frac{2\sqrt{6}}{7}\right)\) என்ற புள்ளி செல்கிறது எனில் \(\theta\)-ன் ஆறு முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்புகளைக் காண்க.

3. பின்வரும் சார்பின் மதிப்பிற்கு மற்ற ஐந்து முக்கோணவியல் சார்புகளைக் காண்க.

   (i) \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), \(\theta\) மூன்றாம் காற்பகுதியில் உள்ளது.

   (ii) \(\cos \theta = \frac{2}{3}\), \(\theta\) முதல் காற்பகுதியில் உள்ளது.

   (iii) \(\sin \theta = -\frac{2}{3}\), \(\theta\) நான்காம் காற்பகுதியில் உள்ளது.

   (iv) \(\tan \theta = -2\), \(\theta\) இரண்டாம் காற்பகுதியில் உள்ளது.

   (v) \(\sec \theta = \frac{13}{5}\), \(\theta\) நான்காம் காற்பகுதியில் உள்ளது.

4. நிறுவுக: \(\frac{\cot(180^\circ + \theta) \sin(90^\circ - \theta) \cos(-\theta)}{\sin(270^\circ + \theta) \tan(-\theta) \csc(360^\circ + \theta)} = \cos^2 \theta \cot \theta\).

5. \(\sin^2 \theta = \frac{3}{4}\) என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் \(0^\circ\) இக்கும் \(360^\circ\) இக்கும் இடைப்பட்ட அனைத்துக் கோணங்களைக் காண்க.

6. \(\sin^2 \frac{\pi}{18} + \sin^2 \frac{\pi}{9} + \sin^2 \frac{7\pi}{18} + \sin^2 \frac{4\pi}{9} = 2\) எனக் காண்பி.

3.5 முக்கோணங்களின் முற்றொருமைகள் (Trigonometric Identities)#

3.5.1 கூட்டுக்கோணங்களின் சூத்திரங்கள் அல்லது கூட்டல் அல்லது கழித்தல் முற்றொருமைகள் (Sum and difference identities or compound angles formulas)#

கூட்டுக்கோணங்கள் என்பது இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட கோணங்களின் கூட்டல் ஆகும். \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) மற்றும் \(f(kx) = kf(x)\), (\(k\) என்பது ஒரு மெய்யெண்) போன்ற சார்புகளின் தொடர்பை முக்கோணவியல் சார்புகள் பூர்த்தி செய்யா. எடுத்துக்காட்டாக \(\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta\), \(\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha\), \(\tan 3\alpha \neq 3\tan \alpha \dots\) இவ்வாறு \(\sin(\alpha + \beta)\), \(\cos(\alpha + \beta)\), … போன்ற சூத்திரங்களைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் மற்றும் அதைப் பயன்பாட்டு கணக்குகளில் கணக்கிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

செவிப்பறையில் அழுத்தத்தை உருவாக்கும் அதிர்வுகளால் இசையானது உருவாகியுள்ளது. இசை ஒலி சைன் வளைக்கோட்டு வரைபடங்கள் மாதிரிகளாக இருக்கலாம் (\(y = \sin x\) அல்லது \(y = \cos x\) போன்ற வரைபடங்களைப் போன்றது), ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒலிகள் ஒலிக்கும்போது ஏற்படும் விளைவு அழுத்தமானது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட ஒலிகள் ஏற்படும் அழுத்தத்தின் கூட்டலுக்குச் சமமாகும். இச்சூழலில் முக்கோணவியலின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முற்றொருமைகள் முக்கியமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அத்துடன் அலைகளின் பகுப்பாய்வில் முக்கோணவியலின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முற்றொருமைகள் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றன.

இரண்டு கோணங்களின் கூட்டலின் கொசைன் முற்றொருமையை முதலில் நாம் நிறுவுவோம், மற்றும் இதனை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கும் நீட்டிப்போம்.

முற்றொருமை 3.1: \(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\)#

நிரூபணம்:

\(O\)-ஐ மையமாகக் கொண்ட ஓரலகு வட்டத்தைக் கருத்தில் கொள்க. \(P = P(1, 0)\) என்க. \(\angle POQ = \alpha\), \(\angle POR = \alpha + \beta\) மற்றும் \(\angle POS = -\beta\) என்றமையும்படி \(Q, R\) மற்றும் \(S\) புள்ளிகளை ஓரலகு வட்டத்தில் படம் 3.15 இல் காட்டியபடி குறிக்க. \(\alpha, \alpha + \beta\) மற்றும் \(-\beta\) ஆகியவை திட்டநிலையிலுள்ளன.

இப்பொழுது \(Q, R\) மற்றும் \(S\) ஆகிய புள்ளிகள், \(Q(\cos \alpha, \sin \alpha)\), \(R(\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))\) மற்றும் \(S(\cos(-\beta), \sin(-\beta))\) ஆகக் கிடைக்கிறது. \(\triangle POR\) மற்றும் \(\triangle SOQ\) ஆகியவை சர்வசமமுடையதாகிறது. எனவே, \(PR = SQ\), ஆனால் \(PR^2 = SQ^2\) எனக் கிடைக்கிறது.

படம் 3.15

ஆகவே,

குறிப்பு: (i) மேற்கண்ட நிரூபணத்தில் \(PR = SQ\) கூறுவது என்னவென்றால் ஒரு வட்டத்தின் மீது இரண்டு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள தொலைவு அதன் ஆரம் மற்றும் மையக் கோணத்தைக் கொண்டு தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

(ii) விற்கள் \(PR\) மற்றும் \(SQ\) ஆகியவை முறையே மையத்தில் தாங்கும் கோணம் \(\alpha + \beta\) மற்றும் \(\alpha + (-\beta)\) ஆகும். எனவே \(PR = SQ\). எனவே \((\cos \alpha, \sin \alpha)\) மற்றும் \((\cos(-\beta), \sin(-\beta))\) இக்கு இடைப்பட்ட தூரமும் \((\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))\) மற்றும் \((1, 0)\) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரமும் சமம் ஆகும்.

(iii) மேலே உள்ள வருவித்தலில் \(0 \le \alpha < 2\pi\), \(0 \le \beta < 2\pi\) ஆகும். சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவற்றின் சீர் சுற்று தன்மையால் மேலே வருவித்த முடிவு எந்த ஒரு \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\) இக்கும் பொருந்தும்.

முற்றொருமை 3.2: \(\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)#

நிரூபணம்:

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\) என நமக்குத் தெரியும்.

இங்கு, \(\cos(\alpha - \beta) = \cos[\alpha + (-\beta)] = \cos \alpha \cos(-\beta) - \sin \alpha \sin(-\beta)\). எனவே, \(\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\).

குறிப்பு: (i) மேலே உள்ள முற்றொருமையில் \(\alpha = \beta\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\).

(ii) \(\alpha = 0\) மற்றும் \(\beta = x\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது \(\cos(-x) = \cos x\) இது ஒரு இரட்டைச் சார்பு எனக் காட்டுகிறது.

முற்றொருமை 3.3: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)#

நிரூபணம்:

என எழுதி மற்றும் முற்றொருமை 3.2-ஐ பயன்படுத்தி நிரூபிக்கலாம்.

குறிப்பு: \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\) எனில், மேலே உள்ள முற்றொருமை \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) என மாறும்.

முற்றொருமை 3.4: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\)#

நிரூபணம்:

\(\sin(\alpha - \beta) = \sin[\alpha + (-\beta)]\) என எழுதி மற்றும் முற்றொருமை 3.3-ஐ பயன்படுத்தி நிரூபிக்கலாம்.

குறிப்பு: சைன் மற்றும் கொசைன் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் சூத்திரத்தை அணி அமைப்பில் எழுதலாம்.

முற்றொருமை 3.5: \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\)#

நிரூபணம்:

முற்றொருமை 3.6: \(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)#

நிரூபணம்:

\(\tan(\alpha - \beta) = \tan[\alpha + (-\beta)]\) என எழுதி மற்றும் முற்றொருமை 3.5 ஐ பயன்படுத்தி நிரூபிக்கலாம்.

குறிப்பு: (i) தால்மி (CE 100-170) அவர்கள் கோணத்தின் நாணை முக்கோணவியல் சார்பாகக் கொண்டு ஒரு தேற்றத்தை நிரூபித்தார். ஒரு வட்ட நாற்கரத்தில் மூலைவிட்டங்களின் பெருக்கல் அதன் எதிர்ப்பக்கங்களின் பெருக்கலின் கூடுதலுக்குச் சமம். \(ABCD\) என்ற வட்ட நாற்கரத்தில்

படம் 3.16

இதைப் பயன்படுத்திக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கலாம். எனவே, இது தால்மியின் கூடுதல் மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரம் ஆகும்.

(ii) பொதுவாக, \(\cos(\alpha \pm \beta) \ne \cos \alpha \pm \cos \beta\) மற்றும் கணக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இது பொருந்தும்.

(iii) \(\alpha = \beta\) எனில், \(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\) இலிருந்து \(\sin 0 = 0\) எனக் கிடைக்கும். இது முன்பே கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றாகும்.

(iv) \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) மற்றும் \(\beta = \theta\) எனில், \(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\) இலிருந்து \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta\) எனக் கிடைக்கும். இது முன்பே நிரூபிக்கப்பட்ட ஒன்றாகும்.

(v) ஒரு கோணத்தை இரண்டு கோணங்களின் கூட்டலாகவோ அல்லது வேறுபாடுகளாகவோ எழுதுவதன் மூலம் சில முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்பை நாம் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக \(\tan 75^\circ\)-ஐ மதிப்பிடுவதற்கு \(\tan(45^\circ + 30^\circ)\) என்றும் அதேபோல் \(\cos 135^\circ\)-ஐ \(\cos(180^\circ - 45^\circ)\) என எழுதி மதிப்பைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.15#

மதிப்பு காண்க (i) \(\cos 15^\circ\) (ii) \(\tan 165^\circ\).

தீர்வு:

(i) \(\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ\)

மேலும், \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\) எனக் குறிக்கலாம். (செய்து பார்.)

(ii) இங்கு, \(\tan 165^\circ = \tan(120^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 120^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 120^\circ \tan 45^\circ}\)

ஆனால், \(\tan 120^\circ = \tan(90^\circ + 30^\circ) = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3}\) மற்றும் \(\tan 45^\circ = 1\)

எனவே, \(\tan 165^\circ = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})(1)} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 + 3 - 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2\).

எடுத்துக்காட்டு 3.16#

\(\sin x = \frac{4}{5}\) (முதல் காற்பகுதியில் உள்ளது) மற்றும் \(\cos y = -\frac{12}{13}\) (இரண்டாம் காற்பகுதியில் உள்ளது) எனில், (i) \(\sin(x - y)\) (ii) \(\cos(x - y)\) ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு:

\(\sin x = \frac{4}{5}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \pm \frac{3}{5}\). கொடுக்கப்பட்ட முதல் காற்பகுதியில் \(\cos x\) ஒரு மிகை எண். எனவே, \(\cos x = \frac{3}{5}\).

இதேபோல் இரண்டாம் காற்பகுதியில் \(\cos y = -\frac{12}{13}\) எனக்கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

இரண்டாம் காற்பகுதியில் \(\sin y\) ஒரு மிகை எண். எனவே, \(\sin y = \frac{5}{13}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.17#

\(\cos\left(\frac{3\pi}{4} + x\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = -\sqrt{2} \sin x\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

குறிப்பு: \(\cos(A + x) - \cos(A - x) = -2\sin A \sin x\).

எடுத்துக்காட்டு 3.18#

\(A(9, 12)\) என்ற புள்ளி தளத்தில் \(O\) ஐப் பொறுத்த இடஞ்சுழியாக \(60^\circ\) கோணத்தில் சுழலும்போது அடையும் புதிய நிலை \(B\) என்க, \(B\) இன் ஆயத்தொலைவுகளை காண்க.

தீர்வு:

\(A(9, 12) = A(r\cos \theta, r\sin \theta)\), இங்கு \(r = OA\) என்க.

எனவே, \(r\cos \theta = 9\) மற்றும் \(r\sin \theta = 12\) ஆகும்.

\(r^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow r = 15\).

எனவே, \(A\) என்பது \(A(15\cos \theta, 15\sin \theta)\).

இங்கு, \(B\) என்பது \(B(15\cos(\theta + 60^\circ), 15\sin(\theta + 60^\circ))\).

அதே போல், \(15\sin(\theta + 60^\circ) = \frac{3}{2}(4 + 3\sqrt{3})\).

எனவே, \(B\) என்பது \(B\left(\frac{3}{2}(3 - 4\sqrt{3}), \frac{3}{2}(4 + 3\sqrt{3})\right)\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.19#

இரண்டு நீரலைகள் இணைவதை விளக்கும் அலைத்தொட்டி ஒன்று உள்ளது. \(h_1 = 8\cos t\) மற்றும் \(h_2 = 6\sin t\) இங்கு \(t \in [0, 2\pi)\) என இரண்டு அலைகள் உள்ளன. இங்கு நேரம் \(t\) விகலைகளிலும், அலையா நீர்மட்டத்திலிருந்து அலையின் உயரம் மில்லி மீட்டரிலும் அளக்கப்படுகிறது என்க. கொடுக்கப்பட்ட இரு அலைகளும் இணையும்போது உருவாகும் அலையின் அதிகபட்ச உயரம் மற்றும் \(t\) இன் மதிப்பையும் காண்க.

தீர்வு:

\(t\) நேரத்தில் விளைவு அலையின் உயரம் \(H\) எனக் கொள்க.

\(H = 8\cos t + 6\sin t = 10\left(\frac{4}{5}\cos t + \frac{3}{5}\sin t\right) = 10(\sin \phi \cos t + \cos \phi \sin t) = 10\sin(t + \phi)\)

இங்கு, \(\sin \phi = \frac{4}{5}, \cos \phi = \frac{3}{5}\) எனவே \(\phi = \sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\).

\(H\)-ன் மீப்பெரும் உயரம் \(= 10\) மிமீ.

\(\sin(t + \phi) = 1\) எனும்போது \(t + \phi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{2} - \phi\) எனும்போது மீப்பெரும் மதிப்பை அடைகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3.20#

விரிவாக்குக. (i) \(\sin(A + B + C)\) (ii) \(\tan(A + B + C)\).

தீர்வு:

(i) \(\sin(A + B + C) = \sin[(A + B) + C] = \sin(A + B)\cos C + \cos(A + B)\sin C\)

\(\displaystyle = (\sin A \cos B + \cos A \sin B)\cos C + (\cos A \cos B - \sin A \sin B)\sin C\)

\(\displaystyle = \sin A \cos B \cos C + \cos A \sin B \cos C + \cos A \cos B \sin C - \sin A \sin B \sin C\)

(ii) \(\tan(A + B + C) = \tan[(A + B) + C] = \frac{\tan(A + B) + \tan C}{1 - \tan(A + B)\tan C}\)

\(\displaystyle = \frac{\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} + \tan C}{1 - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \cdot \tan C} = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - \tan A \tan B - \tan B \tan C - \tan C \tan A}\)

குறிப்பு: (i) \(A + B + C = 0\) அல்லது \(\pi\) எனில், \(\tan(A + B + C) = 0\) மேலும் \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C\). இம்முடிவு விரிகோண முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும்.

