ஏறக்குறைய கி.மு. (பொ.ஆ.மு) 400ஐ ஒட்டிய காலத்தில், டெமாக்ரிட்டஸ் மற்றும் லியூசிப்பஸ் ஆகிய கிரேக்க தத்துவ அறிஞர்கள் ‘எந்த ஒரு பொருளும் மீண்டும் மீண்டும் பகுக்கப்படும் போது இறுதியில் கிடைப்பது அணுவே’ என்று கூறினர். பின்னர் பல இயற்பியலாளர்களும் வேதியியலாளர்களும் அணுவின் இயல்பைப் பற்றி அறிந்துகொள்ள முயன்றனர். அணு மாதிரியின் அடிப்படையில் பொருள்களின் (இயற்பியல் மற்றும் வேதியல்) பண்புகளை விளக்கப் பல கோட்பாடுகள் கூறப்பட்டன.
எடுத்துக்காட்டாக, ஓய்வுநிலையில் உள்ள மின் துகள்களின் பரவலை அடிப்படையாகக் கொண்டு கருத்தியல் ரீதியான ஒரு அணு மாதிரியை ஜே. ஜே. தாம்சன் முன்மொழிந்தார். அணுவின் நிலைத்தன்மையை ஜே. ஜே. தாம்சனின் அணு மாதிரி விளக்க இயலாததால், அவரது (ஆராய்ச்சி) மாணவரான ரூதர்போர்டு அணு குறித்தான முதல் இயக்க மாதிரியை முன்மொழிந்தார். அவரது மாணவர்கள் (கெய்கர் மற்றும் மார்ஸ்டன்) செய்த செய்முறை ஆய்வின் அடிப்படையில் ரூதர்போர்டு அவர்தம் மாதிரியை அமைத்திருந்தார். ஆனால், இம்மாதிரியும் அணுவின் நிலைத்தன்மையை விளக்கவில்லை.
பின்னர் ரூதர்போர்டின் மற்றொரு மாணவரான நீல்ஸ் போர் வெளியிட்ட ஹைட்ரஜன் அணுவிற்கான மாதிரி மற்ற இரு அணு மாதிரிகளை விட வெற்றிகரமாக அமைந்தது. நீல்ஸ் போரின் அணு மாதிரி அணுவின் நிலைத்தன்மையை விளக்கியதோடு மட்டுமல்லாமல் வரி நிறமாலையின் தோற்றத்தினையும் விளக்கியது. இவைதவிர, பிற அணு மாதிரிகளான சோமர்ஃபெல்ட் அணு மாதிரி மற்றும் அலை இயக்கவியல் (குவாண்டம் இயக்கவியல்) அணு மாதிரி உள்ளிட்ட அணு மாதிரிகள் இருப்பினும் இந்தப் பகுதியில் (கணிதமுறையில் எளிமையான) அணு மாதிரிகளையே நாம் பார்ப்போம்.
ஜே.ஜே. தாம்சன் மாதிரி (தர்ப்பூசணிப்பழ மாதிரி)#
தாம்சன் மாதிரியில் சீரான பரவல் கொண்ட, நேர மின்துகள்களை உள்ளடக்கிய, ஒருபடித்தான (homogeneous) கோளங்களாக அணுக்கள் கருதப்படுகின்றன. ஒரு தர்ப்பூசணிப் பழத்தில் பதிந்துள்ள விதைகளைப் போல (இந்தக் கோளத்தில்) எலக்ட்ரான்கள் எனப்படும் எதிர் மின்துகள் பதிந்துள்ளன. (படம் 9.8 அ மற்றும் ஆ)
அணுக்கள் மின் நடுநிலைத் தன்மை கொண்டவை ஆதலால், ஓர் அணுவிலுள்ள மொத்த நேர்மின்னூட்டமானது மொத்த எதிர் மின்னூட்டத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இந்த மாதிரியின் படி, அனைத்து மின்னூட்டங்களும் நிலையாக உள்ளன; பண்டைய மின்னியக்கவியல் (classical electrodynamics) கொள்கைப்படி நிலைமின்னியல் அமைப்பு ஒன்றில் சமநிலைப் புள்ளிகள் இருக்க இயலாது (இயன்வூ தேற்றம்). எனவே அணு சமநிலையில் இருக்க இயலாது. மேலும் ஹைட்ரஜன் மற்றும் பிற அணுக்களின் நிறமாலை வரிகள் தோற்றத்தை இந்த மாதிரியால் விளக்க இயலவில்லை.
ரூதர்போர்டு மாதிரி#
1911-ல் கெய்கர் மற்றும் மார்ஸ்டன் ஆகியோர், அவர்தம் ஆசிரியரான ரூதர்போர்டின் அறிவுரைப்படி, குறிப்பிடத்தக்க செய்முறை ஆய்வு ஒன்றினைச் செய்தனர், அதற்கு தங்க மென்தகட்டினால் ஆல்பா துகள்கள் அடையும் சிதறல் என்று பெயர்.
இந்த ஆய்வின் செய்முறை அமைப்பு படம் 9.9- ல் காட்டப்பட்டுள்ளது. நுண்ணிய துளை கொண்ட, தடிமனான ஈயப் பெட்டி ஒன்றின் உள்ளே ஆல்பா துகள்கள் மூலம் (alpha particle source) (பொலோனியம் போன்றதொரு கதிரியக்கப் பொருள்) வைக்கப்படுகிறது. ஈயப் பெட்டியிலிருந்து வெளியேறும் ஆல்பா துகள்கள் மற்றொரு ஈயத்தகட்டில் இடப்பட்டுள்ள நுண்ணிய துளை வழியே செல்கின்றன. பின்னர், இத்துகள்கள் ஒரு தங்க மென்தகட்டின் மேல் வீழ்கின்றன. இதன் பிறகு, இத்துகள்கள் பல்வேறு கோணங்களில் சிதறல் அடைவது கண்டறியப்பட்டது. சிதறல் அடைந்த ஆல்பா துகள்களைத் திரட்டும் பொருட்டு துத்தநாக சல்பைடு (ZnS) தடவப்பட்ட ($0^\circ$ முதல் $180^\circ$ வரை) நகர்த்தக்கூடிய திரை ஒன்று உள்ளது. இத்திரையின் மீது ஆல்பா துகள்கள் படும்போது ஏற்படும் ஒளிர்வை நுண்ணோக்கியின் உதவியுடன் கண்டறியலாம்.
ஆல்பா சிதறல் ஆய்வின் அடிப்படையில் ஒரு அணு மாதிரியை ரூதர்போர்டு முன்மொழிந்தார். இந்த ஆய்வில் (நேர்மின் தன்மை கொண்ட) ஆல்பா துகள்கள் தங்க மென் தகட்டிலுள்ள அணுக்களின் மீது விழும்படி செய்யப்படுகின்றன. இந்த ஆய்வின் முடிவுகளைக் கீழே காணலாம். இதையே படம் 9.10 –இலும் அறியலாம். [ரூதர்போர்டு எதிர்ப்பார்த்தது (அ). ஆய்வின் முடிவில் பெறப்பட்டது (ஆ)]
(அ) பெரும்பாலான ஆல்பா துகள்கள் தங்க மென்தகட்டினால் விலக்கம் அடையாமல் நேராக செல்கின்றன. (ஆ) சில ஆல்பா துகள்கள் சிறிய கோண அளவே விலக்கம் அடைகின்றன. (இ) குறைந்த எண்ணிக்கையிலான (ஆயிரத்தில் ஒன்று) ஆல்பா துகள்கள் $90^\circ$ கோணத்திற்கும் மேலான விலக்கம் அடைகின்றன. (ஈ) மிகக்குறைந்த எண்ணிக்கையிலான ஆல்பா துகள்கள் $180^\circ$ கோண அளவில் பின்னோக்கிய சிதறல் அடைகின்றன.
