வெற்றி வெளியில் (free space) நிலையாக உள்ள இரு புள்ளி மின்துகள்களுக்கு இடையே காணப்படும் விசைக்கான கோவையை 1786 ஆம் ஆண்டில் கூலூம் என்பவர் தருவித்தார். படம் 1.2 இல் உள்ளவாறு வெற்றிடத்தில் r தொலைவில் பிரித்து வைக்கப்பட்டுள்ள இரு நிலையாகவுள்ள புள்ளி மின்துகள்களைக் கருதுவோம். அவற்றின் மின்னூட்டங்கள் முறையே $q_1$ மற்றும் $q_2$ ஆகும். கூலூம் விதிப்படி, புள்ளி மின்துகள் $q_2$ இன் மீது புள்ளி மின்துகள் $q_1$ செலுத்தும் விசையானது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது.
$$\vec{F}_{21} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12} \qquad (1.2)$$இங்கு $\hat{r}_{12}$ என்பது $q_1$ இலிருந்து $q_2$ வை நோக்கி வரையப்படும் ஓரலகு வெக்டர் மற்றும் k என்பது தகவு மாறிலி.
கூலூம் விதியின் முக்கிய இயல்புகள்#
(i) நிலையின் விசையானது புள்ளி மின்துகள்களின் மின்னூட்ட மதிப்பின் பெருக்கற்பலனுக்கு நேர்த்தகவிலும் அவற்றிற்கு இடையே உள்ள தொலைவின் இருமடிக்கு எதிர்த்தகவிலும் இருக்கும்.
(ii) $q_2$ மின்துகளின்மீது $q_1$ மின்துகள் செலுத்தும் விசை அவற்றை இணைக்கும் கோட்டின் திசையிலேயே இருக்கும். இதில் $\hat{r}{12}$ என்ற ஓரலகு வெக்டரானது மின்துகள் $q_1$ லிருந்து $q_2$ வை நோக்கிய திசையிலிருக்கும் [படம் 1.2]. அதேபோல், $q_1$ இன் மீது $q_2$ செலுத்தும் விசை $-\hat{r}{12}$ திசையிலிருக்கும் (அதாவது $\hat{r}_{12}$ ன் திசைக்கு எதிர்த்திசையில்).
(iii) SI அலகு முறையில், $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ மற்றும் k ன் மதிப்பு $9 \times 10^9$ N m² C⁻² என்றும் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. இங்கு $\varepsilon_0$ என்பது வெற்றிடத்தின் விடுதிறன் (Permittivity of free space) எனப்படும். அதன் மதிப்பு
$$\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k} = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$$(iv) ஒரு கூலூம் மின்னூட்ட மதிப்பு கொண்ட ஒரு மீட்டர் இடைவெளியில் வைக்கப்பட்டுள்ள இரு மின்துகள்களுக்கு இடையே செயல்படும் விசையின் மதிப்பைப் பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்.
$$F = 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 9 \times 10^9 \text{ N}$$இது மிகப்பெரிய விசையாகும். கிட்டத்தட்ட ஒரு மில்லியன் டன் நிறை கொண்ட பொருளின் எடைக்குச் சமமாகும். நடைமுறையில் 1 கூலூம் அளவு மின்னூட்டம் கொண்ட மின்துகள்களை நாம் எதிர்கொள்வதே இல்லை. நம் அன்றாட வாழ்வில் நிகழும் பெரும்பாலான மின்நிகழ்வுகளில் µC (மைக்ரோ கூலூம்) மற்றும் nC (நேனோ கூலூம்) அளவிலான மின்னூட்டங்கள் கொண்ட மின்துகள்களே இடம்பெறுகின்றன.
