two-dimensional-analytical-geometry

    அத்தியாயம் 6: இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல்#

    “எனது ஆற்றல்கள் சாதாரணமானவைதாம், என் செயல்களே வெற்றியைத் தேடி தருகின்றன.”

    • சர் ஐசக் நியூட்டன்

    6.1 அறிமுகம்#

    பிரான்காஸ் வியேட் (Francois Viete-1540-1603) என்பவர் முதல்முதலில் முறையான இயற்கணித குறியீடுகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைச் சமன்பாடுகளின் கருத்தாக்கத்தில் (Theory of Equation) அறிமுகப்படுத்தினார். 1630-களில் பிரஞ்சு நாட்டின் கணித மேதைகளும்-தத்துவ அறிஞர்களுமான ரெனே டெஸ்கார்டேஸ் மற்றும் பியரி டி ஃபெர்மா இருவரும் பிரான்காஸ் வியேட்டின் இயற்கணிதத்தைத் தழுவிய பகுமுறை வடிவியலை தனித்தனியாக கண்டறிந்தார்கள். டெஸ்கார்டேஸ் அவர்கள் பகுமுறை வடிவியலானது “இயற்கணித சூத்திரங்களை படமாக சித்தரிப்பதற்கான வழிமுறையாகவும் மற்றும் ஆயத்தொலை அமைப்பானது “புள்ளிகளை ஒரு தளத்தில் குறிப்பதற்கான வழிமுறையாகவும்” மேம்படுத்தினார். இயற்கணிதத்தை வடிவியலுடன் தொடர்புபடுத்தியதே அவருடைய அரிய சாதனையாகும். இயற்கணித சமன்பாடுகளை வடிவியலில் உள்ள வடிவங்களைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு எழுதி விவரிக்கலாம் என்பதை விரிவாக விளக்கினார். பகுமுறை வடிவியல்’ என்பது டெஸ்கார்டேஸ் பெயரில் “கார்டீசியன் வடிவியல்” (Cartesian Geometry) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

    17ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து கணிதவியலானது அடிப்படை அல்லது தூய கணிதம் (pure mathematics) மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம் (applied mathematics) என இருபெரும் திசைகளில் வளர்ச்சியடைந்து வருகிறது. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், ஒரு நேர்க்கோட்டில் இயங்கும் ஒரு பொருளின் இயக்கம் பற்றி பயன்பாட்டுக் கணிதத்தில் முதன்முதலில் கண்டறியப்பட்ட பகுதியாகும். வணிகம், பொருளாதாரம், சமூக அறிவியல், இயற்பியல் மற்றும் மருத்துவம் ஆகிய துறைகளில் நேர்க்கோட்டின் வரைபடங்கள் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. அடிப்படை வடிவியலில் மிகக் குறைந்த நீளம் சார்ந்த கோடுகள் மிக முக்கியப் பங்காற்றுவது மட்டுமல்லாமல் வரலாற்று முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகவும் கருதப்படுகிறது.

    அன்றாட வாழ்வில் நடைபெறும் ஒவ்வொரு செயல்பாட்டினையும் கணித மொழிக்கு மாற்றி அமைப்பதே நமது முதல் பணியாகும். கணித மாதிரிகளை உருவாக்கப் பல உத்திகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு ஒருபடி சமன்பாடுகளை உருவாக்குவது மற்றும் அவற்றைப் பொருத்தமான கணித உத்திகளைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் காண்போம். கீழே விளக்கப்பட்டுள்ள சில நடைமுறை கணக்குகளைப் பார்ப்போம்.

    நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.1 ஒரு மாணவன், அவனுடைய வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்குச் சராசரியாக மணிக்கு 6 கி.மீ. வேகத்தில் நடந்து சென்றால் பள்ளி தொடங்குவதற்கு 10 நிமிடம் முன்னதாகப் பள்ளியைச் சென்றடைகிறான். அதே வேளையில், சராசரியாக மணிக்கு 4 கி.மீ வேகத்தில் நடந்து செல்லும்போது 5 நிமிடம் தாமதமாகப் பள்ளியைச் சென்றடைகிறான். அம்மாணவன் தினமும் காலை 8.00 மணிக்கு வீட்டிலிருந்து பள்ளிக்குப் புறப்பட்டுச் சென்றால் பின்வரும் வினாக்களுக்கு எவ்வாறு விடைகாணலாம்.

    (i) அவனுடைய வீட்டிற்கும் பள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு (ii) சரியான நேரத்திற்கு அவன் பள்ளிக்குச் செல்ல ஆகும் குறைந்தபட்ச சராசரி வேகம் மற்றும் மாணவன் பள்ளியைச் சென்றடைய ஆகும் நேரம் (iii) பள்ளி தொடங்கும் நேரம் (iv) மாணவன் நடந்து செல்லும் பாதையின் இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடு (இரு நேரக்கோடுகளின் சேர்ப்புச் சமன்பாடு)

    நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.2 A மற்றும் B ஆகிய இரு கிராமங்களுக்குச் சிறப்பான மின்சாரம் அளிக்க ஒரு துறை மின் நிலையத்தை l என்ற சாலையில் அமைப்பதற்காக அரசு திட்டமிட்டுள்ளது. A மற்றும் B ஆகிய கிராமங்களுக்கும் l என்ற சாலையிலுள்ள முறையே P மற்றும் Q என்ற செங்குத்து அடி புள்ளிகளுக்கும் இடையே உள்ள தொலைவுகள் முறையே 3 கிமீ மற்றும் 5 கிமீ ஆகும். P மற்றும் Q இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு 6 கிமீ எனில், (i) இரு கிராமங்களை துறை மின்நிலையத்துடன் இணைக்கும் கம்பியின் மிகக் குறைந்த நீளம் (கிராமங்களையும் துறை மின்நிலையத்தையும் இணைக்கும் சாலைகள்) மற்றும் (ii) மின் கம்பி செல்லும் பாதையின் சமன்பாடுகள் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடலாம்.

    படம் 6.1

    நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.3 உள்ளீடற்ற உருளை வடிவக் கலனின் வெளிப்புறத்தின் அடிப்பகுதியில் இருந்து 4 செமீ உயரத்தில் ஒரு எறும்பு உள்ளது. அதற்கு நேரெதிரே கலனின் உட்புறத்தில் மேல்பகுதியிலிருந்து 3 செமீ கீழே தேன் துளி ஒன்று உள்ளது. எறும்பு தேன் துளியை அடைய நகர்ந்து செல்லும் மிகக் குறைந்த தூரம் என்னவாக இருக்கும்? எறும்பு நகர்ந்து செல்லும் பாதையின் சமன்பாடு என்னவாக இருக்கும்? (படம் 6.2 -ல் எறும்பு மற்றும் தேன் துளி உள்ள இடங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளன.)

    படம் 6.2

    நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு 6.4 ஒரு குறிப்பிட்ட வகை குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ₹8 ஆக இருக்கும் போது 22,000 குறுந்தகடுகளை வாடிக்கையாளர்கள் வாங்குவார்கள். ஒரு குறுந்தகட்டினை ₹30 அல்லது அதற்கு மேல் விலை கொடுத்து வாங்க மாட்டார்கள். அதே சமயத்தில் ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹6 அல்லது அதற்குக் குறைவாக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளர் விற்பனை செய்ய மாட்டார். இருப்பினும், குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ₹14 ஆக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளரால் 24,000 குறுந்தகடுகளை வழங்க இயலும். தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவுகள், விலைக்கு நேர்விகித சமமாக எடுத்துக்கொண்டால் பின்வருவனவற்றை எவ்வாறு காணலாம்.

    (i) தேவைச் சமன்பாடு (Demand Equation) (ii) வழங்கல் சமன்பாடு (Supply Equation) (iii) சந்தை சமநிலையில் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் விலை (iv) ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹10 எனில் தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவு.

    மேலே விளக்கப்பட்டுள்ள நேரேட்டுக் கணக்குகளின் சமன்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை தீர்வுகளை மட்டும் அளிக்காமல், அவற்றிலிருந்து மேலும் பல தகவல்களை நாம் தெரிந்து கொள்வதற்கும் உதவுகிறது. நேர்கோடுகள் பற்றிய கருத்தாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்குறிப்பிட்ட வகை கணக்குகளின் தீர்வுகளை பின்னர் இப்பாடப்பகுதியில் காணலாம். நேர்கோட்டைப் பற்றி புரிந்துகொள்ள, நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய சில அடிப்படை கருத்துக்களை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியமாகிறது. அவை பற்றி இனி விரிவாக விவாதிக்கலாம்.

    கற்றலின் நோக்கங்கள் (Learning objectives)#

    இந்த இயலைப் படித்தபின் மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகள்

    • வெவ்வேறு வழிகளில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுதல்
    • கொடுக்கப்பட்ட இரு நேர்க்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனக் கண்டறிதல்
    • கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிலிருந்து குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு உள்ள தூரத்தைக் காணல் மற்றும் இரு இணை கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் காணல்.
    • கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின்படி நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடு தொகுதிகளை (Family of Straight Lines) காணல்
    • இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடுகள், அவற்றுக்கிடைப்பட்ட கோணம், மற்றும் அவற்றின் கோண இருசமவெட்டிகள் ஆகியவற்றைக் கண்டறிதல்

    6.2 ஒரு புள்ளியின் நியமப்பாதை (Locus of a point)#

    வரையறை 6.1#

    ஒரு புள்ளி (point) என்பது ஒரு தளத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தை (location) குறிப்பதாகும். புள்ளியானது ஒரு பொருளையோ அல்லது வடிவத்தையோ குறிப்பதல்ல.

    இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியலில் புள்ளிகளை ஆயத்தொலை அமைப்பு முறையில் மெய்யெண்களின் வரிசைமாற்றப்பட்ட சோடிகளாக அதாவது \( (x, y) \) எனக் குறிப்பிடுகிறோம். பொதுவாக, கிடைமட்டக் கோட்டை \( x \) -அச்சு எனவும் \( x \) -அச்சுக்கு செங்குத்தான கோட்டை \( y \) -அச்சு எனவும் அமைக்கிறோம். இவ்விரு அச்சுகளின் வெட்டும் புள்ளியை ஆதிப்புள்ளி அல்லது ஆதி என அமைக்கிறோம். ஒரு தளத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \( P \)-ஐ ஒரு தனித்த வரிசைமாற்றப்பட்ட சோடி \( (x, y) \) எனக் குறிப்பிடலாம். இங்கு \( x \) என்பது புள்ளி \( P \)-க்கும் \( y \)-அச்சுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு ஆகும். தொலைவு மற்றும் \( y \) என்பது புள்ளி \( P \)-க்கும் \( x \)-அச்சுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு ஆகும். \( y \)-அச்சின் இடப்புறத்தில் \( x \) குறை மதிப்பு கொண்டதாகவும் இதேபோன்று, \( x \)-அச்சிற்குக் கீழ்புறம் \( y \) குறை மதிப்பாக இருக்கும். பயன்பாட்டின்போது \( x \) மற்றும் \( y \)-க்குப்பதிலாக வேறு எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தலாம். மேலும், அச்சுகளுக்கு வெவ்வேறு அளவுத்திட்டங்களையும் பயன்படுத்தலாம்.

    வரையறை 6.2#

    ஒரு புள்ளியானது சில குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு இயங்கும்போது, அப்புள்ளி நகர்ந்து செல்லும் பாதை அதன் நியமப்பாதை (Locus) எனப்படும்.

    கீழ்காணும் விளக்க எடுத்துக்காட்டுகளில் நியமப்பாதை மற்றும் அதன் பயன்களைப் பற்றியும் அறியலாம்.

    விளக்க எடுத்துக்காட்டு 6.1 கிரிக்கெட் விளையாட்டில் பந்து வீசுபவர், ஒரு பந்தை வீசும்போது அப்பந்து செல்லும் பாதை அதன் நியமப்பாதையாகும். பந்து வீசுபவர் மூலம் வீசிய பந்தை மட்டையாளர் காலில் தடுத்தாடும்போது, பந்து வீசும் அணியினருக்கும் மட்டையாளருக்கும், இடையே ஏற்படும் பிரச்சனைக்கு (LBW) தீர்வுகான மூன்றாவது நடுவரின் முடிவுக்கு விடப்படும். அவர் பந்து செல்லும் பாதையைத் திரையில் மெதுவாக இயக்கச் செய்து அப்பந்து மட்டையாளர் காலில் பட்டு பின்னர் ஸ்டம்பில் பட வாய்ப்பு உள்ளதா எனச் சரிபார்த்து பின்னர் சரியான முடிவினை அறிவிப்பார். இங்கு பந்து புள்ளியாகவும் அப்பந்து செல்லும் பாதை நியமப்பாதையாகவும் கருதப்படுகிறது. இம்முறையானது அகில உலகக் கிரிக்கெட் போட்டிகளில் தற்போது அனுமதிக்கப்படுகிறது.

    படம் 6.3

    https://www.hawkeyeinnovations.com/sports என்ற இணையதளத்தில் காணலாம்.

    விளக்க எடுத்துக்காட்டு 6.2 P என்ற ஒரு புள்ளியானது ஒரு வட்டத்தின் விளிம்பில் உள்ளது என்க. அந்த வட்டமானது ஒரு நேர்க்கோட்டின் மீது சறுக்கி (நழுவி) செல்லாமல் உருண்டு செல்கிறது. அவ்வாறு உருண்டு செல்லும்போது வட்டத்தின் விளிம்பில் உள்ள P என்ற புள்ளி உருவாக்கும் நியமப்பாதையை உருள்வளை (cycloid) என அழைக்கலாம். இவ்வளைவரையை www.mathworld. wolfram.com/cycloid மற்றும் www.geogebra.org/b/bd2ADw2I என்ற வளளதளத்தில் காணலாம்.

    படம் 6.4

    விளக்க எடுத்துக்காட்டு 6.3 ஒரு இலக்கைத் தாக்குவதற்கு இராணுவக் கப்பலில் இருந்து ஒரு ஏவுகணை ஏவப்படுகிறது. எதிர்வரும் ஏவுகணையை இடமறித்து அழிக்கத் தரையில் இருந்து மற்றொரு ஏவுகணை ஏவப்படுகிறது. ஏவுகணைகளின் நியமப்பாதைகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. இது போன்ற நிகழ்வுகள் பல போர்களில் முன் கூட்டியே துல்லியமாக நடைமுறைப்படுத்த நியமப்பாதையின் கருத்தாக்கம் மிக முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. வளைகுடாப் போரின் (2 ஆகஸ்ட் 1990 முதல் 28 பிப்ரவரி 1991 முடிய) போது இஸ்ரேலின் நகரங்களை ஈராக் ஸ்கட் (Scud) ரக ஏவுகணைகளைக் கொண்டு தாக்கியது. அவற்றை இடமறித்து அழிக்க இஸ்ரேல் பேட்ரியாட் (Patriot) ரக ஏவுகணைகளைப் பயன்படுத்தியது.

    படம் 6.5

    உலக அரங்கில் விண்ணவளி ஆராய்ச்சியாளர்கள் செயற்கைக் கோளை வெற்றிகரமாக விண்ணில் செலுத்துவதற்கும் அதன் சுற்று வட்டப் பாதையில் நிலை நிறுத்துவதற்கும் நியமப்பாதையின் கருத்தாக்கம் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது.

    \( x \) மற்றும் \( y \) என்ற இரு மாறிகளைக் கொண்ட சமன்பாட்டைச் சாதாரணமாக \( x \) மற்றும் \( y \) ஆகிய மெய் மதிப்புகளைக் கொண்ட எண்ணற்ற ஜோடிகள் நிறைவு செய்கின்றன. நிறைவு செய்யும் ஒவ்வொரு ஜோடியும் அச்சமன்பாட்டின் மெய்யெண் தீர்வு எனப்படும். சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு மெய்யெண் தீர்வும் அதனுடைய வரைபடத்தைப் பெற்றிருக்கும். இவ்வரைபடங்களின் தொகுப்பு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் நியமப்பாதை எனப்படும்.

    கணிதத்தில் உள்ள சில முக்கிய நியமப்பாதைகள் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

    கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு நகரும் புள்ளி Pவரைபடம்பாதையின் பெயர்
    P என்ற ஒரு புள்ளி ஆனது இரு நிலையான புள்ளிகள் A மற்றும் B ஆகியவற்றிற்கு சமதூரத்தில் இருக்கும்படி நகர்கிறது.
    படம் 6.6
    		AB என்ற கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்து இருசமவெட்டி ஆகும்.
    P என்ற ஒரு புள்ளி ஆனது இரண்டு நிலையான கோடுகள் \(Ox\) மற்றும் \(Oy\) ஆகியவற்றுக்குச் சமதூரத்தில் இருக்கும்படி நகர்கிறது.
    படம் 6.8
    		\(xOy\) என்ற கோணத்தின் இருசமவெட்டி ஆகும்.
    படம் 6.7
    		வட்டம்

    ஒரு புள்ளியின் நியமப்பாதையைக் காணும் வழிமுறைகளைப் பற்றி இங்கு விவாதிக்கலாம். நியமப்பாதையின் சமன்பாடு என்பது அப்பாதையில் அமைந்துள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு ஆகும்.

    ஒரு புள்ளியின் நியமப் பாதையின் சமன்பாடு காணும் செயல்முறைகள்

    (i) \( P \) என்ற புள்ளியின் நியமப் பாதையைக் காண வேண்டும் எனில் புள்ளி \( P \)-ன் ஆயக்கூறுகளை \( (h, k) \) என எடுத்துக் கொள்க. (ii) தெரிந்த அளவுகளையும் மற்றும் தெரியாத துணையலகுகளையும் (Parameter) பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை சமன்பாடுகளாக எழுதுக. (iii) தெரியாத துணையலகுகளை நீக்கி \( h, k \) மற்றும் தெரிந்த அளவுகள் மட்டும் இருக்குமாறு சமன்பாட்டைக் காண்க. (iv) கிடைக்கும் சமன்பாட்டில் \( h \)-க்கு பதிலாக \( x \) மற்றும் \( k \)-க்கு பதிலாக \( y \) எனப் பிரதியிடக் கிடைக்கும் சமன்பாடு புள்ளி \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாடாகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.1 \( x \)-அச்சிலிருந்து உள்ள தொலைவானது \( y \)-அச்சிலிருந்து உள்ள தொலைவுக்கு சமமாக இருக்குமாறு நகரும் ஒரு புள்ளியின் நியமப்பாதையைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \( P(h,k) \) என்பது நியமப்பாதையின் மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. புள்ளி \( P \)-விருந்து \( x \) மற்றும் \( y \)-அச்சுகளுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகளின் அடிப்புள்ளிகள் முறையே A, B என்க. புள்ளி \( P \) என்பது \( (OA, OB) = (BP, AP) = (h,k) \) கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி,

    \[ AP = BP \Rightarrow k = h \]

    \( h = x \) மற்றும் \( k = y \) ஐப் பிரதியிட

    \[ y = x \]

    \( P \)-ன் நியமப்பாதை \( y = x \) என்ற ஆதி வழியே செல்லும் கோடாகும்.

