மின்பாயம் (Electric Flux)#
மின்புலக் கோடுகளுக்குக் குறுக்கே அமைந்த குறிப்பிட்ட பரப்பு ஒன்றின் வழியே பாயும் மின்புலக் கோடுகளின் எண்ணிக்கையை மின்பாயம் எனப்படும். இதை $\Phi_E$ என்ற கிரேக்க எழுத்தினால் குறிப்போம். மேலும் இதன் அலகு N m² C⁻¹. மின்பாயம் ஒரு ஸ்கேலர் அளவு ஆகும். மேலும் இது நேர்க்குறி அல்லது எதிர்க்குறி மதிப்பைப் பெற்று இருக்கும். மின்பாயம் என்றால் என்ன என்பதை எளிதில் புரிந்து கொள்ள படம் (1.30) பயன்படும்.
இப்படத்தில் புள்ளி மின்துகள் ஒன்றின் மின்புலம் காட்டப்பட்டுள்ளது. A மற்றும் B ஆகிய பகுதிகளில் புலத்திற்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ள இரு சிறிய செவ்வக – வடிவப் பரப்புகளைக் கருதுவோம். இவ்விரு பரப்புகளும் ஒரே பரப்பளவைக் கொண்டிருந்தாலும் பகுதி A வில் உள்ள செவ்வகத்தைக் கடக்கும் மின்புலக் கோடுகளின் எண்ணிக்கை பகுதி B இல் உள்ள செவ்வகத்தைக் கடக்கும் மின்புலக் கோடுகளை விட அதிகமாக உள்ளது. தொலைவு அதிகரிக்கும் போது புள்ளி மின்துகள் ஒன்றின் மின்புல வலிமை குறைவதைப்போல் தொலைவு அதிகரிக்கும்போது அதன் மின்பாயமும் குறைகின்றது. இதுவரை நாம் பார்த்த கருத்துகள் மின்பாயத்தைப் பற்றிய ஒரு பண்புசார் கருத்தை (qualitative idea) உருவாக்க உதவும். எனினும், மின்பாயத்தின் துல்லியமான வரையறை தேவைப்படுகிறது.
சீரான மின்புலத்தின் மின்பாயம்
புறவெளியில் ஒரு பகுதியில் நிலவும் சீரான மின்புலத்தைக் கருதுவோம். படம் 1.31 (அ) வில் கொடுத்துள்ளபடி. மின்புலக் கோடுகளுக்குச் செங்குத்தாக உள்ள பரப்பு A வை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த நேர்வுக்கு மின்பாயம்
படம் 1.31 (அ) வில், $\theta = 0^\circ$. எனவே,
$$\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA$$சீரான இம்மின்புலத்திற்கு இணையாக பரப்பு A வை வைத்தால், அப்பரப்பின் உள்ளே பாயும் மின்புலக் கோடுகள் சுழியாகும் [படம் 1.31 (ஆ)]. இந்த நேர்வில் மின்பாயம்
$$\Phi_E = 0 \qquad (1.53)$$பரப்புடன் θ கோணத்தை மின்புலம் உருவாக்கும்போது பரப்பிற்குச் செங்குத்தான திசையில் உள்ள மின்புலக்கூறு மட்டுமே மின்பாயத்தை அளிக்கிறது. பரப்பிற்கு இணையாகவுள்ள மின்புலக்கூறு மின்பாயத்தை அளிப்பதில்லை. [படம் 1.31 (இ)]. இந்த நேர்வில் மின்பாயம்
$$\Phi_E = (E \cos\theta) A \qquad (1.54)$$இங்கு மின்புலத்தின் திசைக்கும் பரப்பிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் திசைக்கும் இடையேவுள்ள கோணமே θ. எனவே, பொதுவான வரையறையாக, சீரான மின்புலத்தின் மின்பாயம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
$$\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos\theta \qquad (1.55)$$இங்கு $\vec{A} = A \hat{n}$ என்பதைக் கவனிக்கவும். இதன் எண்மதிப்பு A மற்றும் இதன் பரப்பிற்கு செங்குத்து திசையிலுள்ள ஓரலகு வெக்டர் $\hat{n}$ [படம் 1.31]. இந்த வரையறையின் படி, $\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A}$. மேலும் (1.53) மற்றும் (1.54) ஆகிய சமன்பாடுகளை இதன் சிறப்பு நேர்வுகளாக பெற முடியும்.