(v) SI அலகு முறையில், வெற்றிடத்திற்கான கூலூம் விதியின் வடிவம்
$$\vec{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12}$$விடுதிறன் $\varepsilon$ மதிப்புடைய வேறொரு ஊடகத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ள புள்ளி மின்துகள்களுக்கு இடையே செயல்படும் விசை
$$\vec{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12}$$ஆனால், $\varepsilon > \varepsilon_0$. எனவே, வெற்றிடத்தில் உள்ள புள்ளி மின்துகள்களுக்கு இடையிலான விசையை விட பிற ஊடகங்களில் செயல்படும் விசை குறைவாக இருக்கும். மேலும் ஒரு ஊடகத்தின் சார்பு விடுதிறனை (Relative permittivity) நாம் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.
$$\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$$வெற்றிடம் மற்றும் காற்றில் $\varepsilon_r = 1$ மற்ற ஊடகங்களுக்கு $\varepsilon_r > 1$.
(vi) கூலூம் விதி நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விதியின் அமைப்பையே கொண்டுள்ளது. இவ்விரண்டிலும் விசையானது, இடைத்தொலைவின் இருமடிக்கு எதிர்த்தகவில் உள்ளவாறு அமைந்துள்ளன. நிலைமின் விசை, புள்ளி மின்துகள்களில் உள்ள மின்னூட்டங்களின் பெருக்கலுக்கு நேர்த்தகவிலும், ஈர்ப்பு விசை புள்ளி நிறைகளின் பெருக்கலுக்கு நேர்த்தகவிலும் அமைந்துள்ளன. ஆனால், இவற்றிற்கிடையே சில முக்கிய வேறுபாடுகளும் உள்ளன.
இரு நிறைகளுக்கு இடையேயான ஈர்ப்பு விசை எப்போதும் கவரும் விசையாகவே உள்ளது. கூலூம் விசையோ, மின்துகள்களின் இயல்பை பொருத்து கவரும் விசையாகவோ விலக்கு விசையாகவோ இருக்கின்றது.
ஈர்ப்பியல் மாறிலியின் மதிப்பு $G = 6.67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². ஆனால், கூலூம் விதியில் உள்ள மாறிலியின் மதிப்பு $k = 9 \times 10^9$ N m² C⁻². k ன் மதிப்பு G ஐ விட மிகவும் அதிகமாதலால் நிறை குறைவான பொருள்களுக்கு ஈர்ப்பு விசையைக் காட்டிலும் நிலைமின் விசையின் மதிப்பு மிகவும் அதிகமாகவே இருக்கும்.
இரு நிறைகளுக்கு இடையில் உள்ள ஈர்ப்பு விசை அது வைக்கப்பட்டிருக்கும் ஊடகத்தைச் சார்ந்ததல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, காற்றிலோ அல்லது நீரிலோ, எதில் வைக்கப்பட்டிருந்தாலும் இரு 1 kg நிறைகளுக்கிடையே செயல்படும் ஈர்ப்பு விசையின் மதிப்பு மாறாது. ஆனால், இரு மின்துகள்களுக்கு இடையே செயல்படும் நிலைமின் விசையோ அவை வைக்கப்பட்டுள்ள ஊடகத்தின் தன்மையை சார்ந்து இருக்கும்.
(vii) மின்துகள் $q_1$ இன் மீது மின்துகள் $q_2$ செலுத்தும் விசை
$$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{21}$$இங்கு $\hat{r}{21}$ என்பது $q_2$ விலிருந்து $q_1$ ஐ நோக்கிய திசையிலுள்ள ஓரலகு வெக்டராகும். ஆனால், $\hat{r}{21} = -\hat{r}_{12}$ எனப் பிரதியிட்டால்,
$$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} (-\hat{r}_{12}) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} (\hat{r}_{12})$$(அல்லது) $\vec{F}{12} = -\vec{F}{21}$
எனவே நிலை மின் விசை நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிக்குட்பட்டது.