    படம் 6.9

    எடுத்துக்காட்டு 6.2 \( \left(ct, \frac{c}{t}\right) \) என்ற புள்ளி நகர்வதால் உண்டாகும் பாதையைக் காண்க. \( t \neq 0 \) என்பது துணையலகு மற்றும் \( c \) என்பது ஒரு மாறிலியாகும்.

    தீர்வு:

    தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \( P(h,k) \) என்க. கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, \( h = ct \) மற்றும் \( k = \frac{c}{t} \) ஆகும். இவ்விரு சமன்பாடுகளைப் பெருக்கி \( t \)-ஐ நீக்கலாம்.

    \[ (h)(k) = (ct)\left(\frac{c}{t}\right) \Rightarrow hk = c^2 \]

    \( h = x \) மற்றும் \( k = y \) எனப் பிரதியிட

    \[ \therefore \text{தேவையான நியமப்பாதையின் சமன்பாடு } xy = c^2 \]

    எடுத்துக்காட்டு 6.3 \( A(1,0) \) மற்றும் \( B(5,0) \) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து சமதூரத்திலிருக்குமாறு நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு:

    கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள் \( A(1,0) \) மற்றும் \( B(5,0) \) ஆகும். \( P(h,k) \) என்பது தேவையான பாதையின் மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி, \( AP = BP \) அதாவது,

    \[ \sqrt{(h-1)^2+(k-0)^2}=\sqrt{(h-5)^2+(k-0)^2} \]

    \[ \Rightarrow (h-1)^2 = (h-5)^2 \]

    \[ \Rightarrow h^2-2h+1 = h^2-10h+25 \]

    \[ \Rightarrow 8h = 24 \Rightarrow h = 3 \]

    எனவே, புள்ளி \( P(h,k) \)-ன் நியமப்பாதை, \( x = 3 \) இது \( y \)-அச்சிற்கு இணையாக உள்ள நேர்க்கோடு ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.4 \( (a \sec \theta, b \tan \theta) \) என்ற நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு \( \theta \) என்பது துணையலகு ஆகும்.

    தீர்வு:

    \( P(h,k) \) என்பது தேவையான பாதையின் மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி

    \[ \begin{align*} h &= a \sec \theta \quad \text{மற்றும் } k = b \tan \theta \\ \frac{h}{a} &= \sec \theta, \quad \frac{k}{b} = \tan \theta \end{align*} \]

    முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, துணையலகு \( \theta \)-ஐ நீக்கலாம்.

    \[ \begin{align*} \left(\frac{h}{a}\right)^2 - \left(\frac{k}{b}\right)^2 &= \sec^2\theta - \tan^2\theta \\ &= 1 \\ \Rightarrow \frac{h^2}{a^2} - \frac{k^2}{b^2} &= 1 \end{align*} \]

    \( P(h,k) \) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \). https://www.geogebra.org/geometry

    குறிப்பு: துணையலகானது முக்கோணவியல் அமைப்பில் இருப்பின் கீழ்க்காணும் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி துணையலகுகளை நீக்கலாம்.

    \[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1, \quad \csc^2\theta - \cot^2\theta = 1 \]

    எடுத்துக்காட்டு 6.5 நீளம் 6 அலகுகள் கொண்ட ஒரு நேரான கம்பியின் முனைகள் A மற்றும் B ஆனது எப்போதும் \( x \) மற்றும் \( y \)-அச்சுகளைத் தொடுமாறு நகர்கிறது. O-ஐ ஆதியாகக் கொண்ட \( \triangle OAB \) என்ற முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளியின் (centroid) நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \( P(h,k) \) என்பது தேவையான பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. \( O, A \) மற்றும் \( B \) ஆகிய புள்ளிகளின் ஆயக் கூறுகள் முறையே \( (0, 0), (a,0) \) மற்றும் \( (0, b) \) என்க.

    \[ \triangle OAB \text{ -ன் நடுப்புள்ளி} \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + b}{3} \right) = (h,k). \]

    \[ \therefore \frac{a}{3} = h \Rightarrow a = 3h, \quad \frac{b}{3} = k \Rightarrow b = 3k \]

    செங்கோணம் \( \triangle BOA \)-விருந்து

    \[ OA^2 + OB^2 = AB^2 \]

    \[ (3h)^2 + (3k)^2 = (6)^2 \Rightarrow 9h^2 + 9k^2 = 36 \Rightarrow h^2 + k^2 = 4 \]

    எனவே, \( P(h,k) \) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை, \( x^2 + y^2 = 4 \).

    படம் 6.11

    எடுத்துக்காட்டு 6.6 நகரும் புள்ளியின் ஆயக்கூறு \( (a(\theta - \sin\theta), a(1-\cos\theta)) \) இங்கு \( \theta \) என்பது துணையலகு எனில், இப்புள்ளி நகரும் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு:

    \( P(h,k) \) என்பது தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.

    \[ h = a(\theta - \sin\theta) \quad \dots (6.1) \]

    \[ k = a(1 - \cos\theta) \quad \dots (6.2) \]

    மேற்கண்ட சமன்பாடு (6.2) இலிருந்து \( \theta \) மற்றும் \( \sin\theta \) மதிப்புகளைக் காணலாம்.

    \[ \begin{aligned} k &= a(1 - \cos\theta) \\ \cos\theta &= 1 - \frac{k}{a} \Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(1 - \frac{k}{a}\right) \\ \sin\theta &= \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(1 - \frac{k}{a}\right)^2} = \sqrt{\frac{2k}{a} - \frac{k^2}{a^2}} \end{aligned} \]

    \( \theta \) மற்றும் \( \sin\theta \) மதிப்புகளை சமன்பாடு (6.1) இல் பிரதியிட,

    \[ h = a\left[\cos^{-1}\left(1 - \frac{k}{a}\right) - \sqrt{\frac{2k}{a} - \frac{k^2}{a^2}}\right] \]

    \[ \Rightarrow h = a\cos^{-1}\left(1 - \frac{k}{a}\right) - \sqrt{2ak - k^2} \]

    எனவே, \( P \) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை,

    \[ x = a\cos^{-1}\left(1 - \frac{y}{a}\right) - \sqrt{2ay - y^2} \qquad (6.3) \]

    https://www.geogebra.org/b/bd2ADu2H#material/zCKMj8kE

    குறிப்பு: மேற்கூறிய சமன்பாடானது துணையலகு வடிவத்திலிருந்து கார்டீசியன் வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட்டுள்ளது. ஆனால் சில நேரங்களில் கார்டீசியன் வடிவத்தைவிடத் துணையலகு வடிவமே கையாள்வதற்கு எளிதாகப் பயன்படுகிறது.

    பயிற்சி 6.1#

    1. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஆயத்தொலைவுகளை உடைய நகரும் புள்ளி \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு \( \alpha \) ஒரு துணையலகு ஆகும். (i) \( (9 \cos\alpha, 9 \sin\alpha) \) (ii) \( (9 \cos\alpha, 6 \sin\alpha) \)

    2. (i) \( x \)-அச்சிலிருந்து இரண்டு அலகுகள் மற்றும் (ii) \( y \)-அச்சிலிருந்து மூன்று அலகுகள் என்ற மாறாத தொலைவில் நகும் புள்ளி \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    3. \( \theta \) ஒரு துணையலகு எனில், \( x = a \cos^3\theta, y = a \sin^3\theta \) ஆகிய ஆயத்தொலைவுகளை உடைய நகும் புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    4. \( x^2 - 5x + ky = 0 \) என்ற நியமப்பாதையின் மீது புள்ளிகள் \( P(-3,1) \) மற்றும் \( Q(2,b) \) அமையும் எனில் \( k \) மற்றும் \( b \)-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.

    5. 8 அலகுகள் நீளமுள்ள ஒரு நேரான கம்பியின் முனைகள் A மற்றும் B ஆகியவை முறையே எப்போதும் \( x \) மற்றும் \( y \)-அச்சுகளைத் தொடுமாறு நகர்ந்து கொண்டு இருக்கிறது, எனில் வெட்டுத்துண்டு \( AB \)-ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    6. \( (3, 5) \) மற்றும் \( (1,-1) \) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 20-க்கு சமம் எனில் அப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    7. \( A(1,-6) \) மற்றும் \( B(4,-2) \) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் \( AB \) கோட்டுத்துண்டானது புள்ளி \( P \)-ல் தாங்கும் கோணம் செங்கோணம் எனில், புள்ளி \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    8. ஆதிப்புள்ளி \( O \) என்க. \( y^2 = 4x \) என்ற வளைவரையின் மீது மாறும் புள்ளி \( R \) அமைந்துள்ளது எனில் கோட்டுத்துண்டு \( OR \)-ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    9. நகரும் புள்ளி \( P \)-ன் ஆயக் கூறுகள் \( \left(a(\csc\theta + \sin\theta), b(\csc\theta - \sin\theta)\right) \) எனில், \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாடு \( b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \) எனக் காட்டுக. இங்கு \( \theta \) என்பது ஒரு துணையலகு மாறி ஆகும்.

