நிலை மின்னழுத்தமும் மின்னழுத்த ஆற்றலும்

அறிமுகம்#

இயக்கவியலில் ஆற்றல் மாற்றா விசைகளினால் உருவாகும் நிலை ஆற்றல் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஈர்ப்பு விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசை என்பதால் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் வரையறுக்கப்பட்டது (+1 இயற்பியல், அலகு 6) நினைவிருக்கலாம். கூலூம் விசை ஒர் ‘எதிர்த்தகவு – இருமடி – விதி’யின் படி செயல்படும் விசையாதலால் ஈர்ப்பு விசையைப் போல அதுவும் ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசையே. எனவே மின்துகள்களால் ஆன கட்டமைப்புகளுக்கு நாம் நிலை ஆற்றலை (மின்னழுத்த ஆற்றலை) வரையறை செய்ய முடியும்.

நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலும் நிலை மின்னழுத்தமும்#

தன்மைச்சுற்றி மின்புலம் $\vec{E}$ ஐ உருவாக்கும், ஆதிப்புள்ளியில் வைக்கப்பட்டுள்ள நேர மின்துகள் q ஐக் கருதுவோம். அதற்கும் சோதனை மின்துகள் $q’$ க்கும் இடையே நிலவும் விலக்கு விசைக்கு எதிராக புள்ளி R லிருந்து புள்ளி P க்கு $q’$ எடுத்து வரப்படுகிறது. (படம் 1.20). இப்படி எடுத்து வருவதற்கு இவ்விலக்கு விசைக்கு எதிராக வேலை செய்யப்பட வேண்டும். இந்த வேலையையே நிலை ஆற்றலாக (மின்னழுத்த ஆற்றலாக) சேமிக்கப்படுகிறது.

சோதனை மின்துகள் $q’$ ஆனது புள்ளி R லிருந்து புள்ளி P க்கு சீரான திசைவேகத்தில் நகர்த்தப்பட வேண்டும் என்றால் அதன்மீது செயல்படும் புற விசையானது கூலூம் விசைக்கு சமமாகவும் அதற்கு எதிர்த்திசையிலும் செலுத்தப்பட வேண்டும். $\vec{F}{ext} = -\vec{F}{coulomb}$. எனவே செய்யப்பட்ட வேலை

Figure 1.20 Work done is equal to potential energy

$$W = \int_{R}^{P} \vec{F}_{ext} \cdot d\vec{r} \quad (1.25)$$

கூலூம் விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசை என்பதால், செய்யப்படும் வேலையானது நகர்த்தப்பட்ட பாதையைச் சார்ந்திராமல் சோதனை மின்துகளின் தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளையே சார்ந்து இருக்கும். புள்ளி P இல் மின்துகள் $q’$ ன் நிலைமின்னழுத்த ஆற்றல் $U_P$ எனவும், புள்ளி R இல் அதை $U_R$ எனவும் வைக்கவும். எனில் மின்னழுத்த ஆற்றலின் வேறுபாடானது புள்ளி R லிருந்து புள்ளி P க்கு சோதனை மின்துகளை நகர்த்தச் செய்யப்படும் வேலைக்குச் சமம். அதாவது

$$U_P - U_R = W = \Delta U$$$$\Delta U = \int_{R}^{P} \vec{F}_{ext} \cdot d\vec{r} \quad (1.26)$$

இங்கு $\vec{F}{ext} = -\vec{F}{coulomb} = -q’\vec{E} \quad (1.27)$

$$\Delta U = \int_{R}^{P} (-q'\vec{E}) \cdot d\vec{r} = q' \int_{R}^{P} (-\vec{E}) \cdot d\vec{r} \quad (1.28)$$

ஓரலகு மின்னூட்டத்திற்கான நிலைமின்னழுத்த ஆற்றல் வேறுபாடு

$$\frac{\Delta U}{q'} = \frac{q' \int_{R}^{P} (-\vec{E}) \cdot d\vec{r}}{q'} = -\int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d\vec{r} \quad (1.29)$$

இச்சமன்பாடு (1.29) $q’$ ஐச் சார்ந்ததல்ல. இந்த இயற்பியல் அளவு $-\int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d\vec{r}$ என்பது P மற்றும் R க்கு இடையேயான மின்னழுத்த வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது; மேலும் இதை $V_P - V_R = \Delta V$ என்று குறிப்போம். இதைப் பின்வருமாறும் நாம் வரையறுக்கலாம். புள்ளி R லிருந்து புள்ளி P க்கு ஓரலகு நேர் மின்னூட்டம் கொண்ட மின்துகள் ஒன்றை எடுத்து வர, புறவிசையினால் செய்யப்படும் வேலை என்றும் மின்னழுத்த வேறுபாடு வரையறுக்கப்படுகிறது.

$$V_P - V_R = \Delta V = -\int_{R}^{P} \vec{E} \cdot d\vec{r} \quad (1.30)$$

நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல் வேறுபாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம். $\Delta U = q’ \Delta V$.

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான மின்னழுத்த வேறுபாடு என்பதே பயன்படக்கூடிய ஓர் அளவீடாகும். மாறாக, ஒரு புள்ளிக்கான மின்னழுத்த மதிப்பு என்பது அர்த்தம் இல்லாதது. எனவே புள்ளி R ஐ முடிவிலாத் தொலைவில் உள்ளதாகவும் அதன் மின்னழுத்த மதிப்பை சுழி எனவும் கொள்வோம் ($V_\infty = 0$) எனில், ஒரு புள்ளியில் (P) மின்னழுத்தம் என்பது புற மின்புலம் ($\vec{E}$) செயல்படும் பகுதியில் முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு(P) ஓரலகு நேர் மின்னூட்டம் கொண்ட மின்துகளை சீரான திசைவேகத்துடன் கொண்டு வர புற விசை ஒன்றினால் செய்யப்படும் வேலைக்கு சமமாகும். கணித வடிவில் இதையே,

$$V_P = -\int_{\infty}^{P} \vec{E} \cdot d\vec{r} \quad (1.31)$$

என்று எழுதலாம்.