(viii) கூலூம் விதி புள்ளி மின்துகள்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். ஆனால், புள்ளி மின்துகள் என்பது ஒரு கருத்தாக்கம் மட்டுமே. நடைமுறையில் சாத்தியமில்லை. மின்துகள்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவை ஒப்பிடும்போது அவற்றின் உருவ அளவு மிகவும் சிறியதாக இருந்தால், கூலூம் விதியை நாம் பயன்படுத்தலாம். இன்னும் சொல்லப்போனால் கூலூம் தன் சோதனையில், முறுக்குத்தராசு (torsion balance) ஒன்றில் வைக்கப்பட்ட மின்னூட்டம் பெற்ற இரு கோளங்களைப் புள்ளி மின்துகள்களாகக் கருதியே அவர் தம் விதியைக் கண்டறிந்தார். அந்த ஆய்வில், கோளங்களின் ஆரங்களை விட அவற்றிற்கிடையேயான தொலைவு மிக அதிகம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.2
படத்தில் இரு புள்ளி மின்துகள்கள் $q_1$ மற்றும் $q_2$ நிலையாக உள்ளன. அவை 1 m இடைவெளியில் பிரித்து வைக்கப்பட்டுள்ளன. பின்வரும் நேர்வுகளுக்கு அவற்றுக்கு இடையே செயல்படும் விசையைக் கணக்கிடுக.
(அ) $q_1 = +2\ \mu C$ மற்றும் $q_2 = +3\ \mu C$ (ஆ) $q_1 = +2\ \mu C$ மற்றும் $q_2 = -3\ \mu C$ (இ) $q_1 = +2\ \mu C$ மற்றும் $q_2 = -3\ \mu C$ நீரில் ($\varepsilon_r = 80$) வைக்கப்படும்போது
தீர்வு
(அ) $q_1 = +2\ \mu C$, $q_2 = +3\ \mu C$ மற்றும் $r = 1m$. இங்கு இரண்டுமே நேர மின்துகள்கள். ஆதலால், இவற்றிற்கு இடையே விலக்கு விசை செயல்படும்.
மின்துகள் $q_1$ ஆல் மின்துகள் $q_2$ உணரும் விசை
$$\vec{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12}$$$$= 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{1^2} \hat{r}_{12}$$$$= 54 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{r}_{12}$$இங்கு $\hat{r}_{12}$ என்பது $q_1$ விருந்து $q_2$ ஐ நோக்கிய திசையிலுள்ள ஓரலகு வெக்டர். $q_1$ க்கு வலது பக்கத்தில் $q_2$ உள்ளதால்,
$$\hat{r}_{12} = \hat{i} \text{ மற்றும் } \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ எனவே}$$$$\vec{F}_{21} = 54 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{i}$$நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, $\vec{F}{12} = -\vec{F}{21}$.
$$\vec{F}_{12} = -54 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{i}$$$F_{21}$ மற்றும் $F_{12}$ ஆகியவற்றின் திசைகள் படத்தில் (நேர்வு (அ)) காட்டப்பட்டுள்ளது.
(ஆ) $q_1 = +2\ \mu C$, $q_2 = -3\ \mu C$ மற்றும் $r = 1m$. இவை வேறின மின்துகள்களாதலால் இவற்றிற்கிடையே கவரும் விசை செயல்படும். மின்துகள் $q_1$ ஆல் $q_2$ உணரும் விசை
$$\vec{F}_{21} = 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (-3 \times 10^{-6})}{1^2} \hat{r}_{12}$$$$= -54 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{i} \quad (\therefore \text{இங்கு } \hat{r}_{12} = \hat{i})$$எனவே, மின்துகள் $q_2$ ஆனது $q_1$ ஐ நோக்கிய திசையில் (அதாவது எதிர்க்குறி x திசையில்) ஒரு கவரும் விசையை உணரும்.
நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி, மின்துகள் $q_2$ ஆல் $q_1$ உணரும் விசை $\vec{F}{12} = -\vec{F}{21}$. அதாவது
$$\vec{F}_{12} = 54 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{i}$$$F_{21}$ மற்றும் $F_{12}$ ஆகிய விசைகளின் திசை படத்தில் (நேர்வு – ஆ) காட்டப்பட்டுள்ளது.