எடுத்துக்காட்டு 1.17
100 N C⁻¹ மதிப்புடைய சீரான மின்புலம் நிலவும் பகுதியில் வைக்கப்பட்டுள்ள 5 cm மற்றும் 10 cm பக்கங்கள் கொண்ட செவ்வகத்தைக் கடக்கும் மின்பாயத்தைக் கணக்கிடுக. கொடுக்கப்பட்ட கோணம் $\theta = 60^\circ$. θ = 0° எனில், மின்பாயம் என்ன?
தீர்வு
மின்பாயம்
$$\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos\theta$$$$= 100 \times 5 \times 10 \times 10^{-4} \times \cos 60^\circ$$$$= 100 \times 50 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.25 \text{ Nm}^2 \text{ C}^{-1}$$$\theta = 0^\circ$ எனில்
$$\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA = 100 \times 5 \times 10 \times 10^{-4} = 0.5 \text{ Nm}^2 \text{ C}^{-1}$$சீரற்ற மின்புலம் மற்றும் ஏதேனும் ஒரு வடிவமுள்ள பரப்பிற்கு மின்பாயம்
சீரற்ற மின்புலம் மற்றும் தட்டையாக இல்லாத வளை பரப்பு A ஆகியவற்றைக் கருதுவோம். [படம் 1.32]. இதன் மொத்த பரப்பளவையும் $\Delta A_1, \Delta A_2, \Delta A_3, \dots, \Delta A_n$ ஆகிய n மிகச்சிறிய பரப்புக் கூறுகளாகப் பிரித்தோம் என்றால் ஒவ்வொரு பரப்புக் கூறையும் கிட்டத்தட்ட தட்டையாக உள்ளதாகவும் ஒவ்வொரு பரப்புக் கூறின் வழியாகக் கடக்கும் மின்புலமும் சீராக உள்ளதாகவும் கருதலாம்.
மொத்த பரப்பளவு A க்குமான மின்பாயத்தைத் தோராயமாக எழுதினால்
$$\Phi_E = \vec{E}_1 \cdot \Delta \vec{A}_1 + \vec{E}_2 \cdot \Delta \vec{A}_2 + \vec{E}_3 \cdot \Delta \vec{A}_3 + \dots + \vec{E}_n \cdot \Delta \vec{A}_n = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{A}_i \quad (1.56)$$(அனைத்து i மதிப்புகளுக்கும்) $\Delta A_i \to 0$ என்ற எல்லையை வைத்தோம் என்றால் சமன்பாடு (1.56) இல் உள்ள கூட்டுத்தொகையானது தொகையிடலாக மாறும். இப்போது, முழு பரப்பிற்குமான மொத்த மின்பாயம்
$$\Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A} \qquad (1.57)$$மூடிய பரப்புகளுக்கு மின்பாயம்#
சென்ற பிரிவில், ஏதேனும் ஒரு வடிவமுள்ள வளை பரப்பிற்குரிய மின்பாயத்தைப் பற்றி அறிந்தோம். படம் 1.33 (அ) வில் கொடுத்துள்ளவாறு சீரற்ற மின்புலம் உள்ள பகுதியில் ஒரு மூடிய பரப்பு உள்ளதாகக் கருதுவோம். இம்மூடிய பரப்பிற்கான மின்பாயம்
சமன்பாடு (1.57) மற்றும் சமன்பாடு (1.58) இடையேயான வேறுபாட்டைக் கவனிக்கவும். சமன்பாடு (1.58) இல் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ள தொகையிடலானது மூடப்பட்ட அல்லது மூடிய பரப்புத் தொகையிடலாகும்; மேலும் அதிலுள்ள ஒவ்வொரு பரப்புக் கூறுக்கும் வரையப்படும் வெளிநோக்கிய செங்குத்துக் கோடு $d\vec{A}$ ன் திசையாகும் [படம் 1.33 (ஆ)].