படம் 9.10 (இ)யில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் கெய்கர்-மார்ஸ்டன் ஆல்பா சிதறல் ஆய்வுத் தரவுகளின் அடிப்படையில் பெறப்பட்டவை, மேலும், வளைகோடு ரூதர்போர்டு அணுக்கரு மாதிரியின் அடிப்படையில் பெறப்பட்டது; இவை இரண்டுமே ஒன்றுக்கொன்று இணங்கிச் செல்வதை கண்கூடாகக் காணலாம்.
மேற்கூறிய காட்சிப்பதிவுகளின் அடிப்படையில் ரூதர்போர்டு கண்டறிந்த முடிவுகள்:
மேற்கண்ட ஆய்வுத் தரவுகளின் அடிப்படையில், அணுவினுள் ஏராளமான வெற்றிடமும் $10^{-14}$m அளவு கொண்ட அணுக்கரு என்றழைக்கப்படும் சிறிய அளவிலான பருப்பொருளும் இருக்க வேண்டும் என்ற கருத்தை ரூதர்போர்டு முன்வைத்தார். அணுக்கரு நேர் மின்னூட்டம் கொண்டது. மேலும், அணுவின் மிகப்பெருமளவு நிறை அணுக்கருவில் குவிந்துள்ளது. அணுக்கருவைச் சுற்றி எதிர் மின்னூட்டம் கொண்ட எலக்ட்ரான்கள் உள்ளன. இவ்வாறுள்ள மின்னூட்டப் பரவலில் உள்ள மின்துகள்கள் நிலையாக இருந்தால், அவை சமநிலையில் இருக்க இயலாது என்பதால் சூரியனைச் சுற்றி கோள்கள் வட்டப்பாதையில் இயங்குவதைப் போல அணுக்கருவைச் சுற்றி எலக்ட்ரான்கள் இயங்குகின்றன என்று அவர் கருத்துரைத்தார்.
(அ) மீச்சிறு-அணுகு தொலைவு
$180^\circ$ கோணத்தில் எதிரொளிப்பு அடைவதற்கு முன், ஆல்பா துகள் மற்றும் அணுக்கரு ஆகிய இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள சிறும தொலைவு ‘மீச்சிறு- அணுகு தொலைவு’ $r_0$ எனப்படும். (இதை தொடுகை தொலைவு எனவும் அழைப்பர்). இத்தொலைவில், ஆல்பா துகள்களின் இயக்க ஆற்றல் அனைத்தும் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலாக மாற்றப்படுகின்றது (காண்க. +2 இயற்பியல் பாடநூல்: தொகுதி-1 அலகு-1).
$$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r_0}$$$$\Rightarrow r_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Ze^2}{\frac{1}{2} m v_0^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Ze^2}{E_k}$$இங்கு $E_k$ என்பது ஆல்பா துகளின் இயக்க ஆற்றலாகும். மேலே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது அணுக்கருவின் அளவை தோராயமாக கூறுவதற்கு மட்டுமே பயன்படும், ஆனால், மீச்சிறு-அணுகு தொலைவை விட அணுக்கருவின் அளவு எப்போதும் குறைவாகவே இருக்கும். பல்வேறு அணுக்கருக்களின் அளவுகளைக் கணக்கிட்ட ரூதர்போர்டு, அவற்றின் ஆரங்கள் $10^{-14}$ m முதல் $10^{-15}$ வரை எனக் கண்டறிந்தார்.
(ஆ) மோதல் காரணி (b)
இடைப்பட்ட செங்குத்துத் தொலைவானது, மோதல் காரணி (b) என வரையறுக்கப்படுகிறது. (படம் 9.12). மோதல் காரணி மற்றும் சிதறல் கோணம் இடையேயான தொடர்பு பின்வரும் சமன்பாட்டால் தரப்படுகிறது.
$$b \propto \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \Rightarrow b = K \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \quad (9.13)$$இங்கு $K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Ze^2}{m v_0^2}$ மற்றும் $\theta$ என்பது சிதறல் கோணம். சமன்பாடு (9.13) இன் படி, மோதல் காரணி அதிகரிக்கும் போது சிதறல் கோணம் குறைகின்றது. மோதல் காரணியின் மதிப்பு சிறியதாக இருந்தால், ஆல்பா துகள்களின் விலகல் அதிகமாக இருக்கும்.
ரூதர்போர்டு மாதிரியின் குறைபாடுகள்
அணுக்கருவின் விட்டம் மற்றும் அணுவின் அளவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கு ரூதர்போர்டு அணு மாதிரி பயன்பட்டாலும் அதில் கீழ்க்கண்ட குறைபாடுகள் உள்ளன.
அ) அணுக்கருவைச் சுற்றி எலக்ட்ரான்களின் பரவல் மற்றும் அணுவின் நிலைத்தன்மை ஆகியவற்றை இந்த அணுமாதிரியால் விளக்க முடியவில்லை.
ஆ) பண்டைய மின்னியக்கவியல் (Classical electrodynamics) கொள்கைப்படி, முடுக்கப்பட்ட மின்துகள் மின்காந்தக் கதிர்களை உமிழ்கிறது. இதனால், அது ஆற்றலை இழக்கின்றது. எனவே, ஒரே வட்டப்பாதையில் அதன் இயக்கத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்ள இயலாது. அதன் சுற்றுப்பாதையின் ஆரம் சிறிது சிறிதாகக் குறைந்து (சுருள் வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொண்டு), இறுதியில் அணுக்கருவினுள் விழ வேண்டும் (படம் 9.13). இதனால் அணு சிதைவுற வேண்டும். ஆனால் இது நடைபெறுவதில்லை. எனவே, ரூதர்போர்டு அணு மாதிரி அணுக்களின் நிலைத்தன்மையை விளக்க முடியவில்லை.
இ) இந்த அணு மாதிரியின் படி, கதிர்வீச்சின் நிறமாலை தொடர் வெளிவிடு நிறமாலையாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் சோதனைகள் மூலம், அணுக்கள் வரி நிறமாலையையே வெளிவிடுகின்றன என்பதை நாம் காண்கிறோம்.
போர் அணு மாதிரி#
அணுவின் நிலைத்தன்மை மற்றும் ஹைட்ரஜன் அணுவின் வரி நிறமாலை ஆகியவற்றை விளக்குவதில் ரூதர்போர்டு அணு மாதிரியின் குறைபாடுகளைப் போக்கும் வகையில், ரூதர்போர்டு அணு மாதிரியில் சில மாற்றங்களை நீல்ஸ் போர் செய்தார். ஹைட்ரஜன் அணுவின் வரி நிறமாலையை விளக்கும் பொருட்டு அணுவின் அமைப்பு குறித்த தகுந்த கருத்தியல் விளக்கத்தை முதலில் கூறியவர் அவரே. அவரது எடுகோள்கள் பின்வருமாறு:
போர் அணு மாதிரியின் எடுகோள்கள்
(அ) கூலூம் நிலைமின்னியல் கவர்ச்சி விசையினால் அணுக்கருவைச் சுற்றி ஓர் எலக்ட்ரான் வட்டப்பாதையில் இயங்குகின்றது. வட்டப்பாதையில் எலக்ட்ரான் இயங்கத் தேவையான மைய நோக்கு விசையை இந்த கூலூம் விசை அளிக்கின்றது.