(இ) இரு மின்துகள்களும் நீருக்குள் வைக்கப்பட்டால் $q_2$ உணரும் விசை
$$\vec{F}_{21}^{\text{W}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12}$$ஆனால் $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$
$$\vec{F}_{21}^{\text{W}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_r \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12} = \frac{\vec{F}_{21}}{\varepsilon_r}$$எனவே,
$$\vec{F}_{21}^{\text{W}} = \frac{54 \times 10^{-3} \text{ N}}{80} \hat{i} = -0.675 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{i}$$எடுத்துக்காட்டு 1.3
ஒவ்வொன்றும் 1 g நிறையுடைய, சிறிய உருவளவு கொண்ட, இரு ஒரே மாதிரியான கோளங்கள் சமநிலையில் உள்ளவாறு, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. நூலின் நீளம் 10 cm மற்றும் செங்குத்துத் திசையுடன் நூல் உருவாக்கும் கோணம் 30° எனில் கோளம் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள மின்னூட்டத்தைக் கணக்கிடுக. ($g = 10 \text{ m s}^{-2}$ என எடுத்துக்கொள்க)
தீர்வு
கோளங்கள் இரண்டும் மின்னூட்டம் அற்றவையாக இருந்தால், அவை தொங்கவிடப்படும்போது அவற்றுக்கு இடையே உருவாகும் கோணம் 0° ஆக இருக்கும். ஆனால் அவை நேர மின்னூட்டம் பெற்ற கோளங்கள் ஆதலால், அவற்றுக்கிடையே விலக்கு விசை செயல்படுவதால், செங்குத்து திசைக்கு 30° கோணத்தில் அவை சமநிலைக்கு வருகின்றன.
சமநிலையில் ஒவ்வொரு கோளமும் உணரும் நிகர விசை சுழியாகும். அவற்றுள் ஏதேனும் ஒரு கோளத்திற்கான தனித்த பொருள் விசைப்படத்தை நாம் வரைந்து, செங்குத்து மற்றும் கிடைமட்டத் திசைகளில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.
நேர்க்குறி x – திசையில் கோளத்தின் நிகர முடுக்கம் சுழி. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி $\vec{F}_{tot} = m\vec{a}$,
$$T \sin\theta \hat{i} - F_e \hat{i} = 0$$$$T \sin\theta = F_e \quad (1)$$இங்கு T என்பது நூலினால் கோளத்தின் மீது செலுத்தப்படும் இழுவிசை மற்றும் $F_e$ என்பது இரு கோளங்களுக்கு இடையிலான நிலைமின் விசை.
y – திசையிலும் கூட, கோளத்தின் நிகர முடுக்கம் சுழி. எனவே
$$T \cos\theta \hat{j} - mg \hat{j} = 0$$எனவே, $T = \frac{mg}{\cos\theta} \quad (2)$
சமன்பாடு (1) ஐ (2) ஆல் வகுக்க,
$$\tan\theta = \frac{F_e}{mg} \quad (3)$$இரு கோளங்களும் சம மின்னூட்டம் பெற்றுள்ளதால், நிலைமின் விசையின் எண்மதிப்பு
$$F_e = k \frac{q^2}{r^2} \text{ இங்கு } k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$$மேலும் $r = 2a = 2L \sin\theta$, சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட
$$\tan\theta = \frac{k \frac{q^2}{(2L \sin\theta)^2}}{mg} \quad (4)$$சமன்பாடு (4) ஐ மாற்றியமைக்க
$$q = 2L \sin\theta \sqrt{\frac{mg \tan\theta}{k}}$$$$= 2 \times 0.1 \times \sin30^\circ \sqrt{\frac{10^{-3} \times 10 \times \tan30^\circ}{9 \times 10^9}}$$$$q = 8.01 \times 10^{-8} \text{ C} = 80.1 \text{ nC}$$எடுத்துக்காட்டு 1.4
ஹைடிரஜன் அணுவில் உள்ள புரோட்டானுக்கும் எலக்ட்ரானுக்கும் இடையேயான நிலைமின் விசை மற்றும் ஈர்ப்பு விசையைக் கணக்கிடுக. அவற்றின் இடைத்தொலைவு $5.3 \times 10^{-11}$ m. எலக்ட்ரான் மற்றும் புரோட்டான் இவையிரண்டிற்கும் மின்னூட்ட மதிப்பு $1.6 \times 10^{-19}$ C. எலக்ட்ரானின் நிறை $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ kg மற்றும் புரோட்டானின் நிறை $m_p = 1.6 \times 10^{-27}$ kg.