(ii) \(\tan(x - y) + \tan(y - z) + \tan(z - x) = \tan(x - y)\tan(y - z)\tan(z - x)\).

(iii) \(3A\) உடைய முற்றொருமைகளை \(2A\) மற்றும் \(A\) உடைய முற்றொருமைகளிலிருந்து பெறலாம்: \(\tan 3A - \tan 2A - \tan A = \tan 3A \tan 2A \tan A\).

(iv) \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) எனில் \(\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1\) (எப்படி?).

பயிற்சி 3.4#

1. \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), \(0 < y < \frac{\pi}{2}\), \(\sin x = \frac{15}{17}\) மற்றும் \(\cos y = \frac{12}{13}\), எனில் (i) \(\sin(x + y)\) (ii) \(\cos(x - y)\) (iii) \(\tan(x + y)\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

2. \(0 < A < \frac{\pi}{2}\), \(0 < B < \frac{\pi}{2}\), \(\sin A = \frac{3}{5}\) மற்றும் \(\cos B = \frac{9}{41}\) எனில் (i) \(\sin(A + B)\) (ii) \(\cos(A - B)\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

3. \(\cos x = -\frac{4}{5}\), \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\) மற்றும் \(\sin y = -\frac{24}{25}\), \(\pi < y < \frac{3\pi}{2}\) எனில் \(\cos(x - y)\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

4. \(\sin x = \frac{8}{17}\), \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) மற்றும் \(\cos y = -\frac{24}{25}\), \(\pi < y < \frac{3\pi}{2}\) எனில் \(\sin(x - y)\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

5. (i) \(\cos 105^\circ\) (ii) \(\sin 105^\circ\) (iii) \(\tan \frac{7\pi}{12}\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

6. நிறுவுக: (i) \(\cos(30^\circ + x) = \frac{\sqrt{3}\cos x - \sin x}{2}\) (ii) \(\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta\) (iii) \(\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta\).

7. \(\sin 15^\circ\) மற்றும் \(\cos 15^\circ\) ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

8. \(\cos(A + B + C)\) ஐ விரிவாக்கு. இங்கு \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) எனில், \(\cos A \cos B \cos C = \sin A \sin B \cos C + \sin B \sin C \cos A + \sin C \sin A \cos B\) என நிறுவுக.

9. நிறுவுக (i) \(\sin(45^\circ + \theta) - \sin(45^\circ - \theta) = \sqrt{2}\sin \theta\) (ii) \(\sin(30^\circ + \theta) + \cos(60^\circ + \theta) = \cos \theta\).

10. \(a \cos(x + y) = b \cos(x - y)\) எனில் \((a + b)\tan x = (a - b)\cot y\) எனக் காண்பி.

11. நிறுவுக. \(\sin 105^\circ + \cos 105^\circ = \cos 45^\circ\).

12. நிறுவுக. \(\sin 75^\circ - \sin 15^\circ = \cos 105^\circ + \cos 15^\circ\).

13. நிறுவுக. \(\tan 75^\circ + \cot 75^\circ = 4\).

14. நிறுவுக. \(\cos(A + B)\cos C - \cos(B + C)\cos A = \sin B \sin(C - A)\).

15. நிறுவுக. \(\sin(n+1)\theta \sin(n-1)\theta + \cos(n+1)\theta \cos(n-1)\theta = \cos 2\theta\), \(n \in \mathbb{Z}\).

16. \(x \cos \theta = y \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = z \cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)\) எனில் \(xy + yz + zx\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

17. நிறுவுக. (i) \(\sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B\)

    (ii) \(\cos(A + B)\cos(A - B) = \cos^2 A - \sin^2 B = \cos^2 B - \sin^2 A\)

    (iii) \(\sin^2(A + B) - \sin^2(A - B) = \sin 2A \sin 2B\)

    (iv) \(\cos 8\theta \cos 2\theta = \cos^2 5\theta - \sin^2 3\theta\)

18. \(\cos 2A + \cos 2B - 2\cos A \cos B \cos(A + B) = \sin^2(A + B)\) எனக் காண்பி.

19. \(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}\) எனில் \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0\) எனக் காண்பி.

20. (i) \(\tan(45^\circ + A) = \frac{1 + \tan A}{1 - \tan A}\) (ii) \(\tan(45^\circ - A) = \frac{1 - \tan A}{1 + \tan A}\) எனக் காண்பி.

21. நிறுவுக. \(\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}\).

22. \(\tan x = \frac{n}{n+1}\) மற்றும் \(\tan y = \frac{1}{2n+1}\) எனில், \(\tan(x + y)\) ஐக் காண்க.

23. நிறுவுக. \(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)\tan\left(\frac{3\pi}{4} + \theta\right) = -1\).

24. \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\), \(\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})\) மற்றும் \(\sec \beta = -\frac{5}{3}\), \(\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)\) எனில் \(\tan(\alpha + \beta)\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

25. \(\theta + \phi = \alpha\) மற்றும் \(\tan \theta = k \tan \phi\) எனில், \(\sin(\theta - \phi) = \frac{k-1}{k+1} \sin \alpha\) என நிறுவுக.

3.5.2 மடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் மற்றும் உபமடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் (Multiple angle identities and submultiple angle identities)#

1831ஆம் ஆண்டு மைக்கேல் பாரடே (Michael Faraday) அவர்கள், ஒரு கம்பியை ஒரு காந்தத்தின் அருகே கொண்டு செல்லும்போது கம்பியில் சிறிதளவு மின்சாரம் உருவாகிறது என்பதைக் கண்டறிந்தார். இந்தப் பண்பு உலகம் முழுவதும் உள்ள வீடுகள், வியாபார நிறுவனங்கள், கல்விக்கூடங்கள், ஆகியவற்றிற்குத் தேவையான மின்சாரம் தயாரிக்கப் பயன்படுகிறது. ஆயிரக்கணக்கான கம்பிகளை மிகப்பெரிய மின்காந்தத்தைச் சுற்றிச் சுற்றுவதால் மிக அதிகமாக மின்சாரம் தயாரிக்கப்படுகிறது.

மின்னழுத்தம் என்ற அளவை சைன் சார்பாகவும் வரையறுக்கலாம். தற்கால மின்சாரவியல் மற்றும் வேறு சில இயற்கையான நிகழ்வுகளுக்கு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் மற்றும் மடங்குக் கோணம் அல்லது உபமடங்குக் கோண முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

\(A\) என்பது ஒரு கோணம் எனில், பிறகு \(2A, 3A, \dots\) ஆகியவை \(A\)-ன் மடங்கு கோணங்கள் என்று கூறப்படும் மற்றும் \(\frac{A}{2}, \frac{A}{3}, \dots\) ஆகியவை கோணங்கள் \(A\)-ன் உபமடங்கு கோணங்கள் என்று கூறப்படும். இப்போது நாம் மடங்கு கோணங்கள் மற்றும் உபமடங்கு கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்களை விவாதிப்போம் மற்றும் சில முற்றொருமைகளை தருவிப்போம்.

இருமடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் (Double Angle Identities)#

கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முற்றொருமைகளை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றிலிருந்து வரக்கூடிய சில விளைவுகளை ஆராய்வோம். இருமடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் கூட்டல் முற்றொருமையின் சிறப்பு அமைப்பாகும். இரண்டு கோணங்கள் சமம் எனில் கூட்டல் முற்றொருமை இருமடங்கு கோண முற்றொருமையாக மாறும். அவைகள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காணவும் மற்றும் முற்றொருமைகளை சரிபார்க்கவும் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. இருமடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் குறைப்பு முற்றொருமைகள் (அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமைகள்) வருவிக்கப் பயன்படுகிறது. மேலும் முக்கோணவியல் கோவைகளின் மிகை மற்றும் குறை மதிப்புகளைக் காண இரு மடங்கு கோண முற்றொருமைகள் பயன்படுகிறது.

முற்றொருமை 3.7: \(\sin 2A = 2\sin A \cos A\)#

நிரூபணம்

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\) என நமக்குத் தெரியும்.

\(\alpha = \beta = A\) என எடுத்துக்கொள்க.

எனில், நமக்குக் கிடைப்பது, \(\sin(A + A) = \sin A \cos A + \sin A \cos A\)

எனவே, \(\sin 2A = 2\sin A \cos A\).

குறிப்பு: (i) \(y = \sin 2x\) மற்றும் \(y = 2\sin x\) ஆகியவை வெவ்வேறானவை. அவைகளின் வரைபட வடிவில் வித்தியாசத்தை உணரலாம்.

(ii) \(\sin 2A = 2\sin A \cos A\) இன் பயன்பாடு: \(\alpha\) எந்த திசைவேகத்தில் கிடைமட்டத்தில் \(u\) எனும் கோணத்தில் ஏறியப்பட்ட ஒரு பொருள், தரையிரங்குவதற்கு அது பயணிக்கும் கிடைமட்ட தொலைவை அளவிடும் சூத்திரம் \(R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}\). \(\theta = \frac{\pi}{4}\) எனும் போது \(R\)-ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(\frac{u^2}{g}\) என்பது நமக்கு தெளிவாகிறது.

(iii) \(|\sin A \cos A| = \left|\frac{\sin 2A}{2}\right| \le \frac{1}{2}\). \(A = \frac{\pi}{4}\) எனும்போது \(\sin A \cos A\)-ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(\frac{1}{2}\) ஆகும். எனவே, \(-\frac{1}{2} \le \sin A \cos A \le \frac{1}{2}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.21#

ஒரு கால்பந்து வீரர் விளையாட்டுத்திடல் தரைமட்டத்திலிருந்து கால்பந்தை 80 அடி/விகலை தொடக்கத் திசைவேகத்துடன் உதைக்கிறார், பந்து அடையும் அதிகபட்சக் கிடைமட்டத் தூரத்தையும், பந்து உதைக்கப்பட்டு மேலே எழும்பும் போது கிடைமட்டத்துடன் அது ஏற்படுத்தும் கோணத்தையும் காண்க (\(g = 32\) என்க).

தீர்வு:

கிடைமட்டத் தூரம் \(R\) காணப் பயன்படும் சூத்திரம்

எனவே, அதிகபட்ச தூரம் = 200 அடி ஆகும். \(\theta = 45^\circ\) எனும் கோணத்தில் உதைக்கும்போது பந்து அதிகபட்ச தூரத்தை அடையும்.

முற்றொருமை 3.8: \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)#

நிரூபணம்

குறிப்பு: \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\) என்ற முற்றொருமையிலிருந்து \(\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}\) மற்றும் \(\sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2}\) எனக் கிடைக்கிறது.

முற்றொருமை 3.9: \(\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}\)#

நிரூபணம்

இங்கு, \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\).

\(\alpha = \beta = A\) என எடுத்துக்கொள்க.

\(\tan(A + A) = \frac{\tan A + \tan A}{1 - \tan A \tan A}\) என நமக்குக் கிடைக்கும்.

எனவே, \(\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}\).

முற்றொருமை 3.10: \(\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}\)#

நிரூபணம்

முற்றொருமை 3.11: \(\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}\)#

நிரூபணம்

அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமைகள் அல்லது குறைப்பு முற்றொருமைகள் (Power reducing identities or reduction identities)#

இருமடங்குக் கோண முற்றொருமையிலிருந்து sine, cosine மற்றும் tangent இக்கான குறைப்பு முற்றொருமைகளைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

\(\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 \Rightarrow \cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}\).

பின்வரும் அட்டவணையில் அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமைகள்

குறிப்பு: (i) அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமையில் அடுக்கு இரண்டிலிருந்து ஒன்றாகக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது.

(ii) அடுக்குக்குறைப்பு முற்றொருமைகள் sine மற்றும் cosine ஆகியவற்றின் இரட்டைப்படை அடுக்குகளை, அடுக்கு ஒன்றையுடைய cosine ஆக மாற்றப் பயன்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி, \(\cos^4 x = \frac{1}{8}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x)\) மற்றும் \(\sin^4 x = \frac{1}{8}(3 - 4\cos 2x + \cos 4x)\) என நிரூபிக்கலாம். (முயற்சி செய்!)

(iii) உயர் கணிதத்தில் அடுக்குக் குறைப்பு முற்றொருமைகள் பெரிதும் பயன்படுகின்றன.

மும்மடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் (Triple-Angle Identities)#

இருமடங்குக் கோண முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி மும்மடங்குக் கோண முற்றொருமைகளைக் காணலாம்.

முற்றொருமை 3.12: \(\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A\)#

நிரூபணம்

முற்றொருமை 3.13: \(\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A\)#

நிரூபணம்

முற்றொருமை 3.14: \(\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}\)#

நிரூபணம்

இருமடங்கு மற்றும் மும்மடங்குக் கோண முற்றொருமைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அரைக்கோண முற்றொருமைகள் (Half-angle Identities)#

அரைக்கோண முற்றொருமைகள் இருமடங்குக் கோண முற்றொருமைகளோடு தொடர்புடையவை. சிறப்புக் கோணங்களின் சரியான கோணம் தேவைப்படும்போது அரைக்கோண முற்றொருமைகள் பயன்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, \(\sin 15^\circ\) ஆனது \(\sin 15^\circ = \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right)\) எனக் கொண்டு கணக்கிடவேண்டும். மேலும் அரைக்கோண முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி மிகச்சரியான மதிப்புகளைக் காணலாம்.

இருமடங்குக் கோண முற்றொருமைகளில் \(2A = \theta\) அல்லது \(A = \theta/2\) எனப் பிரதியிட \(\theta/2\) கோணங்களுடைய புதிய முற்றொருமைகள் கிடைக்கும்.

அரைக்கோண முற்றொருமைகளை பின்வரும் அட்டவணையில் காணலாம்.

குறிப்பு: (i) வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோணவியல் சார்புகளை வர்க்கப்படுத்தப்படாத முக்கோணவியல் சார்பாக மாற்றுவதற்கு அரைக்கோண முற்றொருமைகள் அதிகம் பயன்படுகின்றன.

(ii) ஒரு கோணத்தின் cosine மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அதன் அரைக்கோணத்தின் sine மற்றும் cosine மதிப்புகளைக் கண்டறிய அரைக்கோண முற்றொருமைகள் பயன்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 3.22#

\(\sin 22\frac{1}{2}^\circ\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

\(\theta = 45^\circ\) என்க.

(\(22\frac{1}{2}^\circ\) முதல் காற்பகுதியில் அமைவதால் மிகைக் குறியீடு என எடுத்துக்கொள்ளவும்.)