ஒரு மூடிய பரப்பின் மொத்த மின்பாயமானது நேர்க்குறி, எதிர்க்குறி அல்லது சுழி மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும்.
படம் 1.33 (ஆ) –ல் ஒரு பரப்புக்கூறு $d\vec{A}$ மின்புலம் $\vec{E}$ உடன் உருவாக்கும் கோணம் 90° ஐ விடக் குறைவாக உள்ளதால் அதன் மின்பாயம் நேர்க்குறி மதிப்பு உடையதாகவும் இன்னொரு பரப்புக்கூறு $d\vec{A}$ மின்புலத்துடன் உருவாக்கும் கோணம் 90° ஐ விட அதிகமாக உள்ளதால் அதன் மின்பாயம் எதிர்க்குறி மதிப்புடையதாகவும் உள்ளன.
பொதுவாக, மூடிய பரப்புகள் மின்துகளை உள்ளடக்கியிருந்தால் மின்பாயம் எதிர்க்குறி எனவும் மூடிய பரப்பை விட்டு வெளியேறினால் மின்பாயம் நேர்க்குறி எனவும் கொள்ளலாம்.
காஸ் விதி (Gauss law)#
படம் (1.34) இல், Q மின்னூட்ட மதிப்புடைய ஒரு புள்ளி மின்துகளைச் சுற்றி r ஆரம் கொண்ட கற்பனைக் கோளம் (imaginary sphere) ஒன்று காட்டப்பட்டுள்ளது. அதன் மூடிய பரப்பின் வழியே வெளிநோக்கிய திசையில் கடக்கும் மொத்த மின்பாயத்தினை சமன்பாடு (1.58) மூலம் நாம் கணக்கிடலாம்.
$$\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \oint E dA \cos\theta$$இப்புள்ளி நேர் மின்துகளின் மின்புலமானது கோளப் பரப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஆர வழியே வெளிநோக்கிய திசையில் அமைகின்றது. எனவே, பரப்புக்கூறு $d\vec{A}$ ஆனது மின்புலத்தின் திசையிலேயே உள்ளதால் $\theta = 0^\circ$.
$$\Phi_E = \oint E dA \quad \text{ஏனெனில் } \cos0^\circ = 1 \quad (1.59)$$
கோளத்தின் பரப்பில் E சீராக உள்ளதால்
$$\Phi_E = E \oint dA \quad (1.60)$$$\oint dA = 4\pi r^2$ மற்றும் $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$. சமன்பாடு (1.60) இல் பிரதியிட,
$$\Phi_E = \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \right) (4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad (1.61)$$
இந்த முடிவின் குறிப்பிடத்தக்க பண்பு என்னவென்றால் மின்துகளை மூடியுள்ள பரப்பு எத்தகைய வடிவம் கொண்டிருந்தாலும் அதற்கு சமன்பாடு (1.61) பொருந்தும். [படம் 1.35]. இப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள $A_1$, $A_2$ மற்றும் $A_3$ ஆகிய மூன்று மூடிய பரப்புகளுக்கும் மொத்த மின்பாயம் ஒன்றே என்பதை கவனிக்கவும்.
இதுவே காஸ் விதியின் கூற்று. இங்கு Q என்பது மூடிய பரப்பிற்கு உள்ளே அமைந்துள்ள மின்துகள்களின் மொத்த மின்னூட்டமாகும்.
காஸ் விதி – ஒரு கலந்தாய்வு
(i) சூழ்ந்துள்ள பரப்பினைக் கடக்கும் மொத்த மின்பாயமானது அப்பரப்பினால் சூழப்பட்டுள்ள மின்துகள்களை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும். மாறாக, அப்பரப்புக்கு வெளியே அமைந்துள்ள மின்துகள்கள் மின்பாயத்தைக் கொடுக்காது. மேலும், மின்துகள்களை சூழும் பரப்பை எந்தவொரு வடிவத்திலும் (arbitrary) நாம் தெரிவு செய்து கொள்ளலாம்.
(ii) மொத்த மின்பாய மதிப்பானது சூழும் பரப்பிற்குள்ளே அமைந்துள்ள மின்துகள்களின் அமைவிடத்தை (location) சார்ந்திருக்காது.