(ஆ) அணுவில் உள்ள எலக்ட்ரான்கள் குறிப்பிட்ட சில தனித்தனியான (discrete) பாதைகளில் அணுக்கருவைச் சுற்றி வருகின்றன; இப்பாதைகளில் எலக்ட்ரான்கள் சுற்றும் போது அவை மின்காந்த ஆற்றலைக் கதிர் வீசுவதில்லை. இவ்வாறு அனுமதிக்கப்பட்ட தனித்தனியான சுற்றுப்பாதைகள் நிலைத்தன்மை பெற்றவை.
இத்தகைய நிலைத்தன்மை பெற்ற சுற்றுப்பாதைகளில் உள்ள எலக்ட்ரானின் கோண உந்தத்தின் ($l$) மதிப்பானது குவாண்டப் படுத்தப்பட்டுள்ளது. அதாவது அதன் மதிப்பு $\frac{h}{2\pi}$ முழு மடங்காகவே இருக்கும். இதைச் சமன்பாடு வடிவில் $l = n \hbar$ என்று எழுதலாம். இங்கு $\hbar$ (h பார் என்று படிக்க வேண்டும்) என்பது சுருக்கிய பிளாங்க் மாறிலி $\left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right)$ மற்றும் $n$ என்பது முதன்மை குவாண்டம் எண் ஆகும். இந்த நிபந்தனை கோண உந்த குவாண்டமாக்கல் (angular momentum quantization) அல்லது குவாண்டமாக்கல் நிபந்தனை என அழைக்கப்படுகிறது.
எலக்ட்ரான்கள் உள்ளிட்ட துகள்கள் இருமைப்பண்பு பெற்றவை. (காண்க. +2 இயற்பியல் பாடநூல்: தொகுதி-2 அலகு-8), நிலைத்தன்மை பெற்ற பாதையில் சுற்றி வரும் எலக்ட்ரான்களுடன் தொடர்புள்ள நிலையலைகளின் (standing wave) அமைப்புகள் படம் 9.15-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் எலக்ட்ரான் சுற்றுப்பாதையின் சுற்றளவானது டி ப்ராய் அலைநீளத்தின் முழு மடங்காக இருக்க வேண்டும்.
$$2\pi r = n\lambda \quad (9.14)$$இங்கு $n = 1,2,3,…..$
$m$ நிறையும் $v$ திசைவேகமும் கொண்ட எலக்ட்ரானின் டி ப்ராய் அலைநீளம் $\lambda = \frac{h}{mv}$. எனவே
$$2\pi r = n \left( \frac{h}{mv} \right)$$$$mvr = n \frac{h}{2\pi} = n \hbar$$$m$ நிறையும் $v$ திசைவேகமும் கொண்ட எந்த ஒரு துகளும் $r$ ஆரம் கொண்ட வட்டப்பாதை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும்போது, அதன் கோண உந்தத்தின் எண் மதிப்பு $l = r(mv)$. எனவே $l = n\hbar$.
(இ) சுற்றுப்பாதைகளின் ஆற்றல் தொடர்ச்சியாக இல்லாமல் தனித்தனி மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இதையே ஆற்றலின் குவாண்டமாக்கல் என்பர். இரு சுற்றுப்பாதைகளின் ஆற்றல் வேறுபாட்டுக்கு ($\Delta E$) சமமான ஆற்றல் கொண்ட ஃபோட்டானை உட்கவர்வதனாலோ அல்லது வெளிவிடுவதனாலோ எலக்ட்ரான் ஒரு சுற்றுப்பாதையிலிருந்து மற்றொன்றுக்குத் தாவ இயலும் (படம் 9.16)
$$\Delta E = E_{\text{இறுதி}} - E_{\text{தொடக்கம்}} = h\nu = h \frac{c}{\lambda}$$இங்கு $c$ என்பது ஒளியின் திசைவேகம், $\lambda$ கதிர்வீச்சின் அலைநீளம் மற்றும் $\nu$ கதிர்வீச்சின் அதிர்வெண் ஆகும். எனவே, உமிழ்ப்பும் கதிர்வீச்சின் அதிர்வெண், அணுவின் ஆற்றல் மாறுபாட்டை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. மேலும் அது எலக்ட்ரானின் சுற்றுப்பாதை இயக்கத்தின் அதிர்வெண்ணைச் சார்ந்ததல்ல.
எடுத்துக்காட்டு 9.1
ஹைட்ரஜன் அணுவின் 5வது சுற்றுப்பாதையின் ஆரம் 13.25 Å எனில், அச்சுற்றுப்பாதையில் உள்ள எலக்ட்ரானின் அலைநீளத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு $2\pi r = n\lambda$
$$2 \times 3.14 \times 13.25\text{Å} = 5 \times \lambda$$$$\therefore \lambda = 16.64 \text{Å}$$எடுத்துக்காட்டு 9.2
ஹைட்ரஜன் அணுவின் 5வது சுற்றுப்பாதையில் (i) கோண உந்தம் மற்றும் (ii) அதிலுள்ள எலக்ட்ரானின் திசைவேகம் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுக. ($h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}, m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$)
தீர்வு
(i) கோண உந்தம்
$$l = n\hbar = \frac{nh}{2\pi} = \frac{5 \times 6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} = 5.25 \times 10^{-34} \text{ kg m}^2 \text{s}^{-1}$$(ii) திசைவேகம்
$$v = \frac{l}{mr} = \frac{5.25 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31})(13.25 \times 10^{-10})} = 4.4 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$$எலக்ட்ரான் சுற்றுப்பாதையின் ஆரம் மற்றும் திசைவேகம்
நிலையாகவுள்ள அணுக்கரு மற்றும் $r$ ஆரம் கொண்ட வட்டப்பாதையில் அணுக்கருவைச் சுற்றி இயங்கும் எலக்ட்ரான் கொண்ட அணு ஒன்றைக் கருதுக.(படம்9.17).அணுக்கருவானது புரோட்டான் மற்றும் நியூட்ரான்களை உள்ளடக்கியது. புரோட்டான் நேர்மின்தன்மையையும் நியூட்ரான் மின் நடுநிலையையுமாக உள்ளதால், அணுக்கருவின் மின்னூட்டம் முழுவதும் புரோட்டான்களின் மின்னூட்டத்தையே சாரும்.