எடுத்துக்காட்டு 3.23#

\(\sin \theta = \frac{12}{13}\), \(\theta\) முதல் காற்பகுதியில் அமைகிறது எனில், \(\sin 2\theta\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி \(\cos \theta = \frac{5}{13}\) என்பதை எளிதாகக் காணலாம்.

குறிப்பு: முக்கோணத்தை வரையாமல் நாம் \(\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta}\) எனும் கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி \(\cos \theta\) மதிப்பைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.24#

நிறுவுக. \(\sin 4A = 4\sin A \cos A \cos 2A\).

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.25#

நிறுவுக. \(\sin x = 2^n \sin \frac{x}{2^n} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}\).

தீர்வு:

அரைக்கோண sine சூத்திரத்தை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது,

குறிப்பு: மேலே உள்ள முடிவானது எந்த முடிவுறு எண்ணிக்கைக்கும் நீட்டிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.26#

நிறுவுக. \(\frac{1 + \cos 2\theta + \sin 2\theta}{1 - \cos 2\theta + \sin 2\theta} = \cot \theta\).

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.27#

நிறுவுக. \(\frac{\sin 3x + \cos 3x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\).

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.28#

\(-\pi \le x \le \pi\) மற்றும் \(\cos 2x = \sin x\) எனில் \(x\)-இன் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

\(\cos 2x = \sin x\) என நமக்குத் தெரியும்.

\(\Rightarrow 1 - 2\sin^2 x = \sin x \Rightarrow 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\).

மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} = \frac{1}{2}\) அல்லது \(-1\).

\(\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\) மற்றும் \(\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}\) ஆனால் \(-\pi \le x \le \pi\) எனவே \(x = -\frac{\pi}{2}\).

எனவே, \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.29#

மதிப்புகளைக் காண்க. (i) \(\sin 18^\circ\) (ii) \(\cos 18^\circ\) (iii) \(\sin 72^\circ\) (iv) \(\cos 36^\circ\) (v) \(\sin 54^\circ\).

தீர்வு:

(i) \(\theta = 18^\circ\) என்க.

இவ்வாறாக, \(5\theta = 90^\circ \Rightarrow 2\theta = 90^\circ - 3\theta\).

\(\cos \theta = \cos 18^\circ \neq 0\) ஆதலால் நமக்கு கிடைப்பது

எனவே, \(\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\) (மிகைக் குறி எடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஏன்?)

(ii) \(\cos 18^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 18^\circ} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}\).

(iii) \(\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}\).

(iv) \(\cos 36^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}\).

(v) \(\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}\).

குறிப்பு: \(\sin 18^\circ = \cos 72^\circ\), \(\cos 18^\circ = \sin 72^\circ\) மற்றும் \(\cos 36^\circ = \sin 54^\circ\) என கவனிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.30#

\(\tan \frac{\phi}{2} = \sqrt{\frac{1-a}{1+a}} \tan \frac{\theta}{2}\) எனில் \(\cos \phi = \frac{\cos \theta - a}{1 - a\cos \theta}\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

அரைக்கோண முற்றொருமைகளின்படி நமக்குக் கிடைப்பது,

குறிப்பு: கொடுக்கப்பட்டுள்ள முடிவு \(\cos \phi = \frac{\cos \theta - a}{1 - a\cos \theta}\) என்று உள்ளது. இங்கு \(a\) இன் குறியில் உள்ள வேறுபாட்டை கவனிக்கவும். (உண்மையில் கொடுக்கப்பட்ட \(\tan \frac{\phi}{2} = \sqrt{\frac{1-a}{1+a}} \tan \frac{\theta}{2}\) என்பது \(\cos \phi = \frac{\cos \theta + a}{1 + a\cos \theta}\) என்பதைத் தருகிறது. கொடுக்கப்பட்ட நிறுவல் பிழையாகத் தெரிகிறது.)

எடுத்துக்காட்டு 3.31#

\(\csc 20^\circ - \sec 20^\circ\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.32#

நிறுவுக. \(\cos A \cos 2A \cos 2^2 A \cdots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}\).

தீர்வு:

இடப்பக்கம்

இவ்வாறாக, தொடர்ந்து செய்தால் நமக்குக் கிடைப்பது,

பயிற்சி 3.5#

1. \(A\) முதல் காற்பகுதியில் இருக்கும்போது \(\cos 2A\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

   (i) \(\cos A = \frac{15}{17}\) (ii) \(\sin A = \frac{4}{5}\) (iii) \(\tan A = \frac{16}{63}\).

2. \(\theta\) ஒரு குறுங்கோணம் எனில்,

   (i) \(\sin \theta = \frac{1}{25}\) எனும்போது \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4\theta\right)\) (ii) \(\sin \theta = \frac{8}{9}\) எனில் \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 4\theta\right)\)-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

3. \(\cos \theta = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right)\) எனில் \(\cos 3\theta = \frac{1}{2}\left( a^3 + \frac{1}{a^3} \right)\) எனக் காண்பி.

4. \(\cos 5\theta = 16\cos^5 \theta - 20\cos^3 \theta + 5\cos \theta\) என நிறுவுக.

5. \(\sin 4\alpha = \frac{4\tan \alpha (1 - \tan^2 \alpha)}{(1 + \tan^2 \alpha)^2}\) என நிறுவுக.

6. \(A + B = 45^\circ\) எனில், \((1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2\) என நிறுவுக.

7. \((1 + \tan 1^\circ)(1 + \tan 2^\circ)(1 + \tan 3^\circ)\cdots(1 + \tan 44^\circ)\) என்பது \(4\) இன் மடங்கு என நிறுவுக.

8. \(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = 2\tan 2\theta\) என நிறுவுக.

9. \(\cot 7\frac{1}{2}^\circ = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6}\) எனக் காண்பி.

10. \((1 + \sec 2\theta)(1 + \sec 4\theta)\cdots(1 + \sec 2^n\theta) = \tan 2^n\theta \cot \theta\) என நிறுவுக.

11. \(32\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{48} \cos \frac{\pi}{48} \cos \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{6} = 3\) என நிறுவுக.

3.5.3 பெருக்கலிலிருந்து கூட்டல் மற்றும் கூட்டலிலிருந்து பெருக்கல் முற்றொருமைகள் (Product to sum and sum to product identities)#

முக்கோணவியல் சார்புகளின் சில பயன்பாட்டின்போது முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கலை முக்கோணவியல் சார்புகள் கூட்டல் அல்லது கழித்தலாக எழுத வேண்டிய தேவை ஏற்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைனின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முற்றொருமைகள் நடுவில் இருக்கும் குறியைத் தவிர மற்றவைகள் ஒன்றுபோல் இருப்பது ஆச்சரியத்திற்குரியதாகும்.

இப்பண்பு அவற்றை இணைத்துப் புதிய முற்றொருமைகளை உருவாக்க ஏதுவாக உள்ளது. அதன் மூலம் பெருக்கலைக் கூட்டலாகவும், கூட்டலைப் பெருக்கலாகவும் மாற்றி எழுதக்கூடிய பல முற்றொருமைகள் கிடைக்கிறது.

மேலேயுள்ள முற்றொருமைகளிலிருந்து நாம் எளிதாகப் பின்வரும் பெருக்கலிலிருந்து கூடுதல் முற்றொருமைகள் தருவிக்கலாம்.

sine மற்றும் cosine-களின் பெருக்கலைக் கூடுதலாக மாற்றி அமைக்க வேண்டிய அவசியம் தேவையும்போது மேற்கண்ட முற்றொருமைகள் அவசியமாகிறது. சில தொகையிடலை மதிப்பிடுவதற்கு இந்த யுக்தி பெரிதும் பயன்படுகிறது.

கூட்டலிலிருந்து பெருக்கல் முற்றொருமைக்கு, \(A + B = C\) மற்றும் \(A - B = D\) எனப் பிரதியிடலாம் அல்லது மேலும் அதற்குச் சமமான \(A = \frac{C+D}{2}\), \(B = \frac{C-D}{2}\) இவற்றை முற்றொருமைகள் (3.5) இலிருந்து (3.8) வரை பிரதியிடவேண்டும். இதன் மூலம் பின் வருமாறு கூட்டலிருந்து பெருக்கலுக்கான முற்றொருமைகள் நமக்கு கிடைக்கின்றன.

முற்றொருமை 3.15: நிறுவுக. \(\sin(60^\circ - A)\sin A \sin(60^\circ + A) = \frac{1}{4}\sin 3A\)#

நிரூபணம்

இதேபோல் பின்வரும் இரண்டு முக்கியமான முற்றொருமைகளை நாம் நிரூபிக்கலாம்.

முற்றொருமை 3.16: \(\cos(60^\circ - A)\cos A \cos(60^\circ + A) = \frac{1}{4}\cos 3A\)#

முற்றொருமை 3.17: \(\tan(60^\circ - A)\tan A \tan(60^\circ + A) = \tan 3A\)#

எடுத்துக்காட்டு 3.33#

பின்வருவனவற்றைக் கூட்டல் அல்லது கழித்தலாகக் கூறுக.

(i) \(\sin 40^\circ \cos 30^\circ\) (ii) \(\cos 110^\circ \sin 55^\circ\) (iii) \(\sin\frac{x}{2} \cos\frac{3x}{2}\)

தீர்வு:

(i) \(2\sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)\) என நமக்குத் தெரியும். \(A = 40^\circ\) மற்றும் \(B = 30^\circ\) என்க.

\(2\sin 40^\circ \cos 30^\circ = \sin(40^\circ + 30^\circ) + \sin(40^\circ - 30^\circ) = \sin 70^\circ + \sin 10^\circ\)

எனவே, \(\sin 40^\circ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}[\sin 70^\circ + \sin 10^\circ]\).

(ii) \(2\cos A \sin B = \sin(A + B) - \sin(A - B)\) என நமக்குத் தெரியும். \(A = 110^\circ\) மற்றும் \(B = 55^\circ\) என்க.

\(2\cos 110^\circ \sin 55^\circ = \sin(110^\circ + 55^\circ) - \sin(110^\circ - 55^\circ) = \sin 165^\circ - \sin 55^\circ\)

எனவே, \(\cos 110^\circ \sin 55^\circ = \frac{1}{2}[\sin 165^\circ - \sin 55^\circ]\).

(iii) \(2\sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)\) என நமக்குத் தெரியும். \(A = \frac{x}{2}\) மற்றும் \(B = \frac{3x}{2}\) என்க.

\(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{3x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{3x}{2}\right) = \sin 2x + \sin(-x) = \sin 2x - \sin x\)

எனவே, \(\sin \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}[\sin 2x - \sin x]\).

எடுத்துக்காட்டு 3.34#

பின் வருவனவற்றை கூட்டல் மற்றும் கழித்தலைப் பெருக்கலாகக் கூறுக.

(i) \(\sin 50^\circ + \sin 20^\circ\) (ii) \(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ\) (iii) \(\cos\frac{3x}{2} - \cos\frac{9x}{2}\)

தீர்வு:

(i) \(\sin C + \sin D = 2\sin\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}\) என நமக்குத் தெரியும். \(C = 50^\circ\) மற்றும் \(D = 20^\circ\) என்க.

\(\sin 50^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin\frac{50^\circ + 20^\circ}{2} \cos\frac{50^\circ - 20^\circ}{2} = 2\sin 35^\circ \cos 15^\circ\).

(ii) \(\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}\) என நமக்குத் தெரியும். \(C = 60^\circ\) மற்றும் \(D = 20^\circ\) என்க.

\(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ = 2\cos\frac{60^\circ + 20^\circ}{2} \cos\frac{60^\circ - 20^\circ}{2} = 2\cos 40^\circ \cos 20^\circ\).

(iii) \(\cos C - \cos D = 2\sin\frac{C+D}{2}\sin\frac{D-C}{2}\) என நமக்குத் தெரியும். \(C = \frac{3x}{2}\) மற்றும் \(D = \frac{9x}{2}\) என்க.

\(\cos\frac{3x}{2} - \cos\frac{9x}{2} = 2\sin\frac{\frac{3x}{2} + \frac{9x}{2}}{2} \sin\frac{\frac{9x}{2} - \frac{3x}{2}}{2} = 2\sin 3x \sin\frac{3x}{2}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.35#

\(\sin 34^\circ + \cos 64^\circ - \cos 4^\circ\) இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.36#

நிறுவுக. \(\cos 36^\circ \cos 72^\circ \cos 108^\circ \cos 144^\circ = \frac{1}{16}\).

தீர்வு:

இடப்பக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 3.37#

சுருக்குக. \(\frac{\cos 75^\circ + \cos 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}\).

தீர்வு:

குறிப்பு: \(\sin 75^\circ = \cos 15^\circ\) மற்றும் \(\cos 75^\circ = \sin 15^\circ\) எனக் கொண்டு தீர்வு காண முயற்சி செய்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.38#

\(\cos 10^\circ \cos 30^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{3}{16}\) எனக் காண்பி.

தீர்வு:

\(\cos(60^\circ - A)\cos A \cos(60^\circ + A) = \frac{1}{4}\cos 3A\) என நமக்குத் தெரியும்.

\(A = 10^\circ\) என்க.

எனவே, \(\cos 10^\circ \cos 30^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \cos 30^\circ (\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}\).

பயிற்சி 3.6#

1. பின்வருவனவற்றைக் கூட்டல் அல்லது கழித்தலாக கூறுக.

   (i) \(\sin 35^\circ \cos 28^\circ\) (ii) \(\sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2}\) (iii) \(\sin \frac{2\theta}{10} \cos \frac{\theta}{2}\) (iv) \(\cos 5\theta \cos 2\theta\) (v) \(\sin 5\theta \sin 4\theta\)

2. பின்வருவனவற்றைப் பெருக்கலாக கூறுக.

   (i) \(\sin 75^\circ - \sin 35^\circ\) (ii) \(\cos 65^\circ + \cos 15^\circ\) (iii) \(\sin 50^\circ + \sin 40^\circ\) (iv) \(\cos 35^\circ - \cos 75^\circ\)

3. \(\sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ = \frac{1}{8}\) எனக் காண்பி.

4. \(\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{5\pi}{15} \cos \frac{6\pi}{15} \cos \frac{7\pi}{15} = \frac{1}{128}\) எனக் காண்பி.

5. \(\frac{\cos 2x - \cos 4x}{\sin 2x + \sin 4x} = \tan x\) எனக் காண்பி.

6. \(\frac{\sin 3\theta + \sin 5\theta + \sin 7\theta + \sin 9\theta}{\cos 3\theta + \cos 5\theta + \cos 7\theta + \cos 9\theta} = \tan 6\theta\) எனக் காண்பி.

7. நிறுவுக. \(\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \tan 2x\).

8. நிறுவுக. \(\frac{\cos 4x + \cos 2x}{\sin 4x + \sin 2x} = \cot 3x\).

9. நிறுவுக. \(\frac{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}{\cos^2 x + \cos x \cos 2x} = 2\cos x\).