    10. \( Q \) என்ற புள்ளி \( 2x^2 + 9y^2 = 18 \) என்ற வளைவரையின் மீது அமைந்துள்ளது. \( P(2,-7) \) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி எனில் கோட்டுத்துண்டு \( PQ \)-ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    11. \( R \) மற்றும் \( Q \) என்பன முறையே \( x \) மற்றும் \( y \)-அச்சுகளின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள், \( P \) என்ற நகரும் புள்ளி \( RQ \)-ன் மேல் உள்ளது. மேலும் \( RP = b, PQ = a \) என்றவாறு \( RQ \)-ன் மீது அமைந்துள்ள நகரும் \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    12. \( P(6,2) , Q(-2,1) \) மற்றும் \( R \) என்பன \( \triangle PQR \)-ன் முனைப் புள்ளிகள் மற்றும் நியமப்பாதை \( y = x^2 - 3x + 4 \) -ன் மீது \( R \) என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது எனில், \( \triangle PQR \)-ன் மையக்கோட்டுச் சந்தியின் (Centroid) நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    13. \( x^2 + y^2 + 4x - 3y + 7 = 0 \) என்ற நியமப்பாதையின் மீது \( Q \) என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது. \( P \) என்ற புள்ளி கோட்டுத்துண்டு \( OQ \)-ஐ வெளிப்புறமாக \( 3:4 \) என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் எனில் புள்ளி \( P \)-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு \( O \) என்பது ஆதிப்புள்ளியாகும்.

    14. கொடுக்கப்பட்ட \( P(5,1) \) புள்ளிக்கு 5 அலகுகள் மற்றும் \( x \)-அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தூரம் கொண்ட ஒரு நியமப்பாதையின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் எத்தனை? மேலும் அப்புள்ளிகளைக் காண்க.

    15. \( (-4, 0) \) மற்றும் \( (4,0) \) ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் கூடுதல் எப்போதும் 10 அலகுகள் எனில், நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    6.3 நேர்க்கோடுகள் (Straight Lines)#

    நேரிய சமன்பாடுகளை இயற்கணித அடிப்படை விதிகளைப் பயன்படுத்திப் பல்வேறு வடிவங்களில் எழுதலாம். இதுபோன்ற நேரிய சமன்பாடுகளைப் பெரும்பாலும் ”நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்” எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. நேரிய சமன்பாடுகளின் பொது வடிவத்தை

    \[ ax + by + c = 0 \qquad \dots (6.4) \]

    என எழுதலாம். இங்கு \( a \) மற்றும் \( b \) இவற்றில் குறைந்தது ஒன்றாவது பூச்சியமற்றதாக இருக்கவேண்டும். ஓர் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அனைத்தும் ஒரு தளத்தின் ஒரு நேர்க்கோட்டில் அமைந்ததால் அந்தச் சமன்பாட்டை “நேரிய (Linear)” சமன்பாடு எனக் குறிப்பிடலாம்.

    ஒரு நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பல வடிவங்களில் இயற்கணித அடிப்படை விதிகளைக் கொண்டு மாற்றி எழுத முடியும். இவ்வடிவங்களின் பெயர்கள், அதை எழுதுவதற்குத் தேவையான தகவல்களின் அடிப்படையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றில் புள்ளிகள் (Points), சாய்வு (Slope) மற்றும் வெட்டுத்துண்டுகள் (Intercepts) ஆகியவை முக்கியத் தகவல்களாகும்.

    6.3.1 ஒரு நேர்க்கோட்டின் சாய்வுக் கோணத்திற்கும் சாய்வுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு (The relationship between the angle of inclination and slope)#

    படம் 6.13

    வரையறை 6.4#

    ஒரு நேர்க்கோட்டின் சாய்வு (slope) என்பது திசை மற்றும் சரிவு ஆகியவற்றைக் குறிக்கும் ஒரு எண் ஆகும்.

    \( x \) மற்றும் \( y \)-அச்சுகளைக் கொண்ட தளத்தில் ஒரு கோட்டின் சாய்வு பொதுவாக \( m \) என்ற எழுத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இந்தச் சாய்வு கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு காணலாம்.

    (i) ஒரு கோடு கடிகார எதிர் திசையில் \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் \( \theta \) எனில் கோட்டின் சாய்வு (slope)

    \[ m = \tan \theta \]

    இங்கு \( \theta = \frac{\pi}{2} \) எனும்போது \( \tan \frac{\pi}{2} \) என்பது வரையறுக்கப்படாது.

    (ii) \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோட்டின் மீது அமைந்துள்ளது எனில், இக்கோட்டின் சாய்வு \( y \)-ஆயத்தின் மாறுபாட்டை \( x \)-ஆயத்தின் மாறுபாட்டால் வகுக்கக் கிடைக்கும் எண் ஆகும். இங்கு \( x_2 \neq x_1 \). இதனைக் கீழ்க்கண்டவாறு விவரிக்கலாம்.

    \[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{செங்குத்து நிலைமாற்றம்}}{\text{கிடைமட்ட நிலைமாற்றம்}} \]

    (iii) நேர்க்கோடு \( ax + by + c = 0 \) என்ற பொது வடிவில் கொடுக்கப்பட்டால், இக்கோட்டின் சாய்வு

    \[ m = -\frac{a}{b}, \quad b \neq 0 \]

    இங்கு \( b = 0 \) எனில், \( m \) வரையறுக்கப்படாது.

    ஒரு கோட்டின் மிகை, குறை, பூச்சியம் மற்றும் வரையறுக்கப்படாத சாய்வுகள்#

    படம் 6.15

    வரையறை 6.5#

    ஒரு தளத்தில் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமைந்தால், அப்புள்ளிகளை ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள் (Collinear) எனக் கூறலாம்.

    \( A, B \) மற்றும் \( C \) என்பன ஒரு தளத்தின் மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் மூன்று புள்ளிகள் என்க. \( AB \)-ன் சாய்வு \( BC \) (அல்லது \( AC \)) -ன் சாய்வுக்குச் சமம் எனில், \( A, B \) மற்றும் \( C \) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள் ஆகும்.

    6.3.2 நேர்க்கோட்டின் வெட்டுத்துண்டுகள் அல்லது இடமறி (Intercepts of a Line)#

    வரையறை 6.6#

    ஒரு நேர்க்கோட்டின் வெட்டுத்துண்டுகள் அல்லது இடமறி (intercepts) என்பது \( x \)-அச்சு அல்லது \( y \)-அச்சினை வெட்டும் புள்ளி ஆகும்.

    \( y \)-மதிப்பு பூஜ்ஜியம் எனில் கிடைக்கும் புள்ளி \( x \)-ன் வெட்டு ஆகும். மேலும், \( x \)-ன் மதிப்பு பூஜ்ஜியம் எனில், கிடைக்கும் புள்ளி \( y \)-ன் வெட்டு ஆகும். கிடைமட்டம் மற்றும் நேர்க்குத்து அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளிகள் ஒரு கோட்டின் வெட்டுகள் எனப்படும். இவற்றிலிருந்து, (i) \( x \)-அச்சின் சமன்பாடு \( y = 0 \) எனவும் (ii) \( y \)-அச்சின் சமன்பாடு \( x = 0 \) எனவும் தெளிவாகிறது. படத்திலிருந்து \( OA \) என்பது \( x \)-ன் வெட்டுத்துண்டு மற்றும் \( OB \) என்பது \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டு ஆகும்.

    படம் 6.16

    \( x \) மற்றும் \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டுகளின் வெவ்வேறு வகைகள்

    படம் 6.17

    புள்ளிகள், சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டுகள் ஆகியவற்றின் வரையறை மற்றும் விரிவான தகவல்களை அறிந்துள்ளோம். இத்தகவல்களைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறான வடிவமுடைய நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை நினைவு கூறுவோம்.

    6.3.3 நேர்க்கோட்டின் வெவ்வேறு வடிவங்கள் (Different forms of a straight line)#

    நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை அமைப்பதற்கு இரண்டு தகவல்கள் போதுமானதாகும். சாய்வு, வெட்டுத்துண்டுகள் மற்றும் புள்ளிகள் இவைகளில் ஏதேனும் இரண்டு தகவல்களைக் கொண்டு பலவகையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடுகளின் வகைகளை உருவாக்க முடியும்.

    (i) சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (ii) புள்ளி மற்றும் சாய்வு வடிவம் (iii) இரு புள்ளிகள் வடிவம் (iv) வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (v) செங்குத்து வடிவம் (vi) துணையலகு வடிவம் (vii) பொது வடிவம்

    (i) சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (Slope-Intercept form)

    படம் 6.18
    \[ y = mx + b \] விகிதச் சமமான நேரிய சார்புகளை \( y = mx \) என்ற வடிவத்தில் எழுதலாம். இங்கு \( m \) என்பது கோட்டின் சாய்வு. விகிதச் சமமற்ற நேரிய சார்புகளை \[ y = mx + b, \quad b \neq 0 \qquad \dots (6.5) \] என்ற வடிவத்தில் எழுதலாம். இந்த வடிவம் கொண்ட சமன்பாடு ஒரு நேர்க்கோட்டின் சாய்வு–வெட்டுத்துண்டு வடிவம் ஆகும். ஏனெனில், இங்குச் சாய்வு \( m \) மற்றும் \( y \) வெட்டுத்துண்டு \( b \) ஆகும்.

    குறிப்பு: (i) \( b = 0 \) மற்றும் \( m \neq 0 \) எனும்போது நேர்க்கோடு ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்கிறது. மேலும் அதன் சமன்பாடு \( y = mx \) (ii) \( b = 0 \) மற்றும் \( m = 0 \) எனில் இந்த வகை நேர்க்கோடு \( x \)-அச்சுடன் ஒன்றியிருக்கும். மேலும் அதன் சமன்பாடு \( y = 0 \) (iii) \( b \neq 0 \) மற்றும் \( m = 0 \) எனில் இந்த வகையான நேர்க்கோடு \( x \)-அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும். அதன் சமன்பாடு \( y = b \) ஆகும்.