குறிப்பிட்ட ஒரு அணுவின் அணு எண் $Z$ என்க. எனில் $+Ze$ என்பது அணுக்கருவின் (புரோட்டான்களின்) மின்னூட்டம் மற்றும் $-e$ என்பது எலக்ட்ரானின் மின்னூட்டம் ஆகும். கூலாம் விதிப்படி,
$$\vec{F}_{\text{கூலாம்}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(+Ze)(-e)}{r_n^2} \hat{r} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r_n^2} \hat{r}$$இந்த விசையே எலக்ட்ரான் சுற்றுப்பாதையில் இயங்கத் தேவைப்படும் மையநோக்கு விசையை அளிக்கிறது.
$$\vec{F}_{\text{மையநோக்கு}} = \frac{mv_n^2}{r_n} \hat{r}$$வட்ட சுற்றுப்பாதையில் இயங்கும் எலக்ட்ரானின் நிறை $m$ எனவும் அதன் திசைவேகம் $v_n$ எனவும் கொள்க.
$$|\vec{F}_{\text{கூலாம்}}| = |\vec{F}_{\text{மையநோக்கு}}|$$$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r_n^2} = \frac{mv_n^2}{r_n}$$$$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 (mv_n r_n)^2}{Z m e^2} \quad (9.15)$$நீல்ஸ் போர் கொள்கையின் படி, கோண உந்த குவாண்டமாக்கல் நிபந்தனை, $mv_n r_n = l_n = n\hbar$, ஆகும். எனவே,
$$\therefore r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 (n\hbar)^2}{Z m e^2} = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{Z m e^2}$$$$r_n = \left( \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right) \frac{n^2}{Z} \quad (\because \hbar = \frac{h}{2\pi}) \quad (9.16)$$இங்கு $n \in \mathbb{N}$. மேலும் $\varepsilon_0$, $h$, $e$ மற்றும் $\pi$ ஆகியவை மாறிலிகள். ஆதலால் சுற்றுப்பாதையின் ஆரம்
$$r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$$இங்கு $a_0 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} = 0.529 \text{ Å}$. இதுவே போர் ஆரம் எனப்படும். இது அணு ஒன்றின் உள்ள சுற்றுப்பாதையின் சிறும ஆரம் ஆகும். போர் ஆரம் ஆனது போர் எனும் நீளத்தின் ஒரு அலகாகப்படுகிறது. 1 Bohr = 0.53 Å ஹைட்ரஜன் அணுவுக்கு ($Z = 1$), $n$ ஆவது சுற்றுப்பாதையின் ஆரம்
$$r_n = a_0 n^2$$$n=1$, முதல் சுற்றுப்பாதைக்கு (அடிநிலை)
$$r_1 = a_0 = 0.529 \text{ Å}$$$n=2$, இரண்டாவது சுற்றுப்பாதைக்கு (முதல் கிளர்வு நிலை)
$$r_2 = 4a_0 = 2.116 \text{ Å}$$$n=3$, மூன்றாவது சுற்றுப்பாதைக்கு (இரண்டாவது கிளர்வு நிலை),
$$r_3 = 9a_0 = 4.761 \text{ Å}$$மற்றும் பல … ஆகவே, சுற்றுப்பாதையின் ஆரம் $r_n \propto n^2$ என்றவாறு அதிகரிக்கின்றது (படம் 9.18).
மேலும், போரின் கோண உந்த குவாண்டமாக்கல் நிபந்தனைப்படி,
$$mv_n a_0 \frac{n^2}{Z} = n \hbar \quad \left[ \because r_n = a_0 \frac{n^2}{Z} \right]$$$$v_n = \frac{\hbar}{m a_0 n} Z$$$$v_n \propto \frac{1}{n}$$படம் 9.19 இல் இருந்து, முதன்மை குவாண்டம் எண் அதிகரிக்கும் போது எலக்ட்ரானின் திசைவேகம் குறைகிறது என்பதைக் கவனிக்கவும். இவ்வரைபடம் ஒரு செவ்வகப் பரவளையமாகும். கிளர்ச்சி நிலைகளுடன் ஒப்பிடும் போது, அடிநிலையிலுள்ள எலக்ட்ரானின் திசைவேகம் பெருமமாக உள்ளதை இது உணர்த்துகிறது.
n-ஆவது வட்டப்பாதையில் எலக்ட்ரானின் ஆற்றல்
நிலை மின்னியல் விசை ஒரு ஆற்றல் மாறா விசை ஆதலால், $n$ ஆவது சுற்றுப்பாதையின் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல்
$$U_n = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(+Ze)(-e)}{r_n} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r_n}$$$$= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{\left( \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \frac{n^2}{Z} \right)} = -\frac{Z^2 m e^4}{4\varepsilon_0^2 h^2 n^2} \quad (9.16)$$$n$ ஆவது சுற்றுப்பாதையில் எலக்ட்ரானின் இயக்க ஆற்றல்
$$KE_n = \frac{1}{2} m v_n^2 = \frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \frac{Z^2}{n^2}$$இதிலிருந்து $U_n = -2 KE_n$
$n$ ஆவது சுற்றுப்பாதையின் மொத்த ஆற்றல்
$$E_n = KE_n + U_n = KE_n - 2 KE_n = -KE_n$$$$E_n = -\frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \frac{Z^2}{n^2} \quad (9.17)$$ஹைட்ரஜன் அணுவுக்கு ($Z = 1$),
$$E_n = -\frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} \text{ joule}$$இங்கு $n$ என்பது முதன்மை குவாண்டம் எண். சமன்பாடு (9.17)-ல் தோன்றும் எதிர்க்குறி அணுக்கருடன் எலக்ட்ரான் பிணைக்கப்பட்டுள்ளதைக் காட்டுகிறது.
எலக்ட்ரானின் நிறை $m$, மின்னூட்டம் $e$, வெற்றிடத்தின் விருதிறன் $\varepsilon_0$ மற்றும் பிளாங்க் மாறிலி $h$ ஆகிய மதிப்புகளைப் பிரதியிடு, eV அலகில் எழுதினால்
$$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$$முதல் சுற்றுப்பாதையில் (அடிநிலை), எலக்ட்ரானின் மொத்த ஆற்றல் $E_1 = - 13.6 \text{ eV}$. இரண்டாவது சுற்றுப்பாதையில் (முதல் கிளர்வு நிலை), எலக்ட்ரானின் மொத்த ஆற்றல் $E_2 = -3.4 \text{ eV}$. மூன்றாவது சுற்றுப்பாதையில் (இரண்டாவது கிளர்வு நிலை), எலக்ட்ரானின் மொத்த ஆற்றல் $E_3 = -1.51 \text{ eV}$ இதேபோல் அடுத்தடுத்த ஆற்றல் நிலைகளும் அமையும்.
அடிநிலையின் ஆற்றலை விட, முதல் கிளர்வு நிலையின் ஆற்றல் அதிகமாகும்; அதை (முதல் கிளர்வு நிலையின் ஆற்றல்) விட இரண்டாவது கிளர்வு நிலையின் ஆற்றல் அதிகமாகவும் உள்ளதைக் கவனிக்கவும். அணுக்கருவுக்கு மிகவும் அருகில் அமைந்துள்ள சுற்றுப்பாதையின் ஆற்றல், சிறும மதிப்பைப் பெற்றுள்ளது. எனவே இதை அடிநிலை ஆற்றல் (சிறும நிலை ஆற்றல்) என்கிறோம். ஹைட்ரஜனின் அடிநிலை ஆற்றல் மதிப்பு -13.6 eV ஆகும். இந்த மதிப்பு ரிட்பெர்க் எனும் ஆற்றலின் ஒரு அலகாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது, 1 ரிட்பெர்க் (Rydberg) = -13.6 eV.
ஆற்றலின் மதிப்புகள் எதிர்க்குறியைப் பெற்றிருப்பதற்குக் காரணம் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலின் சுழிமதிப்பை வரையறுக்கும் முறைதான். அணுக்கருவிலிருந்து முடிவிலாத் தொலைவிற்கு (அதாவது, மிக அதிகத் தொலைவிற்கு) எலக்ட்ரானை எடுத்துச் செல்லும்போது, நிலை மின்னழுத்த மற்றும் இயக்க ஆற்றல்கள் சுழி மதிப்பை அடைகின்றன. அதாவது, மொத்த ஆற்றல் சுழி மதிப்பை அடைகின்றது.