(iii) சமன்பாடு (1.62) ஐப் பெறுதலுக்கு நாம் கோளகப் பரப்பைப் பயன்படுத்தி உள்ளோம். இந்த கற்பனைப் பரப்பினையே காஸியன் பரப்பு (Gaussian surface) என்பர். மின்துகள் நிலையமைப்பின் வகை (type of charge configuration) மற்றும் மின்துகள் நிலையமைப்பின் சமச்சீர் தன்மை (symmetry in configuration) ஆகியவை சார்ந்தே நாம் தெரிவு செய்யும் காஸியன் பரப்பின் வடிவம் இருக்க வேண்டும். ஒரு புள்ளி மின்துகளின் மின்புலமானது கோளகச் சமச்சீர் தன்மை கொண்டுள்ளதால் கோளக வடிவக் காஸியன் பரப்பைத் தெரிவு செய்தோம். பிற வகைப்பட்ட மின்துகள் நிலையமைப்புகளுக்கு உருளை வடிவ மற்றும் சமதள வடிவ காஸியன் பரப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
(iv) சமன்பாடு (1.62) இன் இடதுகை பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள மின்புலம் $\vec{E}$ ஆனது காஸியன் பரப்பிற்கு உள்ளேயும் வெளியேயும் அமைந்துள்ள மின்துகள்களால் உருவாகும் மின்புலத்தைக் குறிப்பதாக இருந்தாலும் காஸியன் பரப்பிற்கு உள்ளே அமைந்துள்ள மின்துகள்களின் மொத்த மின்னூட்ட மதிப்பை மட்டுமே $Q_{in}$ குறிக்கின்றது.
எடுத்துக்காட்டு 1.18
(i) படம் (அ) வில் மூடிய பரப்புகள் $A_1$ மற்றும் $A_2$ ஐக் கடக்கும் மின்பாயத்தினைக் கணக்கிடுக. (ii) படம் (ஆ) வில் கன சதுரத்தைக் கடக்கும் மின்பாயத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு
(i) படம் (அ) வில் பரப்பு $A_1$, Q மதிப்புடைய மின்துகளைச் சூழ்ந்துள்ளது. இம் மூடிய பரப்பின் வழியே செல்லும் மின்பாயம் $\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$. ஆனால் பரப்பு $A_2$ வைக் கடக்கும் மின்பாயம் சுழியாகும்.
(ii) படம் (ஆ) வில் கனசதுரத்தினுள் இருக்கும் மின்துகள்களின் நிகர மின்னூட்டம் $3q$. எனவே அதைக் கடக்கும் மொத்த மின்பாயம் $\Phi_E = \frac{3q}{\varepsilon_0}$. -10q மதிப்புடைய மின்துகளானது கன சதுரத்திற்கு வெளியே உள்ளதால் மொத்த மின் பாய மதிப்பில் அதன் பங்களிப்பு ஏதுமில்லை.
காஸ் விதியின் பயன்பாடுகள்#
ஏதேனும் ஒரு வடிவமுள்ள மின்துகள் தொகுதிகளுக்கு மின்புலத்தைக் கணக்கிட கூலூம் விதி அல்லது காஸ் விதியைப் பயன்படுத்தலாம். மின்துகள் அமைப்பு ஏதேனுமொரு சமச்சீர் தன்மையைப் பெற்றிருந்தால் மின்புலத்தைக் கணக்கிட காஸ் விதியே மிகச்சிறந்த வழியாகும். பின்வரும் நேர்வுகளில் இதைக் காணலாம்.
(i) மின்னூட்டம் பெற்ற முடிவிலா நீளம் உடைய கம்பியினால் ஏற்படும் மின்புலம்
λ எனும் சீரான மின்னூட்ட நீள் அடர்த்தி (ஒரலகு நீளத்திற்கான மின்னூட்ட மதிப்பு) கொண்ட முடிவிலா நீளமுடைய கம்பியைக் கருதுவோம். கம்பியிலிருந்து r செங்குத்துத் தொலைவில் புள்ளி P உள்ளது. [படம் 1.36 (அ)]. காஸ் விதியைப் பயன்படுத்தி P இல் உருவாகும் மின்புலத்தைக் கணக்கிடலாம்.