    (ii) புள்ளி மற்றும் சாய்வு வடிவம் (Point and Slope form)

    படம் 6.19
    \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \( m \) என்பது நேர்கோட்டின் சாய்வு மற்றும் \( A(x_1, y_1) \) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி என்க. இக்கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள \( A \)-ஐத் தவிர ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \( P(x, y) \) எனில், \( A(x_1, y_1) \) மற்றும் \( P(x, y) \) ஆகியவற்றை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \[ m = \frac{y - y_1}{x - x_1} \] \[ \Rightarrow y - y_1 = m(x - x_1) \qquad \dots (6.6) \] இவ்வடிவத்தை புள்ளி - சாய்வு வடிவம் எனக் கூறலாம்.

    குறிப்பு: \( y \)-அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சாய்வு (\( m \)) வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால், \( A(x_1, y_1) \) வழிச் செல்லும் \( y \)-அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாட்டைப் புள்ளி - சாய்வு அமைப்பின் மூலம் பெற இயலாது. இருப்பினும் அக்கோட்டின் மீதுள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளில் \( x \) ஆயத் தொலைவு \( x_1 \) என்பதால் அக்கோட்டின் சமன்பாடு \( x = x_1 \) ஆகும்.

    (iii) இரு புள்ளிகள் வடிவம் (Two-points form)

    படம் 6.20
    \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \] \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \) இவ்விரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாட்டின் சாய்வு \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) ஆகும். புள்ளி- சாய்வு வடிவம் பயன்படுத்தி \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \] என எழுதலாம். இங்கு \( x_2 \neq x_1 \) மற்றும் மேற்கண்ட சமன்பாட்டை \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \qquad \dots (6.7) \] எனவும் எழுதலாம். இது இரு புள்ளிகள் வடிவ நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடாகும். இரு புள்ளிகள் வடிவ நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை கீழ்க்காணுமாறு அணிக்கோவை வடிவத்திலும் குறிப்பிடலாம். \[ \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \]

    (iv) வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (Intercept Form)

    படம் 6.21
    \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \] ஒரு கோடு \( x \) மற்றும் \( y \)-அச்சுகளில் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்துண்டுகள் தெரியும் எனில், அதன் சமன்பாட்டை இங்குக் காணலாம். \( x \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( OA = a \) மற்றும் \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( OB = b \) என்க. இங்கு \( a, b \) என்பன பூச்சியமற்ற மதிப்புகள் ஆகும். \( A(a, 0) \) மற்றும் \( B(0, b) \) என்ற இவ்விரு புள்ளிகள் வழியே செல்லக்கூடிய நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு, \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \qquad \dots (6.8) \] மேற்கண்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு வெட்டுத்துண்டு வடிவம் ஆகும். ஒரு நேர்க்கோடு ஆதிப்புள்ளி வழியாகவோ, கிடைமட்டக் கோடாகவோ, நிலைக்குத்துக் கோடாகவோ அல்லது \( a, b \) இவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருப்பின் இந்த வடிவத்தில் (Intercept form) எழுத முடியாது. வரைபடமாக வரைவதற்கு இந்த வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை அமைத்தால் மிக எளிதாக இருக்கும்.

    (v) செங்குத்து வடிவம் (Normal Form)

    படம் 6.22
    \[ x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \] ஒரு நேர்க்கோடு ஆயஅச்சுகளை வெட்டும் புள்ளிகள் \( A \) மற்றும் \( B \) என்க. \( p \) என்பது ஆதிப் புள்ளியிலிருந்து \( AB \) என்ற கோட்டிற்கு வரையப்படும் \( OP \) என்ற செங்குத்துக் கோட்டின் நீளம் என்க. \( OP \) என்ற கோடு மிகை திசையில் \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் \( \alpha \) என்க. செங்கோணம் \( \triangle OPA \)-ல், \( \cos\alpha = \frac{OP}{OA} \Rightarrow OA = \frac{p}{\cos\alpha} \). செங்கோணம் \( \triangle OPB \)-ல், \( \sin\alpha = \frac{OP}{OB} \Rightarrow OB = \frac{p}{\sin\alpha} \). மேற்கண்ட மதிப்புகளை வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தில் பயன்படுத்த, \[ \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}} + \frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}} = 1 \] \[ \Rightarrow \frac{x \cos\alpha}{p} + \frac{y \sin\alpha}{p} = 1 \] \[ \Rightarrow x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \qquad \dots (6.9) \] என்பது நேர்க்கோட்டின் செங்குத்து வடிவமாகும்.

    ஒரு நேர்க்கோட்டின் எல்லா நிலையிலும் \( p \) ஆனது மிகை ஆகும். மற்றும் \( \alpha \) என்பது \( x \)-அச்சுக்கு மிகை திசையில் (Anti clockwise-கடிகார எதிர் திசை) மதிப்பிடப்படுகிறது எனில் எல்லா வகைகளிலும் உள்ள கோடுகள் செங்குத்து வடிவத்தில் அமைக்கலாம். இவற்றைக் கீழ்க்கண்ட படத்தில் காணலாம்.

    படம் 6.23

    (vi) துணையலகு வடிவம் (Parametric Form)

    படம் 6.24
    \[ \frac{x - x_1}{\cos\theta} = \frac{y - y_1}{\sin\theta} = r \] ஒரு நேர்க்கோடு \( Q(x_1, y_1) \) என்ற புள்ளி வழியே செல்வதாக எடுத்துக்கொள்வோம். இக்கோடானது \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் \( \theta \) என்க. புள்ளி \( Q \)-ல் இருந்து \( r \) தொலைவில் இக்கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி \( P(x, y) \) என்க. \( P \) மற்றும் \( Q \) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து \( x \)- அச்சுக்கு வரையப்படும் நிலைக்குத்துக் கோடுகள் முறையே \( QN \) மற்றும் \( PM \) ஆகும் மற்றும் \( QR \perp PM \). செங்கோணம் \( \triangle QRP \)-ல், \[ \begin{align*} x - x_1 &= QR = PQ \cos\theta = r \cos\theta \\ \Rightarrow \frac{x - x_1}{\cos\theta} &= r \tag{6.10} \end{align*} \] இதைப்போன்று, \( y - y_1 = RP = QP \sin\theta = r \sin\theta \) \[ \Rightarrow \frac{y - y_1}{\sin\theta} = r \tag{6.11} \] சமன்பாடுகள் (6.10) மற்றும் (6.11) -லிருந்து \[ \frac{x - x_1}{\cos\theta} = \frac{y - y_1}{\sin\theta} = r \tag{6.12} \] இங்கு, துணையலகு \( r \) என்பது ஒரு கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள \( (x_1,y_1) \) மற்றும் \( (x,y) \) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் ஆகும். மேற்கண்ட வடிவத்தினைக் கோட்டின் சமச்சீர் வடிவம் அல்லது துணையலகு வடிவம் என அழைக்கலாம்.

    குறிப்பு: ஒரு நேர்க்கோட்டின் மீது உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியையும் \( (x_1 + r\cos\theta, y_1 + r\sin\theta) \) என எழுதலாம், இப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் துணையலகு \( r \)-ஐ சார்ந்து இருக்கும் என்பதால் \( x = x_1 + r\cos\theta, y = y_1 + r\sin\theta \) என்ற சமன்பாடுகள் நேர்க்கோட்டின் துணையலகு சமன்பாடு எனப்படும். \( r \)-ஐ மிகையாகக் கொண்ட புள்ளிகள் மற்றும் \( r \)-ஐ குறையாகக் கொண்ட புள்ளிகள் முறையே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு வெவ்வேறு பக்கங்களில் நேர்க்கோட்டின் மேல் அமையும்.

    (vii) பொது வடிவம் (General form)

    \( a, b \) மற்றும் \( c \) ஆகியவை பூஜ்ஜியமற்றவை எனில், ஒரு நேர்க்கோட்டின் பொது வடிவச் சமன்பாடு

    \[ ax + by + c = 0 \text{ ஆகும்.} \]

    கொடுக்கப்பட்ட தகவல்கள் அடிப்படையில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு வகைகள்

    வ. எண்கொடுக்கப்பட்ட தகவல்கள்நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
    (i)சாய்வு (\( m \)) மற்றும் \( y \) வெட்டுத்துண்டு (\( b \))\( y = mx + b \)
    (ii)சாய்வு (\( m \)) மற்றும் புள்ளி \( (x_1, y_1) \)\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
    (iii)இரண்டு புள்ளிகள் \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \)\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
    (iv)\( x \)-வெட்டுத்துண்டு (\( a \))
    \( y \)-வெட்டுத்துண்டு (\( b \))    		\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
    (v)செங்குத்து நீளம் (\( p \))
    கோணம் (\( \alpha \))    		\( x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \)
    (vi)துணையலகு வடிவம் : துணையலகு (\( r \))\( \frac{x - x_1}{\cos\theta} = \frac{y - y_1}{\sin\theta} = r \)
    (vii)பொது வடிவம்\( ax + by + c = 0 \)

    இரண்டு மாறக்கூடிய கணியங்கள் (quantities), ஒவ்வொன்றையும் மாறிகளாக (variable) குறிப்பிடலாம். ஒரு மாறியைப் பொறுத்து மற்றொரு மாறி மாறும் வீதமானது ஒரு மாறிலி எனில் அத்தொடர்பு ஒரு நேரிய தொடர்பாகும்.