முக்கிய கருத்துக்கள்

ஒரு புள்ளியில் உள்ள மின்னழுத்தமானது மூல மின்துகள் q வினால் உருவாகும் மின்புலத்தை மட்டுமே சார்ந்தது. அம்மின்புலம் சோதனை மின்துகளால் ($q’$) உருவாவது அன்று. முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து புள்ளி Pக்கு ஓரலகு மின்னூட்டம் கொண்ட நேர் மின்துகளை சீரான திசைவேகத்துடன் கொண்டு வர வேண்டும். ஏனெனில், அதைச் செய்யும் புற விசையினால் அந்த சோதனை மின்துகளுக்கு எவ்வித இயக்க ஆற்றலும் அளிக்கப்படக் கூடாது.
மின்னழுத்தத்தின் அலகு, சமன்பாடு (1.29) படி, ஜூ/கூலூம் (J C⁻¹). எனினும் அதன் நடைமுறை அலகு வோல்ட் (V); இது மின்கலனை முதன்முதலில் உருவாக்கிய அலெஸ்ஸான்ட்ரோ வோல்டா (1745-1827) என்பாரின் நினைவால் சூட்டப்பட்ட அலகாகும். இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான மின்னழுத்த வேறுபாடானது மின்னழுத்த அளவினால் (Voltage) குறிப்பிடப்படுகிறது.

(மின்னூட்டம் பெற்ற) பொருள்களின் இயக்கத்தை விளக்குவதற்கு முன் என்கிற கருத்தாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவதை விட மின்னழுத்தம் அல்லது மின்னழுத்த ஆற்றல் என்கிற கருத்தாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிமையானது.

புள்ளி மின்துகளால் உருவாகும் மின்னழுத்தம்#

ஆதிப்புள்ளியில் நிலையாக வைக்கப்பட்டுள்ள q மின்னூட்ட மதிப்பு கொண்ட நேர் மின்துகள் ஒன்றைக் கருதுக. புள்ளி P அதிலிருந்து r தொலைவில் உள்ளது (படம் 1.21).

புள்ளி P இல் மின்னழுத்தம்

Figure 1.21 Electrostatic potential at a point P

$$V = \int_{\infty}^{P} (-\vec{E}) \cdot d\vec{r} = -\int_{\infty}^{P} \vec{E} \cdot d\vec{r} \qquad (1.32)$$

புள்ளி நேர மின்துகள் q வினால் உருவாகும் மின்புலம்

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r}$$$$V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\infty}^{P} \frac{q}{r^2} \hat{r} \cdot d\vec{r}$$

மீச்சிறு இடப்பெயர்ச்சி வெக்டர் $d\vec{r} = dr \hat{r}$, மற்றும் $\hat{r} \cdot \hat{r} = 1$. எனவே

$$V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\infty}^{r} \frac{q}{r^2} dr = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} q \left\{ -\frac{1}{r} \right\}_{\infty}^{r}$$

தொகையிடலுக்குப் பின்,

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$$

ஆகவே, புள்ளி மின்துகளினால் r தொலைவில் ஏற்படும் மின்னழுத்தம்

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} \qquad (1.33)$$

முக்கிய குறிப்புகள்

(i) மூல மின்துகள் q நேரக்குறி உடையது எனில், $V > 0$. மூல மின்துகள் q எதிர்க்குறி கொண்டது எனில் $V$–யும் எதிர்க்குறி கொண்டிருக்கும்.

$$V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|}{r}$$

(ii) தொலைவு அதிகரிக்கும்போது நேர் மின்துகளினால் உருவாகும் மின்னழுத்தமும் குறைகிறது என்பதை சமன்பாடு (1.33) மூலம் அறியலாம். அதே சமயம், எதிர் மின்துகளை பொருத்தவரை, தொலைவு அதிகரிக்கும்போது மின்னழுத்தமும் அதிகரிக்கிறது. முடிவிலாத் தொலைவில் ($r = \infty$) நிலை மின்னழுத்தமும் சுழி ($V = 0$) ஆகும்.

Figure 1.22 Motion of masses in terms of gravitational potential

Figure 1.23 Motion of charges in terms of electric potential

ஈர்ப்புப் புலத்தைப் பொருத்தவரை உயர் ஈர்ப்பு அழுத்தப் புள்ளியிலிருந்து தாழ்வு ஈர்ப்பு அழுத்தம் கொண்ட புள்ளிக்கு நிறையானது நகர்கிறது. அதேபோல், அதிக நிலை மின்னழுத்தம் கொண்ட புள்ளியிலிருந்து குறைந்த நிலை மின்னழுத்தம் கொண்ட புள்ளிக்கு ஒரு நேர் மின்துகள் நகர்கிறது. ஆனால், எதிர் மின்துகளோ குறைந்த நிலை மின்னழுத்தத்தில் இருந்து அதிக நிலை மின்னழுத்தத்திற்கு நகர்கின்றது. இந்த ஒப்பீடுகள் படம் 1.23 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன.