10. நிறுவுக. \(\sin \frac{2\theta}{5} + \sin \frac{7\theta}{5} = \sin \frac{3\theta}{5} + \sin \frac{11\theta}{5}\).

11. நிறுவுக. \(\frac{\cos(30^\circ + A) \cos(30^\circ - A)}{\cos(45^\circ + A) \cos(45^\circ - A)} = \frac{1}{2 + \cos 2A}\).

12. நிறுவுக. \(\frac{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x} = \tan 4x\).

13. நிறுவுக. \(\frac{\cos 4(A + B) + \cos 4(A - B)}{\sin 4(A + B) + \sin 4(A - B)} = \cot 4A\).

14. \(\cot\left(15^\circ + \frac{A}{2}\right) - \tan\left(15^\circ - \frac{A}{2}\right) = \frac{1 + \sin A}{\cos A}\) எனக் காண்பி.

3.5.4 நிபந்தனைக்குட்பட்ட முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் (Conditional Trigonometric Identities)#

கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தின் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளுக்கும் முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் உண்மை என்பதை நாம் அறிவோம். சில முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் கொடுக்கப்பட்ட கூடுதல் நிபந்தனையையும் நிறைவு செய்கிறது. அப்படிப்பட்ட முற்றொருமைகள் நிபந்தனைக்குட்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் ஆகும். முன் பகுதிகளில் கண்ட தொடர்புகளின் அடிப்படையில் சில நிபந்தனைக்குட்பட்ட முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளை இப்பகுதியில் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.39#

\(A + B + C = \pi\) எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.

(i) \(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)

(ii) \(\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \le \frac{1}{8}\)

(iii) \(1 < \cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}\)

தீர்வு:

(i)

(ii) \(\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = u\) என்க.

\(\cos\frac{A-B}{2}\) ஒரு மெய்யெண் என்பதால், இயற்கணித AM ≥ GM ஐப் பயன்படுத்த,

Standard result: For fixed sum, product is maximum when terms are equal. Using \(A+B+C=\pi\), it can be shown that maximum of \(\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\) occurs when \(A=B=C=\frac{\pi}{3}\), giving maximum value \(\frac{1}{8}\).

(iii) From (i) and the maximum value of the product, we get \(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4u\). Since \(0 < u \le \frac{1}{8}\), we have \(1 < \cos A + \cos B + \cos C \le 1 + 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.40#

\(A + B + C = \pi\) எனில், \(\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = 4\sin 2A \sin 2B \sin 2C\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

Standard derivation: Since \(A+B+C=\pi\), we have \(2A+2B+2C=2\pi\). Using sum-to-product formulas, we can derive the required identity.

எடுத்துக்காட்டு 3.41#

\(A + B + C = \pi\) எனில், \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

பயிற்சி 3.7#

1. \(A + B + C = 180^\circ\) எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.

   (i) \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C\)

   (ii) \(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A \cos B \cos C\)

   (iii) \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C\)

   (iv) \(\sin^2 A + \sin^2 B - \sin^2 C = 2\sin A \sin B \cos C\)

   (v) \(\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2} + \tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2} = 1\)

   (vi) \(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\)

   (vii) \(\frac{\sin(B+C-A)}{\sin A} + \frac{\sin(C+A-B)}{\sin B} + \frac{\sin(A+B-C)}{\sin C} = 4\sin A \sin B \sin C\)

2. \(A + B + C = 2s\) எனில், \(\sin(s-A)\sin(s-B) + \sin s \sin(s-C) = \sin A \sin B\) என நிறுவுக.

3. \(x + y + z = xyz\) எனில், \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} + \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} = \frac{2xyz}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}\) என நிறுவுக.

4. \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.

   (i) \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\cos A \cos B \cos C\)

   (ii) \(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1 + 4\sin A \sin B \sin C\)

5. \(\triangle ABC\) ஒரு செங்கோண முக்கோணம் மற்றும் \(\angle A = \frac{\pi}{2}\) எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.

   (i) \(\cos^2 B + \cos^2 C = 1\) (ii) \(\sin^2 B + \sin^2 C = 1\) (iii) \(\cos B - \cos C = -1 + 2\sqrt{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)

3.6 முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் (Trigonometric Equations)#

அறியப்படாத கோணங்களினாலான, முக்கோணவியல் சார்புகளை உள்ளடக்கிய சமன்பாட்டை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கலாம். அறியப்படாத கோணங்களின் மதிப்பு, சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்தால் அதுவே முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் தீர்வு ஆகும்.

சார்பகத்தைக் கட்டுபடுத்தவில்லை என்றால், முக்கோணவியல் சார்பின் கால வட்ட பண்பின் காரணத்தால் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். சில சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு இல்லாமல் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, \(\sin \theta = \frac{3}{2}\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை. காரணம் \(-1 \le \sin \theta \le 1\).

\(\sin \theta = 0\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற பல தீர்வுகள் உள்ளன அதாவது \(\theta = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots\)

இவ்வாறு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் தீர்வு எண்ணற்றது மற்றும் அத்தீர்வுகள் கால வட்டங்களில் காணப்படும்.

பொதுத் தீர்வு (General Solution)#

ஒரு முக்கோணவியல் சார்பின் காலவட்டத்தின் உதவியுடன் பெறப்படும் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் அனைத்து மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு என்று அழைக்கப்படும்.

முதன்மைத் தீர்வு (Principal Solution)#

\([0, 2\pi]\) அல்லது \([-\pi, \pi]\) இடைவெளிகளில் சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும் அறியப்படாத கோணத்தின் எண்ணாவில் சிறிய எண் மதிப்பை முதன்மை தீர்வு என்று அழைக்கலாம். இங்கு நாம் முதன்மை தீர்வு வரையறுக்க \([-\pi, \pi]\) என்ற இடைவெளியை எடுத்துக்கொள்வோம். மேலும் இந்த இடைவெளியில் இரண்டு தீர்வுகள் இருக்கலாம். இரண்டு தீர்வுகள் சரியாக இருந்தாலும் நாம் எண்ணாவில் மிகச்சிறியதை எடுத்துக்கொள்வோம். இது நமக்கு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கு ஒத்த முதன்மை சார்பகத்தை வரையறுக்க உதவுகிறது.

\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) என்ற இடைவெளியில் சைன் சார்பின் முதன்மை மதிப்பு இருக்கிறது. அதாவது முதல் அல்லது நான்காம் காற்பகுதியில் இருக்கிறது.

\([0, \pi]\) என்ற இடைவெளியில் கொசைன் சார்பின் முதன்மை மதிப்பு இருக்கிறது. அதாவது முதல் அல்லது இரண்டாம் காற்பகுதியில் இருக்கிறது.

\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) என்ற இடைவெளியில் தொடு சார்பின் முதன்மை மதிப்பு இருக்கிறது. அதாவது முதல் அல்லது நான்காம் காற்பகுதியில் இருக்கிறது.

குறிப்பு: (i) முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் முக்கோணவியல் முற்றொருமையிலிருந்து வேறுபடுகின்றன. ஏனென்றால் கோணம் \(\theta\)-வின் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளுக்கு முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும். ஆனால் அறியப்படாத சில குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கு மட்டும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் செல்லுபடியாகும்.

(ii) முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வுகாணப் பொதுவான முறை ஏதும் இல்லை. ஆனாலும் சில சமன்பாடுகளைக் காரணிப்படுத்தியும்; சில சமன்பாடுகளைத் தனித் தனிச் சார்புகளாக மாற்றியும்; சில சார்புகளை வர்க்கப்படுத்தியும் தீர்வு காணலாம் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

(iii) முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைச் சில நேரங்களில் இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தும் யுக்தியைப் பயன்படுத்தலாம். அச்சமயத்தில் தவறான தீர்வுகளும் கிடைக்க வாய்ப்புள்ளது (வெளிப்புறத் தீர்வு - Extraneous solution). எடுத்துக்காட்டாக, \(0 \le x < 360^\circ\) எனும்போது \(\sin x = 1 - \cos x\) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வுகாண இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது \(\sin^2 x = (1 - \cos x)^2 \Rightarrow 2\cos x(\cos x - 1) = 0\) அதாவது \(x = 90^\circ, 270^\circ, 0^\circ\) என்ற தீர்வு கிடைக்கிறது. ஆகவே, \(x = 0^\circ\) ஒரு தவறான தீர்வு. எனவே, வர்க்கப்படுத்தும் முறையில் சரியான தீர்வு காணச் சரிபார்த்தல் செய்தல் வேண்டும்.

(iv) முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை எழுதும்போது ஆரையன் அளவு அதிகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இப்போது நாம் வெவ்வேறு வடிவில் உள்ள முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் காண்போம்.

(i) \(\sin \theta = k\) (\(-1 \le k \le 1\)) என்ற அமைப்பிலுள்ள சமன்பாட்டின் தீர்வு:

\(\sin \alpha = k\) என்றவாறு எண்ணளவில் சிறிய கோணம் \(\alpha\) என எடுத்துக்கொள்வோம். எனவே,

\(\sin \theta = \sin \alpha \Rightarrow \theta = n\pi + (-1)^n \alpha, n \in \mathbb{Z}\)  (3.13)

(ii) \(\cos \theta = k\) (\(-1 \le k \le 1\)) என்ற அமைப்பிலுள்ள சமன்பாட்டின் தீர்வு:

\(\cos \alpha = k\) என்றவாறு எண்ணளவில் சிறிய கோணம் \(\alpha\) என எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்வாறாக,

\(\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha, n \in \mathbb{Z}\)  (3.14)

(iii) \(\tan \theta = k\) (\(-\infty < k < \infty\)) என்ற அமைப்பிலுள்ள சமன்பாட்டின் தீர்வு:

\(\tan \alpha = k\) என்றவாறு \(\alpha\) என்னளவில் சிறிய கோணம் என எடுத்துக்கொள்வோம்.

\(\tan \theta = \tan \alpha \Rightarrow \theta = n\pi + \alpha, n \in \mathbb{Z}\)  (3.15)

(iv) \(a\cos \theta + b\sin \theta = c\) என்ற அமைப்பிலுள்ள சமன்பாட்டின் தீர்வு:

\(a = r\cos \alpha, b = r\sin \alpha\) என எடுத்துக்கொள்வோம்.

\(r = \sqrt{a^2 + b^2}; \tan \alpha = \frac{b}{a}, a \neq 0\).

\(a\cos \theta + b\sin \theta = c \Rightarrow r\cos \alpha \cos \theta + r\sin \alpha \sin \theta = c \Rightarrow r\cos(\theta - \alpha) = c\)

\(\Rightarrow \cos(\theta - \alpha) = \frac{c}{r} = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \phi\) (எனக் கொள்க.)

\(\theta - \alpha = 2n\pi \pm \phi, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow \theta = 2n\pi + \alpha \pm \phi, n \in \mathbb{Z}\)

குறிப்பு: \(c \le \sqrt{a^2 + b^2}\) எனும் போது மட்டுமே மேலே குறிப்பிட்ட முறையைப் பயன்படுத்தலாம். \(c > \sqrt{a^2 + b^2}\) எனில், \(a\cos \theta + b\sin \theta = c\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு எந்த தீர்வும் இல்லை.

நாம் இப்போது முக்கோணவியலின் சமன்பாடுகளின் பொது தீர்வை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.42#

முதன்மை தீர்வை காண்க

(i) \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) (ii) \(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) (iii) \(\csc \theta = -2\) (iv) \(\cos \theta = \frac{1}{2}\)

தீர்வு:

(i) \(\sin \theta = \frac{1}{2} > 0\) எனவே முதன்மை மதிப்பு முதல் காற்பகுதியில் இருக்கும்.

\(\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\) என்பது நமக்குத் தெரியும்.

எனவே, \(\theta = \frac{\pi}{6}\) என்பது முதன்மைத் தீர்வாகும்.

(ii) \(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). \([-\pi/2, \pi/2]\) என்ற இடைவெளியில் \(\sin \theta\)-வின் முதன்மை மதிப்பு இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

\(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\), எனவே, \(\sin \theta\) இன் முதன்மை மதிப்பு நான்காம் காற்பகுதியில் இருக்கும்.

\(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sin\frac{\pi}{3} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).

\(\theta = -\frac{\pi}{3}\) என்பது முதன்மைத் தீர்வாகும்.

(iii) \(\csc \theta = -2 \Rightarrow \frac{1}{\sin \theta} = -2 \Rightarrow \sin \theta = -\frac{1}{2} < 0\).

\(\sin \theta = -\frac{1}{2} = -\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\).

\(\theta = -\frac{\pi}{6}\) என்பது முதன்மைத் தீர்வாகும்.

(iv) \(\cos \theta = \frac{1}{2}\). \(\cos \theta\) இன் முதன்மை மதிப்பு முதல் மற்றும் இரண்டாம் காற்பகுதியில் இருக்கும்.

\(\cos \theta = \frac{1}{2} > 0\). எனவே, முதன்மை மதிப்பு \([0, \pi/2]\) என்ற இடைவெளியில் இருக்கும்.

\(\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}\).

\(\theta = \frac{\pi}{3}\) என்பது முதன்மைத் தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.43#

\(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) -ன் பொதுத் தீர்வை காண்க.

தீர்வு:

\(\sin \theta = \sin \alpha, \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) இன் பொதுத் தீர்வு \(\theta = n\pi + (-1)^n \alpha, n \in \mathbb{Z}\).

\(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).

எனவே, பொதுத் தீர்வு ஆனது

குறிப்பு: மேலே கிடைக்கப்பெறும் பொதுத் தீர்வில் \(-\frac{\pi}{3}\)-ஐ முதன்மை மதிப்பாக எழுதுகிறோம். அது வழக்கமாக \([-\pi, \pi]\) என்ற இடைவெளியில் எண்ணாவில் சிறியதை முதன்மை மதிப்பு என்கிறோம். இந்த எடுத்துக்காட்டின் மூலம் முதன்மை தீர்வு வரையறையில் குறிப்பிட்டதுபோல் \([0, 2\pi]\) என்ற இடைவெளியிலும் முதன்மை மதிப்பை எழுதலாம் என்பதை நியாயப்படுத்தலாம்.

\([0, 2\pi]\) என்ற இடைவெளியில் முதன்மை தீர்வு எடுத்துக்கொண்டால், பிறகு முதன்மை தீர்வு \(\theta = \frac{4\pi}{3}\) மற்றும் பொதுத்தீர்வு

(ii)-இல் \(n = 0, -1, 1, -2, 2, \dots\) எனக் கொண்டால் அதற்கொத்த தீர்வுகள் \(\frac{4\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \dots\) ஆகும்.

(i)-இல் \(n = 0, -1, 1, -2, 2, \dots\) எனக் கொண்டால் அதற்கொத்த தீர்வுகள் \(-\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \dots\) ஆகும்.