தீர்வு
புரோட்டானும் எலக்ட்ரானும் ஒன்றையொன்று கவருகின்றன. இவ்விரு மின்துகள்களுக்கும் இடையேயான நிலைமின் விசையின் எண்மதிப்பு
$$F_e = \frac{ke^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(5.3 \times 10^{-11})^2}$$$$= \frac{9 \times 2.56 \times 10^{-29}}{28.09 \times 10^{-22}} = 8.2 \times 10^{-8} \text{ N}$$புரோட்டான் மற்றும் எலக்ட்ரானுக்கு இடையேயான புவியீர்ப்பு விசையும் கவர்விசையே. இவ்விரு துகள்களுக்கும் இடையே நிலவும் ஈர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு
$$F_G = \frac{G m_p m_e}{r^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.6 \times 10^{-27} \times 9.1 \times 10^{-31}}{(5.3 \times 10^{-11})^2}$$$$= 3.4 \times 10^{-47} \text{ N}$$இவ்விரு விசைகளுக்குமான விகிதம்
$$\frac{F_e}{F_G} = \frac{8.2 \times 10^{-8}}{3.4 \times 10^{-47}} = 2.41 \times 10^{39}$$$F_e \approx 10^{39} F_G$ என்பதைக் கவனிக்கவும்.
புரோட்டானுக்கும் எலக்ட்ரானுக்கும் இடையேயான நிலைமின் விசையானது அவற்றுக்கிடையே நிலவும் ஈர்ப்பு விசையைவிட பல மடங்கு மிகப்பெரியது. எனவே, சிறிய நிறை கொண்ட பொருள்கள் மற்றும் அணுநிலை அளவுகள் (atomic domain) உள்ளிட்ட பல சூழ்நிலைகளில் நிலைமின் விசையை ஒப்பிடுகையில் ஈர்ப்பு விசை புறக்கணிக்கத்தக்கதே. இதனால் தான், மின்னூட்டமற்ற சிறு காகிதத் துண்டு ஒன்று புவியின் ஈர்ப்பு விசையினால் கவரப்பட்டாலும் அதை விட அதிக வலிமையுடன் மின்னூட்டம் பெற்ற சீப்பு ஒன்றினால் (அக்காகிதத் துண்டை) கவர முடிகிறது.
மேற்பொருந்துதல் தத்துவம்#
இரு புள்ளி மின்துகள்களுக்கு இடையே ஏற்படும் இடைவிசையை கூலூம் விதி விளக்குகிறது. இரண்டிற்கு மேற்பட்ட மின்துகள்கள் இருந்தால், ஒவ்வொரு மின்துகளின் மீதும் மற்ற அனைத்து மின்துகள்களும் செலுத்தும் விசையைக் கணக்கிட வேண்டும். இத்தகைய சூழ்நிலைகளுக்கு கூலூம் விதியினால் மட்டுமே விடை காண இயலாது. பல மின்துகள் அமைப்புகளில் ஏற்படும் இடைவிசையைப் பற்றி மேற்பொருந்துதல் தத்துவம் விளக்குகிறது.