புள்ளி P இலிருந்து சம தொலைவில், கம்பியில் அமைந்துள்ள இரு சிறிய மின்துகள் கூறுகளை எடுத்துக்கொள்வோம் (படம் 1.36 (ஆ)). இவ்விரு மின்துகள் கூறுகளினால் உருவாகும் தொகுபயன் மின்புலமானது மின்னூட்டம் பெற்ற கம்பியிலிருந்து ஆர வழியே வெளிநோக்கிய திசையில் அமைகின்றது. மேலும், r ஆரமுடைய வட்டத்தின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் அதன் எண்மதிப்பு சமமாக இருக்கும். இது படம் 1.36 (ஆ) வில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இந்தப் பண்பின் அடிப்படையில் மின்னூட்டம் பெற்ற கம்பி உருளை வடிவ சமச்சீர் தன்மை உடையது எனலாம். எனவே r ஆரமும் L நீளமும் கொண்ட உருளை வடிவ காஸியன் பரப்பைக் கருதுவோம். [படம் 1.37]
இப்பரப்பிற்கான மொத்த மின்பாயத்தை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்.
$$\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int_{\text{வளை பரப்பு}} \vec{E} \cdot d\vec{A} + \int_{\text{மேற் பரப்பு}} \vec{E} \cdot d\vec{A} + \int_{\text{அடிப்பரப்பு}} \vec{E} \cdot d\vec{A} \quad (1.63)$$வளைபரப்பில் $\vec{E}$ ஆனது $d\vec{A}$ க்கு இணையாக உள்ளதால் (பார்க்க படம் 1.37), $\vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA$.
மேல் மற்றும் அடிப்பரப்புகளுக்கு $\vec{E}$ ஆனது $d\vec{A}$ விற்கு செங்குத்தாக உள்ளதால், $\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$
இம்மதிப்புகளை சமன்பாடு (1.63) இல் பிரதியிட்டு காஸ் விதியை உருளை வடிவ பரப்பிற்குப் பயன்படுத்தினால்
$$\Phi_E = \int_{\text{வளை பரப்பு}} E dA = \frac{Q_{\text{உள்}}}{\varepsilon_0} \quad (1.64)$$மொத்த வளை பரப்பைப் பொருந்தவரை மின்புலத்தின் எண் மதிப்பு மாறிலியாக உள்ளதால், E ஆனது தொகையிடல் குறியீட்டுக்கு வெளியே எடுக்கப்படுகிறது. மேலும் $Q_{\text{உள்}} = \lambda L$ எனப் பிரதியிட,
$$E \int_{\text{வளை பரப்பு}} dA = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \qquad (1.65)$$இங்கு $\int dA$ = வளைபரப்பின் மொத்த பரப்பு = $2\pi rL$. இதை சமன்பாடு (1.65) இல் பிரதியிட,
வெக்டர் வடிவில்,
$$\vec{E} = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda}{r} \hat{r} \quad (1.67)$$புள்ளி மின்துகள் ஒன்றின் மின்புலம் $\frac{1}{r^2}$ என்றவாறு இருப்பதை அறிவோம். மாறாக மின்னூட்டம் பெற்ற முடிவிலா நீளமுடைய கம்பியின் மின்புலம் $\frac{1}{r}$ என்றவாறு அமைந்துள்ளது. கம்பிக்கு செங்குத்தான திசையிலேயே ($\hat{r}$) மின்புலம் எப்போதும் அமைந்துள்ளது என்பதை சமன்பாடு (1.67) மூலம் அறிய முடிகிறது. மேலும் $\lambda > 0$ எனில், கம்பிக்கு செங்குத்தாக வெளிநோக்கிய திசையில் $\vec{E}$ இருக்கும்; $\lambda < 0$ எனில், உள்நோக்கிய திசையில் $(-\hat{r})$ செங்குத்தாக $\vec{E}$ இருக்கும்.