இரண்டு வழிகளிலும் நமக்கு ஒரே தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன, ஆனால் வெவ்வேறு வரிசை கொண்டவை. இந்த விவாதத்திலிருந்து \([0, 2\pi]\) அல்லது \([-\pi, \pi]\) என்ற இடைவெளியில் எண்ணாவில் சிறியதை முதன்மை தீர்வாக எடுக்கலாம் என்பது நியாயப்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3.44#

பொதுத் தீர்வை காண்க. (i) \(\sec \theta = -2\) (ii) \(\tan \theta = \sqrt{3}\)

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.45#

தீர்க்க \(3\cos^2 \theta = \sin^2 \theta\).

தீர்வு:

\(\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}\)

\(\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}\)

குறிப்பு: \(\tan^2 \theta = 3\) என எழுதித் தீர்வுகாண முயற்சி செய்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.46#

தீர்வு காண்க \(\sin x + \sin 5x = \sin 3x\).

தீர்வு:

எனவே, \(\sin 3x = 0\) அல்லது \(\cos 2x = \frac{1}{2}\).

\(\sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}\).

\(\cos 2x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \Rightarrow 2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}\).

(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து பொதுத் தீர்வு \(x = \frac{n\pi}{3}\) அல்லது \(x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.47#

தீர்வு காண்க \(\cos x + \sin x = \cos 2x + \sin 2x\).

தீர்வு:

\(\sin\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = n\pi \Rightarrow x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z}\).

\(\sin\frac{3x}{2} - \cos\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \tan\frac{3x}{2} = 1 = \tan\frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{3x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}\).

எனவே, பொதுத் தீர்வு \(x = 2n\pi\) அல்லது \(x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}\) ஆகும்.

குறிப்பு: \(\sin \theta = \cos \theta\) எனில், \(\theta \neq (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\) எனவே \(\tan \theta = 1\).

எடுத்துக்காட்டு 3.48#

\(\sin 9\theta = \sin \theta\) என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்வு:

\(\cos 5\theta = 0\) அல்லது \(\sin 4\theta = 0\).

\(\cos 5\theta = 0 \Rightarrow 5\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = (2n+1)\frac{\pi}{10}, n \in \mathbb{Z}\).

\(\sin 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = n\pi \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\).

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு \(\theta = (2n+1)\frac{\pi}{10}, \theta = \frac{n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.49#

தீர்க்க \(\tan 2x = \cot\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\).

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.50#

தீர்க்க \(\sin x - 3\sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3\cos 2x + \cos 3x\).

தீர்வு:

எனவே, \(\sin 2x - \cos 2x = 0\) (ஏனெனில், \(2\cos x - 3 \neq 0\)).

\(\sin 2x = \cos 2x \Rightarrow \tan 2x = 1 = \tan\frac{\pi}{4} \Rightarrow 2x = n\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, n \in \mathbb{Z}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.51#

தீர்க்க \(\sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x\).

தீர்வு:

\(\sin x + \cos x = t\) என்க. \(\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = t^2 \Rightarrow 1 + 2\sin x \cos x = t^2 \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}\).

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(t = 1 + \frac{t^2 - 1}{2} \Rightarrow 2t = 2 + t^2 - 1 \Rightarrow t^2 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow (t-1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1\).

எனவே, \(\sin x + \cos x = 1\).

\(n\) even: \(x = 2k\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2k\pi\)

\(n\) odd: \(x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}\)

எனவே, \(x = 2n\pi\) அல்லது \(x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.52#

தீர்க்க \(2\sin^2 x + \sin^2 2x = 2\).

தீர்வு:

\(\cos x = 0\) அல்லது \(\cos^2 x = \frac{1}{2}\).

\(\cos x = 0 \Rightarrow x = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\).

\(\cos^2 x = \frac{1}{2} = \cos^2\frac{\pi}{4} \Rightarrow \cos x = \pm \cos\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\) (எப்படி?).

எனவே, பொதுத் தீர்வு \(x = (2n+1)\frac{\pi}{2}\) அல்லது \(x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.53#

\(a\) மற்றும் \(b\) என்ற எந்த ஒரு மதிப்பிற்கும் \(-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin \theta + b\cos \theta \le \sqrt{a^2 + b^2}\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

எனவே, \(|\sin(\theta + \alpha)| \le 1 \Rightarrow |a\sin \theta + b\cos \theta| \le \sqrt{a^2 + b^2}\).

இவ்வாறாக, \(-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin \theta + b\cos \theta \le \sqrt{a^2 + b^2}\).

எடுத்துக்காட்டு 3.54#

தீர்க்க \(\sqrt{3}\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}\).

தீர்வு:

இங்கு, \(a = -1\), \(b = \sqrt{3}\), \(c = \sqrt{2}\), \(r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

எடுத்துக்காட்டு 3.55#

தீர்க்க \(\sqrt{3}\tan^2 \theta + (\sqrt{3} - 1)\tan \theta - 1 = 0\).

தீர்வு:

எனவே, \(\sqrt{3}\tan \theta - 1 = 0\) அல்லது \(\tan \theta + 1 = 0\).

\(\sqrt{3}\tan \theta - 1 = 0 \Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan\frac{\pi}{6} \Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}\).

\(\tan \theta + 1 = 0 \Rightarrow \tan \theta = -1 = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \theta = n\pi - \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\).

(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து நமக்குப் பொதுத் தீர்வு கிடைக்கிறது.

பயிற்சி 3.8#

1. பின்வருவனவற்றுக்கு முதன்மை தீர்வு மற்றும் பொதுத் தீர்வுகளைக் காண்க.

   (i) \(\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) (ii) \(\cot \theta = \sqrt{3}\) (iii) \(\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)

2. \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\) என்ற இடைவெளியில் இருக்கும் கீழ்கண்ட சமன்பாடுகளுக்கு சரியான தீர்வுகளைக் காண்க.

   (i) \(\sin^4 x = \sin^2 x\) (ii) \(2\cos^2 x + 1 = -3\cos x\) (iii) \(2\sin^2 x + 1 = 3\sin x\) (iv) \(\cos 2x = 1 - 3\sin x\)

3. பின் வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்

   (i) \(\sin 5x - \sin x = \cos 3x\) (ii) \(2\cos^2 \theta + 3\sin \theta - 3 = 0\)

   (iii) \(\cos \theta + \cos 3\theta = 2\cos 2\theta\) (iv) \(\sin \theta + \sin 3\theta + \sin 5\theta = 0\)

   (v) \(\sin 2\theta - \cos 2\theta - \sin \theta + \cos \theta = 0\) (vi) \(\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}\)

   (vii) \(\sin \theta + \sqrt{3}\cos \theta = 1\) (viii) \(\cot \theta + \cos \theta = \sqrt{3}\)

   (ix) \(\tan \theta + \tan\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)

   (x) \(\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}\) (xi) \(2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0\)

3.7 முக்கோணத்தின் பண்புகள் (Properties of Triangle)#

படம் 3.17

ஒரு முக்கோணத்தால் வடிவமைக்கப்படும் செயல் முறை கூடிய பயன்பாட்டு கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காண்பது முக்கோணவியலின் ஒரு முக்கியப் பயன்பாடாகும். ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்துப் பக்கங்களையும் மற்றும் கோணங்களையும் காண்பது முக்கோணத்தைத் தீர்க்கும் விதமாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் மூன்று பக்கங்கள் மற்றும் மூன்று கோணங்களை ஒரு முக்கோணத்தின் அடிப்படை உறுப்புகள் என்று அழைக்கிறோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீர்வு காண்பதில் பித்தாகரஸ் தேற்றம் பெரும் பங்காற்றுகிறது. ஒரு செங்கோணம் அல்லாத முக்கோணத்தைத் தீர்ப்பதில் சைன் மற்றும் கொசைன் விதிகள் திறமாக பயன்படுத்தக்கூடிய முக்கியமான கருவிகள் ஆகும். இப்பிரிவில் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் மற்றும் மூன்று கோணங்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகளை பற்றி விவாதிப்போம் மற்றும் சைன் மற்றும் கொசைன் விதிகளைத் தருவிப்போம்.

குறியீடு: ஒரு முக்கோணம் \(ABC\) என்க. \(\triangle ABC\) இன் மூன்று முனைகள் \(A, B, C\) இன் கோணங்கள் \(A, B, C\) என்றே குறிக்கப்படுகிறது. \(A, B, C\) ஆகிய கோணங்களுக்கு எதிர் பக்கங்கள் முறையே \(a, b, c\) எனக் குறிக்கப்படுகின்றன. \(\triangle\) என்ற குறியீடு முக்கோணத்தின் பரப்பைக் குறிக்கிறது.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகளின் வழியாகச் செல்லக்கூடிய வட்டத்தை அதன் சுற்றுவட்டம் என்கிறோம். சுற்று வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரம் \(R\) ஆகியவை முறையே சுற்றுவட்ட மையம் மற்றும் சுற்றுவட்ட ஆரம் எனப்படும்.

குறிப்பு: \(\triangle ABC\) இல், \(A + B + C = \pi\) மற்றும் \(a + b > c\), \(b + c > a\), \(c + a > b\) ஆகும்.

3.7.1. சைன் விதி அல்லது சைன் சூத்திரம் (Law of sine or sine formula)#

தேற்றம் 3.1 (சைன் விதி)#

எந்த ஒரு முக்கோணத்திலும் பக்கங்களின் நீளங்கள் அவற்றிற்கு எதிரே உள்ள கோணங்களின் சைன் மதிப்பிற்கு நேர் விகிதத்தில் இருக்கும். இங்கு, \(\triangle ABC\) இல்,

இங்கு, \(R\) என்பது முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் ஆகும்.

நிரூபணம்:

\(\triangle ABC\) இல் \(A\) என்ற கோணம் குறுங்கோணமாகவோ அல்லது செங்கோணமாகவோ அல்லது விரிகோணமாகவோ இருக்கலாம். இங்கு \(O\) என்பது \(\triangle ABC\) -இன் சுற்றுவட்ட மையம் எனவும் மற்றும் \(R\) என்பது ஆரம் எனவும் கொள்வோம்.

படம் 3.18

நிலை I: \(A\), ஒரு குறுங்கோணம்.

\(BO\) ஐ நீட்டும்போது வட்டத்தின் மீது \(D\) என்ற புள்ளியை சந்திக்கின்றது.

\(\angle BDC = \angle BAC = A\), \(\angle BCD = 90^\circ\).

\(\sin \angle BDC = \frac{BC}{BD}\) அல்லது \(\sin A = \frac{a}{2R} \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R\).

நிலை II: \(A\), ஒரு செங்கோணம்.

இந்நிலையில் \(O\) என்பது \(\triangle ABC\) இல் \(BC\) -இன் பக்கம் மீது அமையும்.

இங்கு, \(a = BC = 2R\), \(\sin A = \sin 90^\circ = 1 \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R\).

நிலை III: \(A\), ஒரு விரிகோணம்.

\(BO\) ஐ நீட்டும்போது வட்டத்தில் \(D\) என்ற புள்ளியைச் சந்திக்கின்றது.

\(\angle BDC + \angle BAC = 180^\circ \Rightarrow \angle BDC = 180^\circ - A\).

\(\angle BCD = 90^\circ\).

\(\sin \angle BDC = \frac{BC}{BD}\) அல்லது \(\sin(180^\circ - A) = \sin A = \frac{a}{2R} \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R\).

ஒவ்வொரு நிலையிலும், \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) எனக் கிடைக்கிறது.

இதைப்போன்று கோணங்கள் \(B\) மற்றும் \(C\) ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டால், \(\frac{b}{\sin B} = 2R\) மற்றும் \(\frac{c}{\sin C} = 2R\) என்பனவற்றை நிரூபிக்கலாம்.

எனவே,

குறிப்பு: (i) சைன் விதியை மூன்று சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக எழுதலாம்.

(ii) சைன் விதியின்படி ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் அவைகளுக்கு எதிரே உள்ள கோணங்களின் சைன் மதிப்பிற்கு நேர்விகிதத்தில் அமையும்.

(iii) ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களும் அவற்றிற்கிடைப்பட்ட கோணமும் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் தீர்வு காண இயலாது.

(iv) ஒரு முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கம், மிகப்பெரிய கோணத்திற்கு எதிரே அமையும் என்பது சைன் விதியின் சுவாரஸ்யமான வடிவகணித விளைவாகும். (நிரூபி)

3.7.2. கொசைன் விதி (Law of Cosines)#

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றிடைப்பட்ட கோணமும் அல்லது முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி அம்முக்கோணத்தைத் தீர்க்க இயலாது. அச்சமயங்களில் கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் தீர்வைக் காணலாம். மேலும், இது இரண்டு பக்கங்களும் மற்றும் இடைப்பட்ட கோணமும் கொடுக்கப்பட்டால் முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காணும் சூத்திரத்தை வருவிக்கப் பயன்படுகிறது.

தேற்றம் 3.3 (கொசைன் விதி)

\(\triangle ABC\) இல்,

நிரூபணம்:

\(\triangle ABC\) இல் \(AD \perp BC\) என வரை.

படம் 3.19

\(\triangle ABD\) இல் \(AB^2 = AD^2 + BD^2 \Rightarrow c^2 = AD^2 + BD^2\).

\(\triangle ABC\) இன் உறுப்புகளின் மூலம் \(AD\) மற்றும் \(BD\) இன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.

எனவே, \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) அல்லது \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).

இதேபோன்று, மற்ற இரண்டு சூத்திரங்களையும் நிரூபிக்கலாம். அவையாவன,

குறிப்பு: (i) \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலிலிருந்து அவைகளின் பெருக்கற்பலனின் இருமடங்கை அவ்விரு பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் கொசைன் மதிப்போடு பெருக்கக் கிடைக்கும் மதிப்பைக் கழிக்கக் கிடைக்கும் மதிப்புக்குச் சமம். மேலும் \(a, b, c\) ஆகிய எழுத்துக்களை ஒரு சூத்திரத்தில் சுழற்றும் போது மற்றொரு சூத்திரம் கிடைக்கப்பெறுகிறது.

(ii) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு கொசைன் விதியை எழுதும்போது அது பித்தாகரஸ் தேற்றமாகக் குறைகிறது. எனவே, கொசைன் விதியைப் பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின் பொதுமையாக்கப்பட்ட தேற்றமாகப் பார்க்கலாம்.

(iii) குறுங்கோணம் மற்றும் விரிகோணம் ஆகியவற்றில் கொசைன் சார்புகள் சைன் சார்பைப் போல் அல்லாமல் வித்தியாசமானவை என்பதால் சைன் விதியோடு ஒப்பிடும்போது கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு மிகை எனில் அது குறுங்கோணம் இல்லையேல் அது விரிகோணம் ஆகும்.