(iii) $q_1, q_2, q_3, \dots, q_n$ ஆகிய பல மின்துகள்கள் அடங்கிய அமைப்பினால் ஒரு புள்ளியில் (P) உருவாகும் மின்னழுத்தமானது தனித்தனி மின்துகள்களால் ஏற்படும் மின்னழுத்தங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.

$$V_{tot} = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} + k \frac{q_3}{r_3} + \dots + k \frac{q_n}{r_n} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i} \quad (1.34)$$

இங்கு $r_1, r_2, r_3, \dots, r_n$ ஆகியவை புள்ளி P மிலிருந்து மின்துகள்கள் $q_1, q_2, q_3, \dots, q_n$ ஆகியவற்றின் தொலைவுகள் [படம் 1.24].

Figure 1.24 Electrostatic potential due to collection of charges

எடுத்துக்காட்டு 1.12

(அ) பின்வரும் படத்தில், P மற்று Q புள்ளிகளில் காணப்படும் மின்னழுத்தத்தைக் கணக்கிடுக. (ஆ) அதிலுள்ள +9 μC மின்துகளுக்கு பதிலாக -9 μC வைக்கப்பட்டால், P மற்றும் Q புள்ளிகளில் நிலை மின்னழுத்தத்தைக் காண்க?

(இ) முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து புள்ளி Q க்கு, +2 μC மதிப்பு கொண்ட சோதனை மின்துகள் ஒன்றைக் கொண்டு வர செய்யப்பட வேண்டிய வேலையைக் கணக்கிடுக. (+9 μC ஆதிப்புள்ளியில் நிலையாக வைக்கப்பட்டுள்ளது என்றும் +2 μC மின்துகள் முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து புள்ளிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது என எடுத்துக் கொள்ளவும்.)

தீர்வு

(அ) புள்ளி P இல் உருவாகும் மின்னழுத்தம்

$$V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r_P} = \frac{9 \times 10^9 \times 9 \times 10^{-6}}{10} = 8.1 \times 10^3 \text{ V}$$

புள்ளி Q இல் ஏற்படும் மின்னழுத்தம்

$$V_Q = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r_Q} = \frac{9 \times 10^9 \times 9 \times 10^{-6}}{16} = 5.06 \times 10^3 \text{ V}$$

இங்கு, புள்ளி P ன் மின்னழுத்தத்தை விட புள்ளி Q ன் மின்னழுத்தம் குறைவாக உள்ளதைக் கவனிக்கவும். ஆகவே, ஒரு நேர் மின்துகளை புள்ளி P இல் வைத்தால் அது புள்ளி Q வை நோக்கி நகும். மாறாக ஒரு எதிர் மின்துகளை புள்ளி P இல் வைத்தால் அது +9 μC மின்துகளை நோக்கி நகும்.

புள்ளி P மற்றும் Q க்கு இடையிலான மின்னழுத்த வேறுபாடு

$$\Delta V = V_P - V_Q = +3.04 \times 10^3 \text{ V}$$

(ஆ) +9 μC மின்துகளுக்கு பதிலாக -9 μC மின்துகளை வைத்தால், அப்புள்ளிகளில் உருவாகும் மின்னழுத்தங்கள் முறையே,

$$V_P = -8.1 \times 10^3 \text{ V}, \quad V_Q = -5.06 \times 10^3 \text{ V}$$

இங்கு புள்ளி P ன் மின்னழுத்தத்தை விட புள்ளி Q ன் மின்னழுத்தம் அதிகமாக உள்ளதைக் கவனிக்கவும்.

புள்ளி P மற்றும் புள்ளி Q க்கு இடையேயான மின்னழுத்த வேறுபாடு

$$\Delta V = V_P - V_Q = -3.04 \times 10^3 \text{ V}$$

(இ) மின்துகள் ஒன்றினால் ஒரு புள்ளியில் உருவாகும் மின்னழுத்தமானது ஓரலகு மின்னூட்டம் கொண்ட நேர்மின்துகளை முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு எடுத்துவர, புற விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலைக்குச் சமமாகும். எனவே q மின்னூட்டம் கொண்ட துகளை முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு எடுத்து வரச் செய்யப்படும் வேலை,

$$W = qV$$$$W_Q = 2 \times 10^{-6} \times 5.06 \times 10^3 = 10.12 \times 10^{-3} \text{ J}$$

எடுத்துக்காட்டு 1.13

+q மின்னூட்டம் கொண்ட நேர்மின்துகள் ஆதிப்புள்ளியில் வைக்கப்பட்டுள்ளது. அதிலிருந்து 9 m தொலைவில் இன்னொரு புள்ளி மின்துகள் -2q வைக்கப்பட்டுள்ளது. இம்மின்துகள்களுக்கு இடையில் மின்னழுத்தம் சுழியாக உள்ள புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு

மேற்பொருந்துதல் தத்துவத்தின்படி, ஒரு புள்ளியில் உருவாகும் மொத்த மின்னழுத்தமானது தனித்தனி மின்துகள்களால் அப்புள்ளியில் ஏற்படும் மின்னழுத்தங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

மொத்த மின்னழுத்த மதிப்பு சுழியாகும் புள்ளி, +q மின்துகளிலிருந்து x தொலைவில் உள்ளதாகக் கருதவும் (படம்)

புள்ளி P இல் மொத்த மின்னழுத்தம் சுழி. இதைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

$$V_{tot} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q}{x} - \frac{2q}{(9-x)} \right) = 0$$

(அல்லது)

$$\frac{q}{x} = \frac{2q}{(9-x)}$$

(அல்லது)

$$\frac{1}{x} = \frac{2}{(9-x)}$$

எனவே, $x = 3$ m

மின் இருமுனையால் ஒரு புள்ளியில் ஏற்படும் நிலை மின்னழுத்தம்#

படம் 1.25 இல் காட்டியுள்ளவாறு 2a என்ற சிறிய இடைவெளியில் பிரிக்கப்பட்டுள்ள இரு சமமான, வேறின மின்துகள்களைக் கருதுவோம். மின் இருமுனையின் நடுப்புள்ளியிலிருந்து r தொலைவில் P என்ற புள்ளி உள்ளது. AB என்ற இருமுனை அச்சுக்கும் OP என்ற கோட்டிற்கும் இடையேவுள்ள கோணம் θ என்க.