படம் 9.20-இல், அதிகரிக்கும் $n$-இன் மதிப்புக்கு ஏற்ப ஆற்றல் மட்டப் படங்களும் சுற்றுப்பாதைகளின் வடிவங்களும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. முதன்மை குவாண்டம் எண்ணின் ($n$) மதிப்பு அதிகரிக்கும் போது, கிளர்ச்சி நிலைகளின் ஆற்றல் மட்டங்கள் நெருக்கமாக உள்ளதைக் கவனிக்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு 9.3
அ) முதல் போர் சுற்றுப்பாதையில், எலக்ட்ரானின் திசைவேகத்திற்கும் ஒளியின் திசைவேகத்திற்கும் இடையேயான தகவு பரிமாணம் இல்லாத ஒரு எண் என்பதை நிறுவுக. ஆ) போர் அணுமாதிரியில் அடிநிலை, முதல் கிளர்வு நிலை மற்றும் இரண்டாவது கிளர்வு நிலைகளில் உள்ள எலக்ட்ரான்களின் திசைவேகங்களைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு:
$n$ ஆவது சுற்றுப்பாதையில் எலக்ட்ரானின் திசைவேகம்
$$v_n = \frac{\hbar}{m a_0 n} Z = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 h n} \quad \left( \because a_0 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right)$$$$v_n = c \left( \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h c} \right) \frac{Z}{n} = \frac{\alpha c Z}{n}$$இங்கு $c$ என்பது வெற்றிடத்தில் ஒளியின் திசைவேகம், இதன் மதிப்பு $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$ மற்றும் $\alpha$ என்பது நுண்வரியமைப்பு மாறிலி (fine structure constant). ஹைட்ரஜன் அணுவுக்கு $Z=1$ மற்றும் முதல் சுற்றுப்பாதைக்கு $n=1$. எனவே முதல் சுற்றுப்பாதையில் எலக்ட்ரானின் திசைவேகத்திற்கும் வெற்றிடத்தில் ஒளியின் திசைவேகத்திற்கும் இடையேயான தகவு
$$\frac{v_1}{c} = \alpha = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h c}$$$$= \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}$$$$= \frac{2.56 \times 10^{-38}}{350.6 \times 10^{-38}} \approx \frac{1}{136.9} = \frac{1}{137}$$இது ஒரு பரிமாணம் இல்லாத எண் ஆகும். ஆ) நுண்வரியமைப்பு மாறிலியைப் பயன்படுத்தி, எலக்ட்ரானின் திசைவேகத்தைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்
$$v_n = \frac{\alpha c Z}{n}$$ஹைட்ரஜன் அணுவுக்கு $Z = 1$. எனவே $n$ ஆனது சுற்றுப்பாதையில், எலக்ட்ரானின் திசைவேகம்
$$v_n = \frac{c}{137} \frac{1}{n} = (2.19 \times 10^6) \frac{1}{n} \text{ ms}^{-1}$$முதல் சுற்றுப்பாதையில் (அடிநிலை), எலக்ட்ரானின் திசைவேகம்
$$v_1 = 2.19 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$$இரண்டாவது சுற்றுப்பாதையில் (முதல் கிளர்வு நிலை), எலக்ட்ரானின் திசைவேகம்
$$v_2 = 1.095 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$$மூன்றாவது சுற்றுப்பாதையில் (இரண்டாவது கிளர்வு நிலை), எலக்ட்ரானின் திசைவேகம்
$$v_3 = 0.73 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$$இதிலிருந்து, $v_1 > v_2 > v_3$
எடுத்துக்காட்டு 9.4
அணுக்கரு நிலையாகவும் அணுக்கருவைச் சுற்றி எலக்ட்ரான்கள் இயங்குதலாகவும் கருத்தில் கொண்டு போர் அணுமாதிரியின் சமன்பாடுகள் தருவிக்கப்பட்டுள்ளன. அணுக்கருவும் இயக்கத்தில் உள்ளதாகக் கருதினால், அத்தகைய அமைப்பில் ஆற்றலின் கோவையைத் தருவிக்கவும்.
தீர்வு:
எலக்ட்ரானின் நிறை $m$ மற்றும் அணுக்கருவின் நிறை $M$ என்க. புறவிசை ஏதும் இவ்வமைப்பின் மீது செயல்படாததால், ஹைட்ரஜன் அணுவின் நிறை மையம் நிலையாக இருக்கும். எனவே, நிறையின் மையத்தைப் பொருத்து அணுக்கருவும் எலக்ட்ரானும் இயக்கத்தில் இருக்கும் (படம் 9.21).
எலக்ட்ரானின் திசைவேகம் $v$ மற்றும் அணுக்கருவின் திசைவேகம் $V$ என்க. இவ்வமைப்பின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் சுழி ஆகும். எனவே,
$$-mv + MV = 0 \text{ அல்லது}$$$$MV = mv = p$$$$|\vec{p}_e| = |\vec{p}_n| = p$$எனவே, அமைப்பின் இயக்க ஆற்றல்
$$KE = \frac{p_n^2}{2M} + \frac{p_e^2}{2m} = \frac{p^2}{2} \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{m} \right)$$$$\frac{1}{M} + \frac{1}{m} = \frac{1}{\mu_m} \quad \text{இங்கு } \mu_m \text{ என்பது சுருக்கிய நிறை (reduced mass) எனப்படும்.}$$மேலும் $\mu_m = \frac{mM}{M+m}$ எனவே, இப்போது அமைப்பின் இயக்க ஆற்றல்
$$KE = \frac{p^2}{2\mu_m}$$அமைப்பின் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல் எந்த மாறுபாடும் அடையாததால், நிறைக்குப் பதிலாக சுருக்கிய நிறையைப் பதிலீடு செய்து ஹைட்ரஜன் அணுவின் மொத்த ஆற்றலைப் பெறலாம்.
$$E_n = -\frac{\mu_m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2}$$எலக்ட்ரானின் நிறையைக் காட்டிலும் அணுக்கருவின் நிறை மிக அதிகமாதலால், சுருக்கிய நிறையின் மதிப்பு ஆனது எலக்ட்ரானின் நிறைக்கு ஏறத்தாழ சமமாகும்.
கிளர்வு ஆற்றலும் கிளர்வு மின்னழுத்தமும்
எந்தவொரு குறைந்த ஆற்றல் நிலையிலிருந்து அதைவிட அதிக ஆற்றல் நிலைக்கு ஒரு எலக்ட்ரானை கிளர்வுறச் செய்யத் தேவைப்படும் ஆற்றல் கிளர்வு ஆற்றல் எனப்படும்.
அடிநிலையிலிருந்து ($n=1$) முதல் கிளர்வு நிலைக்கு ($n=2$) ஒரு எலக்ட்ரானை எடுத்துச் செல்லத் தேவைப்படும் கிளர்வு ஆற்றலானது முதல் கிளர்வு ஆற்றல் எனப்படுகிறது.
$$E_I = E_2 - E_1 = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$$இதேபோல், அடிநிலையிலிருந்து ($n = 1$) இரண்டாவது கிளர்வு நிலைக்கு ($n = 3$) எடுத்துச்செல்லத் தேவைப்படும் கிளர்வு ஆற்றல் இரண்டாம் கிளர்வு ஆற்றல் எனப்படுகிறது
$$E_{II} = E_3 - E_1 = -1.51 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 12.1 \text{ eV}$$அதேபோல் அடுத்தடுத்தவை.