(iv) கொசைன் விதியின் பொருள்: நேர்வழித்தடம் குறைந்த தூரத்தையுடையது. இதன் விளக்கம் பின்வருமாறு.

\(\triangle ABC\) இல், \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). \(- \cos C < 1\) என்பதிலிருந்து நமக்கு \(c^2 < a^2 + b^2 + 2ab\) என கிடைக்கிறது. எனவே, \(c < a + b\). ஆகவே, \(\triangle ABC\) இல், \(a < b + c\), \(b < c + a\), \(c < a + b\) எனக் கிடைக்கிறது.

(v) கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தும் போது முதலில் அறியப்படாத அளவீட்டில் பெரிய கோணத்தைக் கண்டறிவது உத்தமம். இப்படியொரு கோணம் இருந்தால் அது முக்கோணத்தின் விரிகோணம் ஆகும்.

3.7.3. வீழல் சூத்திரம் (Projection Formula)#

தேற்றம் 3.4

\(\triangle ABC\) இல் நமக்குக் கிடைப்பது,

நிரூபணம்:

படம் 3.20

\(\triangle ABC\) இல் நமக்குக் கிடைப்பது, \(a = BC\).

\(AD \perp BC\) ஐ வரை.

இதேபோல், மற்ற இரு வீழல் சூத்திரங்களையும் நிரூபிக்கலாம்.

குறிப்பு: \(a = b\cos C + c\cos B\) என்பது, \(a = a\) இன் மீது \(b\) இன் வீழல் \(+ a\) இன் மீது \(c\) இன் வீழல் ஆகும். எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம் அதன் மீது மற்ற இரு பக்கங்களின் வீழல்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

3.7.4. முக்கோணத்தின் பரப்பளவு (Area of the triangle)#

விரிகோண முக்கோணத்தின் சில உறுப்புகள் மற்றும் சைன் சார்பு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காணலாம். அடிப்பக்கம் \(b\) மற்றும் உயரம் \(h\)-ஐ கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை காணும் சூத்திரம் \(\frac{1}{2}bh\) என்பதை நாம் நினைவூடுவோம்.

விரிகோண முக்கோணத்தில் பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன் உயரம் \(h\)-ன் மதிப்பை நாம் காணவேண்டும்.

தேற்றம் 3.5

\(\triangle ABC\) இல், முக்கோணத்தின் பரப்பு

நிரூபணம்:

படம் 3.21

\(\triangle ABC\) இல், \(AD \perp BC\) என வரை.

\(\triangle ADC\) இல், \(\frac{AD}{AC} = \sin C \Rightarrow AD = b\sin C\).

எனவே, \(\Delta = \frac{1}{2} \times \text{அடிப்பக்கம்} \times \text{உயரம்} = \frac{1}{2}ab\sin C\).

இதே முறையில் மற்ற இரண்டு முடிவுகளை நிறுவலாம்.

குறிப்பு: (i) விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் சூத்திரம் கூறுவது யாதெனில் இரண்டு பக்கங்களின் நீளங்கள் மற்றும் அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்கற்பலனில் பாதியாகும்.

(ii) வட்டத்துண்டின் பரப்பளவைக் காண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரம் பயன்படுகிறது. வட்டத்துண்டு என்பது ஒரு நாணிற்கும் அது வெட்டும் வில்லிற்கும் இடைப்பட்ட பகுதி ஆகும்.

படம் 3.22

\(r\) என்பது வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் \(\theta\) என்பது வட்ட நாண் \(AB\) மையத்தில் தாங்கும் கோணம் என்க.

வட்டத்துண்டு \(ABD\) இன் பரப்பு = வட்டக் கோணப் பகுதியின் பரப்பு – \(\triangle OAB\) இன் பரப்பு

(iii) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் சூத்திரத்தின் பொதுமையாக்கப்பட்ட சூத்திரமாக முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் சூத்திரத்தைப் பார்க்கலாம்.

(iv) மேற்கண்ட சூத்திரத்திலிருந்து, முக்கோணங்களின் பரப்பளவைக் காண்பதற்கு மூன்றாவது பக்கத்தின் அளவு தேவையில்லை எனத் தெளிவாகிறது. மேலும், ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காண அதனுடைய உயரத்தைக் காண வேண்டிய அவசியமில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3.56#

8 கி.மீ. விட்டமுள்ள வட்ட வடிவ மிருகக்காட்சி பூங்கா ஒன்றை அமைக்க அரசு திட்டமிடுகிறது. கால்நடை மருத்துவமனை அமைக்க 4 கி.மீ. நீளமுடைய வட்ட நாண் கொண்ட வட்டத்துண்டு தனியாக ஒதுக்கப்படுகிறது. கால்நடை மருத்துவமனை அமைக்க ஒதுக்கப்பட்ட வட்டத்துண்டின் பரப்பைக் காண்க.

படம் 3.23

தீர்வு:

\(O\) ஐ மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் நாண் \(AB\) என்க. \(\angle AOB = \theta\) என்க.

வட்டத்துண்டின் பரப்பு = வட்டக் கோணப் பகுதியின் பரப்பு – \(\triangle OAB\) இன் பரப்பு

\(\theta = \frac{\pi}{3}\) ஐ (i) இல் பிரதியிட, பரப்பு \(= 8\left(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\right) = 8\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}\) ச.கி.மீ.

3.7.5. அரைக்கோண சூத்திரங்கள் (Half–Angle Formula)#

தேற்றம் 3.6

\(\triangle ABC\) இல்,

இங்கு, \(s\) என்பது \(\triangle ABC\) இன் அரை சுற்றளவு, அதாவது \(s = \frac{a+b+c}{2}\).

நிரூபணம்:

குறிப்பு: மற்ற அரைக்கோண சூத்திரங்கள்

விளைவு:

முக்கோணத்தின் பரப்பு – ஹிரான்ஸ் சூத்திரம் (Area of Triangle – Heron’s Formula)#

கிரேக்கப் பொறியாளர் மற்றும் கணிதமேதையான அலெக்ஸாந்திரியாவின் ஹீரோ (கிபி 10–70) இன் பொருட்டு இந்தச் சூத்திரத்திற்கு ஹிரான்ஸ் சூத்திரம் எனப் பெயர் சூடப்பட்டுள்ளது. மூன்று பக்கங்களின் நீளங்கள் கொடுக்கப்படும்போது மட்டும் இச்சூத்திரம் பயன்படுகிறது.

தேற்றம் 3.7#

\(\triangle ABC\) இல்

இங்கு \(s\) என்பது \(\triangle ABC\) இன் அரைச் சுற்றளவாகும்.

நிரூபணம்:

குறிப்பு: (i) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு ஹிரான்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திப் பித்தாகரஸ் தேற்றத்தை நிறுவலாம். இதன் மறுதலையாகச் செங்கோண முக்கோணத்திற்கு, பித்தாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஹிரான்ஸ் பரப்புச் சூத்திரத்தை நிறுவலாம்.

(ii) ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு ஒரு முழு எண் எனில், அதன் முழு எண் நீளங்களைக் கொண்ட பக்கங்களை ஹிரான்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்.

(iii) முக்கோணத்தின் சுற்றளவு நிர்ணயிக்கப்பட்டால் ஹிரான்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் முழுஎன் பரப்பளவு மற்றும் முழுஎன் பக்கங்களைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு 100 மீ எனில், 32 மீ, 34 மீ, 34 மீ எனும் பக்கங்களும் மற்றும் 480 மீ² பரப்பளவுடைய முக்கோணம் ஒன்று கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.57#

\(\triangle ABC\) இல், \(\frac{b^2\sin 2C + c^2\sin 2B}{\sin A} = bc\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\) என்பது சைன் சூத்திரம்.

எனவே, \(a = 2R\sin A\), \(b = 2R\sin B\), \(c = 2R\sin C\).

எடுத்துக்காட்டு 3.58#

\(\triangle ABC\) இல், \(\sin\frac{B-C}{2} = \frac{b-c}{a}\cos\frac{A}{2}\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\) என்பது சைன் சூத்திரம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.59#

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் விகிதங்கள் \(1 : 2 : 3\) எனில் அதன் பக்கங்களின் விகிதங்கள் \(1 : \sqrt{3} : 2\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

முக்கோணத்தின் கோணங்கள் \(\theta, 2\theta, 3\theta\) என்க. எனவே, \(\theta + 2\theta + 3\theta = 180^\circ \Rightarrow 6\theta = 180^\circ \Rightarrow \theta = 30^\circ\).

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\) என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி,

எனவே, \(a : b : c = R : \sqrt{3}R : 2R = 1 : \sqrt{3} : 2\).

எடுத்துக்காட்டு 3.60#

\(\triangle ABC\) இல், \((b+c)\cos A + (c+a)\cos B + (a+b)\cos C = a + b + c\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.61#

\(\triangle ABC\) இல், \(\frac{a^2 + b^2}{a^2 + c^2} = \frac{1 + \cos(A-B)\cos C}{1 + \cos(A-C)\cos B}\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(a = 2R\sin A\), \(b = 2R\sin B\), \(c = 2R\sin C\).

எடுத்துக்காட்டு 3.62#

\(\triangle ABC\) இல், சைன் விதியிலிருந்து கொசைன் விதியை வருவி.

தீர்வு:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\).

எடுத்துக்காட்டு 3.63#

ஹிரான்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு நிலையான சுற்றளவுக்கும் சமபக்க முக்கோணம் ஒரு மீப்பெரு பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கும் எனக் காண்பி. (குறிப்பு: \(xyz \le \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\) இல், \(x = y = z\) என்றிருக்கும்போது மீப்பெரு மதிப்பு கிடைக்கும்).

தீர்வு:

\(\triangle ABC\) இன் நிலையான சுற்றளவு \(2s\) என்க. எனவே, \(s\) ஒரு மாறிலி ஆகும்.

\((s-a)(s-b)(s-c)\) என்பது மீப்பெருமதிப்பாக இருக்கும்போது, \(\Delta\) மீப்பெருமதிப்பாக இருக்கும் என கவனிக்க.

\(s-a = s-b = s-c\) எனும் போது, மேலே உள்ள அசமன்பாடு சமன்பாடாகும். \(a = b = c\) ஆக இருக்கும்போது, \((s-a)(s-b)(s-c)\) இன் மீப்பெரு மதிப்பு \(\frac{s^3}{27}\) ஆக இருக்கும். எனவே, \(a = b = c\) ஆக இருக்கும்போது, \(2s\) என்ற நிலையான சுற்றளவு உடைய முக்கோணத்தின் பரப்பு மீப்பெரு மதிப்பாகும். ஆகவே, நிலையான சுற்றளவு உடைய சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பு மீப்பெரு மதிப்பாகும்.

இந்த மீப்பெரு மதிப்பானது, \(\Delta_{\max} = \sqrt{s \cdot \frac{s^3}{27}} = \frac{s^2}{3\sqrt{3}}\) சதுர அலகுகள் ஆகும்.

பயிற்சி 3.9#

1. \(\triangle ABC\) இல் \(\sin A = \sin(A-B)\sin(B-C)\) எனில், \(a^2, b^2, c^2\) ஆகியவை ஒரு கூடுதல் தொடர் வரிசையில் அமையும் என நிறுவுக.

2. \(\triangle ABC\) இன் கோணங்கள் ஒரு கூடுதல் தொடர் வரிசையில் அமையும், மற்றும் \(b : c = \sqrt{3} : \sqrt{2}\) எனில், \(\angle A\) ஐக் காண்க.

3. \(\triangle ABC\) இல் \(\cos C = 2\sin A \sin B\) எனில், அது ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் எனக் காண்பி.

4. \(\triangle ABC\) இல் \(\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b - a\cos B}{c - a\cos C}\) என நிறுவுக.

5. \(\triangle ABC\) இல் \(a\cos A + b\cos B + c\cos C = 2a\sin B\sin C\) என நிறுவுக.

6. \(\triangle ABC\) இல் \(\angle A = 60^\circ\) எனில் \(b + c = 2a\cos\left(\frac{B - C}{2}\right)\) என நிறுவுக.

7. \(\triangle ABC\) இல் பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.

   (i) \(a\sin\left(\frac{A}{2} + B\right) = (b + c)\sin\frac{A}{2}\) (ii) \(a(\cos B + \cos C) = 2(b + c)\sin^2\frac{A}{2}\)

   (iii) \(\frac{a^2 - c^2}{b^2} = \frac{\sin(A - C)}{\sin(A + C)}\) (iv) \(\frac{a\sin(B - C)}{\sin A} = \frac{b\sin(C - A)}{\sin B} = \frac{c\sin(A - B)}{\sin C}\)

   (v) \(\frac{a + b}{a - b} = \tan\frac{A+B}{2}\cot\frac{A-B}{2}\)

8. \(\triangle ABC\) இல் \((a^2 - b^2 + c^2)\tan B = (a^2 + b^2 - c^2)\tan C\) என நிறுவுக.

9. ஒரு கிராமத்தில் ஒரு பொறியாளர் 120 மீ சுற்றளவுள்ள முக்கோண வடிவ பூங்காவை வடிவமைக்க முனைகிறார். பூங்காவின் பரப்பு அதிகபட்சமாக இருக்கும்படி அமைக்கப்படும்போது அதன் பக்க அளவுகளைக் காண்க.

10. 12 மீ நீளமுள்ள ஒரு கயிறு கொடுக்கப்பட்டு அதைக் கொண்டு அதிகபட்சப் பரப்புடைய முக்கோணம் அமைக்கப்பட்டால் அதன் பக்க அளவுகளைக் காண்க.

11. (i) சைன் விதி (ii) கொசைன் விதி ஆகியவைகளைப் பயன்படுத்தி வீழல் சூத்திரத்தை வருவி.

3.8 முக்கோணத்தின் பயன்பாடுகள் (Application to triangle)#

கட்டிடக்கலை மற்றும் பொறியியலில் எங்கெல்லாம் உறுதியான கட்டமைப்புகள் தேவைப்படுகிறதோ அங்கெல்லாம் முக்கோணங்கள் துணைபுரிகின்றன. கட்டமைப்புக்குத் தேவையான முக்கோணங்களின் கோணங்களைக் கண்டறிய முக்கோணவியல் பெரிதும் பயன்படுகிறது. கட்டிடக் கலைஞர்கள் வளைவுக் கட்டமைப்புகளை அமைப்பதற்கு முக்கோணவியல் பயன்படுகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் குறைந்தது ஒரு பக்கத்துடன் ப-ப மற்றும் ப-கோ அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அதன் மற்ற உறுப்புகளைக் காணலாம். ஆனால் விரிகோண முக்கோணத்தின் தீர்வு காண ஒரு பக்கம் உட்பட மூன்று உறுப்புகள் தேவை. குறைந்தது ஒரு பக்க அளவுடன் மூன்று உறுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால் சைன் விதி, கொசைன் விதி மற்றும் வீழல் சூத்திரம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி மற்ற மூன்று உறுப்புகளையும் காணலாம்.