மேற்பொருந்துதல் தத்துவத்தின் படி, ஒரு குறிப்பிட்ட மின்துகள் மீது செயல்படும் மொத்த விசையானது மற்ற அனைத்து மின்துகள்கள் அதன்மீது செயல்படுத்தும் விசைகளின் வெக்டர் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.
$q_1, q_2, q_3, … q_n$ ஆகிய மின்னூட்ட மதிப்புகளை உடைய n மின்துகள்களை உள்ளடக்கிய அமைப்பு ஒன்றைக் கருதுக. $q_1$ ன் மீது $q_2$ செலுத்தும் விசை
$$\vec{F}_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r_{21}^2} \hat{r}_{21}$$இங்கு $\hat{r}{21}$ என்பது $q_2$ விலிருந்து $q_1$ ஐ இணைக்கும் கோட்டின் திசையில் அமையும் ஓரலகு வெக்டர் மற்றும் $r{21}$ என்பது அவ்விரண்டிற்குமான இடைத்தொலைவு ஆகும். இவ்விரு மின்துகள்களுக்கு இடையேயான விசை, சுற்றி அமைந்துள்ள மற்ற மின்துகள்களால் மாற்றப்படுவதில்லை.
$q_1$ ன் மீது $q_3$ செலுத்தும் விசை
$$\vec{F}_{13} = k \frac{q_1 q_3}{r_{31}^2} \hat{r}_{31}$$இதேபோல், $q_1$ ன் மீது மற்ற அனைத்து மின்துகள்களாலும் செலுத்தப்படும் மொத்த நிலைமின் விசை
$$\vec{F}_{1}^{\text{tot}} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \vec{F}_{14} + \dots \dots \vec{F}_{1n}$$$$\vec{F}_{1}^{\text{tot}} = k \left\{ \frac{q_1 q_2}{r_{21}^2} \hat{r}_{21} + \frac{q_1 q_3}{r_{31}^2} \hat{r}_{31} + \frac{q_1 q_4}{r_{41}^2} \hat{r}_{41} + \dots + \frac{q_1 q_n}{r_{n1}^2} \hat{r}_{n1} \right\} \qquad (1.3)$$இரு மின்துகள்களை விட அதிக எண்ணிக்கையில் உள்ள மின்துகள் அமைப்புகளில், மேற்பொருந்துதல் தத்துவத்தைப் பயன்படுத்தாமல் கூலூம் விதி முழுமைபெறாது. மேற்பொருந்துதல் தத்துவம் மற்றும் கூலூம் விதி ஆகியவை நிலை மின்னியலின் அடிப்படைத் தத்துவங்களாகும். நிலை மின்னியலில் காணப்படும் அனைத்து நிகழ்வுகளையும் இவ்விரு தத்துவங்கள் விளக்குகின்றன. ஆனாலும் இவ்விரு தத்துவங்களையும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைத் தருவிக்க இயலாது.
எடுத்துக்காட்டு 1.5
ஆரம் 1 m கொண்ட வட்டத்திலுள்ள நான்கு புள்ளிகளில் நான்கு சமமான மின்னூட்டம் கொண்ட மின்துகள்கள் $q_1, q_2, q_3$ மற்றும் $q_4 = q = +1\ \mu C$ வைக்கப்பட்டுள்ளன [பார்க்க படம்]. மின்துகள் $q_1$ ன் மீது மற்ற அனைத்து மின்துகள்களாலும் செலுத்தப்படும் மொத்த விசையைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு
$q_2$ மற்றும் $q_4$ ஆகிய மின்துகள்கள் $q_1$ விருந்து சம தொலைவில் உள்ளன. எனவே, திசையினால் வேறுபட்டாலும் $F_{12}$ மற்றும் $F_{14}$ விசைகளின் எண்மதிப்பு சமமாகும். இதனால் தான் அவற்றைக் குறிப்பிடப் பயன்படுத்திய வெக்டர்கள் சமநீளமுடன் வரையப்பட்டுள்ளன. ஆனால் $q_2$ மற்றும் $q_4$ ஆகியவற்றைக் காட்டிலும் அதிக தொலைவில் மின்துகள் $q_3$ உள்ளது. தொலைவு கூடினால் நிலைமின் விசையின் வலிமை குறையும். ஆதனால், விசைகள் $F_{12}$ மற்றும் $F_{14}$ ஆகியவற்றை விட $F_{13}$ ன் எண்மதிப்பு குறைவு. இதனால் தான் விசைகள் $F_{12}$ மற்றும் $F_{14}$ ஆகியவற்றின் நீளத்தை விட விசை $F_{13}$ ன் நீளம் குறைவாக வரையப்பட்டுள்ளது.