ஒரு மின்னூட்டம் பெற்ற மின்னுகள் ஒன்றின் கிளர்வு ஆற்றல் கிளர்வு மின்னழுத்தம் என்றழைக்கப்படுகிறது. ஹைட்ரஜன் அணுவிற்கு முதல் கிளர்வு ஆற்றல், $E_I = e V_I$ எனவே ஹைட்ரஜன் அணுவின் முதல் கிளர்வு மின்னழுத்தம்,
$$V_I = \frac{1}{e} E_I = 10.2 \text{ volt}$$அதேபோல் ஹைட்ரஜன் அணுவின் இரண்டாம் கிளர்வு மின்னழுத்தம்,
$$V_{II} = \frac{1}{e} E_{II} = 12.1 \text{ volt}$$அதேபோல் அடுத்தடுத்தவை.
அயனியாக்க ஆற்றலும் அயனியாக்க மின்னழுத்தமும்
எலக்ட்ரான் ஒன்றை அணுவிலிருந்து முற்றிலுமாக வெளியேற்றினால், அதாவது, $E \to \infty$ என்ற ஆற்றல் நிலையை அது அடைந்தால், அவ்வணு அயனியாக்கம் செய்யப்பட்டுள்ளது எனலாம். அடிநிலையிலுள்ள அணுவின் எலக்ட்ரான் ஒன்றை அதிலிருந்து வெளியேற்றத் தேவைப்படும் சிறும ஆற்றல் பிணைப்பு ஆற்றல் அல்லது அயனியாக்க ஆற்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஹைட்ரஜனின் அடிநிலை அயனியாக்க ஆற்றல்,
$$E_{\text{அயனியாக்கம்}} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$$$n$ ஆவது ஆற்றல் நிலையில் ஒரு எலக்ட்ரானை வெளியேற்றத் தேவைப்படும் அயனியாக்க ஆற்றல்,
$$E_{\text{அயனியாக்கம்}} = E_{\infty} - E_n = 0 - \left( -\frac{13.6}{n^2} Z^2 \text{ eV} \right) = \frac{13.6}{n^2} Z^2 \text{ eV}$$சாதாரண அறை வெப்பநிலையில், ஹைட்ரஜன் அணுவிலுள்ள ($Z=1$) எலக்ட்ரான் பெரும்பாலும் அடிநிலையிலேயே உள்ளது. அடிநிலையிலுள்ள எலக்ட்ரான் ஒன்றை கடைசி ஆற்றல் நிலைக்கு ($n \to \infty$ எனில் $E = 0$) மாற்றத் தேவைப்படும் ஆற்றல் முதல் அயனியாக்க ஆற்றல் (13.6 eV) எனப்படும். இப்போது, அந்த ஹைட்ரஜன் அணு அயனியாக்க நிலையில் உள்ளது அல்லது ஹைட்ரஜன் அயனி $H^+$ என அழைக்கப்படுகிறது. நாம் அளிக்கும் ஆற்றல் அயனியாக்க ஆற்றலை விட அதிகமாக இருந்தால், அதிகப்படியாக உள்ள ஆற்றல் கட்டுறா எலக்ட்ரான்களின் (free electron) இயக்க ஆற்றலாக அளிக்கப்படும்.
ஓரலகு மின்னூட்டத்திற்கான அயனியாக்க ஆற்றல் அயனியாக்க மின்னழுத்தம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
$$V_{\text{அயனியாக்கம்}} = \frac{1}{e} E_{\text{அயனியாக்கம்}} = \frac{13.6}{n^2} Z^2 \text{ V}$$ஹைட்ரஜன் அணுவிற்கு ($Z=1$) அயனியாக்க மின்னழுத்தம்
$$V = \frac{13.6}{n^2} \text{ volt}$$அடிநிலை, முதல் கிளர்வு நிலை மற்றும் இரண்டாம் கிளர்வு நிலைகளின் ஆரம், திசைவேகம் மற்றும் மொத்த ஆற்றல் ஆகியவை அட்டவணை 9.1-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
அட்டவணை 9.1
| இயற்பியல் அளவீடு | அடி நிலை | முதல் கிளர்வு நிலை | இரண்டாம் கிளர்வு நிலை |
|---|---|---|---|
| ஆரம் ($r_n \propto n^2$) | 0.529 Å | 2.116 Å | 4.761 Å |
| திசைவேகம் ($v_n \propto n^{-1}$) | $2.19 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ | $1.095 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ | $0.73 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ |
| மொத்த ஆற்றல் ($E_n \propto n^{-2}$) | -13.6 eV | -3.4 eV | -1.51 eV |
எடுத்துக்காட்டு 9.5
ஹைட்ரஜனைப் போன்றதொரு அணு ஒன்றின் ஆற்றல் $E_n = -\frac{54.4}{n^2} \text{ eV}$, எனில் பின்வருவனவற்றைக் கணக்கிடவும். இங்கு $n \in \mathbb{N}$ அ) அந்த அணுவின் ஆற்றல் மட்டங்களை வரையவும்; மேலும் அதன் அணு எண்ணைக் கணக்கிடவும். ஆ) அணு அடிநிலையில் உள்ளது எனில், அதன் முதல் கிளர்வு மின்னழுத்தம் மற்றும் அயனியாக்க மின்னழுத்தம் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுக. இ) முறையே 42 eV மற்றும் 51 eV ஆற்றல் கொண்ட இரு ஃபோட்டான்களை அந்த அணுவின் மீது மோதச் செய்தால், அவற்றை அந்த அணு உட்கவருமா? ஈ) முதல் போர் சுற்றுப்பாதையின் ஆரத்தைக் கண்டுபிடி. உ) அடிநிலையில் அதன் இயக்க மற்றும் மின்னழுத்த ஆற்றல்களைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு
அ) $E_n = -\frac{54.4}{n^2} \text{ eV}$ எனவே, $n = 1$ எனில், அடிநிலை ஆற்றல் $E_1 = -54.4 \text{ eV}$ $n = 2$ எனில், $E_2 = -13.6 \text{ eV}$ $n = 3$ எனில், $E_3 = -6.04 \text{ eV}$ $n = 4$ எனில், $E_4 = -3.4 \text{ eV}$ அதேபோல் மற்றவை முதன்மை குவாண்டம் எண்ணின் பெரும் மதிப்பு — அதாவது $n = \infty$ எனில் $E_{\infty} = 0 \text{ eV}$. ஆ) ஹைட்ரஜனைப் போன்றதொரு அணுவிற்கு அடிநிலை ஆற்றல்,
$$E_1 = -\frac{13.6}{n^2} Z^2 \text{ eV}$$$Z$ என்பது அணு எண்; கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஆற்றல் மதிப்பை ஒப்பிடும் போது, $-13.6 Z^2 = -54.4 \Rightarrow Z^2 = 4 \Rightarrow Z = \pm 2$ அணு எண் எதிர்க்குறி எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே $Z = 2$. முதல் கிளர்வு ஆற்றல்
$$E_I = E_2 - E_1 = -13.6 \text{ eV} - (-54.4 \text{ eV}) = 40.8 \text{ eV}$$எனவே முதல் கிளர்வு மின்னழுத்தம்
$$V_I = \frac{1}{e} E_I = \frac{1}{e}(40.8 \text{ eV}) = 40.8 \text{ volt}$$முதல் அயனியாக்க ஆற்றல்
$$E_{\text{அயனியாக்கம்}} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-54.4 \text{ eV}) = 54.4 \text{ eV}$$முதல் அயனியாக்க மின்னழுத்தம்
$$V_{\text{அயனியாக்கம்}} = \frac{1}{e} E_{\text{அயனியாக்கம்}} = 54.4 \text{ volt}$$இ) இரு ஃபோட்டான்களை $A$ மற்றும் $B$ என்க. ஃபோட்டான் $A$-வின் ஆற்றல் 42 eV மற்றும் ஃபோட்டான் $B$-ன் ஆற்றல் 51 eV. போர் கொள்கையின் படி, ஆற்றல் மட்டங்களுக்கு இடையேயான வேறுபாட்டுக்குச் சமமான ஆற்றல் கொண்ட ஃபோட்டானை அணு உட்கவரும்; சமமாக இல்லையெனில், உட்கவராது.