முடிவிலா நீளமுள்ள மின்னூட்டம் பெற்ற கம்பிக்கு மட்டுமே சமன்பாடு (1.67) பொருந்தும். வரம்பிற்குட்பட்ட நீளமுள்ள மின்னூட்டம் பெற்ற கம்பியைப் பொருத்தவரை மின்புலமானது அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஆரத்திசையில் அமைவதில்லை. இருப்பினும், அத்தகைய கம்பியின் மையப்புள்ளிக்கு அருகிலும் கம்பியின் முனைகளிலிருந்து வெகு தொலைவிலுமுள்ள புள்ளிகளுக்கும் சமன்பாடு (1.67) ஐப் பயன்படுத்தலாம்.
(ii) மின்னூட்டம் பெற்ற முடிவிலா சமதளத் தட்டினால் உருவாகும் மின்புலம்
σ எனும் சீரான மின்னூட்டப் பரப்படர்த்தி (ஓரலகு பரப்பிற்கான மின்னூட்ட மதிப்பு) கொண்ட முடிவிலா சமதளத்தட்டு ஒன்றைக் கருதுவோம். அத்தட்டிலிருந்து r தொலைவில் P என்ற புள்ளி உள்ளது [படம் 1.38].
சமதளத்தின் அளவு முடிவிலாதது என்பதால், அதிலிருந்து சம தொலைவில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் மின்புலத்தின் மதிப்பு சமமாக இருக்கும். அனைத்து புள்ளிகளிலும் மின்புலத்தின் திசை ஆர வழியே அமைந்திருக்கும். 2r நீளமும் A குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு கொண்ட உருளை வடிவ காஸியன் பரப்பைக் கருதுவோம்; அதன் நடுப்பகுதி வழியாக முடிவிலா சமதளத்தட்டு கடப்பதாகக் கொள்வோம். இவ்வுருளை வடிவ பரப்புக்கு காஸ் விதியைப் பயன்படுத்தினால்
$$\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int_{P} \vec{E} \cdot d\vec{A} + \int_{\text{வளை பரப்பு}} \vec{E} \cdot d\vec{A} + \int_{P'} \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{உள்}}}{\varepsilon_0} \quad (1.68)$$வளைபரப்பின் மேலுள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் மின்புலமானது பரப்பளவுக் கூறுகளுக்கு செங்குத்தாகவும் P மற்றும் $P’$ பரப்புகளில் அது இணையாகவும் இருக்கிறது [படம் 1.38]. எனவே
$$\Phi_E = \int_{P} E dA + \int_{P'} E dA = \frac{Q_{\text{உள்}}}{\varepsilon_0} \quad (1.69)$$இவ்விரு பரப்புகளுக்கும் மின்புலத்தின் எண் மதிப்பு சீராக உள்ளதால் தொகையிடல் குறியீட்டுக்கு வெளியே E எடுக்கப்படுகிறது. மேலும் $Q_{\text{உள்}} = \sigma A$. எனவே
$$2E \int_{P} dA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$$P அல்லது $P’$ பரப்பின் மொத்த பரப்பளவு = A. எனவே
$$2E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$$$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \quad (1.70)$$வெக்டர் வடிவில்,
$$\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n} \quad (1.71)$$இங்கு $\hat{n}$ என்பது சமதளத்திற்கு செங்குத்தாக, வெளிநோக்கிய திசையிலுள்ள ஓரலகு வெக்டராகும். மின்னூட்டம் பெற்ற முடிவிலா சமதளத்தட்டினால் உருவாகும் மின்புலமானது மின்னூட்டப் பரப்படர்த்தியைச் சார்ந்தும் அதேசமயம் தொலைவைச் சாராமலும் இருக்கின்றது.
மின்னூட்டம் பெற்றத் தட்டிலிருந்து கணிசமான தொலைவிலுள்ள எந்தவொரு புள்ளியிலும் மின்புலம் சமமாக இருக்கும். $\sigma > 0$ எனில் எந்தவொரு புள்ளியிலும் (P) மின்புலமானது (தட்டின்) தளத்திற்கு செங்குத்தாக, வெளிநோக்கிய திசையிலும் ($\hat{n}$), $\sigma < 0$ எனில் மின்புலமானது தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்நோக்கிய திசையிலும் ($-\hat{n}$) இருக்கும் என்பதை சமன்பாடு (1.71) மூலம் அறியலாம்.