Figure 1.25 Potential due to electric dipole

+q விலிருந்து புள்ளி P ன் தொலைவு $r_1$ எனவும் -q விலிருந்து புள்ளி P ன் தொலைவு $r_2$ எனவும் கொள்க.

+q மின்துகளினால் புள்ளி P இல் உருவாகும் மின்னழுத்தம் $= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r_1}$

-q மின்துகளினால் புள்ளி P இல் உருவாகும் மின்னழுத்தம் $= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r_2}$

புள்ளி P இல் உருவாகும் மொத்த மின்னழுத்தம்,

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} q \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) \quad (1.35)$$

மின் இருமுனையிலிருந்து வெகு தொலைவில் புள்ளி P இருப்பின், $r \gg a$. எனவே சமன்பாடு (1.35) ஐ r ன் சார்பில் எழுதலாம்.

BOP முக்கோணத்தில் கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்த,

$$r_1^2 = r^2 + a^2 - 2ra\cos\theta$$$$r_1^2 = r^2\left(1 + \frac{a^2}{r^2} - \frac{2a}{r}\cos\theta\right)$$

புள்ளி P மின் இருமுனையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளதால் ($r \gg a$). இதனால் $\frac{a^2}{r^2}$ இன் மதிப்பு மிகவும் சிறியது. எனவே அதைப் புறக்கணிக்கலாம். ஆகவே,

$$r_1^2 = r^2\left(1 - 2a\frac{\cos\theta}{r}\right)$$

(அல்லது)

$$r_1 = r\left(1 - \frac{2a}{r}\cos\theta\right)^{\frac{1}{2}}$$$$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{r}\left(1 - \frac{2a}{r}\cos\theta\right)^{-\frac{1}{2}}$$

$\frac{a}{r} \ll 1$ ஆதலால், ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி உயர் அடுக்குகளைப் புறக்கணித்து எழுதினால்,

$$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{r}\left(1 + \frac{a}{r}\cos\theta\right) \qquad (1.36)$$

இதேபோல் AOP முக்கோணத்திற்கு கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்த,

$$r_2^2 = r^2 + a^2 - 2ra\cos(180 - \theta)$$

$\cos(180 - \theta) = -\cos\theta$ ஆதலால்

$$r_2^2 = r^2 + a^2 + 2ra\cos\theta$$$$r_2^2 = r^2 \left(1 + \frac{a^2}{r^2} + \frac{2a\cos\theta}{r}\right)$$$$r_2 = r \left(1 + \frac{2a\cos\theta}{r}\right)^{\frac{1}{2}}$$

ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால்,

$$\frac{1}{r_2} = \frac{1}{r} \left(1 - \frac{a\cos\theta}{r}\right) \qquad (1.37)$$

சமன்பாடு (1.37) மற்றும் (1.36) ஆகியவற்றை சமன்பாடு (1.35) இல் பிரதியிட

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} q \left( \frac{1}{r} \left(1 + \frac{a\cos\theta}{r}\right) - \frac{1}{r} \left(1 - \frac{a\cos\theta}{r}\right) \right)$$$$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} + \frac{a\cos\theta}{r^2} - \frac{1}{r} + \frac{a\cos\theta}{r^2} \right)$$$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2aq}{r^2} \cos\theta$$

மின் இருமுனையின் திருப்பத்திறன் $p = 2qa$. எனவே,

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p\cos\theta}{r^2}$$

$$p\cos\theta = \vec{p} \cdot \hat{r}$ என எழுதலாம். இங்கு $\hat{r}$ என்பது புள்ளி O விலிருந்து புள்ளி P ஐ நோக்கி உள்ள ஓரலகு வெக்டராகும். எனவே, மின் இருமுனையால் ஒரு புள்ளியில் உருவாகும் மின்னழுத்தம்

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} \quad (r \gg a) \qquad (1.38)$$

மின் இருமுனையின் அளவை ஒப்பிடும்போது மிக அதிகமாகவுள்ள தொலைவுகளுக்கு சமன்பாடு (1.38) பொருந்தும். புள்ளி இருமுனைக்கு எந்தத் தொலைவிற்கும் சமன்பாடு (1.38) பொருந்தும்.