$$E_2 - E_1 = -13.6 \text{ eV} - (-54.4 \text{ eV}) = 40.8 \text{ eV} \approx 41 \text{ eV}$$அதேபோல்,
$$E_3 - E_1 = -6.04 \text{ eV} - (-54.4 \text{ eV}) = 48.36 \text{ eV}$$$$E_4 - E_1 = -3.4 \text{ eV} - (-54.4 \text{ eV}) = 51 \text{ eV}$$$$E_3 - E_2 = -6.04 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 7.56 \text{ eV}$$அதேபோல் அடுத்தடுத்தவை இங்கு, $E_2 - E_1 \neq 42 \text{ eV}$, $E_3 - E_1 \neq 42 \text{ eV}$, $E_4 - E_1 \neq 42 \text{ eV}$ மற்றும் $E_3 - E_2 \neq 42 \text{ eV}$. எந்தவொரு வாய்ப்பிலும் (42 eV) ஃபோட்டான் ஆற்றல் மதிப்பின் முழு மடங்குக்குச் சமமான ஆற்றல் வேறுபாடு அமையாததால், ஃபோட்டான் $A$ இந்த அணுவால் உட்கவரப்படுவதில்லை. ஆனால், ஃபோட்டான் $B$ யைப் பொருத்தவரை, $E_4 - E_1 = 51 \text{ eV}$, ஆகையால், இவ்வணுவால், ஃபோட்டான் $B$ உட்கவரப்படுகின்றது. ஈ) போர் சுற்றுப்பாதையின் ஆரம் $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$, $n = 1$, $z = 2$
$$r_1 = \frac{a_0}{2} = \frac{0.529}{2} = 0.265 \text{ Å}$$உ) போர் அணுமாதிரியில், மொத்த ஆற்றலானது இயக்க ஆற்றலின் எதிர்க்குறி மதிப்புக்குச் சமம் ஆதலால்,
$$KE_n = -E_n = -\left( -\frac{54.4}{n^2} \text{ eV} \right) = \frac{54.4}{n^2} \text{ eV}$$நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலானது இயக்க ஆற்றலின் எதிர்க்குறி மதிப்பின் இரு மடங்காகும். எனவே,
$$U_n = -2 KE_n = -2 \left( \frac{54.4}{n^2} \text{ eV} \right) = -\frac{108.8}{n^2} \text{ eV}$$தரை நிலைக்கு $n=1$ $KE_1 = 54.4 \text{ eV}$ மற்றும் $U_1 = -108.8 \text{ eV}$
அணு நிறமாலை#
பல்வேறு திட, திரவ மற்றும் அடர்த்தியான வாயுப் பொருள்களை வெப்பப்படுத்தினால், அவை வெளிவிடும் மின்காந்தக் கதிர்கள் தொடர் நிறமாலையாகக் காணப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வெள்ளை நிற ஒளியை நிறமாலைமானியின் உதவியுடன் ஆராய்ந்தால், அதில் மின்காந்தக் கதிர்களின் அனைத்து அலைநீளங்களும் தொடர் நிறமாலையாகக் காணப்படுகின்றன.
இருபதாம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில், தீச்சுடர் மற்றும் மின்னிறக்கக் குழாய் ஆகியவற்றில் வைக்கப்பட்ட பல்வேறு தனிம அணுக்களினால் வெளிவிடப்படும், தனித்தன்மை கொண்ட கதிர்வீச்சுகளை ஆராய்வதில் பல அறிவியல் அறிஞர்கள் ஈடுபட்டனர். அவற்றை நிறமாலைமானியின் உதவியால் பார்க்கும் போது அல்லது புகைப்படம் எடுத்துப் பார்க்கும் போது, தொடர் நிறமாலைக்குப் பதிலாக ஒவ்வொன்றிற்கும் தனித்துவமாக உள்ள தனித்தனியான வரிகளின் தொகுப்பு காணப்பட்டது. அதாவது, வெளிவிடப்படும் (நிறமாலை) ஒளியின் அலை நீளங்கள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் அவற்றின் இருப்பு நிலை மற்றும் பொலிவு ஆகியவை அந்தத் தனிமத்துக்கே உரித்தனவாகவும் இருந்தன (படம் 9.21).
ஒவ்வொரு தனிமத்திற்கும் அதற்கே உரித்தான, தனித்தன்மை கொண்ட நிறமாலை உள்ளதையும் அதைப் பயன்படுத்தி தனிமத்தைக் கண்டறியலாம் என்பதையும் (ஒவ்வொரு மனிதரையும் கண்டறிய அவரது விரல் ரேகைகள் பயன்படுவது போல) இதன் மூலம் புரிந்து கொள்ள முடியும் — அதாவது, வெவ்வேறு வாயுக்களின் நிறமாலையும் வெவ்வேறாக இருக்கும். தனிமங்களின் வரி நிறமாலைகளின் தனித்துவத்தின் அடிப்படையில், விண்மீன்கள், சூரியன் மற்றும் இனம் கண்டறியாத சேர்மங்கள் ஆகியவற்றின் உள்ளடக்கங்களை அறிவியல் அறிஞர்கள் கண்டுபிடித்தனர்.
ஹைட்ரஜன் நிறமாலை
குழாயில் அடைக்கப்பட்ட ஹைட்ரஜன் வாயுவை வெப்பப்படுத்தும் போது, அதில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட, குறிப்பிட்ட அலைநீளங்களைக் கொண்ட சில மின்காந்த கதிர்வீச்சுகள் வெளியாகின்றன. இதுவே ஹைட்ரஜன் நிறமாலை எனப்படுகிறது. (XII-வகுப்பு தொகுதி 1, அலகு -5) ஹைட்ரஜனின் வெளிவிடு மற்றும் உட்கவர் நிறமாலைகள் படம் 9.22 (அ) மற்றும் (ஆ) வில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
எந்தவொரு வாயுவை வெப்பப்படுத்தினாலும், வெப்ப ஆற்றல் எலக்ட்ரான்களைக் கிளர்வுறச் செய்கிறது. அதேபோல், அணுக்களின் வழியே ஒளியை செலுத்தும் போது, ஃபோட்டான்களை உட்கவர்வதன் மூலமாக எலக்ட்ரான்கள் கிளர்வுறுகின்றன.