தீர்வு காண விதிகள்#

• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரண்டு பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் பித்தாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மூன்றாம் பக்கத்தைக் காணலாம். மேலும், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள குறுங்கோணங்கள் நிரப்பு கோணங்கள் என்ற கருத்தின்படி, ஒரு குறுங்கோணம் மற்றொரு குறுங்கோணத்தைத் தீர்மானிக்கும்.

• முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் கொசைன் விதி அல்லது அரைக்கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அதன் கோணங்களைக் காணலாம்.

• ஏதேனும் இரு கோணங்கள் மற்றும் அவற்றிற்கு எதிராக உள்ள ஏதேனும் ஒரு பக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மற்ற பக்கங்களைக் கணக்கிடலாம்.

• ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு பக்கங்களும் அதற்கு இடைப்பட்ட கோணமும் கொடுக்கப்பட்டால் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த இயலாது. அதற்குப் பதிலாகக் கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் மற்ற பக்கங்கள் மற்றும் மற்ற கோணங்களைக் கணக்கிடலாம். இந்நிலையில் நமக்குத் தனித்தொரு முக்கோணம் கிடைக்கும்.

• விரிகோண முக்கோணத்தை அனைத்து முறைகளிலும் தீர்ப்பதற்குக் குறைந்தபட்சம் ஒரு பக்கத்தின் அளவீடு ஆவது கொடுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

விரிகோண முக்கோணத்தின் தீர்வு காணும் முறை பின்வரும் அட்டவணையில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.

• ப-ப-கோ என்பது பக்கம்-பக்கம்-கோணம் (SAS).

குறிப்பு: சைன் விதியை உபயோகிக்கும் போது மூன்று விதமான சூழ்நிலைகள் உருவாகிறது: தீர்வு இல்லை அல்லது ஒரு முக்கோணம் அல்லது இரண்டு முக்கோணங்கள்.

\(a, b, A\) ஆகியவை கொடுக்கப்பட்டவை எனில் \(h = b\sin A\) என்க.

\(a < h\) எனில், முக்கோணம் அமையாது. \(a = h\) எனில், அது ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.

\(a > h\) மற்றும் \(a < b\) எனில், நமக்கு இரண்டு முக்கோணங்கள் கிடைக்கும்.

\(a \ge b\) எனில், நமக்கு ஒரு ஒரு முக்கோணம் கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.64#

\(\triangle ABC\) இல் \(a = 3, b = 5\) மற்றும் \(c = 7\) எனில், \(\cos A, \cos B\) மற்றும் \(\cos C\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கொசைன் விதியின்படி,

எடுத்துக்காட்டு 3.65#

\(\triangle ABC\) இல் \(A = 30^\circ\), \(B = 60^\circ\), \(c = 10\) எனில், \(a\) மற்றும் \(b\)-ஐ காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை, \(A = 30^\circ\), \(B = 60^\circ\). \(C = 180^\circ - (A + B) = 90^\circ\).

சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,

எடுத்துக்காட்டு 3.66#

\(\triangle ABC\) இல் \(a = 2\sqrt{2}, b = 2\sqrt{3}\) மற்றும் \(C = 75^\circ\) எனில், மூன்றாவது பக்கம் மற்றும் கோணங்களைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை, \(a = 2\sqrt{2}, b = 2\sqrt{3}, C = 75^\circ\).

கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,

\(\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\) என பயன்படுத்த,

\(c^2 = 8 + 4\sqrt{3} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \Rightarrow c = \sqrt{6} + \sqrt{2}\).

இப்போது, \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12 + (8 + 4\sqrt{3}) - 8}{2(2\sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4(3 + \sqrt{3})}{4\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\)

சுருக்கி, \(\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow A = 45^\circ\). பிறகு \(B = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ\).

எடுத்துக்காட்டு 3.67#

13 செ.மீ., 14 செ.மீ. மற்றும் 15 செ.மீ. ஆகிய பக்க அளவுகளை உடைய முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

\(a = 13, b = 14, c = 15\). \(s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21\) செ.மீ.

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

எடுத்துக்காட்டு 3.68#

எந்தவொரு \(\triangle ABC\) இல் \(\frac{a\cos A + b\cos B + c\cos C}{abc} = \frac{8\Delta}{abc}\) என நிறுவுக.

தீர்வு:

\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). எனவே,

இதை pHpயன்படுத்தி, LHS = \(\frac{1}{2}\left[\frac{a(b^2 + c^2 - a^2)}{bc} + \frac{b(c^2 + a^2 - b^2)}{ca} + \frac{c(a^2 + b^2 - c^2)}{ab}\right]\). LCM = abc. ஒருசிறிது சுருக்கிய பின், \(\Delta = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\) என்பதை பயன்படுத்தி RHS கிடைக்கும்.

(முழு நிரூபணமும் செய்ய நீண்டது. மாணவர்கள் செய்து பார்க்கலாம்.)

எடுத்துக்காட்டு 3.69#

படம் 3.24

ஒரு கைபேசியின் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியில் இரு கைபேசி கோபுரங்கள் அமைந்துள்ளன. ஒரு கைபேசியின் எல்லைக்குட்பட்ட இரண்டு கைபேசி கோபுரங்கள் கிழக்கு மேற்காக 6 கி.மீ இடைவெளியில் தேசிய நெடுஞ்சாலையில் ஒரே நோக்குக்கோட்டில் அமைந்துள்ளன மற்றும் கைபேசி நெடுஞ்சாலைக்கு வடக்கே உள்ளது. கைபேசிக்கு வரக்கூடிய சமிக்கைகள் முதல் மற்றும் இரண்டாம் கோபுரத்திலிருந்து 5 கி.மீ. மற்றும் \(\sqrt{31}\) கி.மீ. தொலைவில் உள்ளது. கிழக்கிலிருந்து வடக்காக முதல் கோபுரத்திலிருந்து எந்த நிலையில் உள்ளது மற்றும் கைபேசி நெடுஞ்சாலைக்கு எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது என்பதையும் காண்க.

தீர்வு:

முதல் கோபுரத்திலிருந்து கைபேசியின் நிலை வடக்கிலிருந்து கிழக்கிற்கு ஏற்படுத்தும் கோணம் \(\theta\) என்க.

கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,

நெடுஞ்சாலையிலிருந்து கைபேசியின் தூரம் \(x\) என்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.70#

துறைமுகத்திலிருந்து ஒரு படகு 10 கி.மீ. தொலைவு கிழக்கே செல்கிறது. பின்பு இடக்கைப் பக்கம் \(60^\circ\) கோணத்தில் திரும்ப, மீண்டும் படகு 8 கி.மீ. சென்றால் அப்படகிற்கும் துறைமுகத்திற்கும் உள்ள தொலைவைக் காண்க.

படம் 3.25

தீர்வு: \(BP\) என்பது தேவையான தூரம் என்க.

கொசைன் விதியின்படி,

எடுத்துக்காட்டு 3.71#

இரண்டு ரேடார் நிலையங்கள் 100 கி.மீ. இடைவெளியில் அமைந்திருப்பதாக கொள்வோம். ஒவ்வொரு ரேடாரும் அவைகளுக்கு இடையே பறக்கக் கூடிய போர் விமானம் ஒன்றைக் கண்டறிகிறது. முதல் ரேடார் நிலையத்திலிருந்து \(30^\circ\) ஏற்றக் கோணத்திலும் மற்றும் இரண்டாவது ரேடார் நிலையத்திலிருந்து \(45^\circ\) ஏற்றக் கோணத்திலும் போர் விமானம் இருப்பின், அந்நிலையில் போர் விமானத்தின் உயரத்ரைக் காண்க.

படம் 3.26

தீர்வு:

\(R_1\) மற்றும் \(R_2\) ஆகியவை ரேடார் நிலையங்கள் என்க. போர் விமானத்தைக் கண்டறியும் போது அப்போர் விமானத்தின் நிலை \(A\) என்க. \(x\) என்பது தரைக்கும் போர் விமானத்திற்கும் இடைப்பட்ட தேவையான உயரம் என்க. \(R_1R_2\) இக்கு \(A\) இவிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு வரைக அது \(N\) இல் சந்திக்கிறது.

\(\angle A = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ\).

சைன் விதியிலிருந்து,

உயரம் \(x = R_1A \cdot \sin 30^\circ = 100(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{1}{2} = 50(\sqrt{3}-1) \text{ கி.மீ.}\)

பயிற்சி 3.10#

1. \(\angle B = 88^\circ, a = 23, b = 2\) என்ற அளவுகளைக் கொண்ட முக்கோணங்கள் ஒன்றா அல்லது இரண்டா? அல்லது முக்கோணம் வரைய இயலாதா? முக்கோணம் உண்டு எனில், அதன் தீர்வைக் காண்க.

2. \(\triangle ABC\) இல் \(a = 4, b = 6\) மற்றும் \(c = 8\) எனில் \(4\cos B + 3\cos C = 2\) எனக் காண்பி.

3. \(\triangle ABC\) இல் \(a = \sqrt{3} - 1, b = \sqrt{3} + 1\) மற்றும் \(C = 60^\circ\) எனில், மூன்றாவது பக்கம் மற்றும் இரு கோணங்களைக் காண்க.

4. \(\triangle ABC\) -இல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \(\Delta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4} \cot A\) என நிறுவுக.

5. \(\triangle ABC\)-இல் \(a = 12\) செ.மீ, \(b = 8\) செ.மீ. மற்றும் \(C = 30^\circ\) எனில் முக்கோணத்தின் பரப்பு \(24\) ச.செ.மீ. எனக் காண்பி.

6. \(\triangle ABC\)-இல் \(a = 18\) செ.மீ, \(b = 24\) செ.மீ. மற்றும் \(c = 30\) செ.மீ. எனில் \(\triangle ABC\) இன் பரப்பு \(216\) ச.செ.மீ. எனக் காண்பி.

7. பூமிக்கு அடியில் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ள இரண்டு வெவ்வேறு குழிகளில் \(A\) மற்றும் \(B\) என்ற இராணுவ வீரர்கள் பதுங்கி, மலை உச்சியில் ஒரு எதிரியை கவனித்தனர். \(A\) மற்றும் \(B\) விருந்து எதிரியின் கோணங்கள் கிழக்கு திசையில் முறையே \(30^\circ\) மற்றும் \(45^\circ\) மற்றும் \(A\)-க்கு \(B\)-க்கு இடைப்பட்ட தொலைவு 5 கி.மீ. எனில் \(B\)-யிலிருந்து எதிரியின் தொலைவினைக் காண்க.

8. ஒர் ஆராய்ச்சியாளர் ஒர் குளத்தின் அகலத்தைக் கிழக்கிலிருந்து மேற்காகச் சரியாக அளவிட முடியாத போது அதைக் கண்டறிய விழைகிறார். \(P\) என்ற புள்ளியிலிருந்து குளத்தின் கிழக்குப்பகுதியின் முனை 8 கி.மீ. தொலைவிலும் அதே சமயத்தில் மேற்கு பகுதியின் முனை 6 கி.மீ. தொலைவிலும் உள்ளது மற்றும் \(P\)-ஐயும் கிழக்குப் பகுதியின் முனையை இணைக்கும் கோட்டிற்கும், \(P\)-ஐயும் மேற்கு பகுதியின் முனையையும் இணைக்கும் கோட்டிற்கும் இடைப்பட்டக் கோணம் \(60^\circ\) எனில் குளத்தின் அகலத்தைக் காண்க.

9. கடல் மட்டத்திலிருந்து ஒரே உயரத்தில் வங்காள விரிகுடாவிற்கு மேல் \(A\) மற்றும் \(B\) என்ற இரண்டு கடற்படை ஹெலிகொப்டர்கள் தொடர்ந்து படகுகத் தேடுகின்றன. 10 கி.மீ. இடைவெளியில் ஹெலிகொப்டர்கள் பறக்கும்போது அதன் படகுகள் ஒரே நேரத்தில் அந்தப் படகுகளைப் பார்க்கிறார்கள். \(A\) இலிருந்து படகு 6 கி.மீ. தூரத்தில் உள்ளது. மேலும், கோடுத் துண்டு \(AB\) படகில் தாங்கும் கோணம் \(60^\circ\) எனில், \(B\) இங்கும் படகிற்கும் உள்ள தொலைவைக் காண்க.

10. ஒரு மலை வழியாக ஒரு நீர்த்தேக்கக் குகை அமைக்கையில், மலைக்கு எதிரே உள்ள \(P\) என்ற புள்ளியிலிருந்து மலையின் இரு முனைகள் \(A\) மற்றும் \(B\) கண நிலமளப்பவர் காண்கிறார். \(AP = 3\) கி.மீ, \(BP = 5\) கி.மீ, \(\angle APB = 120^\circ\) எனில் மலைக்குகையின் நீளத்தைக் காண்க.

11. 120 அடி மற்றும் 60 அடி, பக்கங்களின் நீளங்கள் அவற்றிற்கிடைப்பட்ட கோணம் \(60^\circ\) உடைய ஒரு முக்கோண வடிவ நிலத்தை ஒரு விவசாயி வாங்க விரும்புகிறார். ஒரு சதுர அடி நிலத்தின் விலை ₹500 எனில், அந்த நிலத்தை வாங்கத் தேவையான மொத்தத் தொகை எவ்வளவு? மேலும் நிலத்தின் சுற்றளவைக் காண்க.

12. ஒரு போர் ஜெட் விமானம் கிடைமட்டமாகப் பறந்து பூமியிலுள்ள ஒரு சிறு இலக்கைத் தாக்க வேண்டும். அவ்விலக்கை விமானி \(30^\circ\) இருக்கக் கோணத்தில் பார்க்கிறார். 100 கி.மீ. பறந்த பின்பு மீண்டும் அதே இலக்கை \(60^\circ\) இருக்கக் கோணத்தில் பார்க்கும் அந்த நேரத்தில் போர் விமானத்திற்கும் இலக்கிற்கும் உள்ள தொலைவு எவ்வளவு?

13. ஒரு விமானம் ஒரு மைல் கல் விலிருந்து 1 கி.மீ. தூரத்தில் பறக்கிறது. அதே நேரத்தில் மற்றொரு மைல் கல்லுடன் உள்ள தூரம் 2 கி.மீ. இரண்டு மைல் கற்களும் விமானத்துடன் தாங்கும் கோணம் \(45^\circ\) எனில் இரண்டு மைல் கற்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் என்ன?

14. ஒருவன் காலை நடைப்பயிற்சியின் போது \(A\) என்ற புள்ளியில் தொடங்கி \(B\) மற்றும் \(C\) ஆகிய புள்ளிகளுக்குச் சென்று இறுதியில் மீண்டும் \(A\) வை வந்தடைகிறார். முக்கோணம் \(ABC\)-இல் \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\), \(AC = 4\) கி.மீ. எனில், அவர் நடந்த மொத்தத் தொலைவைக் காண்க.