வரம்பிற்குட்பட்ட பரப்பளவைக் கொண்ட மின்னூட்டம் பெற்ற சமதளத் தட்டைப் பொருத்தவரை தட்டின் நடுப்பகுதியில் சமன்பாடு (1.71) ஓரளவு பொருந்தும். மேலும் அதன் முனைகளிலிருந்து வெகு தொலைவிலுள்ள புள்ளிகளுக்கும் இச்சமன்பாடு பொருந்தும்.
(iii) மின்னூட்டம் பெற்ற இரு இணையான முடிவிலா தட்டுகளினால் உருவாகும் மின்புலம்
+σ மற்றும் -σ என்கிற மின்னூட்டப் பரப்படர்த்தி கொண்ட இரு முடிவிலா மின்னூட்டம் பெற்ற சமதளத் தட்டுகளைக் கருதுவோம். படம் (1.39) இல் காட்டியபடி அவை ஒன்றுக்கொன்று இணையாக உள்ளன.
தட்டுகளுக்கு இடையேயும், தட்டுகளுக்கு வெளியிலும் உருவாகும் மின்புலத்தை காஸ் விதியைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம். மின்னூட்டம் பெற்ற முடிவிலா சமதளத் தட்டின் மின்புல மதிப்பு $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (1.70). மேலும் $\sigma > 0$ எனில் அது செங்குத்தாக, வெளிநோக்கிய திசையிலும் $\sigma < 0$ எனில் அது (செங்குத்தாக) உள்நோக்கிய திசையிலும் இருக்கும்.
$P_2$ மற்றும் $P_3$ ஆகிய புள்ளிகளில் இரு தட்டுகளினால் ஏற்படும் மின்புலங்களின் எண் மதிப்பு சமமாகவும் எதிரெதிர் திசை உடையதாகவும் உள்ளன. [படம் 1.39]. எனவே, தட்டுகளுக்கு வெளியே உள்ள புள்ளிகளில் மின்புலம் சுழியாகும். ஆனால் தட்டுகளுக்கு இடையே உள்ள புள்ளிகளில் ($P_1$) அவற்றின் மின்புலங்கள் ஒரே திசையில், அதாவது வலது திசை நோக்கி அமைவதால்,
$$E_{in} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \qquad (1.72)$$தட்டுகளுக்கு இடையே மின்புலமானது நேர மின்னூட்டம் பெற்றத் தட்டிலிருந்து எதிர் மின்னூட்டம் பெற்றத் தட்டை நோக்கிய திசையிலிருக்கும். மேலும் தட்டுகளுக்கு இடையில் உள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் மின்புலம் சீராக இருக்கும்.
(iv) மின்னூட்டம் பெற்ற உள்ளீடற்ற கோளத்தினால் உருவாகும் மின்புலம்
R ஆரமும் Q மின்னூட்டமும் கொண்ட, சீரான மின்துகள் பரவல் பெற்ற உள்ளீடற்ற கோளம் ஒன்றைக் கருதுவோம் (படம் 1.40). காஸ் விதியைப் பயன்படுத்தி கோளத்திற்கு வெளியேயும் உள்ளே புள்ளிகளில் மின்புலத்தைக் கணக்கிடலாம்.
நேர்வு (அ) கோளத்திற்கு வெளியில் உள்ள புள்ளியில் ($r > R$)
படம் 1.40 (அ) வில் காட்டியுள்ளவாறு, கோளத்தின் மையத்திலிருந்து r தொலைவில், கோளத்தின் வெளியே உள்ள புள்ளி P ஐக் கருதுவோம். மின்துகள்கள் கோளத்தின் புறப்பரப்பில் சீராகப் பரவியுள்ளன (கோளகச் சமச்சீர் தன்மை). ஆகவே $Q > 0$ எனில் மின்புலம் ஆர வழியே வெளிநோக்கிய திசையிலும் $Q < 0$ எனில் ஆர வழியே உள்நோக்கிய திசையிலும் இருக்கிறது. r ஆரம் கொண்ட கோள வடிவ காஸியன் பரப்பினைக் கருதுவோம்.