    நேரிய (Linear) சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி சார்பற்ற மாறியாகவும், மற்றொரு மாறி சார்பு மாறியாகவும் இருக்கும். பொதுவாக சார்பற்ற மாறி (Independent Variable) கிடைமட்ட அச்சிலும் (\( x \)-அச்சு) மற்றும் சார்பு மாறிகளை செங்குத்து அச்சிலும் (\( y \)-அச்சு) குறிக்கப்படும். அதாவது \( x \)-ன் மதிப்பு எப்போதும் சார்பற்றதாகவும், \( y \)-ன் மதிப்பு \( x \)-ன் மதிப்பைச் சார்ந்ததாகவும் இருக்கும்.

    இரு அச்சுகளின் அளவுத் திட்டங்கள் (Scale) ஒன்றாக இருக்கத் தேவையில்லை. பல நடைமுறை கணக்குகளில் வெவ்வேறு அளவுகள் \( x \) மற்றும் \( y \) என்ற மாறிகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, \( x \) என்பது விற்பனை செய்யப்பட்ட கைப்பேசிகளின் எண்ணிக்கை (Mobile phones) மற்றும் \( y \) என்பது விற்பனையால் கிடைக்கும் மொத்த வருமானம் எனக் கொள்ளலாம். வெவ்வேறு கணியங்கள் வெவ்வேறு அளவு திட்டங்களில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எனினும் இருபரிமாண ஆய அச்சுகளின் அமைப்பில் இரு அளவு திட்டமும் பூச்சியமாகும்போது ஆதியில் சந்திக்கின்றன.

    நேர்கோடுகளைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு காணும் போது கொடுக்கப்பட்ட தகவல்கள் அடிப்படையில் பொருத்தமான வடிவத்தை மேற்கண்ட அட்டவணையிலிருந்து சமன்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.7 \( (5, 7) \) மற்றும் \( (7, 5) \) என்ற புள்ளிகள் வழியே செல்லக்கூடிய நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க. மேலும் \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணத்தைக் காண்க.

    தீர்வு

    \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \) என்பன முறையே \( (5, 7) \) மற்றும் \( (7, 5) \) என்க. \( \theta \) என்பது \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் என்க. கோட்டின் சாய்வு \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 7}{7 - 5} = -1 \) மேலும், \( m = \tan\theta \) \( \tan\theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3\pi}{4} \) அல்லது \( 135^\circ \) சாய்வு மற்றும் சாய்வு கோணம் முறையே, \( m = -1 \) மற்றும் \( \theta = \frac{3\pi}{4} \)

    படம் 6.25

    எடுத்துக்காட்டு 6.8 ஒரு நேர்க்கோடு \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் \( 150^\circ \) மற்றும் \( y \)-அச்சைக் குறை திசையில் 5 அலகு தொலைவில் வெட்டுகிறது எனில், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு

    கொடுக்கப்பட்ட \( y \)-ன் குறை வெட்டுத்துண்டு \( = 5 \), அதாவது \( b = -5 \) கோணம் \( \theta = 150^\circ \) சாய்வு \( m = \tan 150^\circ = \tan (180-30) = -\tan 30 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) நேர்க்கோட்டின் சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம்:

    \[ y = mx + b \]

    \[ \Rightarrow y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 5 \]

    \[ \Rightarrow \sqrt{3}y = -x - 5\sqrt{3} \]

    \[ \Rightarrow x + \sqrt{3}y + 5\sqrt{3} = 0 \]
    படம் 6.26

    எடுத்துக்காட்டு 6.9 \( (0, -\frac{3}{2}), (1, -1) \) மற்றும் \( (2, -\frac{1}{2}) \) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.

    தீர்வு

    \( A, B \) மற்றும் \( C \) என்ற புள்ளிகள் முறையே \( (0, -\frac{3}{2}), (1, -1) \) மற்றும் \( (2, -\frac{1}{2}) \) என்க. கோட்டின் சாய்வு \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

    \[ AB \text{ -ன் சாய்வு} = \frac{-1 + \frac{3}{2}}{1 - 0} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \]

    \[ BC \text{ -ன் சாய்வு} = \frac{-\frac{1}{2} + 1}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \]

    \( AB \)-ன் சாய்வும், \( BC \)-ன் சாய்வும் சமம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \( A, B, C \) ஒரு நேர்க் கோட்டில் அமைகிறது.

    குறிப்பு: ஒரு மாறி மற்றொரு மாறியைப் பொறுத்து மாறும் வீதம் ஒரு மாறிலி எனில், அதனைச் சாய்வு எனக் கொள்ளலாம். (எடுத்துக்காட்டு, வேகம், சீராக அதிகரித்தல் அல்லது குறைதல்…) வரையறுக்கப்படும் ஆய அச்சுகளைப் பொறுத்து நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு அமைகிறது. உண்மை நிகழ்வுகளில் கோட்டின் சமன்பாடுகள் ஒன்று போல் இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை. ஆனால், அதன் பாதை மற்றும் தூரம் ஆகியவை ஒத்தவையாக இருக்கும்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.10 பாம்பன் நீரிலிணைப்பின் மீது அமைக்கப்பட்டுள்ள தொடர்வண்டிக்கான பாம்பன் கடல் பாலம் சுமார் 2065 மீட்டர் நீளத்தில் கட்டப்பட்டுள்ளது. இப்பாலம் தீவு நகரமான இராமேஸ்வரத்தையும் இந்திய நிலப்பகுதியில் உள்ள மண்டபத்தையும் இணைக்கிறது. இப்பாலத்தின் மீது தொடர்வண்டி செல்வதற்குச் சில கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன. அதன் சீரான வேகம் 12.5 மீ/வி எனத் தீர்மானிக்கப்பட்டுள்ளது. மண்டபத்தில் உள்ள பாலத்தின் துவக்கப் பகுதியிலிருந்து, 560 மீட்டர் நீளம் கொண்ட தொடர்வண்டி நகரத் தொடங்குகிறது எனில்,

    (i) தொடர்வண்டி செல்லும் இயக்கச் சமன்பாட்டைக் காண்க. (ii) எப்போது இராமேஸ்வரத் தீவில் தொடர்வண்டி இயந்திரமானது நுழையும்? (iii) எப்போது தொடர்வண்டியின் கடைசி பெட்டி பாலத்தின் தொடக்கப் பகுதியைக் கடக்கும்? (iv) பாம்பன் கடல் பாலத்தைத் தொடர்வண்டி கடந்து செல்வதற்கு எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் என்ன?

    தீர்வு

    \( x \)-அச்சில் நேரத்தை வினாடியிலும், \( y \)-அச்சில் தொலைவை மீட்டரிலும் குறிக்கின்றது என்க. தொடர்வண்டி இயந்திரம் ஆதிப்புள்ளி \( O \)-ல் உள்ளது என்க. எனவே தொடர் வண்டியின் நீளம் 560 மீ. \( y \)-அச்சின் குறை வெட்டுத்துண்டாகும். எனவே, \( b = -560 \) தொடர்வண்டியின் இயக்கத்தின் சீரான வேகம் 12.5 மீ/வி என்பதைச் சாய்வாகக் கருதலாம். சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு கொடுக்கப்பட்டால் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு

    \[ y = mx + b \qquad \dots (6.13) \]

    (i) \( m = 12.5 \) மற்றும் \( b = -560 \) என்பதால் தொடர்வண்டியின் இயக்கச் சமன்பாடு

    \[ y = 12.5x - 560 \]

    (ii) பாலத்தின் எதிர்ப்பு முனையைத் தொடர்வண்டியின் இயந்திரம் தொடும் நேரம் \( y = 2065 \) மற்றும் \( b = 0 \)

    \[ 2065 = 12.5x \]

    \[ x = 165.2 \text{ வினாடிகள்} \]

    (iii) தொடர்வண்டியின் கடைசி பெட்டியானது பாலத்தின் தொடக்க முனையை அடையும்போது \( y = 0 \Rightarrow 0 = 12.5x - 560 \) எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம், \( x = 44.8 \) வினாடிகள் (iv) தொடர்வண்டி பாம்பன் பாலத்தைக் கடந்து செல்வதற்காக எடுத்துக்கொண்ட நேரம் \( y = 2065 \Rightarrow 2065 = 12.5x - 560 \)

    \[ 12.5x = 2625 \Rightarrow x = 210 \text{ வினாடிகள்} \]

    குறிப்பு: தொடர்வண்டியின் முடிவுப் புள்ளி ஆதியில் இருப்பதாகவும் கொண்டு நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. அது மேலே உள்ள சமன்பாடாக இருக்காது. ஆனால், தொடர்வண்டி செல்லும் பாதை, தூரம், நேரம் போன்றவை ஒன்றாக இருக்கும். (முயற்சி செய்க)

    எடுத்துக்காட்டு 6.11 \( y \)-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு 7 மற்றும் நேர்கோட்டிற்கும் \( y \)-அச்சுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் \( 30^\circ \) எனில், நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

    தீர்வு

    \( y \)-அச்சுடன் \( 30^\circ \) கோணம் ஏற்படுத்தும் கோடுகள் இரண்டு உள்ளன. படத்திலிருந்து அக்கோடுகள் \( x \)-அச்சுடன் \( 60^\circ \) மற்றும் \( 120^\circ \) ஆகிய கோணங்களை ஏற்படுத்துகின்றன எனத் தெளிவாகிறது.

    \[ m_1 = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \text{ மற்றும்} \]

    \[ m_2 = \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \]

    \[ m_1 = \sqrt{3}, \quad m_2 = -\sqrt{3} \quad \text{மற்றும் } b = 7 \]

    தேவையான நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்

    \[ y = m_1x + b \quad \text{மற்றும் } y = m_2x + b \]

    \[ \Rightarrow y = \sqrt{3}x + 7 \quad \text{மற்றும் } y = -\sqrt{3}x + 7 \]
    படம் 6.28

    குறிப்பு: இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், இரு புள்ளி வடிவம் அல்லது புள்ளி-சாய்வு வடிவ சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இருண்டு வெட்டுத்துண்டுகள் கொடுக்கப்பட்டால் வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தையே அல்லது இரு புள்ளி வடிவத்தையே பயன்படுத்தி நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகளை அமைக்கலாம்.