போர் எடுகோள்களில் கூறப்பட்டுள்ளதப் போல (எடுகோள்-இ), போதுமான அளவு ஆற்றல் அளிக்கப்படும் போது, குறிப்பிட்ட அலைநீளம் (அல்லது அதிர்வெண்) கொண்ட ஆற்றலை உட்கவர்வதன் மூலம் எலக்ட்ரான்கள் அதன் நிலையில் இருந்து அதிக ஆற்றல் நிலைக்குத் தாவுகின்றன. குறிப்பிட்ட அலைநீளங்கள் (அல்லது அதிர்வெண்கள்) ஒளியில் இல்லாதபோது, அதன் உட்கவர் நிறமாலையில் இருள் வரிகளாகக் காணப்படுகின்றன (படம் 9.22 (ஆ).
கிளர்வு நிலைகளில் எலக்ட்ரான்களின் ஆயுட்காலம் மிகக் குறைவாக உள்ளதால் (கிட்டத்தட்ட $10^{-8}$s), தன்னியல்பு உமிழ்வின் காரணமாக அவை மீண்டும் அடி நிலைக்குத் தாவுகின்றன. எனவே எந்த நிறங்களை, அதாவது நிறமாலை வரிகளின் அலைநீளங்கள் போர் அணு மாதிரியின் படி தருவிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளுடன் சரியாக இணங்கி வருகின்றன.
$$\frac{1}{\lambda} = \bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \quad (9.18)$$இங்கு $\bar{\nu}$ என்பது அலை எண், அலைநீளத்தின் தலைகீழி, $R$ என்பது ரிட்பெர்க் மாறிலி $1.09737 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ மற்றும் $m,n$ ஆகியவை நேர்க்குறி முழுவெண்கள்; மேலும் $m > n$ என்ற நிபந்தனையில் பல்வேறு நிறமாலை தொடர்கள் இங்கே விளக்கப்படுகின்றன:
(அ) லைமன் வரிசை $n = 1$ மற்றும் $m = 2,3,4…….$ என சமன்பாடு (9.18)-ல் பிரதியிட, லைமன் வரிசையிலுள்ள நிறமாலை வரிகளின் அலை எண் அல்லது அலைநீளங்களைக் கணக்கிடலாம். இவ்வரிகள் புற ஊதாப் பகுதியில் காணப்படுகின்றன.
$$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{m^2} \right)$$(ஆ) பாமர் வரிசை $n = 2$ மற்றும் $m = 3,4,5…….$ என சமன்பாடு (9.18)-ல் பிரதியிட, பாமர் வரிசையிலுள்ள நிறமாலை வரிகளின் அலை எண் அல்லது அலைநீளங்களைக் கணக்கிடலாம். இவை கண்ணுறு ஒளிப் பகுதியில் காணப்படுகின்றன.
$$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right)$$(இ) பாஷன் வரிசை $n = 3$ மற்றும் $m = 4,5,6…….$ என சமன்பாடு (9.18)-ல் பிரதியிட பாஷன் வரிசையிலுள்ள நிறமாலை வரிகளின் அலை எண் அல்லது அலைநீளங்களைக் கணக்கிடலாம். இவை அருகமை அகச்சிவப்புப் மின்காந்த அலைநீளப்பகுதியில் (near infra-red) அமைந்துள்ளன.
$$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{m^2} \right)$$(ஈ) பிராக்கெட் வரிசை $n = 4$ மற்றும் $m=5,6,7…….$ என சமன்பாடு (9.18)ல் பிரதியிட, பிராக்கெட் வரிசையிலுள்ள நிறமாலை வரிகளின் அலை எண் அல்லது அலைநீளங்களைக் கணக்கிடலாம். இவ்வரிகள் அகச்சிவப்பு மின்காந்த அலைநீளப் பகுதியில் (அகச்சிவப்புப் பகுதியின் மையத்தில் middle infra-red) அமைந்துள்ளன.
$$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{m^2} \right)$$(உ) ஃபண்ட் வரிசை $n = 5$ மற்றும் $m = 6,7,8$ என சமன்பாடு (9.18)- ல் பிரதியிட, ஃபண்ட் வரிசையிலுள்ள நிறமாலை வரிகளின் அலைஎண் அல்லது அலைநீளங்களைக் கணக்கிடலாம். இவ்வரிகளும் அகச்சிவப்பு மின்காந்த அலைநீளப் பகுதியில் (அதிக அலைநீளம் கொண்ட அகச்சிவப்பு பகுதியில் far infra-red) அமைந்துள்ளன.
$$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{m^2} \right)$$ஹைட்ரஜனின் நிறமாலை வரிகள் வெவ்வேறு வரிசைத் தொகுதிகளாக உள்ளதைக் கவனிக்கவும். (படம் 9.23). ஒவ்வொரு வரிசைத் தொகுதியிலும் அலைநீளம் குறையக் குறைய, வரிசையிலுள்ள அடுத்தடுத்த அலைநீளங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவும் குறைகின்றது. மேலும், ஒவ்வொரு வரிசையிலும் அலைநீளங்கள் எல்லை மதிப்பை எட்டுவதைக் காணலாம். இது வரிசை எல்லை என்றழைக்கப்படும். இந்த வரிசைகளுக்கு லைமன் வரிசை, பாமர் வரிசை, பாஷன் வரிசை, பிராக்கெட் வரிசை மற்றும் ஃபண்ட் வரிசை என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளன. இந்த வரிசைகளிலுள்ள நிறமாலை வரிகளின் அலைநீளங்கள் போர் அணு மாதிரியின் படி தருவிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளுடன் சரியாக இணங்கி வருகின்றன.
மேற்கூறிய நிறமாலை வரிசைகள் அட்டவணை 9.2-ல் பட்டியல் இடப்பட்டுள்ளன.
அட்டவணை 9.2
| வரிசை பெயர் | n | m | மின்காந்த பகுதி |
|---|---|---|---|
| லைமன் | 1 | 2,3,4….. | புற ஊதா |
| பாமர் | 2 | 3,4,5….. | கண்ணுறு ஒளி |
| பாஷன் | 3 | 4,5,6….. | அகச்சிவப்பு |
| பிராக்கெட் | 4 | 5,6,7….. | அகச்சிவப்பு |
| ஃபண்ட் | 5 | 6,7,8….. | அகச்சிவப்பு |
போர் அணு மாதிரியின் குறைபாடுகள்:
போர் அணு மாதிரியின் குறைபாடுகள் பின்வருமாறு:
(அ) ஹைட்ரஜன் அல்லது ஹைட்ரஜனைப் போன்ற அணுக்களுக்கு மட்டுமே போர் அணு மாதிரி பொருத்தமானது. பிற சிக்கலான அணுக்களுக்கு இது பொருந்துவதில்லை.
(ஆ) ஹைட்ரஜன் நிறமாலையின் வரிகளை உற்றுநோக்கும் போது, ஒவ்வொரு வரியும் பல மங்கலான வரிகளால் ஆனது எனத் தெரிகிறது. இதை நுண்வரியமைப்பு (fine structure) என்பர். போர் கொள்கை இதற்கு விளக்கம் தரவில்லை.
(இ) நிறமாலை வரிகளின் செறிவில் காணப்படும் மாற்றங்களுக்கான விளக்கம் போர் அணு மாதிரியால் தரப்படவில்லை.
(ஈ) அணுக்களில் எலக்ட்ரான்களின் பகிர்வு தொடர்பான முழுமையான விளக்கமும் போர் அணு மாதிரியால் தரப்படவில்லை.