சிறப்பு நேர்வுகள்

நேர்வு (i) இருமுனையின் அச்சுக்கோட்டில் +q மின்துகள் உள்ள பக்கத்தில் புள்ளி P இருந்தால் $\theta = 0^\circ$. அப்போது மின்னழுத்தம்

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{r^2} \qquad (1.39)$$

நேர்வு (ii) இருமுனையின் அச்சுக்கோட்டில் -q மின்துகள் உள்ள பக்கத்தில் புள்ளி P இருந்தால் $\theta = 180^\circ$. எனவே

$$V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{r^2} \qquad (1.40)$$

நேர்வு (iii) இருமுனையின் நடுவரைக்கோட்டில் புள்ளி P இருந்தால், $\theta = 90^\circ$. எனவே

$$V = 0 \qquad (1.41)$$

மின் இருமுனையின் மின்னழுத்தம் $\frac{1}{r^2}$ என்றவாறு குறைகின்றது; அதே சமயம் புள்ளி மின்துகளின் மின்னழுத்தம் $\frac{1}{r}$ என்றவாறு குறைகின்றது. எனவே ஒரு புள்ளி மின்துகளவிட மின் இருமுனையின் மின்னழுத்தம் வேகமாகக் குறைகின்றது. ஏனென்றால் மின் இருமுனையிலிருந்து தொலைவு அதிகரிக்கும் போது நேர் மற்றும் எதிர் மின்துகள்களின் விளைவுகள் ஒன்றையொன்று சமன்செய்து கொள்கின்றன.

சம மின்னழுத்தப் பரப்பு#

புறவெளியில் ஒரு புள்ளியில் வைக்கப்பட்டுள்ள புள்ளி மின்துகள் q வை மையமாகக் கொண்ட r ஆரமுடைய கற்பனைக் கோளத்தைக் கருதுவோம். [படம் 1.26 (அ)]. இக் கோளத்தின் பரப்பிலுள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரே மின்னழுத்தம் பெற்றிருக்கும். இத்தகைய பரப்புகளையே சம மின்னழுத்தப் பரப்பு என்கிறோம்.

ஒரு பரப்பில் உள்ள எல்லா புள்ளிகளும் ஒரு மின்னழுத்தத்தைக் கொண்டிருந்தால் அப்பரப்பு சம மின்னழுத்தப் பரப்பு எனப்படுகிறது. ஒரு புள்ளி மின்துகளிற்கு, சம மின்னழுத்தப் பரப்புகளாக ஓர் மையக் கோளப் பரப்புகள் உள்ளதைப் படத்தில் (1.26 (ஆ)) காணலாம். ஒவ்வொரு கோளப் பரப்பும் ஒரு சம மின்னழுத்தப் பரப்பே என்றாலும் ஒவ்வொன்றின் மின்னழுத்த மதிப்பும் வெவ்வேறு ஆகும்.

Figure 1.26 Equipotential surface of point Charge

Figure 1.27 Equipotential surface for uniform electric field

சீரான மின்புலத்தைப் பொருத்தவரை, அதற்குச் செங்குத்தாகவுள்ள தளங்களின் தொகுப்பே சம மின்னழுத்தப் பரப்புகளாகும். [படம் 1.27]

சம மின்னழுத்தப் பரப்புகளின் பண்புகள்

(i) A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையே q மின்னூட்டம் கொண்ட மின்துகளை நகர்த்த செய்யப்படும் வேலை $W = q (V_B - V_A)$. A, B இரு புள்ளிகளும் ஒரே சம மின்னழுத்தப் பரப்பில் இருந்தால், செய்யப்படும் வேலை சுழியாகும்; ஏனெனில், $V_B = V_A$.

(ii) சம மின்னழுத்தப் பரப்புக்கு செங்குத்தாக மின்புலம் இருக்கும். அவ்வாறு செங்குத்தாக இல்லையெனில், புலத்தின் ஒரு கூறு பரப்புக்கு இணையாக இருக்கும். எனவே, அப்பரப்பிலேயே உள்ள இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒரு மின்துகளை நகர்த்த வேலை செய்யப்பட்ட வேண்டும். இது ஏற்புடையதன்று. எனவே, சம மின்னழுத்தப் பரப்புக்கு செங்குத்தாகவே மின்புலம் எப்போதும் அமைகின்றது.

மின்புலத்திற்கும் மின்னழுத்தத்திற்கும் இடையேயான தொடர்பு#

ஆதிப்புள்ளியில் வைக்கப்பட்டுள்ள நேர் மின்துகள் q வைக் கருதுவோம். E மின்புலத்தில் ஓரலகு மின்னூட்டம் கொண்ட நேர் மின்துகள் ஒன்றை dx தொலைவிற்கு நகர்த்த செய்யப்படும் வேலை $dW = -E dx$. இங்கு எதிர்க்குறியானது மின்புலத்திற்கு எதிராக வேலை செய்யப்படுகிறது என்பதை உணர்த்துகிறது. இந்த வேலை மின்னழுத்த வேறுபாட்டிற்குச் சமமாகும். எனவே,

$$dW = dV \quad (\text{அல்லது}) \quad dV = -E dx \quad (1.42)$$

எனவே, $E = -\frac{dV}{dx} \quad (1.43)$

இதிலிருந்து, மின்புலமானது எதிர்க்குறியிடப்பட்ட மின்னழுத்தச் சரிவுக்கு சமம் என்றாகிறது. மேலே உள்ள சமன்பாடு (1.43) x – கூறுக்கு மட்டும் பொருந்தும். மின்புலமானது மூன்று கூறுகளுக்கும் பொதுவாக பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது.

$$\vec{E} = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right) \quad (1.44)$$

எடுத்துக்காட்டு 1.14

x-ஆயத்தொலைவின்சார்பாகமட்டும்குறிக்கப்படும் மின்னழுத்தம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. x ன் சார்பாக மின்புலத்தை வரைந்து காட்டுக.