    கீழ்க்கண்ட எடுத்துக்காட்டு இயல் 5-ல், தொடர்முறையும் தொடரும் கருத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காணப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும் இதே எடுத்துக்காட்டுக் கணக்கை நேர்க்கோடுகளின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி இங்கு தீர்வு காணலாம்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.12 ஒரு கூட்டுத்தொடர் முறையில் (A.P.) 7 ஆவது உறுப்பு 30 மற்றும் 10 ஆவது உறுப்பு 21 எனில்,

    (i) A.P.-ல் முதல் மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க. (ii) எப்போது கூட்டுத்தொடரின் உறுப்பு பூச்சியமாகும். (iii) நேர்கோட்டின் சாய்வுக்கும் கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு ஆகியவற்றைக் காண்க.

    தீர்வு

    ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையானது ஒரு நேரிய சார்பு ஆகும். \( x \) என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் \( y \) என்பது அந்த உறுப்பின் மதிப்பு என்க. \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \) முறையே \( (7, 30) \) மற்றும் \( (10, 21) \) என்க. \( y - y_1 = m(x - x_1) \) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து

    \[ y - y_1 = \left(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right)(x - x_1) \]

    \[ \Rightarrow y - 30 = \left(\frac{21 - 30}{10 - 7}\right)(x - 7) \]

    \[ \Rightarrow y - 30 = \left(\frac{-9}{3}\right)(x - 7) \]

    \[ \Rightarrow y = -3x + 21 + 30 \]

    \[ \Rightarrow y = -3x + 51 \qquad \dots (6.14) \]

    (i) \( x = 1, 2 \) மற்றும் \( 3 \) எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட A.P. -ன் முதல் மூன்று உறுப்புகள் முறையே 48, 45 மற்றும் 42 ஆகும். (ii) \( y = 0 \) எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட

    \[ 0 = -3x + 51 \implies x = 17 \]

    அதாவது, கூட்டுத்தொடர் முறையில் பதினேழாவது உறுப்பு பூச்சியமாகும். (iii) இந்த நேர்கோட்டின் சாய்வு –3, கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என்பது தெளிவாகிறது. (கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசமும், அதன் கோட்டின் சாய்வும் ஒன்றே என நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்).

    எடுத்துக்காட்டு 6.13 ஒரு குறிப்பிட்ட வகை குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ₹8 ஆக இருக்கும் போது 22,000 குறுந்தகடுகளை வாடிக்கையாளர்கள் வாங்குவார்கள். ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹30 அல்லது அதற்கு மேல் விலை கொடுத்து வாங்க மாட்டார்கள். அதே சமயத்தில் ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹6 அல்லது அதற்கு குறைவாக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளர் விற்பனை செய்ய மாட்டார். இருப்பினும், குறுந்தகடு ஒன்றின் விலை ₹14 ஆக இருக்கும் போது உற்பத்தியாளரால் 24,000 குறுந்தகடுகளை வழங்க இயலும். தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவுகள், விலைக்கு நேர்விகித சமமாக எடுத்துக்கொண்டால் பின்வருவனவற்றை எவ்வாறு காணலாம்.

    (i) தேவைச் சமன்பாடு (Demand Equation) (ii) வழங்கல் சமன்பாடு (Supply Equation) (iii) சந்தையின் சமநிலையில் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் விலை (iv) ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹10 எனில் தேவை மற்றும் வழங்கல் அளவு.

    தீர்வு

    \( x \)-அச்சானது ஓர் அலகு ஆயிரம் அலகுகள் கொண்ட குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கையையும், \( y \)-அச்சு ஓர் அலகு ஒரு ரூபாயையும் குறிக்கிறது என்க.

    (i) தேவைச் சமன்பாடு (Demand equation) \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \) என்ற புள்ளிகள் முறையே \( (22, 8) \) மற்றும் \( (0, 30) \) என எடுத்துக்கொள்வோம். இரு புள்ளி வடிவ நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

    \[ \frac{y-8}{30-8} = \frac{x-22}{0-22} \]

    \[ \Rightarrow \frac{y-8}{22} = \frac{x-22}{-22} \]

    \[ \Rightarrow y-8 = -(x-22) \]

    \[ \Rightarrow y_D = -x + 30 \]

    (ii) வழங்கல் சமன்பாடு (Supply function) \( (x_1, y_1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) \) என்ற புள்ளிகள் முறையே \( (0, 6) \) மற்றும் \( (24,14) \) என எடுத்துக்கொள்வோம். இரு புள்ளி வடிவ நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

    \[ \frac{y-6}{14-6} = \frac{x-0}{24-0} \]

    \[ \Rightarrow \frac{y-6}{8} = \frac{x}{24} \]

    \[ \Rightarrow y-6 = \frac{x}{3} \]

    \[ \Rightarrow y_S = \frac{1}{3}x + 6 \]
    படம் 6.29

    (iii) சந்தை சமநிலையில் தேவை மற்றும் வழங்கல் சமநிலையை அடையும். அதாவது, \( y_D = y_S \)

    \[ -x + 30 = \frac{1}{3}x + 6 \]

    \[ \Rightarrow 24 = \frac{4}{3}x \]

    \[ \Rightarrow x = 18 \text{ மற்றும் } y = 12 \]

    சந்தை சமநிலையில் ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹12 மற்றும் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை 18,000 ஆக இருக்கும்.

    (iv) ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ₹10 இருக்கும்போது தேவை சமன்பாட்டில், \( y = 10 \)

    \[ 10 = -x + 30 \Rightarrow x = 20 \]

    அதாவது, தேவையான குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை 20,000 ஆகும். இதைப்போல், வழங்கல் சமன்பாட்டில், \( y = 10 \)

    \[ 10 = \frac{1}{3}x + 6 \Rightarrow \frac{1}{3}x = 4 \Rightarrow x = 12 \]

    இங்கு, வழங்கப்படும் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை 12,000 ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.14 ஒரு நேர்க்கோட்டின் ஆய அச்சுகளில் சமமாகவும், எதிர்்மறை குறிகளையும் கொண்ட வெட்டுத் துண்டுகளை உடைய மற்றும் \( (-1, 1) \) என்ற புள்ளி வழியே செல்லக்கூடிய கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு

    \( x \)-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு \( = a \) மற்றும் \( y \)-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு \( = -a \) என்க. எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு

    \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{-a} = 1 \]

    \[ \Rightarrow x - y = a \]

    மேற்கண்ட சமன்பாடானது \( (-1, 1) \) வழியே செல்வதால்,

    \[ (-1) - (1) = a \Rightarrow a = -2 \]

    தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு,

    \[ x - y = -2 \]

    \[ \Rightarrow x - y + 2 = 0 \]
    படம் 6.30

    எடுத்துக்காட்டு 6.15 \( (9, 4) \) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்லும் குறை சாய்வைக் கொண்ட \( L \) என்ற ஒரு நேர்க்கோடு \( P \) மற்றும் \( Q \) என்ற புள்ளியில் மிகை ஆய அச்சுகளை வெட்டுகிறது. \( L \) ஆனது மாறக்கூடியதாயின் \( OP + OQ \) -ன் மீச்சிறு மதிப்பைக் காண்க. இங்கு \( O \) என்பது ஆதிப்புள்ளி ஆகும்.

    தீர்வு

    \( L \) என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \( m \) என்க. (\( m < 0 \)). மேலும் இக்கோடானது \( (9, 4) \) என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது எனில் \( L \)-ன் சமன்பாடு

    \[ y - 4 = m(x - 9) \]

    \( P \) மற்றும் \( Q \) என்ற புள்ளிகள் முறையே \( \left(9 - \frac{4}{m}, 0\right) \) மற்றும் \( (0, 4-9m) \) ஆகும். \( m < 0 \) எனில் \( m = -k, k > 0 \) எனக் கொள்க.

    \[ \begin{aligned} |OP| + |OQ| &= \left|9 - \frac{4}{-k}\right| + |4 - 9(-k)| \\ &= \left|9 + \frac{4}{k}\right| + |4 + 9k| \\ &= \left(9 + \frac{4}{k}\right) + (4 + 9k) \quad (\because \text{எல்லா உறுப்புகளும் மிகை ஆகும்}) \\ &= 13 + \left(\frac{4}{k} + 9k\right) \\ &\geq 13 + 2\sqrt{\frac{4}{k} \times 9k} \quad (\text{A.M. } \geq \text{G.M.}) \\ &= 13 + 2\sqrt{36} = 13 + 12 = 25 \end{aligned} \]

    எனவே, \( OP + OQ \) -ன் மீச்சிறு மதிப்பு 25 ஆகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.16 ஒரு நேர்க்கோட்டிற்கு ஆதியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் 12 மற்றும் \( x \)-அச்சுடன் மிகை திசையில் ஏற்படுத்தும் கோணம் \( 150^\circ \) எனில், கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு

    இங்கு \( p = 12 \) மற்றும் கோணம் \( \alpha = 150^\circ \) எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு,

    \[ x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \]