இப்பரப்பினால் சூழப்படும் மின்துகள்களின் மொத்த மின்னூட்டம் Q என்க. காஸ் விதியைப் பயன்படுத்தி
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad (1.73)$$காஸியன் பரப்பின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் மின்புலமும் $\vec{E}$ பரப்பளவுக்கூறும் $d\vec{A}$ ஒரே திசையில் (வெளிநோக்கிய திசையில், செங்குத்தாக) அமைகின்றன. மின்துகள் நிலையமைப்பின் கோளகச் சமச்சீர் தன்மையால் காஸியன்பரப்பில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் $\vec{E}$ ன் எண்மதிப்பும் சமமாகவே இருக்கும். எனவே, $E \oint dA = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad (1.74)$
ஆனால் $\oint dA =$ காஸியன் பரப்பின் மொத்த பரப்பளவு = $4\pi r^2$. இதை சமன்பாடு (1.74) இல் பிரதியிட,
$$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$வெக்டர் வடிவில்,
$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r} \quad (1.75)$$$Q > 0$ எனில் மின்புலமானது ஆர வழியே வெளிநோக்கிய திசையிலும், $Q < 0$ எனில் ஆரவழியே உள்நோக்கிய திசையிலும் அமையும். கோளத்திற்கு வெளியே உள்ள புள்ளிகளைப் பொருத்த வரை, உள்ளீடற்ற கோளத்தின் மையத்தில் Q மின்னூட்டம் கொண்ட ஒரு புள்ளி மின்துகளை வைத்தால் எவ்வாறு மின்புலம் அமையுமோ அவ்வாறு கோளத்தின் மின்புலமானது அமைகிறது. (ஈர்ப்பியலில் இதே போன்றதொரு முடிவை, M நிறை கொண்ட உள்ளீடற்ற கோளத்தினால் ஏற்படும் ஈர்ப்பு விசையைத் தருவிக்கும் போது பெற்றதை நினைவில் கொள்ளவும்)
நேர்வு (ஆ): கோளத்தின் புறப்பரப்பில் உள்ள புள்ளியில் ($r = R$)
கோளகக் கூட்டின் புறப்பரப்பில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு ($r = R$) மின்புலமானது
$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2} \hat{r} \quad (1.76)$$நேர்வு (இ): கோளத்திற்கு உள்ளேயுள்ள புள்ளியில் ($r < R$)
கோளகத்தின் மையத்திலிருந்து r தொலைவில், கோளத்திற்கு உள்ளேயுள்ள புள்ளி P ஐக் கருதுவோம். r ஆரம் கொண்ட கோள வடிவ காஸியன் பரப்பு ஒன்றை வரையோம் [படம் 1.40 (ஆ)].
இந்த காஸியன் பரப்புக்குள்ளே எந்த ஒரு மின்துகளும் இல்லாததால் $Q_{in} = 0$. எனவே, சமன்பாடு (1.77)-ன் படி
$$E = 0 \quad (r < R)$$மேற்பரப்பின் மீது மின்துகள்கள் சீராக பரவப் பெற்ற உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உள்ளே அமைந்துள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் மின்புலம் சுழியே. ஆரத்தொலைவுக்கும் (radial distance) மின்துகள்கள் சீரான பரவல் பெற்ற உள்ளீடற்ற கோளத்தின் மின்புலத்திற்கும் இடையேயான வரைபடம் படம் 1.41 -ல் காட்டப்பட்டுள்ளது.
குறிப்பிடத்தக்கது: மின்துகள் நிலையமைப்பானது கோளக, உருளை அல்லது சமதள சமச்சீர் தன்மை கொண்டிருக்கும் போது அத்தகைய மின்துகள் அமைப்புகளின் மின்புலத்தை எளிதில் கண்டறிய காஸ் விதி ஒரு சிறந்த வழிமுறையாகும். அத்தகைய சமச்சீர் தன்மை அமையாத நிலையில் நடைமுறையான வழிமுறையை போல் (கூலூம் விதியும் நுண்கணிதமும்) பின்பற்ற வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, மின் இருமுனையின் மின்புலத்தைக் கண்டறிய காஸ் விதியைப் பயன்படுத்துவது கடினம். ஏனெனில், அதற்கு மேலே குறிப்பிட்ட எந்தவொரு சமச்சீர் தன்மையும் கிடையாது.