படத்திலிருந்து, $r_{21} = \sqrt{2}\ m = r_{41}$ மற்றும் $r_{31} = 2\ m$
விசைகளின் எண்மதிப்பு
$$F_{13} = \frac{kq^2}{r_{31}^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-12}}{4} = 2.25 \times 10^{-3} \text{ N}$$$$F_{12} = \frac{kq^2}{r_{21}^2} = F_{14} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-12}}{2} = 4.5 \times 10^{-3} \text{ N}$$படத்திலிருந்து, $\theta = 45^\circ$. இந்த விசைகள் அவற்றின் வெக்டர் கூறுகளைக் கொண்டு பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது.
$$\vec{F}_{12} = F_{12} \cos \theta \hat{i} - F_{12} \sin \theta \hat{j}$$$$= 4.5 \times 10^{-3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - 4.5 \times 10^{-3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$$$$\vec{F}_{13} = F_{13} \hat{i} = 2.25 \times 10^{-3} \text{ N } \hat{i}$$$$\vec{F}_{14} = F_{14} \cos \theta \hat{i} + F_{14} \sin \theta \hat{j}$$$$= 4.5 \times 10^{-3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + 4.5 \times 10^{-3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$$மேற்பொருந்துதல் தத்துவத்தின்படி, $q_1$ ன் மீது செலுத்தப்படும் மொத்த நிலைமின் விசையானது மற்ற மின்துகள்களால் அதன்மீது செலுத்தப்படும் தனித்தனி விசைகளின் வெக்டர் கூடுதலுக்குச் சமம்.
$$\vec{F}_{1}^{tot} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \vec{F}_{14}$$$q_1$ ன் மீது செயல்படும் விசை ஒவ்வொன்றின் திசையும் பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
எனவே $q_1$ ன் மீது செயல்படும் மொத்த விசை
$$\vec{F}_{1}^{tot} = (F_{12} \cos \theta \hat{i} - F_{12} \sin \theta \hat{j}) + F_{13} \hat{i} + (F_{14} \cos \theta \hat{i} + F_{14} \sin \theta \hat{j})$$$$\vec{F}_{1}^{tot} = (F_{12} \cos \theta + F_{13} + F_{14} \cos \theta) \hat{i} + (-F_{12} \sin \theta + F_{14} \sin \theta) \hat{j}$$$F_{12} = F_{14}$ ஆதலால், j திசைக்கூறு சுழியாகும். எனவே,
$$\vec{F}_{1}^{tot} = (F_{12} \cos \theta + F_{13} + F_{14} \cos \theta) \hat{i}$$இச்சமன்பாட்டில் மதிப்புகளைப் பிரதியிட,
$$= \left( \frac{4.5}{\sqrt{2}} + 2.25 + \frac{4.5}{\sqrt{2}} \right) \times 10^{-3} \hat{i}$$$$= (4.5\sqrt{2} + 2.25) \times 10^{-3} \hat{i}$$$$\vec{F}_{1}^{tot} = 8.61 \times 10^{-3} \hat{i} \text{ N}$$தொகுபயன் விசையானது நேரக்குறி x – அச்சு திசையில் அமைகிறது.