தீர்வு

இக்கணக்கில் x ஐ சார்ந்து மட்டுமே மின்னழுத்தம் உள்ளதால் $\vec{E} = -\frac{dV}{dx} \hat{i}$ என்ற சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். (மற்ற இரு உறுப்புகளான $\frac{dV}{dy}$ மற்றும் $\frac{dV}{dz}$ சுழியாகும்). 0 முதல் 1 cm வரை, சாய்வு மாறிலியாக உள்ளது. மேலும் $\frac{dV}{dx} = 25 \text{ V cm}^{-1}$. எனவே, $\vec{E} = -25 \hat{i} \text{ V cm}^{-1}$

1 முதல் 4 cm வரை, மின்னழுத்தம் மாறாமல் உள்ளது $V = 25V$. அதாவது $dV = 0$. எனவே, $E = 0$ ஆகும்.

4 முதல் 5 cm வரை, சாய்வு $\frac{dV}{dx} = -25 \text{ V cm}^{-1}$. எனவே, $\vec{E} = +25 \hat{i} \text{ V cm}^{-1}$.

x – அச்சின் பல்வேறு புள்ளிகளில் மின்புலத்தின் வரைபடம் இங்கே தரப்பட்டுள்ளது.

புள்ளி மின்துகள் திரளால் உருவாகும் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல்#

$q_1$ புள்ளி மின்துகளிலிருந்து r தொலைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியில் மின்னழுத்தம்

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1}{r}$$

ஓரலகு மின்னூட்டம் கொண்ட நேர் மின்துகளை முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு எடுத்துவரச் செய்யப்படும் வேலையே மின்னழுத்தம் ஆகும். இப்போது $q_2$ மின்துகளை முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து $q_1$ க்கு r தொலைவில் உள்ள புள்ளிக்கு எடுத்துவரச் செய்யப்படும் வேலையானது அப்புள்ளியில் மின்னழுத்தம் மற்றும் $q_2$ இன் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமமாகும். எனவே,

$$W = q_2 V$$

இந்த செய்யப்பட்ட வேலையானது r இடை வெளியில் அமைந்துள்ள $q_1$ மற்றும் $q_2$ மின்துகள் அமைப்பின் நிலைமின்னழுத்த ஆற்றல் U ஆக சேமிக்கப்படுகிறது. ஆகவே

$$U = q_2 V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r} \qquad (1.45)$$

இரு மின்துகள்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவை இந்த நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலானது சார்ந்துள்ளது. $q_1$ நிலையாகவும் $q_2$ வை முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து நகர்த்தி வருவதாகவும் வைத்து சமன்பாடு (1.45) பெறப்பட்டுள்ளது. $q_2$ வை நிலையாக வைத்து $q_1$ ஐ முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து நகர்த்தி வருவதாக இருந்தாலும், அல்லது $q_1$ மற்றும் $q_2$ இரண்டையுமே முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து r இடைவெளியில் வைப்பதாக இருந்தாலும் சமன்பாடு (1.45) பெறப்படும்.

மூன்று மின்துகள்கள் பின்வருமாறுள்ள நிலையமைப்பில் வைக்கப்பட்டுள்ளன [படம் 1.28].

மொத்த நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலைக் கணக்கிட பின்வரும் முறையை நாம் பின்பற்றுகிறோம். ஒன்றன் பின் ஒன்றாக மின்துகள்கள் அனைத்தையும் கொண்டு வரச் செய்து அவற்றை படம் 1.28ல் காட்டியுள்ளவாறு கட்டமைக்க வேண்டும்.

Figure 1.28 Electrostatic potential energy for collection of point charges

(i) $q_1$ மின்துகளுக்கு அருகில் வேறு எந்த மின்துகள்களும் தொடக்கத்தில் இல்லாததால் முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து அதை புள்ளி A வரை கொண்டு வர எந்த வேலையும் செய்யத் தேவையில்லை.

(ii) $q_2$ மதிப்புடைய இரண்டாவது மின்துகளை புள்ளி B க்கு கொண்டு வர $q_1$ உருவாக்கிய மின்புலத்திற்கு எதிராக வேலை செய்யப்பட வேண்டும். $q_2$ ன் மீது செய்யப்படும் வேலை $W = q_2 V_{1B}$. இங்கு $V_{1B}$ என்பது முதல் மின்துகள் $q_1$ ஆல் புள்ளி B இல் ஏற்படும் நிலை மின்னழுத்தம்

$$U_I = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}} \qquad (1.46)$$

$q_2$ வை முதலில் கொண்டு வந்து பின்னர் $q_1$ ஐக் கொண்டு வந்தாலும் இதே சமன்பாடே கிடைக்கும் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

(iii) இதேபோல், மூன்றாவது மின்துகள் $q_3$ ஐ புள்ளி Cக்கு கொண்டு வர $q_2$ மற்றும் $q_3$ மின்துகள்கள் சேர்ந்து உருவாக்கும் மொத்த மின்புலத்திற்கு எதிராக வேலை செய்யப்பட வேண்டும். எனவே, $q_3$ மின்துகளை நகர்த்திவரச் செய்யப்படும் வேலை $= q_3 (V_{1C} + V_{2C})$. இங்கு $V_{1C}$ என்பது முதல் மின்துகள் $q_1$ ஆல் புள்ளி C இல் ஏற்படும் நிலை மின்னழுத்தம் மற்றும் $V_{2C}$ என்பது இரண்டாவது மின்துகள் $q_2$ ஆல் புள்ளி C இல் ஏற்படும் நிலை மின்னழுத்தம் ஆகும்.

நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல்

$$U_{II} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right) \qquad (1.47)$$

(iv) சமன்பாடுகள் (1.46) மற்றும் (1.47) ஐக் கூட்ட, $q_1$, $q_2$ மற்றும் $q_3$ இவற்றாலான மின்துகள் அமைப்பினால் உருவாக்கப்படும் மொத்த நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல், $U = U_I + U_{II}$

$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right) \qquad (1.48)$$

சேமிக்கப்படும் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல் U ஆனது அம்மூன்று மின்துகள்களையும் குறிப்பிடப்பட்ட புள்ளிகளில் நிலைநிறுத்தச் செய்யப்படும் வேலைக்குச் சமமாகும் என்பதைக் கவனிக்கவும். அம்மின்துகள்களை எந்த வரிசையில் எடுத்து வந்தாலும் இதே சமன்பாடே (1.48) கிடைத்திருக்கும்.

கூலூம் விசை ஓர் ஆற்றல் மாற்றா விசையாதலால், மின்துகள்களின் நிலையமைப்பை கட்டமைக்கும்போது உருவாகும் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றலானது அவ்வமைப்பைக் கட்டமைக்கும் வழிமுறையைச் சார்ந்து இராது.

எடுத்துக்காட்டு 1.15

படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு பக்கம் a கொண்ட சதுரம் PQRS ன் மூலைகளில் நான்கு மின்துகள்கள் வைக்கப்பட்டுள்ளன. (அ) இந்த நிலையமைப்பில் அம்மின்துகள்களை வைப்பதற்கு தேவைப்படும் வேலையைக் கணக்கிடுக. (ஆ) இந்நான்கு மின்துகள்களும் அதே மூலைகளில் இருக்கும்போது, இன்னொரு மின்துகளை ($q’$) சதுரத்தின் மையத்திற்குக் கொண்டு செல்ல எவ்வளவு அதிகப்படியான வேலை செய்யப்பட வேண்டும்?

தீர்வு

(அ) சதுரத்தின் மூலைகளில் மின் துகள்களை வைக்கத் தேவைப்படும் வேலையானது அவை எந்த வரிசையில் வைக்கப்படுகின்றன என்பதைச் சார்ந்ததல்ல. எனவே, நாம் எந்த வரிசையையும் பயன்படுத்தலாம்.

(i) முதலில் +q மின்னூட்டம் கொண்ட மின்துகளை ஒரு மூலைக்கு (P) கொண்டு வருவோம். பிற மின்துகள்கள் ஏதும் அங்கு இல்லாததால், இதற்கு தேவைப்படும் வேலை சுழி, $W_P = 0$

(ii) –q மதிப்புடைய மின்துகளை மூலை Q க்கு கொண்டு வர செய்யப்படும் வேலை $= (–q) \times$ (புள்ளி P இல் வைக்கப்பட்டுள்ள +q மதிப்புடைய மின்துகளினால் புள்ளி Q வில் ஏற்படும் மின்னழுத்தம்).

$$W_Q = -q \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{a} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a}$$

(iii) +q மதிப்புடைய மின்துகளை மூலை R க்கு கொண்டு வர செய்யப்படும் வேலை $= q \times$ (புள்ளி P மற்றும் Q வில் வைக்கப்பட்டுள்ள மின்துகள்களால் புள்ளி R இல் ஏற்படும் மின்னழுத்தம்).

$$W_R = q \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{-q}{a\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

(iv) நான்காவது மின்துகள் –q ஐ மூலை S க்கு கொண்டு வர செய்யப்படும் வேலை $= –q \times$ (புள்ளிகள் P, Q மற்றும் R இல் வைக்கப்பட்டுள்ள மூன்று மின்துகள்களாலும் புள்ளி S இல் ஏற்படும் மின்னழுத்தம்)

$$W_S = -q \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{-q}{a} + \frac{q}{a\sqrt{2}} \right) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

மொத்த வேலை $W = W_P + W_Q + W_R + W_S$

$$W = 0 - \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$$$W = -\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

(ஆ) சதுரத்தின் மையத்திற்கு $q’$ மின்துகளைக் கொண்டு வர செய்யப்படும் வேலை $= q’ \times$ (நான்கு மூலைகளில் உள்ள மின்துகள்களாலும் மையப்புள்ளி O வில் உருவாகும் மின்னழுத்தம்)

+q மின்னூட்டம் பெற்ற இரு மின்துகள்களால் ஏற்படும் மின்னழுத்தமானது –q மின்னூட்டம் பெற்ற மற்ற இரு மின்துகள்களால் ஏற்படும் மின்னழுத்தத்தால் சமன் செய்யப்படும். எனவே, அனைத்து மூலைகளிலும் உள்ள மின்துகள்களால் மையப்புள்ளி O யில் ஏற்படும் மொத்த மின்னழுத்தம் சுழியாகும். எனவே, எந்த மின்துகளையும் புள்ளி O விற்குக் கொண்டு வர செய்யப்படும் வேலை சுழி. அதாவது, ஏதேனும் ஒரு மின்துகளை ($q’$) புள்ளி O க்கு அருகில் கொண்டு வந்த பின்னர், புற விசை ஏதுமின்றி, தானாகவே அது புள்ளி O க்கு நகரும் என்பதையே இது உணர்த்துகிறது.

சீரான மின்புலத்தில் உள்ள இருமுனையின் நிலை மின்னழுத்த ஆற்றல்#

படம் 1.29 இல் கொடுத்துள்ளவாறு சீரான மின்புலம் $\vec{E}$ ஒன்றில் வைக்கப்பட்டுள்ள மின் இருமுனையைக் கருதுவோம். சீரான மின்புலத்தில் வைக்கப்படும் இருமுனையின் மீது ஒரு திருப்புவிசை செயல்படும். இத்திருப்பு விசையானது மின்புலத்தின் திசையில் இருமுனையை ஒருங்கமைக்கின்றது.