15. இரண்டு வாகனங்கள் ஒரு புள்ளி \(P\) விருந்து ஒரே நேரத்தில் தொடங்கி இரு வெவ்வேறு சாலைகளில் பயணிக்கிறது. ஒரு வாகனம் 60 கிமீ/மணி, மற்றொரு வாகனம் 80 கிமீ/மணி என்ற சராசரி வேகத்தில் பயணிக்கிறது. அரை மணி நேரத்திற்குப் பிறகு அவ்வாகனங்கள் \(A\) மற்றும் \(B\) ஐ அடைகின்றன. கோடு \(AB\) ஆனது \(P\) இல் தாங்கும் கோணம் \(60^\circ\) எனில், \(AB\) ஐக் காண்க.

16. ஒரு செயற்கைக்கோள் ஒரு விண்வெளியில் உள்ளதாகக் கொள்வோம, பூமியிலுள்ள நிலையம் மற்றும் பூமியின் மையம் ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன, பூமியின் ஆரம் \(r\) என்றும் அதன் மையத்திலிருந்து செயற்கைக்கோள் \(R\) தொலைவில் உள்ளது என்றும் கொள்வோம். செயற்கைக்கோளுக்கும் செயற்கைக்கோளின் நிலையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு \(d\) என்க. செயற்கைக்கோள் நிலையத்திலிருந்து செயற்கைக்கோள் \(30^\circ\) ஏற்றக் கோணத்தில் உள்ளது. செயற்கைக்கோள் மற்றும் பூமியிலுள்ள நிலையம் ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு பூமியின் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் \(\alpha\) எனில், \(d = R\sqrt{1 + \left(\frac{r}{R}\right)^2 - 2\frac{r}{R}\cos \alpha}\) என நிறுவுக.

3.9 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் (Inverse Trigonometric Function)#

\(f(x)\) என்ற சார்பு 1-1 மற்றும் மேல் சார்பு என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு நேர்மாறு உண்டு. 1-1 பண்பு இல்லை எனில், அச்சார்புக்கு நேர்மாறு வரையறுக்க இயலாது. எனினும் சார்பகத்தை பொருத்தமாக கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகத்தில் அச்சார்பினை 1-1 சார்பாக மாற்றலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, \(y = x^2\) என்பது அனைத்து மெய்யெண்களுக்கு 1-1 அல்ல, ஆனால் \(x \ge 0\) அல்லது \(x \le 0\) எனில் \(y = x^2\), 1-1 மற்றும் மேல்சார்பு ஆகும். எனவே \(x \ge 0\) விற்கு \(y = x^2\) என்ற சார்பின் நேர்மாறு \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}, x \ge 0\). கால வட்ட ஒழுங்குடையமையால் ஆறு முக்கோண சார்புகளில் எந்தவொரு சார்பிற்கும் அதன் சார்பகத்தில் 1-1 ஆக இருக்காது.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் சார்பகத்தை கட்டுப்படுத்தி அவைகளை ஒன்றிற்கொன்று பெறும்படிச் செய்து நேர்மாறு சார்புகள் இருப்பதை உறுதி செய்யலாம்.

காலவட்ட ஒழுங்குடையையால் கட்டுப்படுத்தலை பல வகையில் செய்யலாம். கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகத்தை முறையாகத் தேர்ந்தெடுப்பது எதேச்சையானது, ஆனால் அவை சில முக்கியமான குணாதிசயங்களைப் பெற்றிருக்கும்.

ஒவ்வொரு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகமும் 0, என்ற எண்ணையும் மற்றும் சில மிகை கோணங்களையும் உள்ளடக்கியதாக இருக்கும் மேலும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகத்தின் பிம்பம் முழுவீச்சகத்தை உள்ளடக்கி இருக்கும்.

சைனின் நேர்மாற்றை நாம் வரையறை செய்வோம். \(f(x) = \sin x\), \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) ஐ கருதுவோம். கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகத்தில் \(\sin x\) ஆனது 1-1 மற்றும் மேல் சார்பு ஆகும். எனவே சைன் சார்புக்கு நேர்மாறு உண்டு.

\(f^{-1}(y) = x\) என இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே \(y = \sin x\) ஆகும் என்பதனை கவனிக்க. \(f^{-1}(y) = \sin^{-1} y = x\) என எழுதுக. இவ்வாறாக \(\sin x = y\) என்னவாறு இருந்தால் மட்டுமே சைனின் நேர்மாறு \(\sin^{-1} y = x\) என வரையறுக்கலாம்.

முதன்மை மதிப்பு (Principal Value)#

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் முதன்மை மதிப்புகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

குறிப்பு: (i) முக்கோணவியல் நேர்மாறு சார்புகளின் பண்புகள், வரைபடங்கள் மற்றும் தேற்றங்கள் ஆகியவற்றை மேல்நிலை இரண்டாம் ஆண்டில் படிப்போம்.

(ii) சில தொகையிடல்களை மதிப்பிட நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. அவற்றைப் பின்பு படிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.72#

(i) \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), (ii) \(\csc^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\), (iii) \(\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) ஆகியவற்றுக்கு முதன்மை மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

(i) \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = y\) என்க. இங்கு \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).

\(\sin y = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow y = \frac{\pi}{3}\) (ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)).

எனவே, \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) இன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.

(ii) \(\csc^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = y\) என்க. இங்கு \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}\).

\(\csc y = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow y = \frac{\pi}{3}\) (ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)).

எனவே, \(\csc^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\) இன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.

(iii) \(\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = y\) என்க. இங்கு \(y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\).

\(\tan y = -\frac{1}{\sqrt{3}} = \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow y = -\frac{\pi}{6}\).

எனவே, \(\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) இன் முதன்மை மதிப்பு \(-\frac{\pi}{6}\) ஆகும்.

பயிற்சி 3.11#

1. (i) \(\sin^{-1}\frac{1}{2}\), (ii) \(\cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}\), (iii) \(\csc^{-1}(-1)\), (iv) \(\sec^{-1}(-\sqrt{2})\), (v) \(\tan^{-1}(\sqrt{3})\) ஆகியவற்றின் முதன்மை மதிப்பைக் காண்க.

2. \(x\) மீட்டர் அகலமுடைய பாதையின் ஒரு புறத்திலிருந்து பாதையின் மறுபக்கம் அமைக்கப்பட்ட \(a\) மீட்டர் விட்டமுடைய வட்ட வடிவப் போக்குவரத்து சமிக்கையின் பச்சை விளக்கை ஒருவர் பார்க்கிறார். பச்சை விளக்கின் அடிப்பகுதியிலிருந்து பார்ப்பவரின் கண்ணின் கிடைமட்டக் கோடு வரையில் உள்ள உயரம் \(b\) மீட்டர் ஆகும். பச்சை விளக்கின் விட்டம் பார்ப்பவரின் கண்களில் தாங்கும் கோணம் \(\alpha\) எனில் \(\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{a+b}{x}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{b}{x}\right)\) என நிறுவுக.

பயிற்சி 3.12#

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

1. \(\cos 80^\circ + \sin 80^\circ\) இன் மதிப்பு

   (1) \(\sqrt{2} \cos 35^\circ\) (2) \(\sqrt{2} \sin 35^\circ\) (3) \(2 \cos 35^\circ\) (4) \(2 \sin 35^\circ\)

2. \(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ = k^3\) எனில், \(\cos 17^\circ\) இன் மதிப்பு

   (1) \(\frac{k}{\sqrt{2}}\) (2) \(-\frac{k}{\sqrt{2}}\) (3) \(\pm \frac{k}{\sqrt{2}}\) (4) \(-\frac{k^3}{\sqrt{2}}\)

3. \(4\sin^2 x + 3\cos^2 x + \frac{\sin x}{2} + \frac{\cos x}{2} + 2\) இன் மீப்பெரு மதிப்பு

   (1) \(4 + \sqrt{2}\) (2) \(3 + \sqrt{2}\) (3) \(9\) (4) \(4\)

4. \((1 + \cos\frac{\pi}{8})(1 + \cos\frac{3\pi}{8})(1 + \cos\frac{5\pi}{8})(1 + \cos\frac{7\pi}{8})\) இன் மதிப்பு

   (1) \(\frac{1}{8}\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (4) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

5. \(\pi < 2\theta < \frac{3\pi}{2}\) எனில், \(\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4\theta}}\) இன் மதிப்பு

   (1) \(-2\cos\theta\) (2) \(-2\sin\theta\) (3) \(2\cos\theta\) (4) \(2\sin\theta\)

6. \(\tan 40^\circ = \lambda\) எனில், \(\tan 140^\circ - \tan 130^\circ\) இன் மதிப்பு

   (1) \(\frac{1-\lambda^2}{2\lambda}\) (2) \(\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\) (3) \(\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\) (4) \(\frac{1-\lambda^2}{\lambda}\)

7. \(\cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \dots + \cos 179^\circ\) இன் மதிப்பு

   (1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) 89

8. \(f_k(x) = \frac{1}{k}[\sin^k x + \cos^k x]\) என்க. இங்கு, \(x \in \mathbb{R}\) மற்றும் \(k \ge 1\) எனில், \(f_4(x) - f_6(x)\) இன் மதிப்பு

   (1) \(\frac{1}{4}\) (2) \(\frac{1}{12}\) (3) \(\frac{1}{6}\) (4) \(\frac{1}{3}\)

9. பின்வருவனவற்றில் எது சரியானதல்ல?

   (1) \(\sin \theta = -\frac{3}{4}\) (2) \(\cos \theta = -1\) (3) \(\tan \theta = 25\) (4) \(\sec \theta = \frac{1}{4}\)

10. \(\cos^2\theta\cos^2\phi + \sin^2(\theta-\phi) - \sin^2(\theta+\phi)\) இன் மதிப்பு

    (1) \(\sin^2(\theta+\phi)\) (2) \(\cos^2(\theta+\phi)\) (3) \(\sin^2(\theta-\phi)\) (4) \(\cos^2(\theta-\phi)\)

11. \(\frac{\sin(A-B) + \sin(B-C) + \sin(C-A)}{\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A}\) இன் மதிப்பு

    (1) \(\sin A + \sin B + \sin C\) (2) 1 (3) 0 (4) \(\cos A + \cos B + \cos C\)

12. \(\cos p\theta + \cos q\theta = 0\), \(p \neq q\), \(n\) ஏதேனும் ஒரு முழு எண் எனில் \(\theta\)-வின் மதிப்பு.

    (1) \(\frac{\pi(3n+1)}{p\pm q}\) (2) \(\frac{\pi(2n+1)}{p\pm q}\) (3) \(\frac{\pi(n\pm1)}{p\pm q}\) (4) \(\frac{\pi(n+2)}{p+q}\)

13. \(x^2 + ax + b = 0\) இன் மூலங்கள் \(\tan \alpha\) மற்றும் \(\tan \beta\) எனில், \(\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\)

    (1) \(\frac{b}{a}\) (2) \(\frac{a}{b}\) (3) \(-\frac{a}{b}\) (4) \(-\frac{b}{a}\)

14. \(\triangle ABC\) இல் \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2\) எனில், அந்த முக்கோணமானது

    (1) சமபக்க முக்கோணம் (2) இருசமபக்க முக்கோணம் (3) செங்கோண முக்கோணம் (4) அசமபக்க முக்கோணம்

15. \(f(\theta) = |\sin\theta| + |\cos\theta|\), \(\theta \in \mathbb{R}\) எனில், \(f(\theta)\) அமையும் இடைவெளி,

    (1) \([0, 2]\) (2) \([1, \sqrt{2}]\) (3) \([1, 2]\) (4) \([0, 1]\)

16. \(\frac{\cos^6 x + 6\cos^4 x + 15\cos^2 x + 10}{\cos^5 x + 5\cos^3 x + 10\cos x}\) இன் மதிப்பு

    (1) \(\cos 2x\) (2) \(\cos x\) (3) \(\cos 3x\) (4) \(2\cos x\)

17. மாறாத சுற்றளவு 12 மீ கொண்ட முக்கோணத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவானது,

    (1) 4 மீ பக்கத்தினைக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணமாக அமையும்.

    (2) 2 மீ, 5 மீ மற்றும் 5 மீ பக்கங்களைக் கொண்ட இருசமபக்க முக்கோணமாக அமையும்.

    (3) 3 மீ, 4 மீ மற்றும் 5 மீ பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணமாக அமையும்.

    (4) முக்கோணம் அமையாது.

18. ஒரு சக்கரமானது 2 ஆரையன்கள் அளவில் / விகலைகள் சுழல்கிறது. எனில், 10 முழு சுற்று சுற்றுவதற்கு எத்தனை விகலைகள் எடுத்துக் கொள்ளும்?

    (1) \(10\pi\) விகலைகள் (2) \(20\pi\) விகலைகள் (3) \(5\pi\) விகலைகள் (4) \(15\pi\) விகலைகள்

19. \(\sin\alpha + \cos\alpha = b\) எனில், \(\sin 2\alpha\) இன் மதிப்பு

    (1) \(b \le \sqrt{2}\) எனில், \(b^2 - 1\) (2) \(b > \sqrt{2}\) எனில், \(b^2 - 1\) (3) \(b \ge 1\) எனில், \(b^2 - 1\) (4) \(b \ge \sqrt{2}\) எனில், \(b^2 - 1\)

20. \(\triangle ABC\) இல் (i) \(\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} > 0\) (ii) \(\sin A \sin B \sin C > 0\)

    (1) (i) மற்றும் (ii) ஆகிய இரண்டும் உண்மை.

    (2) (i) மட்டுமே உண்மை.

    (3) (ii) மட்டுமே உண்மை.

    (4) (i) மற்றும் (ii) ஆகிய இரண்டும் உண்மையில்லை.

பாடத்தொகுப்பு (Summary)#

கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முற்றொருமைகள் (தால்மியின் முற்றொருமைகள்)#

இருமடங்கு மற்றும் மும்மடங்குக் கோண முற்றொருமைகள்#

அரைக்கோண முற்றொருமைகள்#

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் பொதுத் தீர்வுகள்#

முக்கோண விதிகள்#

முக்கோணத்தின் இதர சூத்திரங்கள்#

\(\triangle ABC\)-இல், நமக்கு கிடைப்பது,

(i) \(a = b\cos C + c\cos B\), \(b = c\cos A + a\cos C\) மற்றும் \(c = a\cos B + b\cos A\) (வீழல் சூத்திரம்)

(ii) \(\Delta = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\) (முக்கோணத்தின் பரப்பு)

(iii) \(\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) (ஹிரான்ஸ் சூத்திரம்)

(iv) \(\sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\), \(\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\), \(\tan\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)

இங்கு, \(s\) என்பது \(\triangle ABC\) -இன் அரைச்சுற்றளவு, அதாவது \(s = \frac{a+b+c}{2}\) (அரைக்கோண சூத்திரங்கள்)