    அதாவது, \( x \cos 150^\circ + y \sin 150^\circ = 12 \)

    \[ \Rightarrow x\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + y\left(\frac{1}{2}\right) = 12 \]

    \[ \Rightarrow -\sqrt{3}x + y = 24 \]

    \[ \Rightarrow \sqrt{3}x - y + 24 = 0 \]

    எடுத்துக்காட்டு 6.17 ஒரு கோடு ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 36 சதுர அடி மற்றும் ஆதியிலிருந்து அக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து கோடு மிகை \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் \( 45^\circ \) எனில், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

    தீர்வு

    \( p \) என்பது ஆதியிலிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து தொலைவு என்க. \( x \)-அச்சுடன் செங்குத்துக் கோடு ஏற்படுத்தும் கோணம் \( = 45^\circ \) தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு

    \[ x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \]

    \[ \Rightarrow x \cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = p \]

    \[ \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = p \]

    \[ \Rightarrow x + y = \sqrt{2}p \]

    இந்தச் சமன்பாடு ஆய அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் \( A(\sqrt{2}p, 0) \) மற்றும் \( B(0, \sqrt{2}p) \) \( \triangle OAB \) -ன் பரப்பளவு \( = \frac{1}{2} \times \sqrt{2}p \times \sqrt{2}p = p^2 \) கொடுக்கப்பட்ட பரப்பு 36 சதுர அடி எனில்,

    \[ p^2 = 36 \Rightarrow p = 6 \]

    (இங்கு \( p \) ஒரு மிகை எண்) அதாவது, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு

    \[ x + y = 6\sqrt{2} \]

    எடுத்துக்காட்டு 6.18 ஒரு நேர்க்கோடானது மிகை \( x \)-அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் \( 60^\circ \) மற்றும் \( (4,7) \) என்ற புள்ளியிலிருந்து \( 5\sqrt{2} \) அலகுகள் தொலைவைக் கொண்டு \( x - y + 3 = 0 \) என்ற கோட்டின் வழியே செல்லும் நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

    தீர்வு

    \( x - y + 3 = 0 \) என்ற கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் \( 45^\circ \) மற்றும் புள்ளி \( (4,7) \) கோட்டின் மீது உள்ளது. துணையலகு வடிவத்திலிருந்து,

    \[ \frac{x - x_1}{\cos\theta} = \frac{y - y_1}{\sin\theta} = r \]

    மேற்கண்ட சமன்பாட்டை இவ்வடிவத்தில் எழுதலாம்.

    \[ \frac{x - 4}{\cos 45^\circ} = \frac{y - 7}{\sin 45^\circ} = r \Rightarrow \frac{x - 4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{y - 7}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = r \]

    \[ \Rightarrow x - 4 = y - 7 = \frac{r}{\sqrt{2}} \]

    \[ \Rightarrow x = 4 + \frac{r}{\sqrt{2}}, y = 7 + \frac{r}{\sqrt{2}} \]

    கொடுக்கப்பட்ட தூரம் \( r = \pm 5\sqrt{2} \) (கோட்டின் மீது (4,7) -க்கு வெவ்வேறு பக்கங்களில்) அதாவது, \( \frac{r}{\sqrt{2}} = \pm 5 \) இதன் மூலம், கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள (4,7) என்ற புள்ளிக்கு ஏதேனும் ஒரு பக்கத்திலிருந்து \( 5\sqrt{2} \) அலகுகள் தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகள் \( (4+5, 7+5) = (9, 12) \) மற்றும் \( (4-5, 7-5) = (-1, 2) \). தேவையான புள்ளிகள் \( (9, 12), (-1, 2) \) மற்றும் சாய்வு \( m = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) மேற்கண்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி சாய்வு-புள்ளி வடிவத்தில் எழுத,

    \[ y - 12 = \sqrt{3}(x - 9) \Rightarrow \sqrt{3}x - y - 9\sqrt{3} + 12 = 0 \]

    \[ y - 2 = \sqrt{3}(x + 1) \Rightarrow \sqrt{3}x - y + \sqrt{3} + 2 = 0 \]

    6.3.4 ஒரு நேர்க்கோட்டின் பொது வடிவத்தை மற்ற வடிவங்களுக்கு மாற்றுதல் (General form to other forms)#

    ஒரு நேர்க்கோட்டின் பொது வடிவம் \( Ax + By + C = 0 \). இங்கு \( A, B \) மற்றும் \( C \) என்பன மெய் எண்கள் மேலும் இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் பூச்சியம் ஆகாது. மேற்கண்ட பொது வடிவத்தை மற்ற வடிவங்களில் மாற்றலாம்.

    (i) சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (\( B \neq 0 \)) (Slope-intercept form) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம். \( y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B} \) ∴ சாய்வு \( m = -\frac{A}{B} \) மற்றும் \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( = -\frac{C}{B} \)

    (ii) வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (Intercept form) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம். \( \frac{x}{-\frac{C}{A}} + \frac{y}{-\frac{C}{B}} = 1 \), (\( A, B \) மற்றும் \( C \) இவை அனைத்தும் பூஜியமற்ற மெய்வெண்கள்) வெட்டுத்துண்டு வடிவத்துடன் ஒப்பிடும் போது, \( x \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( a = -\frac{C}{A} \), \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( b = -\frac{C}{B} \)

    (iii) செங்குத்து வடிவம் (Normal form) \( Ax + By + C = 0 \) இங்கு \( A , B \) என்பன பூஜியமற்ற மதிப்புகள். மேற்கண்ட சமன்பாட்டை \( x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \) என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது குறி தேர்வு செய்யப்பட்டு, \( \cos\alpha = \frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \sin\alpha = \frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}} \) மற்றும் \( p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

    எடுத்துக்காட்டு 6.19 \( \sqrt{3}x - y + 4 = 0 \) என்ற கோட்டைக் கீழ்க்காணும் சமான வடிவத்திற்கு மாற்றுக. (i) சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (ii) வெட்டுத்துண்டு வடிவம் (iii) செங்குத்து வடிவம்

    தீர்வு

    (i) சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \( \sqrt{3}x - y + 4 = 0 \)

    \[ \Rightarrow y = \sqrt{3}x + 4 \]

    இதனை \( y = mx + b \) என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது சாய்வு \( = \sqrt{3} \) மற்றும் \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( = 4 \)

    (ii) வெட்டுத்துண்டு வடிவம்

    \[ \sqrt{3}x - y + 4 = 0 \Rightarrow \sqrt{3}x - y = -4 \]

    \[ \Rightarrow \frac{\sqrt{3}x}{-4} - \frac{y}{-4} = 1 \Rightarrow \frac{x}{\left(-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)} + \frac{y}{4} = 1 \]

    இதனை \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது \( x \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( = -\frac{4}{\sqrt{3}} \), மற்றும் \( y \)-ன் வெட்டுத்துண்டு \( = 4 \)

    (iii) செங்குத்து வடிவம்

    \[ \sqrt{3}x - y + 4 = 0 \Rightarrow -\sqrt{3}x + y = 4 \]

    இதனை \( Ax + By + C = 0 \) என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது \( A = -\sqrt{3} \) மற்றும் \( B = 1 \)

    \[ \therefore \sqrt{A^2+B^2} = \sqrt{3+1} = 2 \]

    சமன்பாட்டை இருபுறமும் 2 ஆல் வகுக்க

    \[ \Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 2 \]

    இதனை \( x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \) என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது

    \[ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\alpha = \frac{1}{2}, \quad p = 2 \]

    \[ \Rightarrow \alpha = 150^\circ = \frac{5\pi}{6} \text{ மற்றும் } p = 2 \]

    செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு

    \[ x \cos\frac{5\pi}{6} + y \sin\frac{5\pi}{6} = 2 \text{ ஆகும்.} \]

    குறிப்பு: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தேவையான வடிவத்திற்கு மாற்ற ஒத்த கெழுக்களின் சமவிகித விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

    எடுத்துக்காட்டு 6.20 \( \sqrt{3}x + y + 4 = 0 \) என்ற கோட்டைச் செங்குத்து வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

    தீர்வு

    தேவையான வடிவம் \( x \cos\alpha + y \sin\alpha = p \) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு, \( -\sqrt{3}x - y = 4 \) (\( \because p \) என்பது எப்போதும் மிகை எண்) இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே நேர்க்கோட்டைக் குறிக்கின்றன. எனவே ஒத்த குணகங்கள் சமவிகிதத்தில் இருக்கும்.

    \[ \frac{\cos\alpha}{-\sqrt{3}} = \frac{\sin\alpha}{-1} = \frac{p}{4} \]

    இவற்றின் பொது விகிதத்தைக் காண,

    \[ \frac{\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{2} \]

    \[ \Rightarrow \frac{\cos\alpha}{-\sqrt{3}} = \frac{\sin\alpha}{-1} = \frac{p}{4} = \frac{1}{2} \]

    \[ \Rightarrow \cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\alpha = -\frac{1}{2}, \quad p = \frac{4}{2} = 2 \]

    \[ \alpha = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \]

    செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு

    \[ x \cos\frac{7\pi}{6} + y \sin\frac{7\pi}{6} = 2 \text{ ஆகும்.} \]

    குறிப்பு: ஒரு வளைந்த தளத்தின் மீது இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே மிகச்சிறு பாதையைக் காணுதல் கடினமானது. இருப்பினும், உருளையின் வளைந்த தளத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ள பாதையின் வளைந்த தளத்தை சமதளமாக உருமாற்றும்போது நீளம் மாறாது.