Figure 1.29 The dipole in a uniform electric field

மின்புலத்தால் செலுத்தப்படும் இத்திருப்பு விசைக்கு எதிராக தொடக்கக் கோணம் $\theta’$ இலிருந்து இறுதி கோணம் $\theta$ வரை (மாறாத கோணத் திசைவேகத்துடன்) இருமுனையை சுழலச் செய்ய, மின்புலத்தால் கொடுக்கப்படும் திருப்புவிசைக்கு சமமானதும் எதிர்த்திசையில் உள்ளதுமான புறத்திருப்புவிசை ஒன்றை இருமுனையின் மீது செயல்படுத்த வேண்டும்.

$\theta’$ கோணத்திலிருந்து $\theta$ கோணம் வரை (மாறாத கோணத் திசைவேகத்துடன்) இருமுனையை சுழலச் செய்ய புறத்திருப்பு விசையால் செய்யப்படும் வேலை

$$W = \int_{\theta'}^{\theta} \tau_{ext} d\theta \quad (1.49)$$

$\vec{\tau}E = \vec{p} \times \vec{E}$ க்கு சமமாகவும் எதிர்த்திசையிலும் $\vec{\tau}{ext}$ உள்ளதால்,

$$|\vec{\tau}_{ext}| = |\vec{\tau}_E| = |\vec{p} \times \vec{E}| \quad (1.50)$$

சமன்பாடு (1.49) ஐ சமன்பாடு (1.50) இல் பிரதியிட

$$W = \int_{\theta'}^{\theta} pE \sin\theta d\theta$$$$W = pE (\cos\theta' - \cos\theta)$$

இந்த வேலையானது கோண நிலைகள் $\theta$ மற்றும் $\theta’$ க்கு இடையேயுள்ள மின்னழுத்த ஆற்றல் வேறுபாட்டுக்கு சமமாகும்.

$$U(\theta) - U(\theta') = \Delta U = -pE \cos\theta + pE \cos\theta'$$

தொடக்கக் கோணம் $\theta’ = 90^\circ$ என்றும் இதையே சுட்டுப்புள்ளியாகவும் (reference point) எடுத்துக்கொண்டால் $U(\theta’) = pE \cos 90^\circ = 0$.

எனவே சீரான மின்புலத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ள இருமுனை அமைப்பு ஒன்றில் சேமிக்கப்படும் மின்னழுத்த ஆற்றல்

$$U = -pE \cos\theta = -\vec{p} \cdot \vec{E} \quad (1.51)$$

p மற்றும் E ஐத் தவிர மின்னழுத்த ஆற்றலானது புற மின்புலத்தைப் பொறுத்த மின் இருமுனையின் திசையமைப்பையும் சார்ந்திருக்கும். புற மின்புலத்துக்கு எதிரிணையாக ($\theta = \pi$) இருமுனைத் திருப்பத்திறன் அமையும்போது மின்னழுத்த ஆற்றல் பெருமமாகவும் புறமின்புலத்துக்கு இணையாக ($\theta = 0^\circ$) இருமுனைத் திருப்பத்திறன் அமையும்போது மின்னழுத்த ஆற்றல் சிறுமமாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.16

நீர் மூலக்கூறு ஒன்றின் மின் இருமுனைத் திருப்பத்திறன் $6.3 \times 10^{-30}$ Cm. $10^{22}$ நீர் மூலக்கூறுகளைக் கொண்ட மாதிரி (sample) ஒன்றிலுள்ள அனைத்து இருமுனைத் திருப்பத்திறன்களும் எண்மதிப்பு $3 \times 10^5 \text{ N C}^{-1}$ கொண்ட புறமின்புலத்துடன் ஒருங்கமைந்துள்ளன. அனைத்து நீர் மூலக்கூறுகளையும் $\theta = 0^\circ$ விருந்து $90^\circ$ க்கு சுழற்றச் செய்ய தேவைப்படும் வேலை எவ்வளவு?

தீர்வு

அனைத்து நீர் மூலக்கூறுகளும் மின்புலத்தின் திசையில் அமைந்துள்ளதால், அவை சிறும மின்னழுத்த ஆற்றலைப் பெற்றிருக்கும். $\theta = 0^\circ$ விருந்து $90^\circ$ வரை இருமுனையை சுழற்ற செய்யப்படும் வேலையானது இவ்விரு நிலையமைப்புகளுக்கு இடையேயான மின்னழுத்த ஆற்றல் வேறுபாட்டுக்கு சமமாகும்.

$$W = \Delta U = U(90^\circ) - U(0^\circ)$$

சமன்பாடு (1.51) இவிருந்து, $U = -pE \cos\theta$ என எழுதலாம். பிறகு ஒரு நீர் மூலக்கூறை $\theta = 0^\circ$ முதல் $90^\circ$ வரை சுழற்ற செய்யப்படும் வேலையைக் கணக்கிடலாம்.

$$W = -pE \cos 90^\circ + pE \cos 0^\circ = pE$$

ஒரு நீர் மூலக்கூறுக்கு

$$W = 6.3 \times 10^{-30} \times 3 \times 10^5 = 18.9 \times 10^{-25} \text{ J}$$

$10^{22}$ நீர் மூலக்கூறுகளுக்கு, செய்யப்படும் மொத்த வேலை

$$W_{tot} = 18.9 \times 10^{-25} \times 10^{22} = 18.9 \times 10^{-3} \text{ J}$$